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ŒUVRES

DE FERMAT.

PARIS. - IMPRIMERIE GAUTIIIER-VU.LARS ET FILS.

Quai di-s Gramls-Augustins, 5:>.

ŒUVRES

DE FERMAT

3
.F3S

t.x

l'LBMKICS PAR I.KS SOINS riK

MM. PAUL TANNEUY et CJIAIUJÎS HENKV

sous LES AUSPICES

DU MIMSTKRE DE L'INSTRUCTION PUBLIQUE.

TOME DEUXIEME.

CORRESPONDANCE.

PIRIS,

GAUTHIKR-VILLARS ET FILS, IMPRIMEUIIS-LIBKMKES

nu B U U K A (l D K s L 0 ^ G 1 T U D E S . DE L ' É C O I. E P (1 L Y T E C II N 1 Q L E

(Juai des Grands-Augustins, 55.
M DCCC XCIV

TABLE DES MATIÈRES

DU DEUXIÈME VOLUME (').

AVERTISSKMEXT.

Pages
IX

CORRESPONDANCE DE FERMAT.

1.

•20 avril

i63(5.

ir.

mai?

»

ru.

III.

3 juin

))

IIIa.

HIr.
IV.

vt'i juin

»

IVa.

IVb.
V.

9.4 juin?

»

VI.

I ') juillet

»

VII.

aoûl

)>

VIII.

16 aoiU

»

IX.

51,3 aoûl

»

X.

■>. septembre

1)

XI.

iG .septembre

.,

xn.

septembre?

))

XIII.

22 septembre

«

Format à Morsenne M

Propositio Geostatica Domini de Fermât. V
Premier extrait de Y I-turmonic it/iiversel/e

de Mersenne

Fermât à Alersenne . V

Deuxième extrait do V/Iunnoiiic unin-r-

sclle de Mersenne

Extrait des CoguataPliysico-maUiemalica

de Mersenne

Fermât à Merseuno V

Troisième extrait do VHartnoiiic imii'cr-

selle de Mersenne

Quatrième extrait de XHarmoiàe univer-

setle de Morsenno

Nova in Mechanicis tliooremata Domini

de Fermât

Fermât à Mersenne VM

Fermât à Roberval

Etienne Pascal et Roberval ù Fermât. . . .
Fermât à Etienne Pascal et Rohorval. . , .

Fermât à Jlersoniie

Format à Roberval

Fermât i Merseuno (pour S"'-Croix)

Fermât ù Roberval

10
1 1

I )

17

V

23

VM

27

V

3i

V

3)

V

5o

V

5;

V

5!)

.M

63

V

71

(') Les lettres majuscules placées devant les renvois indiquent que la pièce a été imprimée :
V dans les f^arta Opéra, W dans le Vommercium epistoliciim de Wallis» D dans les Lettres de
Descartes, F dans les OEuures de Pascal, II dans la Correspondance de Hiiygens ; piilin M qu'elle
est tirée de sources manuscrites.

Im.umat.

II.

VI

TABLE DES MATIERES.

XIV.

1 1 oclubro

I(ij(i

XV.

4 novembre

))

XVI.

décembres'

»

XVII.

7 cloccmbro

n

XVIII.

i6 décombro

»

XIX.

février"?

i(i37

XX.

4 avril

»

XXI.

20 avril

^)

XXII.

soplcinbro

? »>

XXIII.

octobre "?

»

XXIV.

décembre?

»

XXV.

t8 janvier?

i63S.

XXV bis.

février?

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XXVI.

2o avril

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XXVII.

3 mai

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XXVllI.

)) »

0

XXIX.

1 juin

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XXX.

juin?

»

XXXI.

juin?

»

XXXII.

27 juillet

»

XXXIII.

10 aoiU

»

XXXIV.

1 1 octobre?

n

XXXV.

22 octobre

1)

XXXVI.

26 décembre

1)

XXXVII.

20 février

ffilÇ).

XXXVIII.

mars ?

1040.

XXX\1II Ins.

1 avril

»

P-S.

?

»

XXXIX.

mai?

»

XL.

juin?

n

XLI.

4 août

„

XLII.

aoilt?

»

XLIII.

aoilt?

»

XLIV.

18 octobre

))

XLV.

25 décembre

»

XLVI.

26 mars

iGji.

XL VIL

I î juin

)}

XLVIII.

lî juin?

))

XLIX.

2 août

))

L.

6 septembre

»

U.

10 novembre

lO^A.

LD.

li janvier

1643.

Pages

Uoberval à l'Vrniat V 75

Fermât à Uoberval V 83

Objecta a Domino do Format adversiis
propositioncm mechanicam Domini de

Uoberval V 87

Fermât à Uoberval V 89

Format à Uoberval V 92

Fermât à Uoberval V 100

Uoberval à Fermai V 102

Fermât à Uolierval V io4

Format à Merscnne D 106

Descaries à Mcrscnne (pour Fermât ).. . I) 112

Fermât à Mersenne D 116

Descaries à Mersenne D 12(1

Fermât à Mersenne 'M 1 Sa

Fermât à .Mersenne D.M i35

Descartes a .Mersenne D i38

Billet ajouté à la lettre précédente D 146

Uoberval à Format V 147

Fermât à Mersenne M 1 )2

.Méthode de maximis et miniinis expli-
quée et envoyée par M. Fermât à

M. Descartes M 1 54

Descartes à Fermât '. . D i63

Fermai à .Mersenne .M 164

Descartes à Fermât D 167

F'crmat à Mersenne M 169

Format à Mersenne M 176

Fermai à Mersenne M 179

Frenicle à Mersenne M 1B2

Fermai à Mersenne VM 186

Post-scriptum qui parait apparlenir à une
lettre antérieure de Fermai à Mer-
senne V igi

Format à .Mersenne (fraginiMit ) M 194

Fermai à Mersenne '. . . V iqd

Uoberval à Format V 199

Fermai à Uoberval V 202

Format à Frenicle (fragment) M 2o5

Fermai à Frenicle V 206

Fermai à Mersenne JI 212

Fermai à Mersenne M 218

Fermai à Mersenne M 220

Fermai à Frenicle (extrait) AI 221

Frenicle à Fermai V 22(1

Frenicle à Fermai V 232

Fermai à .Mersenne M 243

Format à Mersenne M 245

TABLE DES MATIERES.

LUI.

<■>

i64'l

LIV.

27 janvier?

))

LV.

16 février

»

LVI.

7 avril

»

LVU.

•?

)}

LVIII.

3i mai

»

UX.

août?

))

LX.

1 septembre

»

LXI.

•7

i64i

LXII.

'?

1646

LXIII.

4 juin

1648

LXIV.

9 juin

»

LXV.

iS août

))

LXVI.

» »

M

LXVII.

LXVIII.

■>,o août

iGdo.

LXIX.

■ï"

1654.

LXX.

29 juillet

))

LXXI.

9 août

))

LXXII.

24 aoiU

)}

LXXlll.

29 août

1)

LXXIV.

25 septembre

))

LXXV.

27 octobre

»

LXXVI.

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i656.

LXXVII.

juin

11

LXXVH bl.s:

G juillet

»

LXXVIIl.

28 septembre

»

LXXIX.

3 janvier

■ 657

LXXX.

fé\ rier?

»

LXXXI.

février?

»

LXXXI /hs.

mars

))

LXXXII.

20 avril

i)

LXXXIII.

6 juin

11

LXXXIV.

I 5 août

»

LXXXV.

u 1)

"

LXXXVI.

août

»

LXXXVII.

5 décembre

)>

LXXXVIII.

12 décembre

..

LXXXIX.

1 3 février

lOiS

xc.

3 mars

»

XG bis.

10 mars

»

P.nfte5

Fermât à Carcavi V 24;

Format à Morsonne M 249

Fermât à Alersenne M 261

Fermât à Mersenne M 253

Fragment d'une lettre de Fermât à .Mer-
senne ou à Frenicle M 256

Format à Saint-Martin (?): fragment M 238

Fermât à Mersenne M 260

Fermât à Mersenne M 262

Fermât à Carcavi V 263

Fermât à Gassendi V 267

Format à Jlersenne; fragment M 277

Fermât à Séguier M 278

Fermât à Cureau de la Chambre M 279

Note de Format jointe à la lettre précé-
dente M 280

Fermât à Mersenne ou Auzout (?); IVag-

ment D 282

Fermai à Carcavi M 284

Fermât à Pascal P 288

Pascal à Fermai V 289

Fermât à Carcavi P 299

Pascal à Fermât V 3oo

Fermât à Pascal P 3o7

Fermât à Pascal P 3 m

Pascal à Fermai P 3 1 4

Fermât à Carcavi (Iraduiiion d'une lettre

latine I M 3i5

Fermât à Carcavi (extrait) H 32o

Huygens à Carcavi (extrait) H 322

Carcavi à Huygens (extrait) II 328

Premier défi de Format aux mathémati-
ciens V 332

Format à Froniclo; fragment W 333

Second défi de Format aux mathémati-
ciens V 334

Boulliau à Fermât M 336

Fermât à Digby V 337

Fermât A Digby V 34i

Fermât à Digby V 342

Remarques sur VJrit/imétiqiie dex infinis

du S. J. Wallis (FermalàDigby).... V 347

Fermai à Cureau de la Chambre D 354

Digby à Fermât V 35g

Digby à Fermât V 36i

Digby à Fermât V 363

Format à Clerselier D 365

Fermai à Clerselier D 367

YIII

TA RLE DES MATIERES.

Pages

XCI. 7 avril lOJS. Kermal à Digby W 074

XC.ll. 1 5 mai » Digby à Fermai V 379

XCUI. i5 mai » (Uersolicr i\ t'crmat f) SS».

XCIV. 1 "> mai » RiHloximis ou projet do réponse à la lollre

de M. de Keniial cpii coiUiciil ses ob-
jeelions sur la Dioplrique do .M. Des-
caries, par M. Rohault 0 39 1

XCV. 2 juin » Fermât à Clerselior 1) 397

XCVI. juin? » Fermât à Digby VV 4o'.

XC.VIl. i(')juiii » Fermai à Clersolier D 408

XCVUI. M juillet » Lalouvère à Format Drdicace 4i3

XCIX. il aoiU » Clerselier à Fermât D 4 '4

C. 1 6 février iGâcj. Fermât à Carcavi P 43o

CI. août » Relation des nouvelles découvertes en la

science des nombres (Fermât à Car-
cavi) H 43i

ai. 26 août » Fermât à Billy M 436

cm. août? » Fermât à Carcavi (extrait) H 438

CIV. seittembre? » Format à Carcavi (extrait) Il 441

CV. février iGGo. Fermât à Carcavi (extrait) II 44 J

CVI. juin'? » Fermât à Carcavi (extrait) M 446

C\ll. >5 juillet i> Fermât à Pascal P 45o

CVIU. 10 août » Pascal à Fermât V 43o

CIX. décembre « Fermât à Huygens II 452

ex. ? iCiiVi. Fermât à Carcavi (extrait ) H 4^4

CXI. 1 3 décembre » Fermât à Séguier M 455

(;XII. 1 janvier tGG-2. Format à Curean de la Chambre D 457

CXIII. Ornai u Clerselier à Format D 464

CXIV. 13 mai » Clerselier à Fermât D 47'-

CXV. 21 mai » Fermât à Clerselier D 482

CXVl. ? r664. Fermât a M. do*** V 485

CXVII. ? " Démonstration dont il est parlé dans la

lettre précédente V 489

CXVIII. ? » Saporta à Fermai Dédicace 496

Variantes et notes critiques 5oi

Errata 5 14

FIN DE H TABLE DES MATIERES DU TOME DEUXIEME.

AVERTISSEMENT.

Dans le premier Volume de cette édition {Ai'ertissement, p. xxxiii), nous
en avions annoncé deux suivants pour la Correspondance de Fermât, tandis
que nous avons réuni en un seul Tome toutes les pièces connues de cette
correspondance, en dehors de celles que leur caractère nous avait déjà fait
jinblier dans les OEu^-res diveisex ou dans leur Appendice: il a en effet été
jugé préférable, contrairement à notre i)lan primitif, de laisser en dehors,
ou plutôt de réserver pour les Volumes du Complément en préparation, les
diverses lettres adressées par exemple à Mersenne par Descaries, ou à Digby
par Wallis ou Brouncker, et qui ont dû être communiquées à Fermât sur le
désir formel ou sous l'aveu tacite de leurs auteurs. Nous n'avons donc admis,
en principe, que les lettres écrites par Fermât ou directement adressées à
lui; nous n'avons fait d'exception (jue : i" pour les deux lettres de Descartes
à Mersenne (n°* 25 et 27) qu'il est indispensable d'avoir sous les yeux afm
de comprendre les polémiques relatives à la dioplrique et à la méthode des
tangentes; 2° pour une lettre de Frenicle à Mersenne (n" 38) qui était iné-
dite et a été l'origine des relations entre Fermât et Frenicle; 3° pour deux
lettres échangées entre (^arcavi et Huygens (n"' 77 bis et 78), qui comblent
en partie de regrettables lacunes de la correspondance entre Pascal et Fermât
sur les probabilités. Enfin, comme indications relatives aux nombreuses
lettres perdues de Fermât, nous nous sommes, dans le présent Volume,
bornés à quelques notes et à quatre Extraits de V Harmonie universelle de
Mersenne annexés aux lettres n"' 2, 3 et 4.

N'ayant pas à revenir sur les ([uestions relatives aux sources utilisées
pour notre i)ubiication, nous pouvons nous borner aujourd'hui à quelques
remarques louchant les dispositions typographiques et l'orthographe que
nous avons adoptées.

Dans le but de faciliter les renvois pour les trois index (des noms propres,
de la langue mathématique de Fermât, des matières) qui seront insérés dans
le Complément, après la traduction des Œuvres latines, nous avons sub-

X AVERTISSEMENT.

divisé les lettres, d'aïuès les sujets traités, eu |)aiaf;rai)iies luiiuérotés par
(les ehilïres gras (égyptiens), que leur foruie distingue nettement de ceux
qui sont euipruntés aux sources.

De même ([ue dans le premier ^'oluule, nous avons cherché avant tout la
commodité de la lecture; nous avons donc, sans aucun scrupule, multiplié
les alinéas et conformé la pond nation aux habitudes modernes.

Pour l'orthographe française ('), nous avons en principe adopté celle du
xviii" siècle, sauf à conserver les formes constamment usitées du temps de
Fermai pour les mots techniques, comme méchanique, (juarré; en dehors
de la question de commodité, nous étions forcément conduits ii cette solu-
tion, par suite de l'impossibilité absolue où l'on se trouve de reconstituer la
véritable orlliographe de Fermât.

On possède de Descartes, par e\em[>le, assez de lettres autographes pour
qu'il soit possible aujourd'hui de publier son énorme correspondance avec
un texte conforme à lk)rthograplie rationnelle (^) qu'il adopta vers l'âge de
quarante ans et qui est plus ou moins défigurée dans l'édition de Clerselier;
mais pour Fermât, il fallait renoncer à toute tentative analogue. Il nous reste
en tout de lui huit autographes en français (la dédicace à Carcavi, publiée dans
l'Avertissement du i)remier Volume, pages xix-xx, les ir* 64, 65, 66, 100, 102,
109, 111 de la Correspondance); deux seulement, 66 et 102, dépassent la pro-
portion de simples billets, et leur ensemble nous permet tout au plus de
conjectui'cr (jue Fermât avait une orthographe personnelle dont on pourrait
marquer quelques traits (^), sans pouvoir affirmer qu'elle fût constante (*),
même en dehors des lapsus de plume, auxquels il semble avoir été quelque
peu sujet.

Nous avons, en tout cas, reproduit, sans les modilier, les autographes à

(') En ce qui concerne les textes latins, nous avons suivi les mêmes principes que
pour le premier Volume {voir l'Avertissement, page xxx).

(2) Nous pouvons ajouter « très réformatrice », d'autant que nombre de simplifications
qu'il avail Intvoduiles sont encore à réaliser, quoiqu'elles soient également réclamées par
l'étymologie et la prononciation. On peut prendre comme exemple l'orthographe usuelle
du mot môme auquel se rapporte cette noie.

(') Aucun z final ; le t final conservé au pluriel; la forme demender.

(') On trouve hoiieur et /loniieur, avance et advance dans des lettres différentes; dans
la môme, commis, mais comission et comissaire; il ne faut pas faire entrer en ligne de
compte dans une autre lettre, esgalité al égal (page 437). Dans le second mot, l'accent
peut avoir échappé à la plume; or, à cette époque, où en principe on accentuait seule-
ment les finales non muettes, <?, dans le corps des mots et surtout pour un texte manu-
scrit, n'est pas une forme orthographique réellement différente de e^; c'est une simple
abréviation dont l'usage est arbitraire.

AVERTISSEMENT. xi

notre disposition ('); quant aux ]iièces qui ne sont connues que par des
copies ou par l'édition des Varia, rortiiographe des sources ne présente
certainement aucune authenticité. Nous avons déjà dit, dans l'Avertissement
du premier Volume, que ceux qui ont copié au wir siècle les écrits de
Fermât, ne se sont lait aucun scrupule d'y introduire les notations algé-
briques cartésiennes; on ne peut supposer qu'ils aient respecté l'ortho-
Kraphe; Arbogast a également introduit la sienne dans les copies qu'il a
faites, do première ou de seconde main. Le texte des }'aria présente enfin
des formes spéciales (^), systématiquement adoptées et qu'on doit attribuer
à l'imprimeur beaucoup plutôt qu'à Samuel Fermât.

Dans ces conditions, nous avons jugé que la reproduclion des différences
purement orlliographi([ues entre les sources et notre édition serait sans
intérêt véritable pour le texte français (') et qu'elle aurait au contraire le
grave inconvénient île rendre excessivement pénible l'étude des variantes
qui concernent soit le sens soit la forme littéraire. Nous nous sommes donc
limités à ces dernières, que nous avons relevées aussi scrupuleusement que
possible.

De nous deux, M. l'aul Tannery s'est plus spécialement chargé de soigner

(') Dans le n° 109, déjà public avec rorlliO£;raplie de Fermât dans la Cùrrcspandaiice
de Hitygcus, el dont nous n'avons pu collalionner nous-mêmes l'original, nous avons
introduit les formes modernes; d'autre part, dans les lettres d'un intérêt scientifique,
pour ne pas compliquer inutilement la lecture, nous avons distingué 1'/ et le y, 1'^^ et le c.
Il suflil de ra]ipoler que, dans l'ortliographe ancienne, les différences de fiirure pour ces
lettres ne correspondent à aucune distinction entre la voyelle et la consonne. La forme y
sert couramment pour les majuscules manuscrites, arbitrairement pour les minuscules
finales; Fermai ne parait pas avoir eu l'habitude de l'employer dans ce dernier cas. La
forme i' est régulièrement usitée, dans les textes manuscrits et imprimés, pour les majus-
cules el les initiales minuscules, la forme u pour les médianes el finales minuscules; dans
l'écriture do Fermât, ces doux foi'mes se distinguent très difficilement.

(■-) Dans cette édition, la reforme de l'orthographe est déjà très avancée; 1'/ cl le y, Va
et le i' sont distingués; \'s mucllo est remplacée par un accent, sauf dans le verbe être el
dans quelques autres mots particuliers; on doit noter oint pour oient, dans les finales des
verbes.

C) Nous avions entrei>ris une étude spéciale des formes orthographiques des Varia.
dans l'espérance que les différences qui existent d'une lettre à l'autre pourraient per-
mettre de distinguer diverses provenances entre les copies utilisées par Samuel F'ermai;
par exemple, si les lettres de Fermai à Mersenne formaient deux groupes d'orthographe
distincte, on devrait en conclure qu'elles proviennent de deux collections différentes. Nos
recherches n'ont pas abouti; les formes que l'on peut considérer comme propres aux
sources des J'nria sont relativement rares; l'édition est trop incorrecte cl les différences
orthographiques trop fréquentes dans une même lettre pour que l'on puisse déduire des
conclusions certaines.

Ml AVERTISSEMENT.

lï'dilion des lettres des années i636 à i64j; M. Charles Henry do celles des
années i646 à 1664.

Il nous reste îi signaler les quelques différences que présente le classement
dos pièces de la correspondance conlenuc dans ce Volume avec la liste cliro-
nolojjiqiie publiée dans le Ihdlelin des Sciences mathématiques de juin 1890
cl encarlée dans le Tome premier :

1° L'ordre des lettres 24. et 25 de la IJste a été interverti; la seconde
lellre de Fermât à Mersenne sur la Diojitrique a été en effet écrite avant
la première lettre de Descartes sur la méthode des tangentes {voir ci-après
page 116, note).

a" La lettre 28 de la Liste, reconnue comme antérieure à la lettre 2G, a
pris le n" 23 bis, et a été remplacée par le Billet publié par (]lcrselier comme
annexe à la lettre 27. 11 y a des motifs pour croire que ce Billet n'a pas été
réellement envoyé à Mersenne avec la lettre en question.

3" La pièce 38 de la Liste a pris le n° 38 bis, pour faire place à la lettre
inédite de Frenicle à Mersenne que nous avons trouvée dans un Volume de
la Corresi)ondance de Mersenne, faisant partie du fonds Libri-Ashburuham;
celte découverte nous a induits à penser que le Post-scriptum de la lettre 38 bis
est en réalité d'une date antérieure à cette Lettre; mais cette conjecture ne
nous a pas paru suffisamment établie pour que nous détachions ce Post-
scriptum et en fassions une pièce à part.

4" La lettre de Huygens à Carcavi du 6 juillet i656, publiée dans la Corres-
pondance de Huygens, a été introduite sous le n" 77 bis.

5" La lettre inédite de Boulliau à Fermai a été introduite sous le n" 81 bis.
Nous adressons tous nos remerciements à M. Lucien Auvray, de la Biblio-
ihèfiue nationale, qui a bien voulu nous la signaler.

6° Les deux lettres de Fermât renfermées dans la pièce 90 de la Liste ont
été désignées sous les n"* 90 et 90 bis.

En résumé, depuis la publication du Tome premier de cette édition, notre
recueil de la Correspondance de Fermai a été augmenté de deux pièces iné-
dites; nous renouvellerons, avec le ferme espoir d'être entendus, l'appel que
nous avons déjà fait aux savants et aux amis de la Science qui pourraient
nous fournir de nouveaux documents à utiliser dans le Complément de celte
édition.

CORRESPONDANCE DE FERMAT.

l'i.OM \T. — II.

CORRESPONDANCE DE FERMAT.

ANNÉE 1636.

I.
FERMAT A MERSENNE.

SAMEDI 26 AVBII. 1036.

(A 1" lo-ii; B !'• iv°-i6.)

]\1(IN RlCVÉREM) PkUE,

1. Je VOUS rcsio beaucoup obligé de la faveur que vous me failes
espérer de conférer par lellres ('), et n'est pas une des moindres oltli-
galions que j'aie à M. de C.arcavi qui nie l'a procurée. .le suis marri de
ce que sans doute ma réponse aux points de votre Lcllre ne vous satis-
fera pas, mais j'aime mieux paroitre ignorant en vous répondant mal,
qu'indiscret en ne vous répondant point du tout.

2. .l'ai toujours cru qu'il étoit bien malaisé de secouer et détruire
les principes dos Sciences, car, étant fondés sur l'expérience labo-
rieuse de ceux qui les ont recherchés, il semble qu'il est bien malaisé
d'en faire de plus précises, et il est encore plus inutile d'appeler la
raison au secours des sens, puisque, dans ses opérations, elle présup-
pose toujours celles des sens exactes et véritables.

( • ) Il est clair que celle Leltre est la première que Fermai ail écrilo à Mersennc, en
répondant d'ailleurs à une Lettre do ce dernier, qui est perdue.

i ŒIVIJKS l)i: IKUMVI. - CORRESPONDANCE.

3. Di' sorlo (]ii(\ par mon sciiliincnl cl par cos raisons, j'csliiiic (pTil
seroit bioii malaist' de (roiiver une proporlioii dinV-renle de la double
(|iii l'il l'octavo plus exactement que celle-là. Je vous avoue bien (|nil
y en a iutinies, qui effectivement feront des accords différents et des-
quels néanmoins la différence ne sera pas comprise par l'ouïe la plus
délicate qui puisse être; et de là on pourroit conclui-e que peut-être
la vraie octave ne consiste pas précisément en la proportion double.
Mais, puisque, en ce principe que les Anciens nous ont baillé, nous
n'avons jusquesà présent su découvrir d'erreur sensible, rendons-leur
ce respect de le croire véritable, jusques à ce que le contraire nous ait
apparu.

4. Peul-èlre que, comme on a trouvé des lunettes qui rendent vi-
sibles les choses qui ne l'étoient pas auparavant, et qui nous font con-
noilre les différences les plus menues et les plus subtiles, on trouvera
(|uelquc instrument qui fera tomber les sons les plus proches sous des
dillerences remarquables et sensibles à l'ouïe.

5. Or, de chercher par raison pourquoi l'octave est en proportion
double, c'est, ce me semble, traiter des choses hétérogènes : le son de
l'octave est l'accident et la qualité de la proportion double qui consiste
en quantité. La proportion se comprend par la vue ; l'accord qu'elle
fait, par l'ouïe; et ainsi il semble qu'on ne sauroit assigner une raison
nécessaire pourquoi est-ce que l'un convient à l'autre. Car, comme
vous savez, les raisons démonstratives s'arrêtent toujours entre des su-
jets homogènes. De sorte qu'il vaut mieux laisser décider aux sens
toutes les questions de votre Lettre, que d'altérer des maximes reçues
et qu'on ne sauroit convaincre de faux.

6 11 y a bien quelque chose sur quoi peut-être je pourrois vous
donner des raisons plus précises, mais ce sera une autre fois. Je me
contenterai cependant de vous avoir fait voir les effets de mon obéis-
sance, bien qu'ils me soient désavantageux.

1- Vous m'obligerez beaucoup de me faire savoir si M. de Beau-
grand est à Paris. C'est un homme duquel je fais une estime très sin-

I. — -20 AVRIL 163G. o

gulière ; il a l'esprit merveilleusement inventif, et je crois que sa
Géostatique (') sera quelque chose de fort excellent. Je lui écrirai dès
que vous m'aurez donné de ses nouvelles.

8. Je serai aussi bien aise d'apprendre par votre moyen tous les
Traités ou Livres nouveaux de Mathématiques qui ont paru depuis
cinq ou six ans.

9. Je vous envolerai Vhélice (-) que vous me demandez, par la pre-
mière commodité.

10. Et vous dirai cependant que j'ai rétabli entièrement le Traité
d'Apollonius : De locis planis (^). II y a six ans que je donnai ii M. Pra-
des, que peut-être vous connoissez, la seule copie que j'en avois,
écrite de ma main. Il est vrai que la question la plus difficile et la plus
belle, que je n'avois pas encore trouvée, y manquoit. Maintenant le
Traité est de tous points accompli, et je vous puis assurer qu'en toute
la Géométrie, il n'y a rien de comparable à ces propositions. J'en ai
l'ait voir quelqu'une ii M. de Beaugrand.

11. J'ai trouvé aussi beaucoup de sortes d'analyses pour divers pro-
blèmes tant numériques que géométriques, à la solution desquels
l'analyse de Viëtc n'eût su suffire.

De tout cela, je vous en ferai part quand vous voudrez, et ce sans
nulle ambition, de laquelle je suis plus exempt et plus éloigné que
tous les hommes du monde.

12. Je voudrois pourtant qu'il vous plût, sans me nommer, proposer
aux plus habiles de delà les deux questions suivantes à soudrc, pour

(') Joannis | de Beaugrand ] Régi Francire Domui | Uegnoquo ac œrario | sanctiori a
consiliis secretisque i Geostatico | sou | do vario pondère gravium | seeundum varia a
lerree < centro > | intervalla | Dissertatio raathematica 1 . — Apud Tussanum Du Bray.
via I Jacobaea, sub Spicis maturis | M. DC. XXX. VI. — (Bibl. Nat., V 122, f°). — La dé-
dicace, à Riclielieu, est datée du 20 avril iG36.

{-) Foir ci-après Lettre III, 3.

(') /'bi> Tome I, pages 3 à 5i. — Il semble (]ue la proposition que Fermât n'a trouvée
qu'en dernier lieu soit la septième du Livre I (T. I, p. 24); il avait en effet achevé le
Livre II dès 1629. Voir ci-après Lettre XXI, .3.

G ŒUVHES 1)E FEU.MAT. - COIiUESl'ONDANCK.

Cl- (|ii(' It'iii' siiliilidii lU'poiul crime méthode particiilii'ro que j'ai trou-
vci', (le la(|Uollo je ne ferai plus tanld'éla(, si vous (loiivez (|iiel(jii'iiii
(|iii les puisse soudre géomélriquemenl (').

l'ui.MA. — Dalœ sphœrœ inscnbcre coniim reclti/n oinnimn iiisnihcndo-
ruin ivulntu maximum.

Secinda idem proponit de cylindro quod superior de cono.

.le lie prcliMids pas par là vous exclui'e du nouibre de ceux (jui eher-

oluToul la soluliou de ces deux questions.

J'allends de vos nouvelles et suis, mon Révérend Père, votre très

iuinihle serviteur.

Fermât.

A Toulouse, ce '26 a\ril iG3G.

II.

PROPOSITIO GEOSTATICA

DoMiM DE l^'EliMAT ("-).
< MAI 1G36 >

{l-a., p. .',3-1',',.)

1. Sit ceiilnun Tcrrœ B (fig. i), semidiameter BA, portio allcriits semi-
diamelri ]iC et fiai

(il \V> ad !?(!, it(t pondus appcnsii m in C ad [londiis appensiun in A :

Fi-. ■.

e — G)

c A

Aio puiulcra A, K\ non nuneri, sed Jicri œquilibrium.

C) f'oir Tome I : la solution analytique de la première de ces deux questions,
pages lij et suiv ; la solution géométrique de la seconde, envoyée à Mersenne le 10 no-
vembre i6j2, pages 167 et suiv.

1') Celte proposition a été envoyée par Fermai à Carcavi ( roi/- ci-a[)rès Lettre VI. 2)

II. — MAI 1636. 7

Hœc autcm propositio probatii est facillima, vesligiis Archiinedis ( ' )
insistendo, et, si ncgelur, statim demonstrabitur.

2. Hoc supposito, propositionem sane mirabilem inde deduciimis :
Ponalut grave in piuicto N (tig. 2) inter puncla A et B, cl Jîal
ut AB ad BN, ita pondus N ad polentiani. R :
A io pondus N, j'unclo axe AN, a potentia R m puncto A coUocata dcti-

Fig 2.

B 0 ^.,

N

/ic/V £'^, .y< minimum augeatur potentia R, sursum tolli, ideoquc (pià prn-
pius pondus accedit ad centrum Terrœ, minorem potentiani ad toUendum
illud requin.

Haec est, ni fallor, propositio quam Beaiigrandus (-) in sua Goosta-
tica demonstrat; nos eam hac ratione, quœ seqnitnr, demonstramus.

dans une lettre perdue, où il le priait sans doute de la communiquer à Jtersenne. Fermai
l'avait composée avant d'avoir pris connaissance de la Géostatique do Beaugrand, par con-
séquent avant la lettre suivante, du 3 juin iG3G {voir ci-a]irès III, 5).

Mersenno en a inséré dans son Harmonie universelle une traduction assez fidèle, cpie
nous reproduisons ci-après (IIa). Elle permet de constater une confusion dans les Varia,
où les trois premiers articles sont rattachés à la pièce V ci-après, et où le titre du mor-
ceau est inséré après l'énoncé même de la proposition, c'est-à-dire avant l'article 3 : Sup-
positis et coiicessis etc.

(') Si l'on compare la marche que suit Archimède {De planorum nv/uililirHx, I) pour
démontrer le princii)e d'équilibre de la balance, on reconnaît que Fermât admet en fait
comme postulats :

1° Que la direction de la gravité passe constamment piK un point déterminé hors du corps
pesant, à savoir par le centre de la Terre;

■j.° Que le point d'application de la gravité (au moins pour un corps sphcrique homo-
gène) est un point déterminé de la figure du corps pesant;

3° Que l'effet statique de la gravité, pour un corps déterminé, dépend uniquement de la
distance de son centre de gravité au centre de la Terre.

Fermât ne suppose pas d'ailleurs que la gravité s'exerce en dehors de la sphère ter-
restre ; dans ces limites, ses postulats concordent avec l'hypothèse newtonienne, si l'on
considère la gravité comme la résultante de l'attraction d'une sphère composée de couches
concentriques et homogènes sur un point matériel situé à son intérieur.

(2) Voir la Lettre I, 7. La Géostatique de Beaugrand a pour objet de démontrer que la
gravité (supposée seulement à l'intérieur de la sphère terrestre) varie, pour un même

s ŒUVRES DE FERMAT. ^ CORRESPONDANCE.

3. Sii[)[)ositis l'I coiu'i'ssis (niil)iis in domonstratione ulimur, ex
pni'ciHlonlo propositionc et ex coinmunihiis notionibus desuinplis, sil
«•eiilnim Terra' C {Jig. 3), semidiameter CA in qua sumatur puiidum

Fi-. 3.

■■^ — '- — e e— -^

15. In pnncio anloni B sit qiiodvis grave appensuni; iiat aulein

ut recta CA ad reclam CB,
ila pondus in R appcnsnm ad potcntiani aliqnani, ul R.

Aio grave 1? a pnlentia Rin puncto Asustineri et, si augeatur quantum-
liliet polentia R, pondus B ah luijusmodi aucta potenlia in {tane(o A
colloeala snrsum moveri.

Producalur enim Ad in D, et sil CD tequalis CB, et in D eollocetur
pondus ponderi B îvquàle. Corporis igilur ex duobus gravibus B et D
compositi ccntrum gravitatis est C, ideoque, si a puncto A auferalur

corps, pnipoi-tloiincllomeiit à la dislance do son contre de gravité au centre do la Terre.
C'est donc, en fait, la mémo thèse que celle de l'armât, quoique ce dernier établisse une
distinction assez subtile {voir ci-après Lettre IV, 1). Mais la démonstration do Beaugrand
est absolument manquôe comme fond et comme forme, et elle donnera lieu, dans la cor-
respondance entre Mersenne et Doscurtes, à de fré(iuenles railleries de ce dernier contre
le i^eostaliclcii.

(;etle démonstration revient en fait à admettre que, si un corps pesant est suspendu
par un fil sans gravité à l'extrémité d'un levier parallèle à l'horizon et maintenu d'ailleurs
en équilibre, cet équilibre ne sera jamais détruit, quand môme on allongerait, autant que
l'on voudra, le fd do suspension supposé dirigé vers le centre de la Terre.

1,'crreur d'une pareille thèse est aisée à reconnaître; mais il convient d'observer qu'à la
date où nous sjmmes, les principes de la Slati(pie ne sont nullement établis; on est môme
à ])eine d'accord sur les conditions d'équilibre du levier actionné par des forces parallèles,
car la question qui s'agite est précisément de savoir si les postulats d'origine expérimen-
tale sur lesquels repose la théorie d'Archimèdo sont vrais en prenant les forces de gra-
vité concourantes, ainsi qu'elles le sont on réalité, ou en los supposant parallèles, avec le
géomètre do Syracuse. Beaugrand admet la première alternative jusque dans ses consé-
quences évidemment erronées; Format suit la môme voie, mais avec une prudence très
caractéristique. Hobcrval défendra l'hypothèse d'Archimède {ci-après Lettres VIII, XIV) ;
mais Galilée et Castelli, quoique déjà en possession, comme Roberval, du principe de
l'équilibre du levier actionné par des forces concourantes, n'en ont pas moins pris en sé-
rieuse considération les conclusions de Beaugrand et les propositions de Fermât {voir ci-
après, Pièce V, note 6).

II. - MAI 1636. !)

potentia R, quum recta BA niliil ponderet, crunt pondéra B et D in
œquilibrio et manebunt.

Si autem in A collocetur pondus deorsum tendens, potentiae R sur-
sum moventi a^qnale, idem est ac si a puncto A dematur potentia R;
nam, quantum potentia tollit, tantumdem pondus deprimit. Collocetur
igilur hujusmodi pondus in A : corpus igitur compositum ex potentia
R collocata in A et sursum niovente, ex pondère A deorsum tendente
et ex gravibus B et D, erit in aequilibrio aut, si mavis, non move-
bitur.

Quum autem grave D sit aequale gravi B, et recta CD rectse CB, erit

ut AC iul CL), ila AC ail CB,
et

ut pondus 15 ad potentiam R iti A coIlocaVam,

ila [joiidus I) ad pondus in A deorsum tendens,

r|uo(l ipsi R potentiœ sequale posuimns. Est autem, ex bypothesi,

ul lecla A(; ad Œ, ila pondus B ad polenliam B in A collocalani :

erit igilur

ut A(^ ad Cl), ila [loiitlus I) ad pondus in A deorsum lendens.

Quum igitur distantia* ponderibus sint reciproce proportionales,
pondus iii A deorsum tendens ponderi D a'quiponderabit; si vero ab
a'quiponderanlibus «quiponderanlia auferantiir, reiiqua aequiponde-
rai)unl : crgo, si ab 3equilii)rio ex potentia R in A collocata et sursum
movente, ex pondère in A deorsum tendente et ponderibus B et D com-
posito, auferatur sequilibrium ex ponderibus A et D compositum, reii-
qua îçquiponderabunt aut potins non movebuntur.

Auferantur igitur pondus A et pondus l); remanebit potentia R, in A
collocata, et pondus B, qiiod proindc potentia R detinebit. ideoque, si
minimà augealiir vi, sursum (idlif. Quod erat demonstrandum.

l'tnM.vT. — n.

10 ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE.

Ha.

.Mkrsexne. Scrnnde Partir de lHavmotiic ITiik'crsellc (iTvîj), livro VIIl :
Oo riililito (io l'ilarmiiuic. |)iii|). wiii, pages Gi cX suiv. ( ' ).

. . . Or, ]iuis(|iii' Monsioiii' l'ennal, Conseillci' au Parleiiiont de Tliolosc l'i
Iri's-oxrollciil (ioomèlro, m'a (ioiiiH' lo l'aisonncincnt qu'il a t'ait sur les liitTé-
reiiles i)esanteurs des poids, suivant (|u'ils approchcnl davantage du centre...,
je veux faire part au public de ses pensées sur ce sujet.

Soit donc le centre de la Terre dans la ligne (lroit(> VC (/'A'- i), an point 15;

G — ^ O

le ilcnii-ilianièire HV; et RC soit luie [loinion de l'antre denii-dianiéire. El
([lie le poids attaché au point C soit au jioids attaché au point A comme AR
à Rt; : j(> dis (|ne les poids A, C seront en éf|uilihre. Ceci élanl posé, il en
déduit la conclusion précédente, à savoir ipie la pesanteur d'un corps est

d'aulanl moindre qu'il s'ap|iroclie davantage du centre de la Terre Je

mets ici le raisonnement entier de Monsieur l'ermat.
Soit donc mis le poids entre A et l> au |)oint N {Jli;. 2); et connue A<li>

Fig. 2.
B 0 ^>a

est à BN, ainsi soit le poids N à la puissance R : je dis que le poids N, joint
à A par la ligne NA {"-), est détenu par la puissance R mise au point A, et
que si l'on augmente tant soit peu la ])uissance R, elle l'enlèvera; i)ar consé-
(|uent, il faut une puissance d'autant moindre pour l'enlever, ((u'il api)roche
davantage du centre de la Terre.
Ce qu'il démontre en celte façon : Que C {fig- 3) soit le centre de la Terre,

Fig. 3.

Cy-^ e '

->K

le dcmi-dianiétre (3A, auquel soit pris le point R, dans lequel le poids attaché
soit à la (niissance R comme AC à (]R : je dis que le poids B est soutenu ])ar

( '; Fuir la noie 2 de la page G, second alinéa.
(2) joint à BA par la ligne BA Mersennc.

III. — 3 JUIN 1636. 11

l;i [iiiissance H mise en A, laquelle l'enlèvera, pour peu qu'on l'augmenle.
(]ar soil prolongé AC jusques à D, el que CD soit égal à CB, et que l'on nietle
un poids en D égal au poids B, C sera le centre de pesanteur du corps com-
posé des deux poids B et D; c'est pourquoi, si du point A l'on ôte la puis-
sance R, les poids B et D demein'eront en équilibre, iHiis(|ue la ligne HA ne
pèse point. Et si l'on met le poids en A qui tende en bas, égal à la puis-
sance Il qui tend en haut, l'on (ait la même chose que si du point A l'on ôluil
la puissance R, puisque le poids abaisse autant comme la puissance enlève.

Oue ce poids soit donc mis en A; donc le corps comijosé de la puissance It
posée en A el tendant en haut, du poids A tendant en bas, el des poiils lî
et I), demeurera en équilibre. Or puisque le poids D esl égal au poitls B, el
(|ue la ligne CD est égale à la ligue CB, AC est à CB comme AC à Cl) ; el comme
le poids B est à la puissance R mise en A, ainsi le poids D au poids mis en A
(]ui tend eu bas (lequel on suppose égal à la puissance R). Or, comme Af] esl
à (]B, ainsi le poids B à la puissance R posée en A; donc, comme AC à Cl),
ainsi le poids D au poids mis en A. Et par conséquent le poids mis en A sera
en équilibre avec le poids D, puisque les distances sont en proportion réci-
piofpie des poids. Mais si l'on ôte des poids qui sont équilibres, d'autres
poids (|ui sont aussi en équilibre, ceux qui resteront demeureront aussi en
l'quililiie; donc si, de l'équilibre fait de la puissance R mise en A el tendant
en haut, du poids mis en A tendant en bas, et des poids B et D, l'on ôte
l'équilibre l'ail des jioids A et I), les |ioidsqui resteront demeui'eront en équi-
libre.

Soient donc ùlés les poids A et I), la puissance R mise en A et le [loiils I!
demeureront en équilibre, et partant, pour peu que l'on augmente la pui>-
sance R, elle enlèvera le poids B : ce qu'il falloit démontrer.

ni.

FERMAT A MERSENiNE.

MAiiDi 3 jriN i63(j.

Mon Hi:vi:iu:.M) Pèisi:,

1- J'ai reçu votre letlre avec satisfaction, puisqu'elle contient des
remarques et des expériences très singulières : j'en ferai l'estime que
je dois et de tout ce qui me viendra de votre [)art.

12 ŒUVRES DE FEKMAT. — CORRESPONDANCE.

2. Je n'ai [tiiiiil vu de livn> de musique plus nouveau de vous (|ue
celui tiue vous appelez (Jiws/io/ts li(in)iomques, ((ue j'ai, relié avee nu
autre reeueil de Questions et les Méchaniques de (ialihei ( ' ).

3- Si la denioiistratiou de la proposition de l'hélice ('- ) u'étoil pas
de grand discours et d(> grande rechereiie, je vous l'envoierois présen-

(') Il a paru, en i(i'3|, ilcii\ Volumes diffôroiils do Questinns ilu y. Mersonne. Ions de\i\
polit iii-oi'lavo.

Le premier — A Paris, chez laques Villery, rue C lopin à l'Escu de France, et au coin
de la rue Daiiphine aux trois Perruques, M.DC.XXXIHI. Avec Privilège du Boy. —
Sans nom d'auteur (le privilège, du i4 août i('29, est délivré au U. P. M. R. M. ; l'achevé
d'imprimer est du i" décembre iG3'5) — eoulienl (Bibl. Nnl. Imprimés V '.uii, luvon-
tairo V 19^94/5) : 4 A

a) Questions iiiouyes, ou Récréation des scavans. Qui contiennent beaucoup de choses
concernantes la Théorie (Théologie?), la Philosophie, et les Mathématiques (180 pages);

h) Questions harmoniques. Dans lesquelles sont contenues plusieurs choses remar-
(piables pour la Physique, pour la Morale, et pour les autres Sciences (276 pages).

Le second — A Paris, clwz Henry Guetio/t, rue Sai/ict lacques, prés les lacohins, à
l'image Sainct Bernard M. DC. XXXIV. Avec Privilège et Approbation. — (Privilège
d'août 1G34, cpitrcs dédicaloires signées de Mcrscnne) — renferme (Bibl. Nat. Imprimés
V 2675, Inventaire V aSiSo/i/a) :

c) Les (Questions Tlioologiquos, Physiques, Morales et Mathématiques. Où chacun trou-
vera du contentement ou de l'exercice. Composées par L. P. M. (240 pages);

d) Les Méchaniques do Galilée Mathématicien et Ingénieur du Duc do Florence, Avec
Plusieurs Additions rares et nouvelles, utiles aux Architectes, Ingénieurs, Fonteniers,
Philosophes et Artisans. Traduites de l'Italien par L. P. M. M. (88 pages);

e) Les Préludes de l'Harmonie Universelle, ou Questions Curieuses, Utiles aux Prédi-
cateurs, aux Théologiens, aux Astrologues, aux Médecins et aux Philosophes. Composées
par L. P. iM. M. (224 pages).

C'est évidemment ce second volume que possède Fermât et c'est le dernier recueil (c )
qu'il désigne improprement sous le titre de Questions harmoniques.

(2) Foir Lettre I, 9. — L'envoi promis ici par Fermât ne se retrouve pas dans ses
Lettres à Mersenne, mais il fut fait avant le 4 novembre 16'ÎO {voir Lettre XV, 6), et
d'autre part, en rapprochant les extraits ci-après IIIa et IIIn des CEuvres de Mersenne.
on reconnaît aisément que ce dernier nous a conservé, dans le second de ces extraits,
une partie du travail de Fermât, suffisante pour que l'on puisse en apprécier toute l'im-
portance. On peut constater également que l'hélice dont parle Fermât dans ses Lettres I, 9,
et III, 3 n'est autre que colle qu'il désigne sous le nom à'hcli.v Galilei (et non Jialiani,
fausse leçon de Bossut) dans la Solution du prolilcme propose par Etienne Pascal ("ïomQX,
pages 73-74), pièce dont la date semble devoir être assignée en janvier ou février 1637.
Cette spirale de Galilée, nom probablement donné par Mersenne, peut être définie la
courbe décrite, relativement à la Terre supposée animée du mouvement de rotation
diurne, par un point matériel pesant tombant librement suivant la loi de Galilée. Le pro-
blème de cette trajectoire préoccupait particulièrement le savant Minime et, dès sa pre-
mière lettre à Fermât, il avait dû lui dmnander ses lumières sur cette question. — Il ne
parait pas douteux (|ue l'écrit p(M'du ait été rédigé en latin.

m. - 3 JUIN 1636. 13

Ipment; mais elle contiendra autant que deux des plus grands Traités
d'Archimède, de sorte que je vous demande un peu de loisir pour cela
et cependant vous la pouvez tenir pour très véritable.

4. .l'en dresserai un Traité exprès, oîi je vous ferai voir de nouvelles
hélices aussi admirables qu'on en puisse imaginer; pour vous en
donner l'avant-goût, en voici une, qui est peut-être cette ligne que
Ménélaùs appelle admirable dans le Pappus (^' ).

Esto hélix A>IB ( tlg. 4) '« circulo CNB, cujm ea sil proprietas ut,
ductâ qualihel rectù, rerbi gratia AMN, lola circuli circumferentia sil

FiK. 4.

ad ejiisdem circumferentiœ portionem NCB ;// AB quadratutn ad qua-
dratiun AM.

//( hoc autem hwc hélix differt ah hélice Archimedis (jund, in hélice
Archimedis, sil iil circumferentia ad portionem NCB, ita AB ad AiM.

l'ronunciainus : primo, spatium sub hélice et recta AB comprehensum
esse dimidium lolius circuli: deinde (qitœ est proprietas mirabilis), spa-
liuin ex prima revolulione ortum ( quod hic sit N) (tig. ')) esse dimidium

Fig. 5.

spalii M ex secunda revolulione orli; spatium vero (] ex terlia rcvolatione

( ' ) Popput, rv, 'ifi, édition Huitsch, page 370, 2G. — La supposition de Fermai est très
peu probable.

14 Œ u V K i: S I) !•: l' i: ii m \t. - c o u r e s p o n d a n c e.

oit uni esse œqitale spath .M, et oninid onuiino dcinccps spatia ex (jiiahhcl
iTKolutioiic oiia dirlo s/xi/io .M siinililiT esse (vqiHilia, idaupic et i nier se.

J(> crois que vous m'avouerez que ces reeherelies soiil belles, mais
j"ai si peu île eoinuiodile d'eu eeiiic les (léuu)us(ralious qui sont des
plus malaisées et des plus eiubarrassées do la Géométrie, (jue je tue
l'ouleule d'avoir ilecouvei'l la vérité et de savoir le umyeu de la prouver
lorsque j'aurai le loisir de le l'aire. Si je puis trouver quidijue oecasiou
d'aller jiasser (rois ou quatre mois ii Paris, je les emploierai à mettre
par éerit toutes uies uouvollos pensées en ces arts, à quoi je pourrai
sans doute être beaucoup aidé de vos soins.

5. .l'ai vu la Géostatùpœ de M. de Beaugrand (') et me suis étonné
d'abord d'avoir trouvé ma pensée diH'érente de la sieiiiu'; j'estime (|ue
vous l'aurez déjà remarqué. Je lui envoie t'ranchomcnt mon avis sur
sou livre, vous assurant ([ue j'eslinu' si fort son esprit et qu'il m'en a
donné de si grandes preuves, que j'ai peine ii nu' persuader qu'ayant
entrepris une opinion contraire à la sienne, je ue me sois éloigné de la
vérité; je consens pourtant qu'il soit mon juge et ne vous récuse pas
non plus. Et parce que j'ai écrit à la hâte la démonstration que je vous
envoyai et l'écrit que je lui envoie ( - ), je mettrai fout au net à loisir et
tâcherai même de trouver de nouvelles raisons pour soutenir mon ojti-
nioM, à laquelle pouilani je ne m'attacherai jamais par opiniâtreté dès
(|u'il me fera connoitre le contraire.

.le suis etc.

( ') l'oir Lellros I, 7, 11, 2.

(,') Écrit de Format perdu, cdiuiiic toute sa corrcspoudance avec Bcau^'rand. — La
démonstration envoyée à Merscnne n'est autre que la pièce précédente, II, ou peut-être
la rédaction en fraiirais de la même pièce, 11a. Cependant on no peut conclure du lani,'ai.'e
de Fermât ([ue l'envoi a été fait directement à Mersenne et que, par suite, il y aurait eu
une lettre perdue inlcrmédiairo entre 1 et III (voir Pièce II, note a de la page 6).

IIIa et IIIb. - 3 JUIN 1636. lo

IIIa.

MliitSKNNR, Seconde Partir de l'Htinnrinie Unk'emcUe (il'^j ), Nouvelles Observations
Pliysiqiios ol MatliéniatiqiH?s. Première OIjs. pasre 2 :

La seconde chose qu'il est à propos de remarquer appartient à la demie
circonférence dont je parle au même lieu (') : car, outre ce que j"ai montré
(le la ligne hélice, par la([uelle les ])oids descendent suivant l'imagination de
(ialilée, un excellent Géomètre a démontré les propriétés de celte hélice,
laquelle lui pourra servir d'occasion pour restituer le livre de Démétrius,
iz^o\ Ypaaa'.xwv ÈTnTTxdsojv, dont Pappus (-) a parlé dans le A- '• de ses Collec-
tions. Je dirai seidement qu'il y remarque (') une raison perpétuelle de i5
à 8 : ceux qui en voudront savoir un plus grand nombre de particularités, les
peuvent espérer de cet excellent personnage. Il a trouvé plusieurs autres
nouvelles hélices, dont l'une est peut-être l'admirable de Ménélai'is (M, de
laquelle le premier espace fait par la première révolution est sous double de
celui de la seconde; et néanmoins tous les autres espaces suivans produits
[)ar les autres révolutions sont égaux à celui de la seconde révolution et ()ar
conséquent égaux entre eux. Je laisse les autres propriétés, dont il donnera
la démonstration quand il lui plaira.

III...

Mersenxe, Cogitiilii Plirsicii-in/illienxitica (1O4I) — Hallistica, page "17-

1. Cùm (lalilseus existimare videretur lapidem (posità terra mohili et solis
motiim supplente) usque ad terraî centrum descendeutem moveri per semi-
circumferentiam. . . . de quà superius (») dictum est, demonstravit acutis-
simus Geometra i). Fermatius non esse descensum illum semicircularem,
sed helicem describere peculiarem, quae sil secunda inter sequentes, quem-
admodum prima est Archimedea.

( ' ) Livre II du Mouvement des Corps, prop. \\\, pages gS et suiv. — Galilée axait dit
( iHa.tsimi Sistemi, iG32, p. i56 suiv.) qu'il était probable qu'un corps, tombant sans em-
pêchement jusqu'au centre de la terre, décrirait, en tenant compte du mouvement de la
terre, une demi-circonférence. Mersenne réfutait cette opinion.

(2) Pappcs, IV, '56, édition Hultsch, page 270, 20.

{'■>) Foir ci-après la pièce IIIu, 2.

(1) T'oir Lettre III, 4.

(5) Page 5o des BalUnica de Mersenne.

lu

(Kl VUES l)K l'KHMAT. - COIUIESPON DANCE.

•2. Sil iijiliir lioliv AFB (//;,•. G) iiitia tirciilum ]U.\ descripta, ila ut sempcr
sil oniloin ratio ciiciiiiilereiilia^ \U.\ ad arciiiii 1!(', i|na' est liiica' \I$ ad F(;,
vol (|uailiali Mî ad (luadratuiu FC, vel iul)i AU ad cidiiiiii FC, vol cujiis-
luinquo altoiius polestatis (') AB ad siiniloin pdtoslaleiii FI',, régula geneialis

Fis. 6.

dalui, ijiià lalio rirculi BCX ad spaliuin lineà AB el helicibus AFB comprc-
lieiisum reperialur (-).

llîc appono octo hélices quarum majores iiumeri circuluni, minores lieliccm
ro le nuit :

1.

2.

3.

-i.

ri.

G.

T.

. 8-

">

r")

1-1

4-

3 5

t)i

Go

i3i

'

S

9

!î

y.'}

(i).

49

\ii<

3. Oiiilius placet addere demonstralinnem amici ('), qui demousliavil
liiieani descensùs gravium nou esse circularein , sufllciat aiiiiolas>-e

' ) Polenliio Mersenuc.

-) Mersennc a fait ici quelque confusion; les spirales qu'il \ionL de définir onl pour
r-quation polaire

celles auxquelles se rapportent les nombres qui suivent el dans lesquelles doit d'ailleurs
fleurer comme seconde (« = a ) la trajectoire étudiée par Format, ont. au contraire, pour
équation

R — P /

Fermai a sans doute considéré les doux classes; pour la seconde, le rapport de l'airo

/•? = " rfo) , , , i2R2 , •>.«'-
de la spirale / o^ — , au secteur de cercle correspoiidanl , est ■ ■ ;

• p 0

formule dans laquelle rentrent les nombres donnés par .Merscnne.

( ') La démonstration qui suit (en partie seulement) dans le texte de Mersennc ne peut
•Hre attribuée à Fermai.

IV. - 24 JUIN 1636. 17

lineani islam ciesccnsûs gravium rectam sub polis i'iUiirani; planam helicein
sub a;f|iialore; et in onnii alio loco solidam iiolicem super coiii isoscelis
superficie descriplam, cnjus basis est parallelus, à quo desceusus incipit, et
vertex ipsum terriB centrum.

4. Quam demonstrationem lil)euler postulantibus comniunicaljo, queniad-
uiodum aiiam elegantissiniam à D. Fermatio inventam et ad ipsum missam
(îalilaeuui ('), quà demonslrat spatium ab isla comprehensum hélice esse,
vel ad circuli seetorem, vel ad lolum cireulum c|uibus comprebenditur, ut 8
ad i5; quœ proportio roperitur similiter intra spatium à spiral! circa coni
superficiem descriptum et ipsam coni superficiem.

IV.
FERMAT A !\IERSENNE.

MARDI 24 JUIN l636. •

( l'a, p. 122-123.)

Mon Révèrent» Pèue,

1. Je suis marri de n'avoir pu vous l'aire précisémeul eouipreiidre
mes seulimeus touchant ma Proposition Géostatique (-); il est pourtant
vrai que je n'avois garde de la prendre au sens que vous avez cru, car
la seule raison que j'ai employée contre l'opinion de M. de Beaugrand,
c'a été celle-là même que j'ai trouvée dans votre Lettre, de sorte que je

(') Galilée répondit à cet envoi par une lettre du 1 5 jnin iG3S à Mersenne dont une
irnduetion française se trouve dans le MS. de la Bibl. Nat. fr. nouv. acq. 6204; dans celte
lettre, ['"ermat se trouve simplement désigné sous les termes : « votre aniy ». Dans les
manuscrits de Galilée, on ne retrouve aucune autre trace de rapports entre lui et Fermât
([ue ce passage d'une lettre d'Elia Dcodati du \\ juillet 1637 :

« Al Signer Carcavi essendo tornato di fuora, ho date la letlora di V. S., délia quale ô
i> restato sodisfattissimo per la soluzione délie objezzioni fatte avanti dal suo amico. il
» quale anco lui dovrà restare appagato quando lo vedrà. 11 nome suo è W Fermât, Con-
1) sigliere del Parlamento di Tolosa, dove resiede. » (Bibliothèque Nationale Centrale de
Florence. — MM. Galiléens, P. V., T. vi, f" 79".)

Nous devons ce renseignement à l'obligeance de M. A. Favaro.

{-) Ci-devant, Pièce II.

Kebmat. — II. "^

18 ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

n'avois garilo de loinhcr dans un iiicoiivoiiicnl, (|ii(' j'avois prévu et
condamné.

.r('>liiiii' donc (|uc loul grave, en ijind lieu du nioiule (|u'il soil.
honnis dans le ceulre, pris en soi et absolument, pèse toujours éga-
lement, cl c'est une proposition que j'aurois aisément prise pour prin-
cipe, si je ne la voyois contestée. Je tàciiorai donc à la prouver; mais,
(|u"elle soit vraie ou non, cela n'empêche pas la vérité de ma Proposi-
tion, qui ne considère jamais le grave en soi, mais toujours par ndation
au levier, et ainsi je ne mets rien dans la conclusion qui ne se trouve
dans les prémisses.

Or l'équivoque, sans doule, est venue de ce (|ue je ne vous ai pas
assez expliqué les nouvelles pensées ([ue j'ai sur le sujet des Mécha-
niques et lesquelles vous verrez grossièrement crayonnées sur le papier
que je vous envoie {'); c'est pourtant à la charge que vous m'obligerez
de ne les communiquer à personne et que vous me donnerez le loisii'
pour en faire les démonstrations exactes ou plutôt pour les mettre au
net, car elles sont déjà faites.

L'erreur d'Archiméde, si |)ourtant nous la pouvons nommer ainsi,
provient de ce qu'il a pris pour fondement que les bras de la balance
arréteroient, quoiqu'ils ne lussent pas parallèles à l'horizon, de quoi
j'ai démontré le contraire.

Si vous examinez de nouveau la 6'"" et la 7'"" des Equiponclérans (^ ),
vous trouverez que je ne me trompe pas et que sa démonstration est
toute fondée sur cette supposition.

Car soit le levier EDB {fig. 7), duquel le centre A, celui de la
terre C. Archimède, pour démontrer la proportion réciproque des
poids, les divise en parties égales, comme \l, et les attache en dis-
tances égales le long du levier. Or, il suppose que le centre de gravité
de deux poids est au point qui divise leur intervalle également, et cela

( ' ) Ci-après, Pièce V.

(2; Arciiimêdk, lie pkuionim {t'qiiililiriis I : I^cs propositions 0 ol 7 tlémoatreiU la réci-
procité des rai)ports entre les poids suspendus à un levier en éiiuilibro et les Inngneiirs
des bras de levier; la première dans le cas de la conimensurabilité, la seconde dans le cas
de l'incommensurabilité des rapports.

IV. - 24 JUIN 1636.

1!)

est bien vrai aux deux poids qui sont autour du point A, parce que la
ligne AC étant perpendiculaire au levier, les poids E autour du point A
se trouvent également éloignés et du centre du levier et de celui de la
terre et, par conséquent, ils se trouvent d'égale inclination.

Fig. 7.

Mais si, dans le même levier, vous prenez le point D qui divise l'in-
tervalle des deux graves E également, en ce cas le point plus éloigné
du centre du levier est aussi le |)lus éloigné du centre de la terre, et
ainsi le point D avec les deux poids E représente une balance, de
laquelle les bras ne sont pas parallèles ii l'horizon.

Mais si la descente des graves se faisoit par lignes parallèles, comme
en cette figure {Jîg. 8) par les lignes AC et DN, en ce cas, la proposi-

O V Q Q t Q-^

E E E E ,

tion d'Archimède seroit vraie : ce n'est pas que dans l'usage elle
manque sensiblement, mais il y a plaisir de chercher les vérités les
plus menues et les plus subtiles et d'oter toutes les ambiguïtés qui
pourroient survenir. C'est ce que j'ai fait très exactement et je vous
puis assurer que, quoique la recherche en soit bien malaisée, j'en [los-
sède toutes les démonstrations parfaitement.

:>0

ŒUVRES DE FERMAT. - t.OURESPONDANCE.

Soil le cciilri' de la Icrrc A {/iij;'- ;)), li' gi'aN'c li an |)()iiil K, cl le
poiiil N dans la supcM'l'icic on ailleurs, plus oloigiié du cciilrc que
le piiiiil K. .le Ile dis |)as (Hic le poiiil \i p('S(> moins clanl cii I*] (|ii('
s'il cloil l'ii N. mais je dis t\[H\ si le pdinl 1^ es! suspendu dn [xiinl N

N

par le tilet NE, la force étant an point N le retiendra plus aisément (|ne
s'il éfoit plus proelie de la dite force, cl ce, en la pioporlion (|iie je
vous ai assignée.
Je crois vous avoir suffisamment expli([ué ma pensée sur ce sujet.

2. Pour la ([uestion (') des nombres doni vous me parlez, si vous
m'en faites part, je tàeJn'rai de la résoudre.

3. .renvoyai, il y a déjà longtemps, la proposition des parties ali-
quotcs (- ) il M. do lîeaugrand, avec la construction pour trouver infinis
nombres de même nature. S'il ne l'a pas perdue, il vous en fera part.

4. Je vous prie de iwdire ma proposition des graves et de m'en dire
votre avis.

Je suis etc.

IVa.
MunsiiNM-:. Harmonie Uiih'crsellc (ilViG), Prol'aco générale (page g non numérotée).

.... Or, si je voulois parler des lionnnos de grande naissance ou qualilé.
c|ui se plaisent Icllenient en cette partie des Maliiéniali(p]es qu'on ne sanroil
[)ein-cirp leur rien enseigner, je répéterois le nom do celui à (|ui le livre de

('> /^oi> ci-après, Lcllrc VI, 7.

(') Voir ci-après, IVa et IVu, deux (Wtrails des Ouvrages de Mci'seniie, iinilialilenicni
fimprunics à cet écrit perdu que Kennat avait envoyé à Beaugrand.

IVb- - 24 JUIN 1636. 21

l'Orgue est dédié (') el ajoiiterois Monsieur Fermât, Conseiller au Parlenieiii
(le ïhoulouze, auquel je dois la remarque qu'il a faite des deux nombres ijagli
et 18416, dont les parties aliquoles se refont mutuellement, connue fout
celles des deux nombres 220 et 284; et du nombre 672, lequel est sous
double de ses parties aliquotes, comme est le nombre 120; et il sait les
règles infaillibles et l'analyse pour en trouver une infinité d'autres sem-
blables.

Mrrsenxe, Seconde Partie de l'Harmonie Universelle (lOS;), Nouvelles Oljscrvalions
Physiques et Malhématiques, pages 26 et suiv.

\ni. OBSERVATION.

Des parties aliquotes de 120, et des nombres amiables.

11 faut ajouter à ce que j'ai dit des parties aliquoles des nombres dans la
dixième remarque de la première Préface générale, la méthode de trouver
le nombre semblable à 120 dont je parle au lieu susdit. Il faut donc mettre
tant de uomijres de suite qu'on voudra en raison double en commençant |)ar
:>., comme sont les nombres A, B, C, D, E, F :

(x,

II,

1,

K,

L,

M,

1,

i.

7'

i.").

3i,

63.

A.

B,

C,

D,

E,

F,

2,

4,

8,

16,

32,

&',.

N,

0,

P,

0,

B,

S,

3,

5.

9-

'7'

33,

65,

desquels l'unité étant ôtée, l'on fasse les nombres G, H, I, K, L, M, et aux-
(picls l'unité étant ajoutée l'on fasse les autres nombres N, O, P, O, H, S.
Lorsque l'un des nombres G, H, I, K, L, M, par exemple K, divisé par le
nombre N du dernier ordre, éloigné de quatre rangs à main gauche, i)rodiiira
un nombre premier, le trii)le de ce nombre premier, multiplié par le nombre
du rang du milieu qui précède K immédiatement, donnera le nombre re(|uis :
comme l'on voit en i5 divisé par 3 A'oh vient 5 nombre premier, dont le
triple i5, multiplié par 8, fait 120 qui est le nombre que nous avons donné
dans la Préface susdite.

( ' I Élieuno Pascal.

■2-2 ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

I.'atiiio exemple se voit eii 63, letiuel, divisé par 9, prociiiit le nombre pre-
mier - (Idiil le Iriple ai. nuilti[ilié par .vi, l'ail fi;.?, qui esi l'antre nninlire
reipiis.

Quant aux deux nombres dont les parties aliquotes se refont mutuel le-
meiil. il faut aussi mettre les nombres qui se suivent depuis > en progres-
sion tréoméliique :

2, .'1, 8, i(), etc.

el puis il faut écrire des uombies triples dessous

6, 12, 24, 48,

desquels l'unité étant (Méo. lesteul

5, II, 23, 47,

qu'il faut mettre dessus. Il faut enfin multiplier 6 par 12 en ôlant l'unité pour
avoir 71; et 12 par 2/1, moins l'unité, pour produire 287; el 24 pour 48, moins
l'unité, pour avoir ii5i, qu'il faut disposer comme on les voit ici. Jusqu'à

rinlini

3,

1 1 ,

23,

47.

2,

4,

8,

•6,

6,

12,

24,

48,

7'.

287,

1 1 5 1 .

Lorsque l'un des nombres du dernier ordre avec son opposé el le précé-
ilent du jiremier ordre seront nombres pi-eniiers, l'on trouvera des nombres
semblables à ceux dont il est question. Par exemple, le nombre du dernier
rang 71, et 1 1 du premier ordre, el 5 qui le précède sont nombres premiers.
Ceci posé, si l'on niulliplie 71 par 4, et scmblablement 5 et 1 1 par le même 4,
l'on aura les deux nombres 284 el 220, dont les parties aliquotes se refont
mutuellement. De rechef, le nombre du dernier ordre ii5i est nombre pre-
mier, aussi bien que son opposé dans le premier rang 47 et le précédenl 23.
Il faut donc multiplier 16 par i i.h, el puis 47 et 23 par le même 16 pour avoir
les deux nombres requis : i84iG et 17296; el ainsi des autres jusques à l'in-
lini.

V. - 2V JUIN 1636. 23

V.
NOVA IN iMECHANICIS THEOREMATA

DO.MINI DE KICRMAT.

<C Pièce jointe à la lettre précédente ou seconde rédaction envoyée à Carcan. >

{Va, p. .4-.-i'i3.)

1- Fiindaincnta Mccliaiiices non sa(is accurata tradidisso Archime-
dem fueram dudum siispicatus : supposuisse oiiim motus gravium des-
cciidontiiiiii inter se parallèles patet, nec vero absque hac hypothcsi
constare possunt ipsius demonstrationes. Non intitior qiiideni livpo-
thesin hain' ad sensuin proximc accommodari ; qiiippe, propfer ina-
gnani a cciilro Lorra^ distantiain possunt descensus gravium supponi
parallcii non secus ac radii solares. Sod, voritatem intimam et accura-
tam quioroiitilnis, lucc non satisfaciunl.

Generalis nempe vectium natura in quolibet niundi loco videtur con-
sideranda etastruenda, idcoque nova in Mechanicis fundamenta e veris
et pi'oximis piincipiis accersenda. Hujus novae Scientiae proposiliones
tantnm exliibemns, demonstrationes quum libuerit tradituri.

2. Dupl(!x igitnr vectium gcnus fingimus aut potius consideramus :
unum cujns motus reclus tantnm est, non circuiaris; alterum cujus
extrema describunt circulos. De secundo boc qusesitum tantnm apnd
veteres; primum, quod longe videtur simplicius, ne agnoverunt qui-
deni.

Singula exemplis illnstramus, et prioris quidcm centruni idem est
cum centro terr», posterioi'is centrnm extra centrnm terra' necessario
débet collorari.

3. Sit igilnr, in scquenti figura {fig. lo), centrnm (errae pnncfnn
A, et intelligatur recta CB transirc per puiictum A; imo et ipsa CB in-

:>'» ŒUVllES l)i: ri:UMAT. - CORRESPONDANCE.

tt'Iligatur ossf vctiis, cl in piiiictis H cl C collocciiUir i;i'avia R cl (!, sil-

qiic

luiiiiliis li ad pciiKliis C Ml roda CA nd roclam AR :

Aio vcciciii (!B niansuriini cl a'ciiiilihriuiii iii lioc casii ((msliluliiiuiii.
Si vcro dcmimiatur lanlis|)cr grave R. niovchilur vcclis in rectum
por fontrum A ad parles B, ddiiec pondéra dislanliis a eeniro siiil reei-
proce proporlionalia.

Çh-^ o

B C

Ha'c osl prima proposùio (') cujus respecin (erra ipsa niagniis veelis
dici potest, ad iniitationem Gilberli ([iii cam magnum magnetom vocal.

4. Hoc posito, mirabilius quiddam proponimus (-), gravia nempe
eo facilius tolli a potcnlia in supcrlicic (erra' aut alibi constitula, qui)
propiora fuorini ceniro lerra'.

Sit contrum Icrra^ A (//i,'. 1 1), punctum (1 cxira cenirum. Jungatur
recta CA, in qua sumpto puncto B, collocelur grave in B. Si intelli-
gamus grave B per fîlum aut axem CB suspensum, detinebitur a po-
tenfia, in C coHoeatà, cujus proportio sit ad p(Uidus B ut recta AB ad
recta m AC.

Indeque facillime deducitur cl demonsiratur gravia in ceniro non
poncb'rare; cujus rei demonstrationem bactenus qusesitam jam novi-
nius.

Fig. ...
A__^ f

.). Secundum vectium genus Arcliimedcum dici potest; scd reci-
proca distantiarum cum ponderibus proportio, quam in vccte simplici
dipmonstravimus, in boc habere locum non potest, nec ideo subsistere
sexta et septima Arcbimedis propositio (').

( ' ) Comparez Pièce II, 1.
C) Comparez Pièce II, 2.
( ') Foir page i8, note '2.

- 2k JUIN i;636.

2S

Ita igitur confidenter pronuntiamus et vectem generaliter sive bra-
ehia, sive in directum, sive parallela horizonti, sive etiam angulum
constituant, consideramus.

Una quippe demonstratione totuni cvincimus : Sit vectis extra cen-
trum terrse DBC (/ig- 12), cujus centrum B, brachia BD et BC, centruni

Fig. 12.

'^-0

lerraî A. Junganlur rcctœ DA, BA, CA, et in punctis B et C coUoeenlur
gravia sitque proportio gravis C ad grave D composita ex proportione
rectse DA ad rectam CA et rociproce ex angulo CAB ad angulum BAD :
Aio vectem BDC, a puncto B suspensum, mansurum et aequiiibrium
constituturum.

Hanc propositionem, sicut et reliquas, vcrissimam asseveramus (')
et, quum libuerit, demonstrationibus ex puriore Geometria et Physica
derivatis confirmabimus.

6. Inde patet corruere omnino Veterum de centris gravitatum defini-
tiones; nullum quippe corpus prtoler sphaeram potcst reperiri in que
punctum reperiatur a que grave, extra centrum terra? suspensum,
servet eam quam in principio babucrit positionem.

Definietur ergo deinceps centrum gravitatis cujusque corporis, punc-
tum intra corpus positum, quod si coba^reat centre terrse, corpus eam

(') On voil que Fermai suppose pour l'équilibre des forces concouranles appliquées à
un levier un principe qui diflère essentiellement de celui qui a été depuis universellement
adopté.

Feiimat.

U.

20 ŒUVHES DE FERMAT. - COIUIESPONDANCE.

sorviibit qiiain in principio liabiuM'il posilionoiii; co ciiiin solum casii
habont locuiii contra gravitatis (').

7. Demonsfrabitui' otiam rt rofVIb'Uir crror Ubalili (^) ot aliorum,
(jui oxistimant libr;o brai'hia, licot non sin( |)arall('la Inji'izonli, iequili-
brinni tanicn constitulnra.

I ' "t Nous iviu'oduisinis ici une IcUro relative à ce siijcl el imprimée page 2o5 des f'aria :

« Lcltcra dcl Si'^itor Bcncdcttn Caitelli, Abbtite di Verona, al Signor di ****.
.. IlL'"" El) Ecc"" SiQ",

■> Ho lettl i ponsieri sottillissimi del Sig' di Fermât iiitorno al ceiUro di gravita, e con-
I fesso liberamente clio mi sono parsi belli e degni di quelle sublime intelletto, che mi fii
') celebralo oon alta Iode dal Signer di Beaugrand, quando passe per Roma, e voglio credere
■> che ne habbia assnluta dimoslratione; e perche il Sig'° di Beaugrand mi disse di havere
» dimoslrata una simile propositione, cioè che il medesimo grave, poste in diverse lonta-
•1 iianze dal centre dclla terra, pesava inegualmente, e che il peso al peso era corne la
' distanza alla distanza dal centre dclla terra, io rai applicai a pensare a questa materia e

I prctcsi allhora di havere ritrovata la dimostralionc, madopo, essendo mi stato promesse
» alcune difficoltà, mi ralîreddai in questa specolationc. Mi ricordo pero che ancor io ne

II (leduccvo la medesima conseguenza che deduce ancora il Signer di Format, cioè che il
» grave che havcrà il suo centre di gravita col centro délia terra non haverà peso alcuno;
» e di più. che la terra lutta non ha peso; c in oltro ne cavai che, dcscendcndo un grave
i> verso il centre délia terra, non solo va mulando peso di momento in momento, ma (cosa
» che puo i)arere più maravigliosa) il suo centro di gravita si va continuamente movcndo
1) ncUa mole di esso grave; di più, che un grave di qualsivoglia figura, che si mova in se
'1 medesimo circolarmentc, pure va continuamente mutando il suo centro di gravita ; e per
' tante facilmcnte concorro con il Sig' di Fermât, che il centro di gravita non sia in nalura
" taie quale l'hanno descritto comunemente i Mcchanici. E se io credessi che le mie debo-
11 lezze potcssero csser care al Signer di Fermât, gli ne mandarei una copia, non solo per
•I ricevcre documcnti da S. Sig"" 111""', ma per farc acquisto di un taie e tante padrone, al
■> quale prego V. S. I. dedicarmi servitore di singulari devotione, o li bacio le mani. «

(') GVIDIVBALDI E MARCHIONIBUS MONTIS MEGHANICORVM LIBER. — Pisauri.
Apud Uieronymuni Concordiam, M.D.LXXVII. Cum Licentia Superiorum. — Format vise
la Proposition 111 De librà de Guidobaldo del Monte; ce dernier cite, comme ayant sou-
tenu une opinion contraire à la sienne, Iurdciiius de pondcribu^, Hyeroiiiiiiui Carda/iii.f
lie sublililntc, Nwalaui Tartalca de quœsitii et inveiitioitibu.t.

VI. - 13 JUILLET 1636. 27

VI.
FERMAT A MERSENNE.

< MARDI 13 JUILLET 1636 > (')

(la. p. l'p.)

Mon Révéueni) Pkue,

1. Puisque j'ai été assez heureux pour vous ôter l'opinion que vous
aviez eue, que j'eusse suivi en ma Proposition (-) le même raisonne-
ment que M. de Beaugrand, j'espère qu'avee la même facilité je vous
ôterai tous les autres scrupules.

2. Vous avez cru que ma proposition étoit la même que celle de
M. de Beaugrand, et ce, par deux raisons : l'une, que je l'avois écrit
lorsque je l'envoyai à M. de Carcavi; l'autre, qu'elle semble conclure
la même chose.

Pour la première, je vous réponds que, lorsque j'envoyai la dite
proposition, je n'avois pas vu encore le livre de M. de Beaugrand et
n'avois su si ce n'est qu'il écrivoit du divers poids des graves secun-
dum varia a terrœ cenlro intervalla, si bien que là-dessus j'imaginai la
proposition que vous avez vue, et crus que peut-être ce seroit la même
que celle de M. de Beaugrand, et l'écrivis ainsi à mondit sieur de Car-
cavi. JMais depuis, ayant vu le Livre de iM. de Beaugrand, j'ai trouvé
que son opinion est différente de la mienne en ce qu'il suppose que le
grave en soi se rend ou plus pesant ou plus léger selon l'éloignement
ou l'approche du centre.

3. Et moi je soutiens (^en quoi je répondrai à votre seconde raison)

Cj Nous avons réuni à une fin de IcUrc, datée, des manuscrits A, B, une ici Ire très
eourte, non datée, des Varia, évidemment écrite sur le vu de la réponse de Mcrscnne à
la Lettre IV.

(2) Voir la Pièce II.

4

•2S (ElIVRES DE FERMAT.— COUUESPONDANCE.

(|u'iMi soi il 110 change poiiil do poids, mais qu'il ost tire avec plus ou
moins do Ibrco, ce (|ui est hion diflV'i-ont du rosfo.

Soit lo cculro do la Torro (] (//'i,''. i3), le grave B au point B ot lo
point 0 dans la suporticio. M. de Beaugrand tient (juo, si on pi'se le

Fig. .3.

D

grave B dans lo point B, on le trouvera plus léger que si on le pèse au
point D. Et moi je dis que, si on pèse le grave B dans le point B, on lo
trouvera de mémo poids que s'il étoit pesé au point D, ot qu'en tout
cas, quand bien cela ne seroit pas (car ma [)roposition ne dépend nul-
lement de la sienne), que le grave B sera soutenu plus aisément par
une puissance qui sera au point D que par une autre puissance qui on
sera plus [)rocho, ot en la proportion que j'ai assignée.

4. Vous ne devez pas douter que ma démonstration ne conclue par-
faitement, bien (\al\ semble que M. do Boberval no l'a pas trouvée [)ré-
cise.

Je vous puis donc assurer que toutes les propositions que j'ai mises
dans mon écrit (') sont parfaitement vraies, et de cela je n'en veux
pas être cru que lorsque j'aurai mis par écrit toutes les démontrations
sur cette matière. Je suis si peu ambitieux que, si j'avois trouvé
erreur on ce que je vous ai écrit, jo ne ferois nulle diiïiculté de
l'avouer.

(A f32, B î" 25"-i>G".)

5. Pour les lieux plans (-) et la proposition des nombres ( ' ), jo
vous les envolerai, si M. de Beaugrand ne vous les baille pas.

j (' ) C'esl-à-dire la Pièce V.
(») roir Leltro I, 10.
(') roir LeUre IV, 3.

VI. — 15 JUILLET 1636. 29

6. Je n'ai pas encore pu examiner les propositions (') de la trisec-
tion de l'angle, ni de l'invention des deux moyennes proportionnelles.
Ce sera au plus tôt.

7. A la question numérique (^), je réponds qu'elle reçoit infinies
solutions, et même plusieurs manières différentes de la résoudre. Voici
la meilleure et la plus aisée que j'ai imaginée :

Soient trouvés deux quarrés desquels la somme soit quarrée, comme
9 et i6; ce que je n'enseigne pas, pour être trop trivial. Soit chacun
d'eux multiplié par un même nombre composé de trois quarrés seule-
ment, comme ii. Ces deux produits seront 99 et 176 qui satisferont à
la question, car chacun d'eux et leur somme sont composés de trois
quarrés seulement (').

Et ainsi, par la même voie, vous en trouverez infinis, car, au lieu de
9 et 16, vous pouvez prendre tels autres deux quarrés que vous vou-
drez, desquels la somme soit quarrée, et au lieu de 11, tel autre
nombre que vous voudrez composé de trois quarrés seulement.

Si vous prenez, au lieu de 1 1, un nombre composé de quatre quarrés

{' ) On ne retrouve plus trace, dans la Correspondance de l'ennal, de ces pro|)osilioiis.
On peut croire qu'il s'agit des constructions données par Descaries dans sa Géométrie
(éd. Hermann, p. 75-76) pour les deux célèbres problèmes de la Géométrie antique. Mer-
senne, à qui elles avaient été communiquées avant la publication, les aura envoyées à
Fermai sans démonstration et sans révéler le nom de leur auteur.

C) C'est la quatrième des cinq questions numériques proposées par Sainte-Croix
(André Jumeau, prieur de) à Descaries en avril i638 {voir Lettres de Descartes, éd.
Clorselier, III, 7i). Elle était ainsi conçue (pour Descartes) :

(1 Trouver deux nombres, cliacun desquels, comme aussi la somme de leur aggrégat, no
conste que de trois létragones. .l'ai donné 3, 11, 14. J'attends que quelqu'un y satisfasse
par d'autres nombres ou qu'il montre que la chose est impossible, u

La première solution donnée par cet énoncé ne paraît avoir été indiquée à Fermai que
dans la réponse de Mcrsenne à la Lettre VI. Voir Lettre X, 2.

(') B ajoute en marge les dccomposilions suivantes :

I

• 49 49 9 '44 '
I 49 25 9 16 1

9 I 25 81 iG 4

I" 99 99 99 17O 7

30 ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE.

stnilonuMif, ronuiie 7, cliiuim des deux produits, ensemble leur somme,
seidiil composés de quatre quarrés seulement.

Que si vous voulez non seulement deux nombres, mais trois ou tel
nombre que vous voudrez, desquels un cbacun, ensemble la somme de
tous, soient composés de (rois ou de (|nalre ([narrés seulement, il ne
faudra (jue trouver autant de quarrés que vous voudrez de nombres,
desqutds la somme soil qnarrée, et les multiplier, chacun d'eux ut
supra.

J'ajouterois la démonstration, mais le tem[)s ne nu' le permet pas.
Kn tout cas, vous pourrez faire l'essai sur la construction que je vous
envoie.

8. Et vous dirai que j'ai trouvé de fort belles propositions sur ce
sujet, comme :

Si, de deux plans seniblahles ('), l'un est compose de trois quarrés seu-
lement, l'autre le sera aussi;

et plusieurs autres.

9- Je désirerois que M. de Roberval travaillât aux questions (|ue je
vous ai proposées (-).

10. J'ai achevé tout le Traité iJe lacis planis ('), où il y a trente ou
quarante propositions toutes très belles.

Je suis, mon Révérend Pi're, votre très affectionné serviteur.

Fermât.
A Toulouse, ce ij juillet iG'50.

(') Nombres qui sont euli-e eux dans le rajiport de doux carres.
(S) T'oir la Lettre I, 12.
(5) Foir\A Lettre I, 10.

vu. - AOUT 1636. 31

VII.
FERMAT A ROBERVAL (').

< AOUT 1636 >

(Ta, p. 1 33-1 34.)

Monsieur,

1. Après vous avoir remercié de la faveur que vous m'avez laite et
de la peine que vous avez prise, je répondrai en peu de mots aux objec-
tions que j'ai trouvées dans votre Lettre, et ce, sans aucun esprit de
dispute et pour vous faire seulement approuver la vérité de mes propo-
sitions.

2. La première objection (-) consiste en ce que vous ne voulez pas
accorder que le mitan d'une ligne qui conjoint devix poids égaux des-
cendant librement, s'aille unir au centre du monde. En quoi certes il
me semble que vous faites tort h. la lumière naturelle et aux premiers
principes : car, puisque ces deux poids sont égaux et qu'ils ont tous
deux même inclination pour s'unir au centre du monde, s'ils n'étoient
pas empêchés, il est clair qu'ils y approcheront .tous deux également.
Autrement, ayant supposé les poids égaux et les inclinations au centre
égales, vous admettriez néanmoins plus de résistance d'un côté, ce qui
seroit absurde.

Et n'importe d'alléguer un levier horizontal, lequel, étant pressé par
deux forces égales aux deux bouts horizontalement, demeure néan-
moins en l'état qu'il est, quoique l'appui qui est au dessous le divise
en parties inégales. Car, au cas de ma proposition, la vérité de mon
principe dépend de ce que les deux poids (ou puissances) ont naturel-
lement inclination au centre de la terre et tendent là; et c'est pourquoi,

(M Première lellre de Fermât à Roberval, répondant à une lettre perdue où ce dernier
critiquait les propositions de la Pièce V, qui lui avait été communiquée par Carcavi.
(2) ro(> Pièce V, 2.

32 ŒUVRES DE FERMAT. CORRESPONDANCE.

n'ayant point d'avantage rmi sur l'aiilro, ils s'y approchent tous deux
également. Mais en l'espèce du levier horizontal, les deux puissances
des extrémités n'ont aucune inclination naturelle ii l'appui, mais à
s'approcher seulement; et ainsi ra|)pui ne doit être non plus considéré
que s'il n'étoit point.

Outre que jamais personne n'a douté que le centre d'un grave ne
s'unit au centre de la terre, s'il n'étoit empêché; or, deux graves, joints
par une ligne qui conjoint leurs centres de gravité, ne sont censés con-
stituer qu'un seul grave, duquel le centre de gravité^est au mitan de la
ligne qui les conjoint : quelle raison donc de croire qu'il s'arrête ailleurs
que lorsque son centre sera uni à celui de la terre?

Soient les deux poids égaux A et B {fig- i4) joints par la ligne AB,

Fig. .4.

(t)B

le centre de la terre C. Qu'on laisse choir librement les poids A et B;
lorsque le poids B sera au centre C, on ne peut pas dire qu'il s'arrête,
parce que le poids A gravitât super B et destruit œquilibrium. Où com-
mencera donc le levier AB de s'arrêter? Vous ne sauriez trouver le
commencement de son repos en un point plutôt qu'en l'autre, si ce
n'est au mitan, parce qu'il se trouve pour lors également contrebalancé
de tous côtés.

Je ne sais si ces raisons seront capables de vous faire changer d'avis,
mais vous me permettrez bien de vous dire que vous trouverez peu de
gens qui suivent votre opinion et qui ne m'accordent ce principe : c'est
pourquoi je vous conjure de me dire nettement ce qu'il vous en
semble.

3. La deuxième objection (') est contre la nouvelle proportion des
C) J-'oir Pièce V, 5. — Robcrval a. cetlc fois, raison contre Fcrm;il.

\l\.

AOUT 1G3G.

:j:?

Jiiigics que j'ai (Ircouvorlo, contre laquelle pourtanl vous n'avez rien
(lit lie précis, mais seulement que vous avez démontré que la propoi-
lion réciproque (les poids doit être expliquée non pas jiar les aniiles.
mais par les sinus de ces angles.

\()\i-\ la démonslralion de ma proposition, de la([uelle vous veirez
aisément par conséquent celle de toutes celles que vous avez vues dans
l'écril (jue j'envoyai à .AI. de Carcavi.

Su cenlrum tenxv A ( tig. i ) ), vectis Vj^lB porlio nrcii/i ccnlrn A iiilcr-
irillo AN descripll. CN, NB œquales circiimfcrcitticv. et i/i pu/iclis ('.. 15

(vqiudiii pondéra. Sitppoititniis verlem (]H ci ptuiclo N siispc/isttin nia/irrc.
ideiiupie acciderc si grana aupicdia in qidbitslibcl pu/ictis hraclùoiuin C.N,
XB rollocentitr, modo Jinjasinodi piincla ex ut raque parte œqualiter a
pu/iclo \ (listent : neqite eiiiin destruent a'qidlihriuin pondéra a'<pi(dia a
rentra terra' et a eeiilro reetis ,vAr /d/rœ œqualiter distantia.

Su ee/Urani teri(e A ( lig. rC)), vectis sis'e lihra l{I''B(]|), ut supra, eeii-

Fig. ,f,.

B

truni sive rnediiun l(hr(e puncluin B. Cotlocetur pondus B in puncto 15 aut.

i''t,R».vi . — n.

:ti (Kl VUKS DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

diviso pondert'V) in [>:irtf's (vqualcs M, V, I?. (]. 0, collorcnlur civ juirlcs ui
f)i(/ir/isK, V, H. (.. 1). et .v//// i/i(eivaf/a\lV, l'B. Rd, CD (vqûa/ia. Siippo-
ninms pondus 15, in punclo B collocaliini cl n piinclo W sitspensiim. idem
ponderare ar parles \\. \\ R. (", I) siintil siinipla', in recte col/ocalœ cl (d>
codem punclo R suspensœ.

Illtid nempe accidil (pua. propirr rirculum EFB(]D, partes pondons f{
eamdem semper servant dislanliam a reniro terra' ac pondus ipsuni inle-
i,'77//« lî : f/ui)d non animadverlisse et dcscensus gravium parallelos suppo-
siusse erroreni peperit Archimedeurn.

Ilis suppositis, propositionern nosircnn dcmonsiramus, et ecce tantùni
rasuni in (pto liun redis renirurn, htm e.rtrema œqualiter a ceniro terra'
distant, ipiia hic casas veritalein prions redis geostatici non supponil. de
(pia rideris amhigere.

Sit redis FHN (fig. 17), aijus cenlrum H, extrcma F et N, in eadem,
ipto pundiini II. a lerne centro distanlia. Centra A. intervallo AH, descri-

Fig. 17.

hatur porlio circuli FHN, redis extrema eommittens, et sit graine in F ad
grave in N in proportione reciproca circumferentiœ H F ad circumferen-
tiarn HN : Aio veclem FHN a pando H suspensum mansurum et œquili-
hrium eonstilaturam.

Ifanc autern propnrtionem eamdem esse qucr angaloriun ad cenlrum A.
palet : e.i- construclione et duobns axiornalibas prœcedentibus facillime
iheorema concltules.

4. La hâto du couiTicr me (ait finir là, parce que ji' uc doute pas ([uc
vous ne puissiez voir la ("oiicliision avec un peu de méditation.

VIII. - 10 AOLT 1G36. 3o

Au reste, je vous puis assurer que le Livre (' ) ((u'il vous a plu
m'euvoycr est ce que j'ai vu de [)lus ingénieux. sur cette matière; mais,
si nies propositions sont vraies, de quoi peut-être vous ne douterez pas
toujours, vous m'accorderez que ce mouvement sur les plans inclinés
se peut prouver encore plus précisément.

(>e n'est pas que je n'estime autant que je dois votre invention ; mais
ce que le chancelier Bacon a dit est bien vrai : « Mtdli p/rtransihii/i/ el
aitgebitur scicntia (-). »

Je suis etc.

Mil.
ETIENNE P.\S(;AL ET HOBERYAL A FER.MAT.

SAMKIll K) AdlT 1630 (').
( f'a^ p. i-2'|-i3(), )

Monsieur Ç),

1. Le principe que vous demandez pour la Géostatique est que, si
deux poids égaux sont joints par une ligne droite ferme et| de soi] sans

( ' ) 11 s';ii;U cvidommeiit du Trailc ilc Mcc/u/tiiqiie. Des poids souttciius par des puis-
sances sur les plans inclinez ù l'Horizon. Des puissances qui sonstienncnt un poids sus-
pendu « deux c/iordes. Par G. Pers. de ]{ol>ert'al, Professeur Roral es Mat/iémnticjues
au Collège de Maistre Gerçais et en chaire île Rcnnus au Collège de France, inscié, avec
une pagination .spéciale (de i ù 36), dan.s la Seconde Partie de l'Hiinnonie unii'crscllc du
P. Mersenne (i637).

(2) Celle pensée, tirée d'un texte du proplièle Daniel (xii, i ), se trouve dans le Novum
organum (I, aphor. 93) sous la forme : Multi pertransibunt et multiplex crit scicntia, cl
dans le Traité De dignitate el augnientis scientiarum (I, cap. x, 3), sous la suivante :
Plurinii pertransibunt et augchilur scienlia. Mais Fermai a tcxlucllenient reproduit la
légende d'une vignette au frontispice de la première édition du Noi'um Organum (iG-.>.o),
vignette qui représente un vaisseau franchissant à pleines voiles les Colonnes d'Hercule.

{") Réponse à la Lettre Vit. Fermai y a répliqué par la Lettre IX, puis à nouveau par
la Lettre XI.

('■'} Le texte de celle Lettre a été restitué d'après le manuscrit de la Bibliollièquo natio-
nale, lalin 7526 f° 40 suiv. Les mots entre crochets [ ] sonl des additions em|irunlées à
l'édition des T'aria. Quant aux autres leçons de celte édition, qui représentent une rédac-

30 ŒTVUKS DE FERMAT.- (,01$ IIESPON 0 \N CE.

iKiiils (M. (|u't'laiil ainsi disposes, ils |Hiiss(Mi( (Icscciidn^ lilx'cniciil. ils
iir irposoroiit jamais jusqucs ù ce (iiic le milieu de la ligne (([iii est le
centre de pesanleiir des aneiens ) s'unisse au centre commun des choses
posantes.

2. Co principe, (|ue nous avons considéré il y a longtemps, ainsi
t|u"il vous a été mande, paroit d'abord fort plausible; mais, quand il
esl (|uesli(in de principe, vous savez (|U(dles conditions lui sont r'cqnises
poni' èti'c r'tx'u : ilesqu(dles <-ouditions, cell(> jtrincipale manque au
jiiincipe dont il s'agit ici, savoir (jne m)us ignorons quelle est la cause
radicale qui fait (\uf les corps pesants descendent et d'où vient l'origine
de cette pesanteur. Ainsi nous n'avons rien de connu assurément de ce
(|ui arriveroit au centre où les choses pesantes aspirent, ni aux autres
lieux hors la surface de la terre, de laquelle, pour ce que nous y habi-
tons, nous avons quelques expériences sur lesquelles nous fondons nos
principes.

3. Car il se peut faire que la pesanteur est une qualité qui réside
dans le corps même qui tombe; peut-être qu'elle est dans un autre, qui
attire celui qui descend, comme dans la terre. Il se peut fairtf aussi et
est fort vraisemblable que c'est une attraction mutuelle ou un désir
naturel que les corps ont de s'unir ensemble, comme il est clair au fer
et à l'aimant, lesquels sont tels que, si l'aimant est arrêté, le fer, n'é-
tant point empêché, l'ira trouver, |et| si le fer est arrêté, l'aimant ira
vers lui et, si tous deux sont libres, ils s'approcheront réciproque-
ment [l'un (le l'antre |, en sorte toutet'(tis (|ne le plus fort des deux fej-a
le moins de chemin.

Ur, de ces trois causes possibles de la pesanteur [ou des centres des
corps], les conséquences seront fort différentes, ce que nous ferons
r-onnoitre en les examinant ici l'une aprî's l'autre.

lion nouvelle de Ilobcrviil fiiilo en vue de l'impression de la Correspondance de Ferniiil,
elles sont reproduites ci-aprcs dans les yuriaiilcs. Bossut a compris cette Pièce dans son
édition dos OEiivrcn de Biaise Pascal, 1779; il a suivi en sénoral le texte des V<iri(i, à
part les chani^ements d'orttio.;;raplie et (pielques modifications de détail.

VllI. — 16 AOUT 1636. 37

4. En premier lieu, si la première est vraie, selon ropiiiioii coiii-
iiiiine, nous ne voyons point que votre principe puisse subsister : car,
sur ce sujet, le sens commun nous dit qu'eu quelque lieu que soit un
poids [près ou loin du centre de la terre], il pèse toujours égaleun'iil,
ayant toujours [en soi | la même qualité qui le fait peser et | eu nièiui-
degré. Le sens commun nous dicte aussi, posée cette même opiiiidit
première] qu'alors un corps reposera au centre commun des choses
pesantes, quand les parties du corps qui seront de part et d'autre du
même centre, seront d'égale pesanteurpour contrepeser l'une à l'autre,
sans avoir égard si elles sont peu ou beaucoup [également ou inéga-
lement | éloignéesdu centre [commun]. *

Soient donc les deux poids égaux A, B ( //g\ i8 ), joints ensemble par
la ligne [droite] ferme et [de soi] sans poids AH: et soit (". le point du

Fig. i8.

0 S ^—5 o

A. B

milieu de la même ligiu' AB, et [soient] I), E, des autres points tels
quels dans ladite ligne entre les poids A, B. [Vous demandez (|n'on
vous accorde que les poids A, B, tombant librement avec leur ligne,
ne leposeront point jusqu'il ce (|ue le point du milieu l] s'unisse au
centre commun des choses pesantes. [

Nous accordons que, si le composé des poids A, B est mis de sorte
(jue le point C convienne avec le centre commun des choses pesantes,
alors le tout demeurera en équilibre. 3Iais il nous semble aussi <|ne si
le point D ou E convient au même centre commun, en sorte que l'un
des poids en soit plus proche, pourvu que l'un soit entièrement d'une
part du centre et l'autre de l'autre, ils contrepèseront encore et demeu-
reront en équilibre, comme |iar le point (1, puisque (pour nous servii'
de vos paroles mêmes) ces deux poids sont égaux et ont tous deux
même inclination pour s'unir au [même] centre commun [des choses
pesantes], et l'un n'a aucun avantage par dessus l'autre pour le déplacer
de son lieu.

38 tl.rVUKS DK Fi: i!M VT. ^ (,()I{RESl>()M)AN'Ci:.

Que si t'Ii'c plus proclio ou plus éloigué du cenlro pouvoil vive
quoiquo avantaiîo, co (|U(' nous no croyons pas, supposé que la posan-
ItMir réside au corps inrinc, vous Icouvci'c/. plus de gens (|ui croironl
(|U(' l'avaulago est de la pari de cidui (jui csl plus proche du crnlrc
commun que Taulrc : rt' (|ui (oulci'ois csl dircctcnicnl contre voirc sup-
position.

Kl ne serl de rien d'alléguer le cenire de pesanleur du corps AR.
le(|uel cvnlre, selon les anciens, csl au milieu C : car ce centre n'a été
démontré que quand la dcscenle des poids se fait par des lignes paral-
lèles, ce (|ui n'est pas; et, (|uand il y auroit un tel point, ce (jui ne
peut être aux cor|)squi tiennent à un même centre commun, il n'a pas
été déiuoulié et ne prouveroit aucunement que ce seroit ce point lii
par lequ(d le corps s'uuiroil au cenire commun. Même cela, pour les
raisons précédentes, ré|iugne à notre commune connoissaiice en plu-
sieurs figures.

Kn tout cas, nous ne voyous poini que ce centre commun des anciens
doive être considéré autre part qu'aux poids qui soni pendus ou sou-
tenus hors du lieu au(|uel ils aspirent.

5. Ouant à la comparaison qui vous a été faite du levier hori/oulal.
lequel, étaiil pressé horizontalement aux deux houts par deux forces
ou puissances égales, demeure en même état qu'il est, elle nous
semble entii'remeut semblable au levier [précédent] AB pressé aux
deux bouts par les deux poids égaux A, H, puisque ces poids ne pres-
sent le levier que par la [force ouj puissance qu'ils ont de se porter
vers leur centre commun C, D ou E.

(>omme si le levier horizontal est AB (Jïg. i<j) et les forces ou puis-

'■'S- '9-

aQ-^ o»

sances égales A [et| B, pressant horizontalement le levier pour le porter
à un certain point commun C, auquel elles aspirent et lequel est posé
également ou inégalement entre les mêmes puissances dans la ligne AB;

VIII. - 16 AOUT 1G3G.

39

ces forces, pressant également le levier, se résisteront l'une à l'antre,
selon notre sens, encore même que l'une, comme A, fût plus pri's que
l'autre du point commun C auquel toutes deux aspirent. Ht quand le
levier ne seroit point horizontal, mais en telle autre position que l'on
voudra, étant considéré [de soi] sans poids et toutes les autres choses
comme auparavant, le même effet s'ensuivra selon notre jugement et
la comparaison sera entièrement semblable à celle des poids qui sont
à l'entour du centre commun des choses pesantes.

6. Nous ajouterons ici ce que nous pensons en ce cas des poids qui
seroient inégaux joints comme dessus à une ligne droite ferme et [de
soi] sans poids, pour mieux faire paroitre notre sentiment.

Soient deux poids inégaux A, ^{fig- 20), desquels A soit le moindre,

Fiff. ao.

et soit AB la ligne ferme qui les joint, dans laquelle le centre de pesan-
teur des anciens soit le point C. lequel ne sera pas au milieu de la
ligne AB. Si donc on pose le composé des poids A, B de sorte que le
point (1 convienne au centre commun des choses pesantes, nous ne
pouvons croire qu'il demeurera en ce! état, le poids A étant entière-
ment d'une part du centre jdes choses pesantes] (^t [le |)oids | B | eutii'-
rement] de l'autre j)art. Mais il nous semble que le plus grand poids B
doit s'approcher du même centre [des choses pesant(>s, jusqu'à ce
(]u'une partie du dit poids B soit au delà du dit centre] vers A, comme
la [)artie D, en sorte que cette partie D avec [tout le poids] A, étant
d'une même part, contrepèsent avec la [)artie [E] restante de l'autre
part.

7. Outre ce, nous avons encore une instance en ce cas qui semble
conclure que la figure et le volume et encore la disposition des poids

vo (i:i\r>i:s m-: fkumat. — cohhksi'ondance.

doit ôlro consitlrro, il'aiilaiil (ni'iiii lorps pcsaiil semble devoir |)eser
d'autant moins qn'il oecii|»era une pins graiule portion de la eirconfé-
renee Ternie passant par le corps et décrite alentour du centre cointnun
lies eiioses pesantes, ce (|ne nous expliquerons [)lus aniplenieul ci
après sur votre second principe du levier. Or vous savez qu'un uiènie
cor|)s. sous dillérentes figures, positions ou volumes, peut oecu|)er
plus ou moins de cette circont'érence et, s'il y a cause pour laquelle un
même corps doive moins jieser pro(diedn centre qu'étant plus éloigné,
cidie-ci eu est pi'ut-ètre une, étant clair que, quoic|u"il (Vit toujours de
même figure, position et volume, néanmoins, étant plus proche du
l'culie, il occupera une plus grande portion de la cireonférenee susdite
qu'étant plus éloigné. Mais, quand cela seroit, nous croyons qu'à
peine seroit-il possible à l'esprit humain d'assigner les proportions de
celle augmentation ou diminution selon les diflereuls éloignements
du centre.

8. Si la seconde ou la troisième cause possible de la pesanteur des
corps est vraie, il nous semble que l'on en peut tirer des [mémes| con-
clusions.

Soit le corps attirant AB(]|) {^/ig- 21) [sphérique |, diiqiud le centre

Fis. 31.

>oil II. et ([Ile la vcrlu d'allraclion soit égaleinenl épanduc par loutes
li> parties du corps altirani, et soit le corps attiré L. considei-é pre-
mièrement hors le (;orps attirant en A.

Soi! menée la ligne droite Ali, à la([U(dle soit un plan |)erpendicu-

MIL - 16 AOUT 1636. 41

lairt' EHD, coupant le corps ABCD cii deux parties [égales et partant]
d'égale vertu. Soient aussi, dans la ligne AH, marqués tant de points
(|ui' l'on voudra, comme K, I, par lesquels soient menés des plans
[FIC.GKB] parallèles au plan EHD, coupant le corps [attirant] ABCD
en parties inégales, et partant d'inégale vertu.

[Alors] le corps [L] étant en A sera attiré vers H par la puissance de
tout le corps ABCD et, le chemin étant libre, il viendra en K, là oin il
sera attiré vers H par la plus [grande et] forte partie BDEG [et contre-
tiré vers A par la plus petite et plus foible partie BAG]; il en sera de
même quand il sera venu en I, où il sera moins attiré que quand il était
en K ou en A; toutefois il sera contraint de s'approcher toujours du
centre H, tant qu'il y soil venu, et, la partie qui attire diminuant tou-
jours et celle qui relire s'augmenlani [toujours], il sera continuidle-
ment attiré avec moins de force jusques à ce qu'étant arrivé en H, il
sera également attiré de toutes parts et demeurera en cet état.

Si cette position est vraie, il est facile de voir que le corps L pèsera
d'autant moins qu'il sera [plus] proche du centre H; mais son poids
ne diminuera pas en la proportion des lignes HI, HK, HA, ce (jue vous
connoîtrez assez en le considérant, sans que nous vous l'expliquions
davantage.

9. Puis donc que de ces trois causes possibles de la pesanteur, nous
ne savons quelle est la vraie, et que même nous ne sommes pas assurés
que ce soit l'une d'icelles, se pouvant faire [que la vraie cause soit com-
posée des deux autres ou] que ce [en] soit une [tout] autre, de laquelle
on tireroit des conclusions toutes différentes, il nous semble que nous
ne pouvons pas poser d'autres principes [pour raisonner] en cette ma-
tière que ceux desquels nous sommes assurés par une expérience con-
tinuelle assistée d'un bon jugement.

Quant il nous, nous appelons des corps également ou inégalement
pesants, ceux qui ont une égale ou inégale puissance de se porter vers
le centre commun [des choses pesantes], et un même corps est dit
avoir un même poids, quand il a toujours cette même puissance : que

Fermât. — 11. t)

\i o:r\i!KS ni-: fkhmat - cou uks pond anck.

si cotte piiissiiiicc aiii^mcnlo ou (liiiiiiuic, alors, (iiioiqiic (■(> soit lo
iiioiiit' corps, lions ne le coiisidoroiis plus comiiu" le mciiic poids. Oi',
i|U(' cela arrive aux corps qui s'éloii;iieiil ou s'approchent du centre
I commun des choses pesantes |, c'est ce (|ue nous désirerions liieu de
savoir: mais, ne trouvant rien (|ui nous contente sur ce sujet, nous
laissons celte question indécise et nous raisonnons seulement sur ce
que les Anciens et nous en avons pu découvrir de vrai jusques à niain-
lenanl. | Voilà ce (|ue nous avons ii vous dire pour le présent touchant
votre principe de la (léoslatique, laissant à part beaucoup d'autres
doutes pour éviter prolixité de discours. |

10. Pour la nouvelle proportion des angles que vous mettez en
avant, afin de la démontrer, vous supposez deux principes, desquels le
premier est vrai et l'autre si éloigné d'être vrai, qu'il y a des cas où il
arrive tout le coniraire de ce que vous demandez [qu'on vous accorde
[loiir vrai |.

Le premier est tel : soit A i/ig- 22) le centre commun des choses
pesantes, l'appui du levier N, et du centre A, intervalle AN, soit décrite

l<"ig. 22.

une portion de circonférence telle quelle CNB, pourvu que l'arc CN
soit égal à l'arc NB; et soit considéré cet arc CN [B] comme une ba-
lance ou un levier [de soi] sans poids, qui se mène librement à l'entour
de rap|)ui N; soient aussi des poids égaux posés en C |et| B.

Vous supposez que ces poids contrepèseront l'un à l'autre et feront
équilibre, étant balancés sur le point N; et [il| semble que tacitement
vous suj)posez encore l'équilibre, quand les bras du levier NC et NB
seront des lignes droites, pourvu (]ue les points (1 [et| B soient égale-
ment éloignés du centre A, et les lignes NC et NB soustendantes ou
cordes, en efl'cl ou en puissance, d'arcs égaux NC, NB.

VIII. - 16 AOUT 1036. W

Toutes ces choses sont vraies en général, mais nous ne les croyons
telles que pour ce que nous les avons démontrées en conséquence
d'autres principes qui nous sont plus familiers, plus clairs et plus
connus.

Toutefois, en particulier, il y a une distinction qui doit être bien
considérée et est telle : Quand les arcs NC et NB sont chacun moindres
qu'un quart de circonférence, le levier [CNB chargé des poids C et BJ
pèse sur l'appui N, poussant vers le centre A pour s'en approcher ;
quand les arcs CN, NB (Jîg. 28) sont chacun d'un quart de circonfé-

Fis. 23.

rence, le levier CNB chargé des poids C, B ne pèse nullement sur
l'appui N, d'autant que les poids sont diamétralement opposés, et par-
lant le levier demeurera de même sans appui [qu'avec un appui);
enfin, quand les arcs égaux NC, NB sont chacun plus grands qu'un
(|nart de circonférence, le levier CNB, chargé des poids égaux C, IJ,
pèse sur l'appui N poussant vers N pour s'éloigner du centre A.

H- Si ces particularités sont bonnes, il s'ensuit que votre second
principe ne peut subsister, ce qui paroitra fort clair quand nous l'au-
rons examiné plus particulièrement, comme il s'ensuit :

Soit donc A {/ig. iG) le centre commun des choses pesantes, la
balance ou le levier EFBCD, dont l'appui est B. Soit posé un poids
comme B, tout entierau pointB, pesant de (ouïe sa force sur l'appui B;
ou bien soit divisé le poids B en parties égales E, F, B, C, D, lesquelles
soient posées sur le levier aux points E, F, B, (], D, étant les arcs EF,
FB, BC, CD égaux et tout l'arc EFBCD décrit alentour du centre A.

Vous supposez que le poids [B], posé tout entier au point B, pèsera

,1 ŒUVRES 1)K FERMAT. - CORRESPONDANCE.

ilo nu'iiic sur l'appui B qu'olant poso par parties [('f^alos] aux poinis K,
y. R, ('.. 0. Cola ost tcllciiu'iit cloignc du vrai (|ii(' (|tiolquofois | le
poids W. ainsi posé par parties sur le levier, ne [ti'sera plus du ton!
sur l'appui B; (|uelquet'ois|. eu lieu de peser sur l'appui B [pour tirer
le levier] vers A. il pèsera [tout] au contraire sur le uièiue ap|)ui [B|
pour s'éloigner de A; et toutefois, élaut ramassé tout entier au point B

Fig. 16.
B

il pèsera toujours de toute sa force sur l'appui B pour emporter le
levier vers A et. en général, étant [divisé et] étendu, il pèsera toujours
moins sur l'appui qu'étant ramassé au point B [et vous supposez qu'en-
tier et divisé, il pèse toujours de même].

Tontes ces choses, quoique contraires à votre supposition, sont dé-
montrées en suite de nos principes, et nous vous en pouvons expli([uer
les principaux cas par vos principes mêmes.

12. Soit derechef A (^g-. 24) le centre commun des choses pesantes,

Fig. 24.

alentour diniucl soit décrit le levier CBD qui soit, de soi, sans poids et
prolongé tant que de besoin : et soit B le point de l'appui, auquel si
-un poids est posé, nous demeurerons d'accord avec vous qu'il [)i'sera

VIII.

16 AOUT 1636.

V5

de toute sa force sur l'appui B, lequel appui, s'il u'est assez t'ori, rom-
pra et le poids s'en ira avec son levier jusques au centre A.

13. Maintenant, soit divisé le poids, premièrement en deux parties
égales et, ayant pris les arcs BC et CD, chacun d'un quart de circonfé-
rence, afin que tout l'arc CBD soit une demie circonférence, soit posée
une moitié du poids en D, l'autre en C Lors ces deux poids C [et| D,
pesant vers A, ne feront point d'autre elTet sur le levier CBD, sinon
({u'ils le presseront également par les [deux] bouts C [et] D pour le
courber. Supposant donc (ju'il est assez roide pour ne pas plier, ils
demeureront [sur le levier] de même que s'ils étoient attachés aux bouts
du diamètre DAC, sans qu'il soit besoin de l'appui B, sur lequel le
levier, chargé de ses deux poids, ne fait aucun elfort : quand cet appui
n'y sera pas, le tout demeurera de même que quand il y sera, ce qui
est assez clair.

Que si le poids est divisé en plus de deux parties égales et, qu'étant
étendu sur des portions égales du levier, deux d'^icelles .parties se ren-
contrent aux points C, D, [et] les autres dans l'espace CBD, celles (jiii
seront en C [et] D, ne chargeront point l'appui B; quant auxau(res,
(dies le chargeront, mais d'autant moins que plus elles approcheront
des points C, D, auxquels finit la charge. Ainsi, il s'en faudra beaucoup
que toutes ensemble étendues chargent autant l'appui que si elles
étoient amassées en B; [elles ne pèsent donc pas de même].

14. Davantage, soient pris les arcs égaux BG [et] BD (Jig- 2,5 ), |)luti

Fis. 35.

grands chacun qii'un quart de circonférence, et soit imaginée la ligne

VG

ŒUVRES DK FEIIMAT. - CORRESPONDANCE.

droito D(',. Puis, olanl diviso le poids en deux pailics ('gales sciilonicnl,
soil atlaclicc riiiic ou V., | et | l'aiilit' on I). [Alors] il esl claii' (]iic le
li'vior, chargé dos poids C, D, pi'sora siii' ra[)piii B; mais a' sora lou(
au oonlrairo (|uo si los doux poids oloioiU aniassos en M. Car, si l'appui
u'est pas assez i'ori, il r()ni|)i'a, ot les poids, ompoilaiil lour lovior, (|uo
nous supposons être do soi sans poids, no opssoronl do mouvoir tant
quo la ligno droito CD soit vonuo au point A, lo lovior étant monté ou
parlio au-dossus do B, au lieu do s'abaisser vers A, oo qui seroit arrivé
si los poids, étant amassés en B, avoient rompu l'appui. [Voyez quelle
(lin'orencc! |

15. Enfin, soit le levier comme auparavant (_ftg- 2G), auquel soient
les quarts de cii'cont'éronce BC, BD et, do |)art et d'autre du point C,

Fis- 26.

soient pris dos arcs égaux CG, CE, chacun moindre qu'un (|uart. De
mémo, de part et d'autre du point D, soient pris les arcs égaux, entre
eux et aux précédents, DH, DF, tous commensurables au quart. Soil
aussi divisé tout l'arc EBF en tant de parties égales qu'on voudra, en
sorte que les points E, (], G, B, H, D, F soient du nombre de ceux qui
l'ont la division; et soit divisé le poids en autant de parties égales que
l'arc EBF, lesquelles parties de poids soient posées aux points do la
division (lu levioi'.

Alors, les |)oi(ls qui se trouveront posés sur les arcs EC ol FD, dé-
chargeront autant l'appui B (|u'il étoit chargé par ceux dos arcs CG,
DH. Ainsi, considérant tous ceux qui sont sur los arcs EG et FH, ils ne
chargent point l'appui [B], le(|uel. par ce moyen, no sera chargé que

VIII. - 16 AOUT 1636. 47

par ceux qui seront sur les arcs GB, BH; et, si entre BG et BH il n'y a
aucun poids (ce qui arrivera quand ces arcs BG et BH ne feront chacun
qu'une partie de la [susdite] division [du levier]), alors l'appui [B|
sera entièrement déchargé.

Voyez donc combien il v aura de différence entre les poids amassés
en B et étendus [par parties | sur le levier EBF. Voyez aussi qu'un
même poids [divisé par parties et étendu sur le levier] pèse d'autan!
moins sur l'appui B que plus [grande est la portion qu'] il occupe de la
même circonférence décrite alentour du point A [centre commun des
choses pesantes].

16. Maintenant, pour venir à votre démonstration, soit le levier GIR
{Jîg- '-i7 ), [duquel [ l'appui soit I et que les extrémités G, R et l'appui I

soient également éloignés du centre commun [des choses pesantes | A,
alentour duquel soit imaginée la portion de circonférence GIR, et soit
fait que

comme l'arc GL à l'arc IR, ainsi le poids R soit au poids G.

Vous dites que le levier chargé des poids G, R demeurera en équi-
libre sur son appui I; quant à la démonstration, vous supposez (ju'cllc
est assez facile en conséquence des deux principes précédents et, de
fait, si les principes étoient vrais, il ne resteroit peut-être pas beaucoup
de difficulté et la chose se pourroit à peu près conclure ainsi, la con-
clusion étant faite selon la méthode d'Archimède, en sorte que les arcs
RE, RM soient égaux, tant entre eux qu'à l'arc IG, et les arcs GB, GiVl
égaux, tant entre eux qu'il l'arc IR.

jEl| soit étendu le poids R également depuis E jusqnes en M e( le

»s

(Kl VUES DE FERMAT.- COKRESPOM) VNCE.

poids G aussi égaleiiicnl depuis M jusqucs en U; ainsi les deux poids
G. U scroul ogalomonl ('(cndus sur toul l'arc BGIMHE, duquel are les
porlious IH, lE étant égales, le levier B(;iMl{K denu'ureia en équilibre
sur l'appui 1 par le premier principe.

Mais le poids G, étendu depnis H jusques eu M, pèse de même
qu'étant ramassé au point G, par le second principe, et, parle même
principe, le poids R pèse de même, étant étendu de[»uis M jusques en
E, (pi'étanl ranuissé au point R. Car tous ces poids,' étant ramassés eu
G et en R, pèseront de même sur le levier qu'étant étendus; puis donc
(|u"élant étendns, ils t'aisoieut équilibre sur l(> même levier, ils t'eronl
encore équilil)r<', étant ramassés en G el en R.

En cette démonstration, tout ce (|ui est fondé sur le second principe
feroit les mêmes difficultés que le principe même et, partant, la con-
clnsion ne s'ensuit pas que les poids G, R fassent équilibre sur le levier
GIR.

Nous pouvions nous contenter de ce que dessus, croyant que vous
serez satisfait; mais nous vous prions de considérer encore deux in-
stances qui sont telles :

n. La lu'eniii're, (pi'an levier GIR (_/?^. 28), l'angle GIR étant droit
et (partanl| l'arc GIR une demie circonférence [décrite autour de A

centre commun des choses pesantes], si [V] on pose l'arc GI moindre
que l'arc IR, par exemple que GI soit le tiers de IR et le poids R de
20 livres, il faudroit donc en G Go livres, sidon vous, pour faire équi-
libre sur le levier GIR appuyé an point I. Et toutefois, si vous uu'tlez
des poids égaux en (J el en R, ils seront diaméiralenieni opposés et

VIII. 10 AOUT 1636. ig

IparlaiU par le principe do la Géostatiquo, au cas du dil principe ac-
corde par vous et par nons. les dits poids égaux] feront encore équi-
libre comme s'ils pesoient sur les extrémités du diamètre GR vers le
centre A; et, quand il y a une fois équilibre, pour pen cpie l'un aug-
mente ou diminue l'un des poids, l'équilibre se perd. Vovez comme
cela se peut accorder avec votre position.

18. La seconde instance est telle : soit le centre [commun des cboses
pesantes] A {Jig- 29), alentour dnqnel soit la circonférence (ÎIR, l'appui

du levier I, et les bras IG, IR, desquels Gl soi( le moindre; e( soi! prct-
longée la ligne droite lA tant qu'elle rencontre la circonférence en H.
Parlant, selon vous, il faudra en G nn plus grand poids (in'en H e(, si
l'on picnd l'arc IC plus grand (|iie IR. i'aisant le bras du levier IC. cl
même poids en G qui étoit en R, il l'andra en G un plus grand poids
qu'auparavant [pour faire l'équilibre]. De même, prenant l'arc 11)
encore plus grand que IC et faisant le bras du levier ID et le poids 1)
de même que le poids (], il faudra encore augmenter le poids G. Ainsi,
plus le bras du levier qui est en la circonférence IRB aboutira près du
point B, étant chargé du même poids, plus il faudra à IG un grand
poitls pour contrepeser, et, selon le sens commun, raisonnant à l'ordi-
naire, le bras du levier étant | la ligne droite] IB [chargé comme des-
sus |, il faudroit en G le plus grand [>uids. Et toutefois, alors le poids
(|ui seroit en B, pesant vers A, fcniil tout son effort sur la roideurdii
bras BI; et le moindre poids qui seroit en G feroit balancer le bras ll{
vers D; et pour peu que le poids qui sera sur le bras IG fait balancei' \i'

l'KIlMAT, — II. 7

50 ŒUVRES 1) E F E II U AT. - C 0 H R E S P 0 N 1) A N C E.

bras IIJ avof son poids vcM's D (^co qui semble ne se pouvoir nier), alors,
encore que tani G que B sortent de la circonférence, on conclura une
absurdité manifeste contre votre position.

19. Kiiliii. ^lonsieur, pour ce que rexpérience de tout ce que dessus
ne se pcul l'aii'c des poids naturels, si vous voulez prendre la peine de
la l'aire avec des artificiels, supposant | pour levier] un petit cercle arti-
ficiel, au lieu du grand cercle naturel, et des puissances qui agissent
|ou as|)iren( | vers le centre du petit cercle, au lieu des poids qui agi-
roieut vers le centre du grand, vous trouverez que l'expérience est du
tout contraire ii votre raisonnement.

Si nous eussions eu du temps davantage, nous vous aurions envoyé
ce que nous avons établi sur ce sujet et les démonstrations, mais ce
sera au premier ordinaire.

20. Si vous avez agréables les communications sur le sujet de la Géo-
métrie, en laquelle nous savons que vous excellez entre tous ceux du
temps, nous vous ferons voir de notre part des choses que peut-être
vous ne mépriserez pas. Or ce que nous vous proposerons ne sera point
par forme de questions, mais nous vous envoierons les démonstrations
en même temps pour en avoir votre jugement.

[Vous nous obligerez aussi de nous faire de vos pensées. Nous
sommes, etc.!

IX.

fer:\iat a Etienne pascal et roberval.

SAMEDI 23 AOUT 1636 C).
( l'a, p. i3o-i32.)

Mkssikui'.s,

1- J'ai lu avec grand soin le jugenuMit (|u'il vous a plu me donner
des proposilioris que j'avois envoyées à M. de Garcavi et, comme j"ai

C) Première r(!|ili(|iio à lu LcUri' VIII; voir prirliciilirrciiiciil. 10 cl 11.

IX. — 23 AOUT 1636. 51

reconnu la fermeté de votre raisonnement jointe avec une grande et
profonde connoissance de cette matière, j'ai aussi cru que vous ne
trouveriez pas mauvaise ma réplique que je ferai en peu de mots, et
que peut-être je tirerai à ce coup de vous le consentement que vous
n'avez pas voulu m'accorder d'abord. Et je ne pense pas avoir besoin
de m'excuser des erreurs qu'il vous a semblé que j'avois commises, à
quoi, quand je ne répondrois que par la hâte que j'eus d'écrire à
M. de Roberval {' ), lequel j'avois prié de suppléer ce qui ne seroit pas
expliqué assez au long, j'aurois peut-être suffisamment satisfait.

2. Mais pourtant je vous déclare que je n'ai jamais cru parler que du
levier moindre que le demi-cercle et, si j'ai omis de l'écrire, ma figure,
qui n'en représentoit que celui-là, réparoit assez ce manquement,
puisque je n'avois pas seulement eu le temps d'écrire la démonstration
de ma proposition sur ma dite figure. Que si le levier est plus grand
que le demi-cercle, j'ajouterai à la fin de ce discours la proportion
qu'il doit garder; il me semble que j'en ai assez dit pour répondre à la
plus forte des objections que vous faites contre mon second levier.

3. L'autre qui combat mon second principe a été prévue par moi, et
je vous avouerai que, quoique ce second principe soit manifestement
faux et qu'il choque mon sentiment sur le fait du premier levier, je
l'avois pourtant industrieusement et à dessein mis dans ma Lettre, afin
de vous faire accorder qu'un grave pèse moins, plus il approche du
centre de la Terre, ou, en me niant cette vérité, vous obliger d'accorder
celle de mon second levier. M. de Carcavi, à qui je l'avois écrit quelque
temps auparavant que de recevoir vos Lettres, vous le témoignera sans
doute, et j'en ai tiré du moins le profit que vous m'avez accordé qu'un
grave pèse moins, plus il approche du centre, quoiqu'il soit malaisé do
déterminer la proportion de la différence de ces poids.

4. Je me contente d'avoir dit ce peu de mots par avance et viens à la
démonstration de mon second levier, après vous avoir assuré que

(') Fuir Lettre VH.

52 ŒUVRES i)K FEIUIAT. - CORRESPONDANCE.

jamais lunnmr du iiiondo ne se poricra avcr plus do l)()iiiit' foi cl d'iii-
goiuiilc (|U(' moi ii avouer les vci'ilcs (|U(' j'aurai rccouuiu's, cl (|uc je
crois lua proposition tcllcuiciil vraie (|iie, l'ayaiil souvent considérée
de ilivers biais et à diverses reprises, je n'ai jamais pu en douler.
Voici les vrais |)rincipcs de ma démonsh'alion :

AxioMA I . — ^'/ i>rcn'e quiesccns ah aliijuo piinclo suspendatur. gravi-
tahil super li/icam rcctam puncliim suspcnsionis el centrum terrœ conjun-
gcntem. — Patel (ixiotnalis rcrilas (pua aliter grai'e non (juiescerel.

AxioMA II. — In recte circulari. etijus dimiflium piuicturn suspensionts.
si ex alraqiie parte in piinctis œqualiiiin scetionum gravia œqiialia collo-
centar, corpus e.x omnibus illis gravihus compositum et a medio illo puncto
siispensum quiescet .

AxioMA 111. — /// rcrie cirritlciri seniicirculo ininori. cujus ceniruni est
eentruni terra' {hoc cnitn in /lostro recte semper intelligendum). si punc-
luiii suspcnsionis i/ia'qualiter vectcm dividat et ex ut raque parte in punclis
a'qualiu/n scetionum gravia œqualia collocentur, non inanebit corpus ex
omnibus illis gravihus compositum, sed inclinabitur rectis ex parle dicijojis
portionis. — Hoc palet etiam ex veslris positio/iibus : quum enun lotus
rectis sit semicirculo /ninor. si/ius rninoris portionis erif mmor si/tu rnajons
portionis. ideoipie non /leg/ihitis i/iclinationem fieri ex parte maptris por-
tio/iis.

[fis suppositis. exponatur figura conti/iens recte/n DEG ( tig. 3o ) et per-

fic.iantur reliqua juxla pnvparalionem Archimcdeam. Grave m D, dispo-
silum per partes œquales in porliones BG, GD, DE, EF, grai'itat super
rcctam DN : nam, suspensum a puncto D, per secundum axioma quwscit :
f'rgo. per primum. gravitât super 1)N. Igitur. sive totum sit in D, sivc dis-

1\.

23 AOUT 1636.

33

positum per partes œquales in portiones BC, CD, DE, EF, semper super
camclem reclam DN gravitât. Sirniliter grave in G, sive toliim sit in G, sive
per parles œquales FG, GH disponatur. semper super eamdem rectam GN
gravilabil. Quum autem gravia per partes œquales BC, CD, DE, EF, FG,
GH disposita sint œqualia, gravit ahit aggregatuni lotius gravis super rec-
tam EN : ergo palet conclusio aut, per deduclinnem ad cdisurdiim, indc
facillime derivatur ope terlii axiomalis.

Eadem certe eral Archimedis ( ' ) ratiocinatio : nam reclœ BD ( iig. S i )
centrum gravitatis, verbi gratia, in (] constituil, ut probel gravia œqualia

Fig. 3i.
B c r> E F

m punctis B, D super rectam CN gravitare, quod ilte supponit. quu/n in
lihra tantum DEF hoc verum sit, quœ ad rectam EN est peTpendicularis.
in reliquis falsum, quia ad angulos inœquales a redis à cenlro terrœ
sceau tur. In nostro autem vecte hœc difficultas non occurrit. quum semper
ri in quocumque puncto reclœ a centra terrœ eum normaliter secenl.

Sil libra DCB (fig. 32 ), centrum terrœ A, centrum librœ C; complealur
circulus centra (\, inlervallo CB descriptus cl DEA, BA, CFA jungantur.
Jungalur et CE; ponantur in punctis B c/ D pondéra œqualia cl sil ait-
gulus ACD major angulo ACB : .4/V; libram a puncto C suspensam ad
parles B inclinari, idquc per supposita ab Arc/iimedc.

Pondus a puncto D al punctum lî transferalur; ex Arc/timedc. idem est
ac si pondus esset in puncto D, quia ponitur in recta punctum \) cl centrum
terrœ conjungentc : si igitur intelligalur recta CE pondus in E retinerc.
manebunt, ex Archimede, brachia CE et CB, quum ponantur maiwrc CB
cl CD. Igitur anguli ECF, FCB crunl œquales : Iriangulum enim œqm-

(' » Cp. ArciiimÊde. Dr planorwn ivquil'diriit:, I. 6.

o*

ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE.

rriur, i/i ctijtis cxl remis œqtialia pondéra collocanlitr. nio\rltir semper
(fonce perpendicularis liorizonti. Iioc est recta rertieem et cenlritrn terra'
conjungens. angulum ad rertieem hisecet, quod caperientia testaliir. An-
gidiis aiitem \\Πduplus est anguli ad I) : ergo angiilus FCB angulo I)

Fijr. 33.

est (cr/iiafis. Parallelœ igiltir eri/nt (]X et DA, quod est absurdam : non
ergo quiescit lihra. sed ad partes B inclinât nr. quia angulus B(]F major
est angulo ECF, /// patet.

Voilà, en [)cii de mois, ma l'épliquo pour le second Icvicf, hKiiicllc
i't'iisse plus ctcndiie si le temps me le permettoit.

5. Que si le levier est plus grand que le demi-cercle comme (^AB
[Jig- 33) duquel le point do suspension est A, les extrémités ("., B,

alors le levier ne soutiendra plus, mais sera pressé en haut par ces
deux poids, de sorte (ju'il faut prendre la proportion réciproque des

IX.

23 AOUT 1636.

55

deux angles CND, DNB, après avoir prolongé la ligne AN. La démon-
stration en est aussi aisée que celle du premier cas.

6. Pour le premier levier, soit le centre de la terre B (fig. 34), les
poids égaux A et C, et la ligne BC plus grande que BA. Si vous m'ac-
cordez que ce poids en C pèse plus qu'en A (quoique vous estimiez

Fig. 34.

o

-e

qu'il soit malaisé d'en déterminer la proportion), mes alFaires sont
faites : car il descendra donc, et la même raison ayant toujours lieu
jusques à ce que la ligne (M soit égale à BA, il ne s'arrêtera pas
plus t(M.

Et que cela se fasse par attraction ou autrement, la chose est indifïé-
rente. Toutefois je vous puis assurer que je puis prouver cette même
proposition par des expériences que vous ne sauriez contester et que
je vous onvoierai au long, dès que la commodité me le permettra.

7- Cependant voici une de mes propositions géométriques, puis([u"il
semble que vous ayez désiré d'en voir :

Su parabole AB (tig. 35), cuj'iis verlex A, et circa reclam DA stabilem
fleura DAB circurnverlatur, describeliir ronoides parabolicum Archiine-

Fig. 35.

de uni, citjm proporlio ad cotium ejasdem basis el verticis eril sesq niait era.
Quod si circa stabilem Défigura DAB circumvertatur, fiet novum conoides
cuj us proport io ad conurn ejnsdem basis et verticis quœrebatur.

Eam nos esse ut 8 ad ,) demonslravimus, nec res vacabat difficultate.
Imo et centrum gravitatis cjusdem conoidis invenimus.

.jti (KUVHES DE FERMAT.^ (.OIUÎESPONDANCE.

8. J'ai Iroiivc l)tM»cou|) d'aiilrcs propositions gt''oiii(''lr'i(|iirs, coiiiiiic
la ri>slitulioii de toiiti's les pro|)osilioiis de loris plaiiis ( ' ) cl aulros;
mais ce (Hii' j'osliinc plus (iiic (oui le rcsic csl iiiic mélliodi" pour
il(''l(M'inint'r loiilcs sortes de problèinos plans ou solidos, |)ar le movcn
i\i' la(|ii(dl(' ji' Iroiivc riiivcnlioii (^- ) Diaximœ et mi/nnuv in oin/iibits
iimnino proi^/c/nd/ibiis, et ce, par une é(|uation aussi simple et aisée
{|ne eelles de] l'Analyse ordinaire.

9. Il v a inlinies (|uesti()ns (|ue je n'aurois jamais pu résoiulre sans
cela, eoninie les deux suivantes, que vous |)ouvez essayer si vous
voulez ('■^) :

Ihtia' spluvra' inscriberc co/zi/ni onininiti iiiscrihcndoniin ambitu rna.ii-
iniiin.

hnlœ s/)/i(Cia' inscriberc cvlindriini onu/ium inscribcndorum nmbiin
maximum.

J'entends par ambitiirn, non senlemcnt superficies conicas et cylin-
(Iriccis. mais le eireuit entier composé, au cône, du eerele de la base et
de la supertieie eouique, et au eylindre. des deux eereles des bases
et de la supertieie cylindrique.

Il semble que ces deux questions sont nécessaires pour une plus
grande connoissauce des fiifures isopérimî'tres ( M-

10. Cette métliode ne sert pas seulenuMil à ces questions, mais à
beaucoup d'autres et pour les nombres et pour les quantités.

\ dus m'obligerez inlinimeut de mv l'aire part des productions de
voti'e esprit et de me croire etc.

. I ' j Foir LeUrcs I, 10 cl VI. 10.
(2) roi>TomeI, p. i33.
(') Foir LcUres I, 12, et VI. 9.
(*) Sujet dont .s'occupait lioljcrvat. Foir Lettre .\t\'. 11.

X. — 2 SEPTEMBRE 1636. 57

X.

FEMIAT A MERSENNE.

MARDI a SEPTEMBRE l636.
( T'a, p. 123-12^.)

Mo> Révkrend Pkhe,

1- L;i IcKre dont vous me parlez dans votre dernière s'est sans doute
égarée, car celle que je viens de recevoir est la seule qui m'est venue
depuis cin([ ou six semaiiu'S de votre pari.

2. Sur le sujet de laquelle (^') je vous dirai (jue, (|uand nous parlons
d'un nombre composé de trois quarrés seulement, nous entendons un
nombre qui n'est ni ((uarré, ni composé de deux cjuarrés; et c'est ainsi
(|U(' Diopliante et tous ses interprètes l'enlendenl, lorscju'ils disent
(|u"un nombre, composé de trois quarrés seulement en nombres en-
tiers, ne peut jamais être divisé en deux quarrés, non pas même en
fractions. Autrement et au sens que vous semblez donner à votre pro-
position, il n'y auroit que le seul nombre de 3 (|ui (Vil composé de trois
(juarrés seulement en nombres entiers; car :

Premièrement, tout nombre est composé d'autant de (juarrés enti((rs
(|u'il a d'unités;

Secondement, vos nombres de 1 1 et i4 se IrouvenI composés cliacun
lie cinq quarrés; le premier de l\, 4, i, i, i ; le second de 4, 'i, \, i, i.

Que si vous entendez que le nombre ((ue vous demandez soit com-
posé de (rois quarrés seulement et non pas de qua(re, en ce cas la
question (ient plus du hasard que d'une conduite assurée et, si vous
m'en envoyez la consd'uction, peu(-é(re vous le ferai-je avouer.

(M l'oir Lettre VI, 7. — D';ipi-cs Descartes (Lettres, éd. C(erselier, III, CiO), l'aiileiir
(le la question, Sainte-Croix, demandait que les deux nombres à trouver et leur somme
fussent composés de trois carrés à l'exclusion de (|aatro. Il n'y aurait dès lors, suivant
IJescartes, que trois solutions : i, 3, G: 3, ii, i4; 3, m, ■j.\.

Kersiat. — U. 8

o8 ŒuvuKs m-: rKUMvr. - (,oiu\esponi)ANCE.

[)o sorte (jiii' j'avois satisfait à volro proitosiTHui au sens de Diopliaiilo,
qui semble être le seul admissihle en cède sorte de queslions.

Or, (|u"nn nombre, composé de trois (juarrés seulement en nombres
entiers, ne puisse jamais être divisé (mi deux (|uarrés, non pas même
en fractions, personne ne l'a jamais encore démontré et c'est à <]uoi je
travaille et crois que j'en viendrai à bout. Cotte conuoissance est de
grandissime usage et il semble (|ue nous n'avons pas assez de prin-
cipes pour en venir ii bout; M. de Bcaugrand est en cela de mon avis.
Si je puis étendre en ce point les bornes de l'Arithmétique, vous ne
sauriez croire les propositions merveilleuses que nous en tirerons.

3. Pour la Proposition géoslatiquc, elle est toute fondée sur ce prin-
cipe seul, que deux graves égaux, joints par une ligne ferme et laissés
en liberté, se joindront au centre de la terre par le point qui divise
également la ligne qui les unit, c'est-à-dire que ce point de division
s'unira au centre de la terre. Messieurs Pascal et de Roberval ('),
après avoir reconnu que tout mon raisonnement est fondé là-dessus
et, qu'accordant ce principe, ma proposition est sans difficulté, m'ont
nié ce principe, que je prenois pour un axiome, le plus clair et le
|)lus évident (ju'on i)eut demander; obligez-moi de me dire si vous
êtes de leur sentiment, .le l'ai pourtant démontré depuis peu par de
nouveaux principes, tirés dos expériences, qu'on ne me sauroit con-
tester, et je le leur envolerai au plus tôt.

Je suis etc.

(') yoir Lettre Mil, 1 el suiv.

XI. -- SKPTKMBHE 1G3G. 59

XI.

PERIMAT A ROBERYAL (').

MAlîDI l6 SEPTEMBRE lG.36.
{fn. p. i3.')-i3G. )

Monsieur,

1. Je me trouvai ces jours passés à la campagne lorsque je répondis
à voire écrit, que j'avois pourtant laissé en cette ville. Depuis mon
retour, je l'ai considéré plus exactement et vous envoie la réponse
plus précise à tous ses points concernant le premier levier. Si vous ne
goûtez pas mes raisons sur le second, vous m'obligerez beaucoup de
m'envoyer la démonstration de votre proposition suivant l'opinion où
vous êtes, que les graves gardent la proportion -réciproque des per-
pendiculaires tirées du centre du levier sur les pendants, et de laquelle
je douterai toujours jusques à ce que je l'aurai vue. Je vous puis pour-
tant assurer que je ne saurois démordre encore de la mienne et (|iril
me semble que vous ne sauriez démontrer la votre, au moins par les
principes que nous connoissons.

2. Le principe que je vous ai demandé pour l'établissement de nu's
propositions géostatiques est que, si deux poids égaux sont joints par
une ligne droite ferme et de soi sans poids et, qu'étant ainsi disposés,
ils puissent descendre librement, ils ne reposeront jamais jusques ii
ce que le milieu de la liLjne s'unisse au centre commun des choses
pesantes. Ce principe, qui vous a semblé plausible d'abord, a enfin
choqué votre opinion sur ce principalement que nous ignorons la
cause radicale qui fait que les corps graves descendent, sur quoi vous
dites qu'il y a trois opinions différentes et que, de toutes les trois, les
conséquences semblent diflerentes.

(' ) Suite à la LeUre IX et seconde réponse à la Lettre VIII. Dans les l'aria, l'article 7
suit immédiatement le n" I. — La réplique de Robcrval est perdue.

(iO iKl \I{KS DE l'KllMAT. - COHllESPONDANCE.

3. Ji' ne rt'pi'lc point vos mois ni vos raisons; je me conlcnlc d'y
ic|ion(ii'(' cl /'/•////() en la |)r('iniJ'r(' opinion.

Kn voire iigiirc {J'f^- ii>). vous dilcs (|u'il vous scinhic que, si le
point n on I"] convient avec le ccnti'c coinnnin «les elioses |)esant(>s.

Kiff. iS.

&

-e

eonil)ien (|ue l'un des poids en soit plus proche (|ue l'autre, ils conlre-
pi'seront encore et demeureront en équilibre. Puis(|ue, dites-vous
(pour me servi i' de vos propi'cs termes), ces deux poids sont éi^aux
et ont tous deux même inclination de s'unir au centre commun des
choses pesantes, l'un n'a aucun avantage sur l'autre pour le dé|dacer
de son lien .

Or, si ce raisonnement est bon, voyez-le dans la figure suivante
(/?!,'". 'Mi), dans laquelle j'emploierai les mêmes mots.

Fig. 36.
c

Soit l(> centr(> de la terre 0, un point dans sa surface ou ailleurs (];
soit jointe la ligne (^l), et soit au point (' attaché le levier B(]A,
duquel les bras BC, (-A soient égaux el les poids B et A aussi égaux,
l'angle B(]A ferme. S'il n'y avoit point le |)oids en B, la ligne (lA
s'uniroit ii la ligne CD, c'est-à-dire (|ne le poids A s'approi-heroit du
centre D autant qu'il pourroil; et tout de même de la ligne B(<.

Soit fait l'angle BCD moindre qne D(LV; par le précédent raisonne-
ment, le levier s'arrêtera (ce qui est contre l'expérience), puiscjue les
deux poids A et B sont égaux et ont tous deux même inclination de
s'unir au centre D sivc l\ la ligne (^1), et l'un n'a aucun avantage sur

XL- 16 SEPTEMBRE 1636. 61

l'autre pour le déplacer de sou lieu. Or, de même qu'en ce cas l'ex-
périeuce nous fait voir que ces deux poids approcheront également
du centre D et de la ligne CD, il ne faut pas douter qu'au premier cas
ils n'approchent également du centre de la terre, et la raison de toutes
ces deux propositions est, qu'ayant même inclination au centre (>t ne
pouvant tous deux y descendre, à cause qu'ils s'entr'empêchent, ils y
approchent du moins également : autrement la force de celui qui y
approcheroit davantage seroit plus grande.

4. L'exemple du levier horizontal (fig- 37) ne fait rien à la (jues-
tion : car, pour marquer que les poids B et A n'ont pas leur inclina-

FiK. 3;.
C

(ion au point (!, il ne faut qu'oler la ligne (^D, sur laquelle le levier
s'appuie, et le levier ne restera pas de demeurer, s'il est pressé par les
poids A et B horizontalement, de sorte que le point C n'est non plus
considérable que tel autre de la ligne BA que vous j)rendrez. Et, cela
étant, l'exemple est inutile, parce que la principale raison de mon
principe déjtend de l'inclination des graves au centre de la terr(\

5. Ce que vous ajoutez, do deux poids qui seroient inégaux, joinis
comme dessus à une ligne droite fernu> et de soi sans poids, n'esl non
plus recevahie : car, vous accordant que, lorsque vous menez un plan
perpendiculaire à la ligne qui joint les deux poids, comme vous faites
en votre figure ('), il est certain qu'en ce cas il y a de chaque côté du
centre une grandeur égale; il arrive pourtant cent cas auxquels, si
vous coupez les deux poids par un autre plan passant par le centre, les

(1) T'nir fîg. 0.0, Lettre VIII, 6.

«2 GU'VUES DE FEIIMAT. - COR lUiSI'ONDANCK.

grandours qui soront do chaque colé soroiit inégales, e( ainsi nn même
corps en même (emps arrèlera e( n'airèlei'a jtas.

Kl n'imjxirle de dire que ce plan doil èlrc toujours perpendiculaire
il la ligne qui joinl les deux graves, ("-ar vous savez qu'anlonr du cenire
lous endraits sont indillV-rens et o:nnia intelliguntur stirstiin. ouinia
ileorsum.

Il i'aut donc nécessairement prendre le repos des poids, non pas de
cette faijon, mais de la proportion réciproque suivant mon sentiment.

Voilà, en peu de mots, la réponse ii votre première opinion, (]ue
j'eusse pu étendre davantage et tirer mémo la démonstration de mon
principe de l'expérience (|ue je vous ai donnée, comme il vous sera
aisé de voir.

6- Si la seconde opinion est vraie, mon principe est infaillible. Car
en ce cas vous dites que l(> cor|)s pi'sera d'autant moins qu'il sera
proche du centre, mais cette diminution ne sera pas on la raison des
éloignemens. Or, puisqu'un corps pèse moins on ce cas à mesure
qu'il est plus proche du centre, donc il sera toujours pressé par le
plus éloigné, jusques ii ce qu'ils soient également éloignés du centre.

Kn la troisième opinion les mêmes raisons sont bonnes.

Je serai bien aise que M. Pascal voie ma Lettre, si vous l'agréez.

7. Permettez-moi de changer <le matière et de vous demander la
démonstration de cette proposition (|ue j'avoue franchement que je
n'ai encore su trouver, quoique je sois assuré qu'elle est vraie (') :

Summa quadralorum a duabus redis rationalibus longiluditie commen-
ta) L'A proposition que Fermai énonce dans le langage enclidien peut s'exprimer comme
suil :
Si « cl i sont rationnels et que l'on ait

.r cl x^ seront irrationnels.

L'apotome est proprement la différence de deux grandeurs incommensurables entre elles,
mais dont les carrés sont rationnels (Euclide, X. yS); .r = /( « -t- 6 )- -i- «-' + /;' _ („ _|_ i)
sera dès lors une apotome, si le radical est incommensurable avec a + b. — J'oir plus
loin I-eUre XIII. 8.

XII. - SEPTEMBRE 1030. 63

surabilibiis, si ad duplurn summœ laterwn applieelur excedens figura ijua-
dralâ. lalitiulo excessâs erit apolome. \

Vous no sauriez croire combien la science du dixième Livre à'\Ln-
clide est défectueuse : je veux dire que cette connoissance n'a pas
encore fait de grands progrès et qu'elle est pourtant de grandissime
usage. J'y ai découvert beaucoup de nouvelles lumières, mais encore
la moindre chose m'arrête, comme le théorème que je viens de vous
écrire, qui semble d'abord plus aisé ii démontrer qu'il n'est pas.

J'attends de vos nouvelles et suis etc.

XII.
FERMAT A MERSENNE.

< SEPTEMBRE OU octobue 16S6. >

( A f- G-9, V, r- i2"'-'4'°.)

Revekode Patf.p,,

1. Quamvis id agam ut pro OEdipo Davum (^') resliluam. cl li-
bentissime profitear quiPstionem Domini de Sainte-Croix ad nicam
notitiam (-) non pervenisse, liceat lamen numéros ab ipso exliibi-

(' ) .Vlkision iiu vers igî do Y Indria de Tércnoe :

Non licrclc inl^îlleïo. — Non/ lioiii. — Davos sum, non OEiJipus.

(2) Il osl malaisé de détcniiiner si la qnoslioM duiil il s'agit ici est bien celle donl il est
parle Lettres VI, 7, et X, 2, ainsi que plus loin. XII, 5, ou une antre dos cinq questions
iiuméri(iues proposées [lar S'" tlroix à Descartes en avril iGiS, à savoir :

I. Trouver un trigone qui. pliiv un trigo/ic tctmgone, fasse un tétragone, et de rechej,
et que de la somme des côtes des tétrogones re'sulte le premier des trigones et de In jnulii-
pUcation d'elle par son milieu le second. J'ai donne' i5 et 120. J'attends que quelqu'un y
satisfasse par d'autres nombres ou qu'il montre que la chose est impossible.

II. Trouver un trireciangle dont chacun des côtes soit l'aire d'un trirectangle. J'ai
donné 'tAO, yio, y5o. J'attends etc.

III. Trouver un bartong nu tc'tragone plus sa pleure et tel que l'aggrégai du dit te'lrn-

tiV ŒUVHES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

tos (^ ' ) soliilione prohloiualis ahs te proposili componsaïc, cl qiia'stio-
iios aliqiiol àu.oi[3ata; siihjicoro, quaruiu enodationem ad nos sorius

goiic cl de son dotthlr Icirngone faise un Ictriigonc (lanl in pleure soit le barlong ou té-
tragonc plu.t sa pleure. J'ai donne d. J'attends etc.

IV. {T'oir ci-avaiil. LcUre VI, 7, noie.)

V. On demande aussi un nombre dont les parties aliquotes fassent le double et, pour ee
qu'on en a déjà trois qui sont 120, 672 et 52377G, il est question de trouver le qua-
trième.

Le.* rensei^nomcnls lires do la correspondance de Uescarles sont conlradicloircs; dans
une lellro à .Mersenni' du 22 juin i638, il dit (éd. Clersclier, 11, 88) :

n Je serai bien aise de savoir si les réponses de M. Fermât ont satisfait davantage
" M. de Sainle-Croix que les miennes; mais pour moi, je trouve plaisant que, de quatre
■• questions, n'y en ayant qu'une qu'il résout à peine en donnant un nombre qui y satis-
■< fait, il ne laisse pas de faire des bravades sur ce sujet, disant qu'il ne se contente pas
» de résoudre ces questions à la modo do M. de Sainte-Croix, etc., et en propose une
:i autre toute semblable et nir-me qui est bien ])lus aisée. »

l,e jo juin 16ÎS (éd. Clorselier, III, (i2), il écrit d'autre part à Mersenno :

« Je lui ai aussi proposé (à Gillot) la quatrième question de M. de Sainte-Croix qui est
» de trouver deux nombres chacun desquels, comme aussi la somme de leur agrégat, ne
» soit que de trois tétragones, à cause que vous me mandez que c'est celle qui a semblé
u à M. de Fermât In plus dijficile. u

On doit remarquer que la (pu;stlon II de Sainte-Croix à Descartes a d'abord élé proposée
par Fermât à Sainle-Croix qui la résolut (ci-après. Lettre XVIll, 3), que des quatre
autres, la question V aVait été posée par Mersenne dans l'Épîtrc dédicatoire de ses Pré-
ludes lie l'Harmonie universelle en i634 (voir Lettre III, 2), avec l'indication du nombre
120. Fermai trouva le nombre 672 (Lettres XII, 4, et XIII, 4). Le troisième nombre
5';>3776, que ne donne pas la méthode de Fermât (IVu ), parait avoir été trouvé par Sainte-
r.roix à une date postérieur!^ à l'impression de la Seconde Partie de l'Harmonie unii'er-
seUe de .Mersenne (i6>7 ).

La question III, qui se traduit par l'équation

jr2-f-2(.r2)2= (,r2-i-.r)2,

est très aisée à résoudre, et il est improbable que ce soit celle devant laquelle Fermât dé-
clarait n'être |)as un CEdipe. Il n'en est pas tout à fait de même pour la question I, dont
l'énonce, passablement obscur, semble devoir s'exprimer par les trois équations

( i--^3) (y ->- - -H 1 1
2

./:(.r

-H /î'^ = .

■ 1 I r /; ( // H- I )

avec les condilions (pie a-, j, ; soient entiers et /)- un entier du la luriiie ; •

(') l'eut-étre comme solution de la qucsliuii II, jiroposéc par Fermât a Sainle-t^roix.
Voir noie |>réi'édenle.

XII. - SEPTEMBRE 1636. 65

proventuram auguramur, quidquid polliceatur acutissimi vir ingenii.

2. Duni igitur diffîcilioribus numeris tentationem honestamus, ut
ipse loquitur, ita proponimus (' ) :

i" Invenire triangulum reclan gidum numéro, cujus area œquetur qua-
Irato.

n

■2° Data summâ solidi sub tribus laleribus trianguli rectanguli numéro
et ipsius hypotenusœ, invenire terminos intra quos area consislit.

Nec moveat additio solidi et longitudinis; in problcmatîs (Miiiii mi-
mericis, quantitates omncs sunt homogenea-, ut omnes sciunf .

3° Invenire duo quadratoquadratos quorum summa œquetur quadralo-
quadrato, aut duos cubos quorum summa sit cubus.

4° Invenire très quadratos in proportione arithmetica, ea conditione ut
diffère ntia progressionis sit numerus quadratus.

3. Quatuor problematis duo theorcmata (^) adjunginius, (jua", a
nobis inventa, a Dom°. de Sainte-Croix demonstrationcm exspectant
aut, si frustra speraverimus, a nobis ipsis nanciscentur. Sunt autem
pulcherrima :

I" Omnis numerus œqualur uni. duobus aut tribus triangulis,

uni, 2, 3 aut 4 qiiadratis.

uni, 2, 3, 4 aut 5 penlagonis,

uni. 2, 3, 4, 5 aut 6 hexagonis.

uni, 1, 3, 4, -ï, 6 aut ~ heptagonis.

et eo continuo in infinitum progressu.

Videtur supponere Diophantus secundam partem theorematis, caui-
que Bachetus experientiâ conatus est contîrmare, sed dennonstratio-

I 1) Des quatre problèmes proposés ici par Fermât, trois sont insolubles, t'oir au Tome I
les Observât ions sur Diopliante : pour (i) et (4 ), VOhs. XLV; pour (3), VOIis. II.

I - ) Pour le premier de ces deux théorèmes, voir Tome I, YObservation XVriI sur J)i<i-
pliante ; pour le second, comparer l'Olis. XXVII.

Fermât. — \l. y

tu; ŒLIVKES 1>K FEIUIAT. - (,()HHESPON 1) ANCE.

lUMii lion attiilil. Nos propositioïKMii ijcncralissiinaiu cl |nil(li(Miiiiiaiii
priiiii, nisi iallor, dctexinuis et pro jiiro syiiallagmalis adiuilli, iicscio
an jnrc. poslulamiis.

■2" Orltiphim cu/ttsli/>c/ tiitincri iiiutatc (Icrniniiliiiii coinpomliir c.r (juit-
litnr (fitadratis lantam. non so/iini in integris, (.\\\w\ pokicrunl alii vi-
(lisse, sed etiam in fraclis. (|U()il nos demonstraturos pollicenuir.

Ht (^x liac propositions mira sanc ([('dnciiMiis, quie, si in proniptu
l'ucrint Doin". de Sainte-Croix, saltcin Hacheti iu!>cninm ot opcrani vi-
dentnr inniilitcr sollicitasse.

4. Priusqnam propositioncni de eiibis a te propositam construanius.
ad quœsitum (') de numéro (572 respondeo nie unicum illum non ere-
dere proposito satisfacientem, sed hic nnns post 120 in nostra me-
tliodo occurrit.

In luijusniodi autem qusestionibus niliil impcdit quominus alius
alià methodo alios numéros qusestioni satisfacientes nanciscatur : hoc
si eontigerit Dom°. de Sainte-Croix, libentissime ab eo accipiemns una
cum methodo qua iisus est. Sunt enim luijusmodi qusestionespulclier-
Ywnx et dilliciliima; et a nemine, quod sciam, hactenus solutse; infini-
tas autem similes peculiari nobis methodo jam eonslruximus.

5. Quod ad qufestionem (-) de nunieris '\ et 1 1 spectat, tatemur dif-
ficillimam nobis visam et adhuc, post multa tentamenta, ignorari. Ht
cri'diderim, donec contrarium appareat, ejus solutionem sorti polius
quam arti deberi ; sed malimfalli me quam Dom. de Sainte-Croix. Hjus
solutionem si dignetur impertiri, viam eoustructionis rogo adjungat.

6- Tnam de cubis quaestionem ita eoneipimus :

Ikilis quolUhcl nunieris in propor/ionr r/iuivis arithmeùca, ciijns diffe-
rcnda progression is cl nnnicrus Icnninonirn dc/iir, invenire siirninnm cii-
hornni ahs omnibus.

(') P'oir plus luiiit. pape 61. note.
(2) roir LeUres VI, 7 et X, 2.

XII. - SEPTEMBRE 163G. 67

7. Primus casus est quum primus terminus est imitas et dilïerentia
progressionis etiam imitas.

Exhibeantur niimcri iii hac progressione qiiotlibet :

1.2. 3. 4. 5. 6. 7. S. 9;

quadratum trianguli numoroniin ;oquatiir ciibis abs omnibus. L'iin hoc
exemplo, in quo sunt 9 numcri, triangulus numcrorum est 45, cujus
quadratus 202J œquatur summa' cuborum a singulis.

Hsec autem proposilio in lioe casu a Bacheto ( ' ) et aiiis est (U'mou-
strata; sequentes casus nos invenimns.

8. Sit primus terminus imitas et differcntia progressionis numerus
quivis, ut in hoc exemplo in quo 4 ost difTerentia progressionis :

1.5.9.13.17,

sumo triangulum nltimi numeri dilïerentia progressionis nnitatedemi-
nuta aucti.

Est autem 210, et ejus quadratum

4^100.

Ab eo detraho sequenles numéros :

i" Summam totidem cuborum ab unitate in progressione nalnrali
duccntium exordinm, ((ih)1 siiril unitates in differcntia progressionis
unitate deminuta, eamque summam duclam in numerum terminorum.

Numerus autem, qui in hoc exemplo inde eruetur et ([ucm diximns

subtrahendum, est

iSo.

2" Detraho triplum summa» totidem quadraloium ab nnilalt^ in j)ro-
gressione naturali duccntium exordinm, quot suiit uuilalcs in tliffc-
rentia progressionis unitate deminuta, illudque ducdim iu summam
numerorum progressionis data*.

Numerus, qui in lioc exemplo inde eruclur et quem diximns subtra-
hendum, est

1890.

(M Appeiidix ad libnim de niimcris polygoiiis, II, prop. 2i.

68 ŒUVHES DE FERMAT- COURESl'ONDANCE.

3° Dotraho tripUini siiiiuiiii' lolidcm mimoroniin ab unilato in pro-
sfrt'ssiono naturali diiotMitium oxordium, quoi siint unitalcs in diliV-
iTntia progi'ossionis unitalc dciniiuila, illii(l(|ii(' dncfuin in summain
(|iiailratoriim abs niuncris progressionis data^.

Numcrus, qui in boe oxcmpb) in(b' crnctnr et quoni dixinms snbtra-

hcndnni. est

10170.

Snninia iinmi'roruni aul'crcndonini a numéro 44' 00 osl 12240. rcli-
quuin '^iSGo : quod si dividas per 4. dilTcrentiam progressionis, habe-
bis suniniani cuborum abs nnnicris

1.5. 9. 13.17,
7965. et uniformi in infinifum mctbodo.

9. Sed nonduni constat qua ratione inveniatur sunima numeroruni :

1.5.9.18.17,

ncquc quomodo sumnia quadratorum ab ipsis inveniatur : quod ta-
nien ad secundam et tortiam operationem perticiendum est neeessa-
riuni.

Priniilni illud praestitit Hachetus (') in libello De ntimcris maltangu-
lis : socundum ita expedictur.

Suniatur summa tôt quadratorum ab unitate in progressione natu-
rali, quot sunt unitates in majore progressionis numéro differentia
proi(ressionis unitate deminuta aucto.

Hoc autem est facib' et ab Archimede (-) in libro De Spiralihus
traditum.

Ab ea summa :

1° Detrahe summam totidem quadratorum in progressione naturali

C) Comiiieritnirn do Bachot sur les propositions IV ot V Dioplunill -l/eraridrii/i tic
inu/laiigulit inotieris.
(*) Archimùile, De llneis sptridiliux, pru|). 10, donno elTcctivemcnt la sonmiation

3 V"„._-„3, .., ,_«("+>).

XII. - SEPTEMBRE 1636. 69

ab unitate incipiente, quot sunt imitâtes in differcntia progressionis
unitate deminuta, eamque summam ductam in numerumterminorum.

2" Detrahe duplum summse totidem numerorum ab unitate, quot
sunt unitates in dilTerentia progressionis unitate deminuta, iiliuhjuc
ductum in summam numerorum progressionis data?.

His ablatis, reliquum, per difi'orentiam progressionis divisum, dabit
summam quadratorum ab omnibus.

Ex his duobus casibus reliqui omnes nullo aut minimo negotio eli-
cientur juxta prsecepta.

10. Sed hic hœrere nohiimus, verùm problema totius fortassc
Arithmetices pulcherrimum construximus, quo non solum in quavis
progressione summam quadratorum et cuborum venamur, sed omnium
omnino potestatum in infinilum melhodo generalissima, quadratoqua-
dratorum, quadratocuborum, cubocuborum, etc.

11. Ut autem innotescat Dom°. de Sainte-Croix sphingem me aut
OEdipum non exspectare, en probh^ma in quadratoquadratorum |ir(i-
gressu, quod ita potest theorematice enuntiari :

Exponantur quotlibet numcri in progressione nalurali ah unitate; si a
quadrupla ultimi, binario aurlo <^ et >• in quadratum trianguU nume-
rorum dueto, demas summam quadratorum a singulis. fiel quintuplum
quadratoquadratorum a singulis.

Exemplum : Expositis numeris

1.3.3.4,

quadruplum ultimi binario auctum est i8, quod duci débet in loo,
quadratum trianguli numerorum : fit

iSoo.

Ab eo producto deme summam quadratorum a singulis, qua" est

3o.

Superest 1770, cujus quinta pars, 35^, a'quatur quadratoqiiadratis a
singulis.

70 ŒUVRES DK FEUMAT. - CORRESPONnANCE.

In (|u;ilil»('l progrossioiii' simililcr prohlcma (•oiistriiciiais iinitaiuld
construclioniMii itrivcodciitciii.

Molhoduin i^cncialcni iii (|iiil)usli!)('l in iiitiniltiin potcslaliims trado-
imis, si visum l'ucrit aut (il)i aiit Doiu". do Saiiilc-Croix.

12. Iiilciiiii adiliiiuis piopositioiUMU pulchorrimani a luiliis invcii-
tain. (|iiH' iiohis liiciMii dcdil ad luijiismodi pro|)()si(ion('s iiivcnicii-

das('):

/// progressionc nalitrali ultimiis iiiuncnis
in proxime majorern facit dupliim triangiili col/atcni/fs,
in triangulum numeri proxime majoris facit triphun pyramidis colla Icralis,
in pvramidcm numeri proxime majoris facit qitadriiplum tnangiilolrian-

guli collateralis,,
et eâ in injiniturn uniformi methodo.

(') t'oir Tome I, V Oh.feriYition XLV'I fur Diopliaiite. — Il est très rciiuirqualilc que
cotlc proposition capitale, qui donne, de fait, la composition des coefficients du binôme,
après avoir été ainsi communiquée en i636 à Mersenne, à Sainte-Croix et à Roberval
(ci-fiprvs Lettre XV, 3), soit restée assez ignorée pour que dix-huit ans après, Pascal, en
la retrouvant sous une autre forme, n'ait eu aucun soupçon do la très grande antériorité
de la découverte de Format.

On lit dans le Traité des- orilrei itiiniériqiie.s ( CKuvres de Biaise Pascal, cdiliou de 177g,
l. V, pp. 65-66), après la proposition XI :

« Les manières de tourner une même chose sont infinies : en voici un illustre exemple
» et bien glorieux |)our moi. Cette même proposition que je viens de rouler en ])lusicurs
1) sortes, est tomltée dans la pensée do notre célèbre conseiller de Toulouse, M. de Fer-
" mat: et, ce qui est admirable, sans qu'il m'en eût donné la moindre lumière, ni moi à
I' lui, il écrivoit dans sa province ce que j'invcntois à Paris, heure pour heure, comme
.< nos lettres écrites et reçues en même temps le témoignent. Heureux d'avoir concouru
» en cette occasion, comme j'ai fait encore en d'autres d'une manière tout à fail étrange,
« avec un liommo si grand et si admirable, et qui, dans toutes les recliorchcs de la plus
» sublime géométrie, est dans le |)lus haut degré d'excellence, (rommeses ouvrages, que
» nos longues prières ont enfin obtenus de lui, le feront bientôt voir à tous les géomètres
» de l'Europe, qui les attendent! La manière dont il a pris cette même proposition est
i> telle : n

tt En la progression nntiirulle {[là coniincnre par l'imite, un nomlirc quelcoiupie (tant
» mend dans le prochainemrnL plus grand produit le doid>lc de son triangle. »

i> l.e même nombre, étant mené dii/is le triangle du proeliaincinent plus grand, pro-
0 duit le triple de sapj rainide. u

» Le même nond>re, mené ilnns la pyramide du proehaineineni plus grand, produit le
» quadruple de son Iriangiilotriaiigulaire. »

'< Et ainsi à l'infini, par une méthode générale et iinijornie. »

I) Voilà coiimient on peut \arier les énonc'ialions. »

XIII. - 22 SEPTEMBRE 163G. 71

13. De triangulis rectangulis (') propositio non satis pcrsiiiciu', ut

opinor, in tua epistola est concepta : solvetur a me tbrtassp, si clarius

proposueris.

Addictissimus tibi.

Fermât.

XIII.
FEMIAT A ROBERVAL.

LUNDI 22 SËPTEMBRK 1636.
(l'a., p. iVi-iî-.)

MoXSIEfR,

1. Je surseoirai avec votre permission à vous écrire sur le sujet des
propositions de Méchanique, jusques à ce que vous m'aurez Fait la
faveur de m'envoyer la démonstration des vôtres, ce que j'attends au
plus tôt sur la promesse que vous m'en faites (-).

2. Sur le sujet de la méthode (') de rnaximis et minirnis. vous savez
(|nc, piiiscjue vous avez vu celle que M. Despagnet vous a donnée, vous
avez vu la mienne que je lui baillai, il y a environ sept ans, étant à
Bordeaux.

Et en ce temps-là je me ressouviens que M. Philon ayant reçu une de
vos lettres, dans laquelle vous lui proposiez de troiaer le plus grand
cône de tous ceux qui auront la superficie coniaue égale à un cercle donne,
il me l'envoya et j'en donnai la solution à M. Prades pour vous la
rendre. Si vous rappelez votre mémoire, vous vous en souviendi'ez
peut-être, et que vous proposiez celte (|nes(ion comme diUieile et ne

(' ) .\iicunc autre allusion, dans la Correspondance ijul nous reste de Fermât, n'est faite
à cette proposition. Peut-être s'agit-il de la (|ueslion I de Sainte-Croix à Descartes {voir
plus haut pages 63-6;, note), dont l'énonce énigniati(pio prêtait facilement à confusion.

(2) Dans une réponse perdue à la lettre XI. Hoberval annonçait sa lettre suivante, XIV.

(■■i) f'oir Lettre IX, 8.

72 ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

l'ayant pas oncore (roiivéo. Si je rcncond-c parmi mos papiers votre
lettre, que je gardai pour lors, j{> vous l'envoierai.

3- Si iM. Despagnet ne vous a proposé ma méthode (') que comme
je la lui baillai pour lors, vous n'avez pas vu ses plus beaux usages; car
je la fais servir, en diversifiant un peu :

1° Pour l'iiivenlion des propositions pareilles à celles du conoide
(|iie je vous envoyai par ma dernière (") :

2" Pour l'invention des tangentes des lignes courbes, sur lequel
sujet je vous propose ce problème : Ad datiim punctum in conchoide
Mromedis itwenire tangentern (') ;

3" Pour l'invention des centres de gravité de toute sorte de figures,
aux figures même différentes des ordinaires, comme en mon conoide et
autres infinies, de quoi je ferai voir des exemples quand vous vou-
drez (*).

4° Aux problèmes numériques auxquels il est question de parties
aliquotes {^) et qui sont tous très difficiles.

4- C'est par ce moyen que je trouvai G72 duquel les parties sont
doubles aussi bien que celles de 120 le sont de 120.

C'est aussi par là que j'ai trouvé des nombres infinis qui font la même
chose que 220 et 284, c'est-à-dire que les parties du premier égalent le
second et celles du second le premier. De quoi si vous voulez voir un
exemple pour tàter la question, ces deux y satisfont :

17296 et i84i6.

.le m'assure que vous m'avouerez que cette question et celles de sa
sorte sont très malaisées; j'en envoyai il y a quelque temps la solution
à M. de Beaugrand.

M "1 Fermât paraît ici ontondrc, par sa inôtlindc, le procédé ilo siihsliliicr .4 -t- E à J
dans une relation en J.

(*) Foir LeUrc IX, 7, et plus loin XIII. 6.

(') Foir Tome 1, p. i6i.

(*) Foir Tome 1, p. i36, note 3.

(5 ) FoIr Lettre IV. 3. et Pièces IVa. IVis.

XIII. - 22 SEPTEMBRE 1636. 73

J'ai aussi trouvé des nombres en proportion donnée ou qui surpas-
sent d'un nombre donné leurs parties aliquotes; et plusieurs autres.

5. Voilà quatre sortes de propositions que ma méthode embrasse et
que peut-être vous n'avez pas sues.

Sur le sujet du i", j'ai quarré infinies figures comprises de lignes
courbes ('); comme, par exemple, si vous imaginez une figure comme
la parabole, en telle sorte que les cubes des appliquées soient en pro-
portion des lignes qu'elles coupent du diamètre. Cette figure appro-
chera de la parabole et ne diffère qu'en ce qu'au lieu qu'en la parabole
on prend la proportion des quarrés, je prends en celle-ci celle des
cubes; et c'est pour cela que M. de Beaugrand, à qui j'en fis la propo-
sition, l'appelle /;ara5o/e solide.

Or j'ai démontré que cette figure est au triangle de même base et
hauteur en proportion sesquialtère. Vous trouverez, en la sondant,
qu'il m'a fallu suivre une autre voie que celle d'Archimède en la qua-
drature de la parabole et que je n'y fusse jamais venu par là.

6. Puisque vous avez trouvé ma proposition du conoïde excellente,
la voici plus générale {fig. 38) :

• Ki.r. 38.

Si circa rectam DA parabole, cujus t^ertex B et axis BF et applicata
AF, circumducatur, fiet conoides novœ speciei, quo secto bifariwn, piano
ad axem recto, dirnidium ipsius ad conuni ejusdem basis et altitudinis est
Ht 8 ad 5 .

(') P^oir Tome I, pages ?.5J à 266.
Fermât. — II.

n ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE.

5/ rcrô piano secetiir ad axem recto inœqiialiter, piiUi pcr pitncluni M,
ses^mcn/itm conoidis ABCE ad coriiim rjiisdem basis et allitudinis est

ul qaiiitii|iliiiii iniailrali El) iiiià ciiin rcctaiigulo AED bis
(M loctaiiiiiilo siil) DK in AE

ail quadrati El) (|iiiiiiiipliiiii,

et ricissim segmentum conoidis DCE est ad conum ejusdem basis et altitu-

dinis

m qiiiiiliiplum (|tia(liali AE uiià ciim loclanguio AED bis
et rectangulo siib DF in DE

ad qiiadrali AE qiiiiiliipbiin.

Pour la (lémoiistratioii, outre les aides {\w j'ai tirées de ma mé-
thode, je me suis servi des cylindres inscrits et circonscrits.

7- J'avois omis le principal usage de ma méthode qui est pour l'in-
vention des lieux plans et solides; elle m'a servi particulièrement à
trouver ce lieu plan que j'avois auparavant trouvé si difficile (') :

5« a quotcumque dalis punctis ad punctum iiniim injlectantur rectœ et
sint species quœ ab omnibus fiunt dato spatio œquales, punctum continget
positionc datam circumferentiam.

Tout ce que je viens île vous dire ne sont qu'exemples, car je vous
puis assurer que, sur chacun des points précédents, j'ai trouvé un très
grand nombre de très belles propositions. Je vous envolerai la démon-
stration de celles que vous voudrez : permettez-moi néanmoins de
vous prier de les essayer plutôt et di' m'en donner votre jugement.

8. Au resie, depuis ht dernière Lettre que je vous écrivis, j'ai trouvé
la démonstration de la proposition que je vous faisois (^). Elle m'a
donné grandissime peine et ne se présente pas d'abord.

Je vous conjure de me faire part de ([uelqu'unc de vos pensées et de
me croire, etc.

P) Voir Tome I, page 3; ( Lieux plans d'Apollonius, II, S).
'2) Foir Lettre XI, 7.

XIV. - 11 OCTOBRE 1C36. 73

XIV.
ROBERVAL A FERMAT (').

SAMEDI 11 OCTOBRE 1636.

{fa, [I. i38-i4i.)

Monsieur,

1. Je vous ciivoio la démonstralion de la proposition fondamentale
de notre Méchanique, ainsi que je vous l'ai promise. En quoi je suivrai
l'ordre commun d'expliquer auparavant les définitions et principes
desquels nous nous servons.

2. Nous appelons en général une puissance cette qualité par le
moyen de laquelle quelque chose que ce soit tend ou aspire en un
autre lieu que celui où elle est, soit en bas, en haut ou à côté, soit que
cette qualité convienne naturellement à la chose ou qu'elle lui soit
communiquée d'ailleurs. De laquelle définition il s'ensuit que tout
poids est une espèce de puissance, puisque c'est une qualité par le
moyen de laquelle les corps aspirent vers les parties inférieures.

Souvent nous appelons aussi du nom de puissance la même chose à
laquelle la puissance convient (comme un corps pesant est appelé un
poids), mais avec cette précaution que ce soit à l'égard de la vraie
puissance, laquelle, augmentant ou diminuant, sera appelée plus
grande ou moindre puissance, quoique la chose à quoi elle convient
demeure toujours la même.

Si une puissance est pendue ou arrêtée à un(^ ligne flexible et sans
poids, laquelle ligne soit attachée par un bout à quelque arrêt, en
sorte qu'elle soutienne la puissance tirant sans empêchement contre
cette ligne, la puissance et la ligne prendront quelque position, en

(') Réponse à la Lettre XIII. — Le texte de la présenlc a été, comme celui de la
Lettre VIII, restitué d'après le manuscrit de la Bibliothèque Nationale, lalin n° 7226, P' 3 j
cl suiv.

76 ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE.

laqiiollo elles demeureront en repos, et la ligne sera droite par force.
Soil icelle ligne appelée le pendant ou la ligne de direction de la puis-
sance; et le point, par lequel la ligne est attachée à l'arrêt, soit appelé
\o point d'appension, lequel pourra être quelquefois au bras d'un levier
ou d'une balance; et lors la ligne droite, menée du centre de l'appui
du levier ou de la balance jusques au point d'appension, soit appelée
la distance ou le bras de la puissance, laquelle distance ou bras nous
supposons être une ligne ferme considérée de soi sans poids. Davan-
tage, l'angle, compris du bras de la puissance et de la ligne de direc-
tion, soit appelé Vangle de direction de la puissance.

Premier axiome. — Après ces définitions, nous posons pour principe
(|u'au levier et à la balance, les puissances égales, tirant par des bras
égaux et des angles de direction égaux, tireront également; et, si en
cet état elles tirent l'une contre l'autre, elles feront équilibre; que si
elles tirent ensemble ou de même part, l'efTet sera doublé.

Si, les puissances étant égales et les angles de direction égaux, les
bras sont inégaux, la puissance qui sera sur plus grand bras fera plus
d'effet.

Comme en cette première figure {fig. Sg), le centre de la balance

ou du levier étant A, si les bras AB et AC sont égaux et les angles ABD.
ACE égaux, les puissances égales D, E tireront également et feront
équilibre. De même, le bras AF étant égal à AB, l'angle AFG à l'angle
ABD, et la puissance G à la puissance D, ces deux puissances G, D
tireront également et, pour ce qu'elles tirent de même part, l'effet sera

XIV. - 11 OCTOBRE 1C:3G. 77

doublé. Au contraire, la puissance G et la puissance E feront équi-
libre. Par le même principe, les puissances I, Lcontrepëseront si, étant
égales, les bras AK, AH sont égaux et les angles AHI, AKL aussi égaux.
II en sera de même des puissances P et R, si le tout est disposé de
même.

Et en ce cas nous ne mettons point d'autre différence entre les poids
et les autres puissances, sinon que les poids tendent et aspirent tous
vers le centre des choses pesantes, et les puissances peuvent être en-
tendues aspirer vers toutes les parties de l'univers avec autant, plus ou
moins de force que les poids. Ainsi les poids et leurs parties tirent par
des lignes de direction qui toutes concourent ii un même point, et les
puissances et leurs parties peuvent être entendues tirer de telle sorte
que toutes les lignes de direction soient parallèles entre elles.

Deuxième axiome . — En second lieu, nous supposons qu'une puis-
sance et sa ligne de direction demeurant toujours en même position et
le centre de la balance ou du levier de même, quel que puisse être le
bras mené du centre de la balance à la ligne de direction, la puissance,
tirant de soi toujours de même sorte, fera toujours même effet.

Comme en cette seconde figure {fig- ^o), le centre de la balance
étant A, la puissance B et sa ligne de direction BF, prolongée tant que

Fig. 4o.

de besoin, à laquelle aboutissent les bras AG, AC, AF. En cet état, soit
que la ligne BF soit liée au bras AF ou AC [ou AG] ou à un autre bras
mené du centre à la ligne de direction AF, nous supposons que cette
puissance B fera toujours un même efTet sur la balance; et si, tirant
par le bras AC, elle fait équilibre avec la puissance D tirant par le bras

7S U:UVUES DE FERMAT.- COHRESPOND ANGE.

AE, lorsqu'ollo tirera par le bras AF ou AG, elle l'cra encore équilibre
avec la puissance D tirant par le l)ias AE.

Ce principe, quoiqu'il ne soit pas expressément dans les auteurs, il
est néanmoins usurpé tacitement par tous ceux qui en ont eu affaire,
et l'expérience le confirme constamment.

Troisième, axiome. — En troisième lieu, nous posons que, si les bras
d'une balance ou d'un levier sont directement posés l'un à l'autre et,
qu'étant égaux, ils soutiennent des puissances égales desquelles les
angles de direction soient droits, ces puissances pèseront également
sur le centre de la balance, soit qu'elles soient proche du même centre,
soit qu'elles en soient fort éloignées, soit que toutes deux soient ramas-
sées au même centre.

Comme en la troisième figure {/ig- 40, la balance étant ED, le
centre A. les i)ras égaux AD, AE soutenant des puissances égales H, I,

Fig. .',..
E C A B D

G

desquelles les angles de direction ADH,AEI soient droits; nous suppo-
sons que ces puissances I, H pèseront de même sur le centre A que si
elles étoient plus près du même centre sur les distances égales AB, AC,
et encore de même que si ces mêmes puissances étoient ensemble pen-
dues en A, ces angles de direction étant toujours droits.

Première proposition. — Ces principes posés, nous démontrerons
facilement, imitant Archimède ('), que sur un(> balance droite, les
puissances, desquelles et de toutes leurs parties les lignes de direction
sont parallèles entre elles et perpendiculaires à la balance, contre-
pèseront et feront équilibre, quand les mômes puissances seront entre
elles en proportion réciproque de leurs bras. Ce que nous pensons
vous être aussi facile qu'à nous.

(,' ) Archi.mldic, De planoruin œ(iuUlhru.i, I, G et 7.

XIV. - 11 OCTOBRE 1G36. 79

En suite de quoi nous démontrerons cette proposition universelle, à
laquelle nous butons.

Deuxième proposition. — En toute balance ou levier, si la propor-
tion des puissances est réciproque à celle des lignes perpendiculaires
menées du centre ou point de l'appui sur les lignes de direction des
puissances, ces puissances, tirant l'une contre l'autre, feront équilibre
et, tirant d'une même part, elles feront un pareil effet, c'est-à-dire
qu'elles auront autant de force l'une que l'autre pour mouvoir la ba-
lance.

Soit en la quatrième tigure {fig. 42) le centre de la balance A, le
bras AB plus grand que le bras AC, et soient premièrement les lignes

Fig. 42.

de direction BD, CE perpendiculaires aux bras AB, AC, par lesquelles
lignes tirent les puissances D, E, lesquelles seront des poids, si on
veut, et qu'il y ait même raison de la puissance D à la puissance E que
du bras AC au bras AB, les puissances tirant l'une contre l'autre. Je dis
qu'elles feront équilibre sur la balance CAB.

Car, soit prolongé le bras CA jusques en F, en sorte que AF soil
égale à AB, et soit considérée CAF comme une balance droite de
laquelle le centre soit A. Soient aussi entendues deux puissances G et
H, desquelles et de toutes leurs parties les lignes de direction soient
parallèles à la ligne CE; et que la puissance G soit égale à la puis-
sance D et la puissance H égale à la puissance E, l'une, savoir G, tirant
sur le bras AF et l'autre, savoir H, tirant sur le bras AC.

Lors, par la première proposition, les puissancesG et H feront équi-
libre sur la balance CAF; mais, par le premier principe, la puissance D
sur le bras AB fait le même effet que la puissance G sur le bras AF :

80 ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE.

parlant la puissance D sur le liras AB fait équilibre avec la puissance H
sur le bras AC et. la |)uissance H tirant de même sorte sur le hras A(^
que la puissance E, par le même |)reinier axiome, la puissance D sur le
bras AU fera équilibre avee la puissance E sur le bras AC.

iMainfenanl, en la cinquième figure {fig. 43), soit le centre de la
balance A. les bras AB, AC, les lignes de direction BD, CE qui ne

soient pas perpendiculaires aux mêmes bras, et les puissances D, E
tirant par les mêmes lignes de direction; sur lesquelles lignes soient
menées des perpendiculaires du centre A, savoir AF sur BD et AG sur
EC ; et que, comme la ligne AF est à AG, ainsi soit la puissance E à la
puissance D, lesquelles puissances tirent l'une contre l'autre. Je dis
qu'elles feront équilibre sur la balance CAB.

Car, soient entendues les lignes AF, AG comme les deux bras d'une
balance GAF, sur lesquels tirent les puissances D, E par lesiignes de
direction FD, GE, ces puissances feront équilibre, par la première
partie de cette seconde proposition; mais, par le second axiome, la
puissance D sur le bras AF fait le même effet que sur le bras AB, et la
puissance E sur le bras AG fait le même effet que sur le bras AC; par-
tant, la puissance D sur le bras AB fait équilibre avec la puissance E
sur le bras AC.

Il y a plusieurs cas suivant les chutes des perpendiculaires, mais il
vous sera facile de voir que tous n'ont qu'une même démonstration. Il
est aussi facile de démontrer que, si les puissances tirent de même
part, elles feront même effet l'une que l'autre, et l'effet des deux
ensemble sera double de celui d'une seule.

J'attends votre jugement sur cette démonstration et, si vous l'ap-

\IV. - 11 OCTOBRE 1G36. 81

prouvez, nous communiquerons ensuite des conséquences qui en dé-
pendent.

3. J'ai trouvé la démonstration (') de la somme des quarrés de deux
côtés rationaux, commensurables en longueur, appliquée au double de
la somme des côtés, excédant d'une figure (juarrée. Mais, puisque
vous l'avez aussi trouvée, je ne vous dirai ici que mon principal fon-
dement qui est que, de deux nombres quelconques, la somme de deux
fois le quarré du premier, deux fois le quarré du second et deux fois
le produit des deux nombres, n'est pas un nombre quarré, d'autant
que, prenant les moindres nombres de leur raison,' un nombre simple-
ment pris n'est pas quarré. Si nous avons tous deux un même moyen,
ceci suffit; si vous en avez un autre, ce que vous reconnoîtrez par ce
discours, vous me ferez faveur de me l'apprendre, et moi je vous écri-
rai le mien tout au long, si vous le désirez.

4. .l'ai aussi trouvé la démonstration (-) de votre conoïde et celle de
votre parabole solide et, en conséquence, celles d'uiu^ infinité d'autres
pareilles, quarréquarrées, quarrésolides etc.

5. .l'ai trouvé les tangentes de toutes ces figures : par exemple, eu
la parabole solide, la portion de l'axe, prise entre la tangente et le
sommet, est double de la portion du même axe, prise entre le sommet
et la ligne appliquée de l'attouchement à l'axe.

6. .l'ai, par le même moyen, quarré la parabole géométriquement,
autrement qu'Archimède.

7- Ht je me trompe fort si je n'ai rencontré le même moyen que
vous, me servant des lignes parallèles à l'axe et des portions de ces
lignes prises entre les paraboles et la ligne qui touche les mêmes para-
boles par le sommet, lesquelles portions se suivent en la raison de
l'ordre naturel des nombres quarrés ou des nombres cubes etc. Or, la
somme des quarrés est toujours plus que le tiers du cube qui a pour

(1) /o(r Lettre XI, 7.

(2) Foir LeUres IX, 7; XIII, 3 et 6.

Fermât. — \\. il

8-2 ŒUVRES l)K 1-ERMAT. - CORRESPONDANCE.

côlt' lo coto ilu |)liis graiiil (iiiai'i'c', cl la môme sonimo dos ((iiariTS, le
plus i^raïul ('laiil ùlé, osl moiitdn' i\uc le licrs du inêmo cube; la somme
dos culios [lins (juc lo ([uai'l du (|uarro(iuarro et, le plus grand oul)o
oté, moins que le (]uarl; ^'ic. Si par eo discours vous reconnoissez (|ue
00 u'osl pas voire iiioven. j'en serai d'autant plus réjoui pour ce (|ue
nous en aurons deux, et vous me forez la faveur do m'onvoyer lo vôtre,
faisant lo mènie do ma part.

8. Pour les tangentes do la conclioïde, je les ai considérées il y a
longlonips, comme étant déterminations d'équations quarréquarréos.
Sur ce sujet, il y a deux points en la conclioïde par lesquels on ne peut
mener des tangentes : je vous prie de les considérer et vous trouverez
une admirable propriété d'angles au sommet l'un de l'autre à la sec-
tion d'une ligne droite et de la conchoïde (').

9. J'estime vos propositions {-) des nombres et celle du lieu plan
fort difficiles; ce que je saurai mieux quand j'aurai eu le loisir de les
considérer, comme aussi les centres de gravité des figures susdites
tant planes que solides, n'étant pas résolu pourtant de m'obstiner
après; car j'aimerai mieux tenir de vous ce que vous en aurez, si vous
l'avez agréable.

10. Je vous prie pourtant de me mander si le centre de gravité do
votre demi-conoïde n'est pas ce point oîi l'axe est divisé de sorte (|ue
l'un des segments est à l'autre comme n à 4. pour ce qu'un léger rai-
sonnement et non encore bien considéré m'a semblé me mener à cotte
raison (').

H- Une autre fois je vous pourrai mander de nos propositions ainsi
que vous le désirez. Pour cette heure, que je n'emploie à écrire ceci
qu'un temps dérobé, je vous envolerai seulement celle-ci :

De deux cônes droits égaux et isopérimctres e'ianl données les bases iné-
gales ou les hauteurs inégales, trouver les cônes.

( ' ) f''oir Lettre Xlll, 3. — Robcrval parle ici des poinis d'inflexion de la conclioïde.
r2) Foir Lettres XIII, 4 et 7.
(') ynir ri-aprés Lettre W. 5.

XV. - 4 NOVEMBRE 1636. 83

Quand je dis isopérimètres, j'entends les bases y comprises ou excep-
tées, comme vous voudrez.

Vous en aurez la solution quand il vous plaira, si vous ne voulez
prendre la peine de la trouver vous-même, et je vous l'aurois envoyée
dès maintenant, n'éloit que je crois que vous désirerez avoir le plaisir
d'y penser.

Attendant que vous me fassiez la faveur de m'écrire, je demeu-
rerai etc.

XV.
FERMAT A ROBERVAL.

MARDI k .NOVEMBRE 1636.

(la, p. 1/50-147:8^ a'".)

Monsieur,

1. Me réservant à vous écrire une autre fois les défauts (|(i(' j'ai
trouvés dans votre démonstration (') et dans votre Livre imprimé (-),
(|ue j'espère vous faire avouer par vos propres maximes, je me con-
Iciilcrai de répondre présentement aux autres points de voire LcKi'e.

2. Et premièrement vous saurez que nous avons concouru au même
médium sur le sujet de la somme des deux quarrés rationaux, com-
mensurables en longueur, appliquée au double de la somme des côtés,
excédant d'une figure quarrée (').

3. Vous vous êtes servi aussi d'un même médium (/) que moi en la
quadrature des paraboles solides, quarréquarrées etc. à l'infini; mais
vous supposez une chose [vraie] de laquelle vous n'avez possible

('1 Lettre XIV, 2. — Fermât annonce les objections contenues dans la Pièce XVL, ci-
après.

(2) Voir Lettre VII, 4, note i.

(3) FoiV Lettre XIV, 3.
(*) Fm> Lettre XIV, 7.

S'. ŒUVKKS ])E TEllMAT. - COHRESPONDANCE.

pas la démonstralioii pivcisc (lui esl ([iic la soniino des quarros est
plus graiult" (lue li' tiers du cube qui a pour coté lo côté du plus grand
quarré; la soiuiiic dos cubos plus (|uc le (|uai'( du quarréquarré; la
somme des (|iiarré(Hiarrés pins (|u'uii ciii(|iiième du quarrécube; etc.

Or, pour démontrer cela plus généralement, il faut, étant donné nn
nombre in progressione naliiralù trouver la somme, non seulement de
Ions les qnarrés et cubes, ce que les auteurs qui ont écrit ont déjà
l'ait 1^'), mais encore la somme des quarréquarrés, quarrécubes etc..
ce que personne que je sache n'a encore trouvé; et pourtant cette con-
noissanee est btdie et de grand usage et n'est pas des plus aisées.

.l'en suis venu à bout avec beaucoup de peine. En voici un exemple :

Si quadruphan ma.rimi iiunieri binario aticliim ducas in qnadraliun
Irinnguli numerorurn, et a producto dernas summum quadratorum a si/i-
gulis, fiel summa quadraloqiiadratoriim quintupla.

Il semble que Bachel, dans son Traité De numeris multangu/is (-),
n'a pas voulu tàfer ces questions après avoir fait celle des quarrés et
des cubes; je serai bien aise que vous vous exerciez pour trouver la
méthode générale, pour voir si nous rencontrerons. Eu tout cas, je
vous otfre tout ci' que j'y ai fait, ({iii est tout ce qu'on peut dire sur
cette matière.

Voici cependant une très belle proposition, qui peut-être vous y ser-
vira; au moins c'est par son moyen que j'en suis venu à bout. C'est une
ri'gle que j'ai trouvée pour donner la somme, non seulement des
triangles, ce qui a été fait par Bachet et les autres (^), mais encore
des pyramides, triangulotriangulorum etc. à l'infini. Voici la propo-
sition (■') :

UUimum lalus in lalus proxinie majus facit dupluni trianguli.

(1) yoir Lclire Xll, 10 et 11.

(î) foir Lettre Xll. 7, iiule i.

(^) Bachel (Appendix ad lil/rum de numerit poljgonis, I, prop. 18) donne la sonima-
lion, non seulement des triangles, mais en général des polygones de même genre ayant
pour côtés les nombres consécutifs à partir de l'unité.

(') ro(> Lettre Xll, 12.

XV. — i NOVEMBRE 1636. 85

Ultimiun lattis in triangulum lateris proxime majoris facit triphun py-
ramidis.

Ullirnum lattis in pyramidem lateris proxime majoris facit (juadriipluin
triangulotriangidi.

Et eo in infinitum progressa.

Toutes ces propositions, quoique belles de soi, m'ont servi à trouver
la quadrature que je suis bien aise que vous estimiez.

4. Je voudrois avoir assez de loisir pour vous envoyer les proposi-
tions des nombres (') que vous trouvez si difficiles; elles le sont en
effet : même Tartaglia (-) avoit cru qu'elles n'étoient poiiil trouvables
par art. J'en ai envoyé la construction au Père Mersenne; il vous la
communiquera si vous la lui demandez.

5. Je vous envolerai aussi une autre fois le centre de gravité (') de
toutes ces nouvelles figures, avec la méthode générale pour le trouver.
Vous savez cependant que celui du demi-conoïde divise l'axe en pro-
portion de 1 1 à 5, non pas de ii ii 4» comme vous aviez cru, et que
celui des nouvelles paraboles divise l'axe en proportion pareille à celle
du parallélogramme, qui a pour hauteur l'axe et pour base celle de la
figure, à la figure : ou, pour mieux dire, le diamètre de toute parabole
est divisé en tel point [de son diamètre] par le centre de gravité, fen
sorte] que le segment d'en bas est à celui d'en haut comme la figure au
parallélogramme de même base et de même hauteur.

6. Puisque vous avez trouvé la démonstration de toutes mes propo-
sitions, vous m'obligerez beaucoup de prier le Père Mersenne de vous
donner mes nouvelles hélices (''), desquelles les démonstrations vous
seront aussi aisées que celles du conoide et des paraboles. Il m'écrit
qu'on doute de delà de leur vérité; vous la lui confirmerez, s'il vous

(') Foir Lettre XIV, 9 et Pièces IVa, IVb.

(2) Comparer La seconda parte del General Trutlalo di nwneri cl inisure di JVico/o
Tartaglia (Venise, i5J6), lib. I, cap. IV.

(3) Foir Tome 1, p. i36. — Cp. Lettre XIV. 10.

(4) roir Pièces IIIa, IIIb.

S(î ŒUVRES DK F EHM \T. -- CORHESI'ONU ANCK.

plail. cl tlosabiiscroz Monsit'iii- (le ... ('), qui scmMc lu- les avoir pas
cru PS.

7. .Mais il n'en l'aul pas ik'iiLOiircr l;i. car, pour suppii'cr (ont ce (|iii
soinblo manquer dans rArihinÙHlc :

Exponatur paiabole A(]DP (,fig- 44)' cnjus axis DE, hasis AF, CB pa-
rallela I^E et ideo perpendicultins ipsi AF. Circa rectam DE fixam figura

l'ig. 4i

ADE comersa constituil conoides Archimedeum ; circa Pài fixam consti-
luil nostruni conoides.

Sed, si figura ACB circa AB fixam converlalur, constiluitur porlio
nostri conoidis; si autcm circa Çj& fixam fiai conversio, quœritur proportio
noii istius conoidis ad conum ejusdem basis et altitudinis.

Hoc aulem eliam perfecimus ; imo mirabilius (jinddam invenimus. ellip-
soides cui si conum œqualem inveneris, dabimus circiili quadrationem. —
Sed hœc allas.

8. Votre question dos cônes (^) est si aisée qu'il seroit inutile de
vous en écrire la solution.

9- Pour les tangentes de la conchoïde ('), j'ai peur que vous aurez
équivoque; car voici ma proposition qui n'exclut aucun point, laquelle
j'ai copié sans la vérifier sur mon manuscrit; peut-être que c'est moi
((ni aurai failli, je vous l'écrirai la première fois.

('; Bcaugrand? loir Lettre XVIII, 4.

(î) Folr Lettre XIV, 11.

M) Voir Lettre XIV, 8. — Cp. Tome I, p. iGr.

XVI. - DECEMBRE 1G36. 87

Eslo conchois ABC (fi g. \S), cujus polits F, inlervallum HA, cl in ea
(/atiim piinctum B.

Primiim asserimus eam in itUeriora convexam reprœsentandam. licel
cnnliririiun Pappo ri Eiilocio visumfuerit (').

Fis. 45.

Deinde tangenlem ila diicinius : Jungalur FIB cl perpendicularis BD
demiltatur ; reclangulum BFI, itnà ciini quadralo BD, ad rcciam BD ap-
plice/iliir cl fcicianl laliludinem D^;Jial

1,1 11) ad DN, ila BD ad DY.

Jiincia YB langcl conchoidem.

J'attends votre réponse et suis etc.

XVI.
OBJKCÏA A DOMINO DK FERMAT

ADVERSUS PROPOSITIONEM MECHAIS'ICA.M DÛMINI DE UOBERVAL (').

< DÉCEMBRE I 636 >

{In, p. l'ii-i'ia.)

Si vera esset propositio mechanica Doriiini Ai" RoI)erval, i/i rccie t/ao-
libet pondéra perpendicitlis a centra rertis in lincas dircctinmini dctnissis

(' ) Pappus, IV, 22 (éd. IIiillscli, pp. 2_J2 et %\ij). Eulooiiis (Comiii. iii lil). Il de spli^ura
et cylindro : Archimùde. éd. Heiborg, vol. III, pp. 117, 119, 120, 122) n'indituieiit rien sur
le sens de la concavité do la conchoïde : l'observation do Fermât ne porte donc que sur les
figures fautives des manuscrits reproduites dans le Pappus de Comniandin ei dans les an-
ciennes éditions d'Archimède (p. ex., celle de Uivaull, Paris, i6i5).

(*) Celte Pièce parait avoir été envoyée à Carcavi, au commencemeni de décembre i63G
{voir Lettre XVII, 1 ) comme réplique à la Lettre XIV de Uoberval.

S8 tKl VUES I)K FERMAT.- CORRESPONDANCE.

f-sse reciprocc propojtionalia ad (islmciulam quietcm, non possot suhsis-
Icvo proporlio gravis ad potentiani in piano inclinalo, quam in Lilx-llo
suo {') trailicli(. Hoc porspicue dcnionstraimis :

In prima tignra {Jîg. !\6), es(o punclnni in superficie telluris N,
ccnlrnm len;e H. .lunctà NH, dncatur ANGF perpcndicularis ipsi HN,

(liiain quidem ANGF ii qui sunt in puncto N vocant parallelam hori-
zonti. Exponantur sphserae quarum centra B, C, D, quse tangant rectam,
sivc planum per ANGF, in punctis N, G, F.

Patet primum sphœram B a minima potentia movcri, idque Dominus
do Roberval non diffiletur, et in puncto N coliocatam manere, sed in
nullo alio totius plani puncto idem accidit.

Perticiatur tigura, ut hic vides. Recta HG, connectens punctum con-
tactùs G et centrum terr* H, ad rectam CG facit angulum obtusum.
ideoque sphaera C ad partes GN movebitur. Idem de spha-ra D. Sit igitur
potentia in Z retinens sphajram C per niotum rectae ANGF parallelum,
auf, quod idem est, per rectam ZC. Intelligatur vectis cujus centrum
tixum G; ducatur in HC perpcndicularis GI.

Sph^rie C motus naturalis est per rectam CH; motus retinens per
Œ, ad quam perpcndicularis est GC : ergo, ex suppositis Domini de
Hoberval, est [reciprocc]

lit recta GI ad rectam GC, ila potentia retinens in Z ad sphaeram C.
Quod erat demonstrandum.

I') 11 s'agit du Traite de Méchanique de Roberval. Voir Lettre Vil, 4, note i.

XVII. - 7 DÉCEMBRE 1636. 89

In splifera autem D major requiretur potentiaad rctiiiondum et, quo
magis distabit a puncto N, eo majore potentia opus erit, quod est mira-
bile. Ex suppositione autem Domini de Roberval, iiunqiiam in eodeni
piano variât proportio; quod quàm longe abeat a verilate, ipseviderit.

Sitcenlrum terrae B (y?^. 47), planum inclinatum ACDE. In punctis A
et C eamdem potentiam retinere, poterat fortasse non incongruum

videri Domino de Roberval. Sed, ducto perpendiculo BD, quum in
puncto D sit quies et minima potentia retineat, quâ ratione constabit
ipsius propositio?

In (juolibet autem piano habet locum nostra demonstratio. Omne
quippe^planum alicui borizonti invenietur paralleluni.

Hac propositione evertitur demonstratio Domini de Roberval etbre-
vissimà via ad ipsius bypotheses nova proportio detcgitur.

Secundam figuram addideramus, quà judieium nostrum de ipsius
ultima propositione prodere sperabamus. Sed non suppetit tempus.

XVII.
FERMAT A ROBERVAL.

DIMAKfillE 7 DÉCEMBRE |636.
(l'a, 1). i47-i4«-)
MONSIELR,

1. Après vous avoir assuré que je n'ai jamais songé de soutenir une
opinion contre mon sentiment et que je serois ravi que votre propo-

Feiimat. — II. 12

ftO

ŒIVRKS DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

sition niochaniqiio (') IYi( vraio, atiii iiiic nous iio Aissioiis plus ni
poiiio (lo soiidt'i' la naliirc par col endroit, je m'en remettrai du sur-
plus à la lel(r(> ([ue j'écris à AI. de ("areavi, à laquelle j'ajouterai seu-
liMiienl (|ue le dernier des principes dont vous vous servez pour l'éta-
hlissement de votre proposition ne me semble du tout point admissible
et que. sans aucun esprit de contradiction, j'estime que, pour établir
la proportion des poids qui se meuvent librement, on ne doit pas
avoir recours aux forces mouvantes, et qu'au contraire les poids libres
doivent servir de règle à tous les autres mouvemens violents; et c'est
en quoi je trouve que votre principe est défectueux, outre qu'il est
apparemment faux, puisque celui dont je me sers en sa place ne peut,
ce me semble, être contredit, et de cela j'en fais juge qui que ce soit.

Sil redis BDC (tig. 48). cajiis médium D, cenlrum terrœ A; sil aulem
recta DA vecli perpendicularis et sint œqiialia pondéra ^ et Cad centrum

terrœ per rectos BA, CA naturaliter annuentia ; suspendatur autem i^ectis
a piincto D et a quaiis polenfia retinealur : Aio idem ponderare B et ("-
corpora ila constituta an si amho in piincln D ab eadem potenlia deti-
neanlur.

Car, puisque la ligne BC est sans poids et que la puissance qui est
en D abslrahil a cenlm. où au contraire les poids B et C, swe sint in
punctis B et C, sive in punclo D, vergunt ad centrum motu. opposilo.
il s'ensuit clairement que la puissance qui retiendra les poids aux
points B et C les retiendra aussi en D, et vice versa.

P) Foir Lettre XIV, 2, cl Pièce XVI.

XVII. - 7 DECEMBRE 1636. 91

Et n'importe d'alléguer qu'il semble que le mouvement qui se l'ait
par des puissances parallèles à la ligne DA est aussi bien contraire au
mouvement qui se fait sursum par la puissance qui retient en D : car,

i" Il n'est pas si probable de dire qu'un mouvement violent est con-
traire à un autre mouvement violent, comme de dire qu'un mouvement
violent est contraire au mouvement naturel.

2° Le mouvement qui se fait sur les lignes parallèles à DA se fera
sur des plans inclinés à l'horizon et desquels la proportion sera plus
inconnue que le principe; de sorte que ou il vous faut avouer la vérité
de mon principe ou démontrer le vôtre. Au premier cas, je vous démon-
trerai ma proposition de mon second leviej, par vos propres maximes;
j'estime que vous aurez grande difficulté au second.

Vous pouvez encore répondre qu'il n'est pas ici question des mou-
vemens qui se font sur des plans inclinés à l'horizon, parce que vous
supposez, et je l'accorde aussi, qu'en tout mouvement, si la force qui
retient tire à l'opposite, l'équilibre se fera lorsqu'elle sera égale à la
force qui tire au contraire, et qu'ainsi, la puissance en D tirant à l'op-
posite, l'efTet de votre principe s'en ensuivra.

Mais je réponds que votre réponse seroit bonne, si la puissance qui
est en D étoit divisée et placée aux points B et C, et qu'elle tirât au
contraire par les mêmes lignes que les forces, que vous supposez en
C et B, meuvent. Mais cela n'étant pas, excusez mon incrédulité si elle
ne se rend pas à vos raisons, lesquelles je souhaiterois plus fortes
pour pouvoir librement me dédire de tout ce que j'ai fait sur ce sujet,
vous protestant que jamais homme n'a été plus docile que moi et que,
lorsque je reconnoîfrai mes fautes, je les publierai le premier avec
toute franchise.

2. .l'ai été bien aise de voir votre remarque sur la conchoïde ('),
et vous prie de m'en donner la démonstration et vous souvenir que,
lorsque je vous écrivis sur ce sujet, je le fis en doutant et sans exa-
miner l'écrit que je transcrivis d'un livre où je l'avois mis il y avoit

C) Foir Lettre XIV, 8.

!V2 ŒUVRES DE !• EUMAT. - CORRESPONDANCE.

quatre ans. La construction i)ourtaiit convient au |)roi)lèine et au
point niènie de votre proposition, si elle est vraie, ce que j'attends
(|ue vous nie contirmiez.

,1e vous prie aussi nu' l'aire savoir voire sentiment sur les autres pro-
positions (|iie je vous ai envoyées et votre réponse sur les autres points
(le ma (lernière Lettre (') et me croire toujours etc.

XVIII.
FERMAT A ROBERVAL.

MARDI l6 DÉCEMBRE l636.
( J'a, p. i4S-i5i.)

Monsieur,

1. Je viens de recevoir votre Lettre du 29 novembre (^), pour réponse
il laquelle je vous dirai que, de la méthode que vous avez trouvée pour
donner la somme des quarrécubes et quarréquarrés, je ne vois point
(|u'on en puisse tirer une règle générale pour l'invention de la somme
omnium poleslalum in infinilntn, ce qui est requis à la solution de mon
problème ('). Car vous dites seulement qu'il sera aisé de trouver les
autres, après avoir vu celles dont vous baillez les exemples; mais je
demande une méthode générale qui serve ad omnes potestales, comme
Viète a trouvé celles des sections angulaires (*). Vous y songerez, s'il
vous plaît, et j'en écrirai cependant l'invention et démonstration que
vous verrez lorsqu'il vous plaira.

(•) Letue XV.

(') Celle Letlre, lie Uoberval à Fermai, est perdue.
(») roir Lettre XV, 3.

(') Francisci Vietaî ad angulares sectiones tlieorcinata /.aOoXLzajTzpa denionstrala per
Alcxandrum .4ndersonum. — Pages 287 à 3o4 de l'édition des Elzevirs.

XVIll. - 16 DECEMBRE 1636. 93

2. Pour ce qui est des nombres et de leurs parties aliquotes ( ' ), j'ai
trouvé une méthode générale pour soudre toutes les questions par
algèbre, de quoi j'ai fait dessein d'écrire un petit Traité. Je crois que
vous aurez maintenant vu la construction des deux que j'ai envoyés
au Père Mersenne; car il m'écrit qu'il vous les baillera. Toutes ces
questions sont très difficiles, comme vous savez, et n'ont été traitées
par personne.

3. J'ai été bien aise d'être confirmé par votre lettre en l'opinion que
j'avois déjà conçue de M. de < Sainte-Croix >. Il est pourtant vrai
qu'il doit avoir grande expérience dans les nombres, car, lui ayant
par l'entremise du Père Mersenne proposé une question que personne
de ceux à qui je l'avois proposée n'avoit encore pu soudre, il m'a
envoyé d'abord les nombres qui satisfont à la question, sans pourtant
expliquer sa construction. La question est (^) :

Invenire tria triangula rectangula numéro, quorum areœ constituant
tria latera trianguli rectanguli numéro, singulœ nempe areœ singulis
lateribus sint œquales.

Je vous avouerai que ce problème me donne beaucoup plus de [)einc
qu'à M. de <^ Sainte-Croix ;>. Il est vrai que les nombres que j'ai
trouvés sont différents des siens et que peut-être ai-je tenu un chemin
plus difficile, comme vous savez que ces questions ont infinies solu-
tions. Peut-être serez-vous de mon avis, si vous essayez de satisfaire à
la proposition.

4. Vous verrez aussi mes spirales C), desquelles la démonstration
vous sera connue tout aussitôt (car elle est pareille à celle des nou-
velles figures {'') que j'ai quarrées ou auxquelles j'ai trouvé des cônes

( ' ) Foir Lettre XV, 4. — Les deux nombres envoyés au Père Mersenne sont les amiables
17296 et 18416 {voir IVa et IVu).
(2) Foir Observation XXLX. sur Dioplianto ("Tome I, p. 3a i).
(?) Foir Lettre XV, 6.
('•) Foir Lettre XIV, 4.

!)i ΠV V R E S I) i: r F. Il M AT. - C 0 R R E S P 0 N I) A N C E.

égaux), vl vous uravouercz que ci's propositions u'illuslrent pas pou
la Géomélrio.

Si .M. (le Bcaugraïul n'a pas (Micorc Irouvé la démonstration de ces
questions, vous m'obligerez de lui en l'aire pari.

5. .le lui ai éeril l'invention du centre de gravité de toutes ces
nouvelles ligures ( ') par une méthode particulière, qui ne suppose
point la eonnoissance de la (juadralure, ce qui vous semblera merveil-
leux jusques à ce que vous l'aurez vu. Il est vrai que je lui ai envoyé
l'analyse seulement el non pas la composition que je vous éclaircirai
une autre Ibis, parce qu'elle a ses dilTicullés et ne paroit pas d'abord
par cette voie.

,1'ai trouvé le centre de gravité de la parabole sans présupposer la
quadrature, comme a fait Archimède, et ainsi on en peut tirer la qua-
drature par un simple corollaire.

6. Toutes ces proposilions, ensemble celles des lieux plans, solides
et ad superficiem, que j'ai achevées, et celles encore des parties ali-
quotes des nombres, dépendent de la méthode (-) dont M. Despagnet
lie vous a |)u l'aire voir qu'un seul cas, parce que, depuis que je n'ai
en l'honneur de le voir, je l'ai beaucoup étendue et changée.

7- Les tangentes des lignes courbes dépendent aussi de lii, sur
lequel sujet je vous proposerai de trouver une tangente h un point
donné en la seconde concho'ide de Nicomède (^).

8. An reste, je suis bien aise de ce que vous ayez trouvé la démon-

(') roi>LeUro XV, 5.

(S) ro(> Lcltre XIII, 3.

(3) Voir Lettre XVil, 2. — La seconde coiioliuïdo do Nicomode (Pnppus, éd. IIuUscli.

[1. 2i4i 1- '9^ parait correspondre à l'équatioa en courdonnées polaires : p = — — — /^, en

supposant /; < n. (Lp Iroisiéinc et la quatrième répondraient respectivement aux cas:
i) = (i; b > a). jMais Fermât entend i>rolialdemenl ici la conclioïdc du cercle. (Comparez
Viète, Supidcincnlum Ceomcliiœ, édition des Llzesirs, page 240.)

XVIII. - 16 DECEMBRE 1636. 93

stration, comme vous dites, de ce que, supposé qu'aux paraboles les
segmens (' ) de l'axe sont entre eux comme les parallélogrammes aux
mêmes paraboles, il sera vrai aussi qu'étant tournées sur leurs axes,
les centres des solides seront où l'axe est divisé en raison comme les
cylindres aux solides ( - ).

Car, par la voie dont j'ai envoyé un exemple à M. de Beaugrand, et
que je mettrai au long une autre fois, j'ai trouvé la démonstration de
l'antécédent et, de celle du conséquent, que vous m'envoierez, s'il
vous plaît, j'en tirerai la proportion des solides paraboliques à leurs
cônes, qu'il seroit malaisé de trouver autrement ('). Car vous trou-
verez bien la proportion de ceux qui xïennent post quadrata alternatim,
comme quarréquarrés, cubocubes etc., de quoi vous baillez l'exemple
au premier; mais in parabolis cuhicis. (juadratociihicis et sic alternis in
infinitum, methodus qita usi sumus non dat proporlionem conoideôn ad
conos; ex nostra autem methodo. in omnibus omnino conoidibus inve-
nimiis centrum gravitatis : ergo, ex Ina propositions dalntiir proportio
eorum ad conos.

Je l'attends donc avec impatience, puisqu'elle doit servir à cet
usage; si ce n'est que vous ayez trouvé la proportion des conoïdes
cubiques, quadratocubiques, etc. à leurs cônes, ce que votre Lettre
semble marquer, auquel cas je vous supplie m'envoyer lesdites pro-
portions.

Ce n'est pas que je doute de la vérité de votre proposition; mais
permettez-moi de vous dire que je me suis délié que vous en eussiez
trouvé la démonstration et que j'ai cru seulement que vous en avez
fait l'expérience aux conoïdes paraboliques des quarréquarrés, cubo-

(') C'est-à-dire que le centre de gravité do l'aire 2 / jrf.rde la parabole ./'" = /),r
divise l'abscisse x dans le rapport m -t- i à m.

('^) C'est-à-dire que le centre de gravité du solide 71 / y'^^dx engendré par la parabole
y m = p.r divise l'abscisse -v dans le rapport m -t- 2 à m.

■ r -

(' ) D après ce passage, Fermât n aurait alors possédé la quadrature J .i"'d.i: que dans le
cas où m est pair.

90 ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE.

(■iil)es etc. altcrnis. 3rais la coiiiKiissaix'e (luo j'ai de votre savoir fait
que j'espère que vous me détromperez.

9. l'our ce (|ui est de la proportion (^ ' ) du solide qui se (ait sur un
diamètre de la parabole parallèle à l'axe, ma construction est différente
de la vôtre : il seroit inutile de l'ajouter, puisqu'elles concluent toutes
deux.

10. .le me trouve obligé d'ajouter un mot touchant votre proposi-
tion méchanique {-), parce que le Père Mersenne m'écrit qu'enfin j'ai
acquiescé à votre opinion, ce que pourtant je ne saurois faire par les
raisons que vous allez voir, et vous puis assurer que jamais je ne fus
mieux confirmé en la proposition de mon second levier (') que je le
suis maintenant, car, pour celle du premier, il la faut établir par
de nouveaux principes, puisque vous avez nié ceux que j'estimois si
clairs.

Si votre principe, duquel je vous ai déjà écrit par ma dernière
Lettre {''), est vrai, il s'ensuit manifestement qu'un même corps appro-
chant du centre de la terre changera son poids.

In secunda figura (fi g. 49) sit vectis CAB, cujiis médium A cum centra
terrez N per rectam AN, ad veclem peroendicularem , iungatur. In

Fig- 49'

punctis C et B pondéra C et B cequaba constitiiantur et similia , quœ ad
centrum per rectas CN, BN annuant.

C; Proportion au cylindre ou au cône de même base et même liaulcur, c'est-à-dire cu-
ba lu re.
(2) ^o(> Pièce XVI.
(') roir Pièce V, 2 et 5.
(») ro/r Lettre XVII, 1.

XVIII. - 16 DECEMBRE 1636. 97

Si rectœ NC, NB essc/it ad veclejn perpendiculares, potentia in A., œqiia-
lis (htobus pondei'ibus B et C, ex tuo principio detineret l'ectem. Sed, quum
angulos ^CA, ^BXacutos efficiant, aiit eadem mil minor aiU major po-
tentia requiretur in A ad œquilibrium.

Si eadem potentia facit œquilihiium, verum eiit principium qito in pra-
cedenti ad te epistola usi sumiis : qiiod si fatearis, statim vectem nostrum
demonstrabimus.

Si major aiit minor potentia œquilibrium constituit, ergo, in primo
casu, quô minuentur magis anguli rectarum CN, EN cum vecte, eu major
requiretur ad a'quilibrium potentia ; in secundo casu, minor. Supra punc-
lum A idem veclis, in eadem direclionis linea, similiter ponatur, ut in
figura; minuentur ( ' ) anguli linearum CN, BN, ut patet : variabit igitur
potentia œquilibrii in A conslitula, ideoque pondus ex gravibus ^ et (\
compositum, pro diversa a terne centra distantia, erit etiam diversum.

Primam partem dilemmatis quominus fatearis, impedit tua propositio :
quippe, hoc dato, corrueret. Fatearis igitur necesse est, aul potentiamin A
rariare pro diversitate angulorum, aut eamdem semper esse in omni angu-
lorum acutorum positione, sed tamen inœqualem potentiœ quw detinri
potentias ad vectem perpendiculares.

Utrum libet concesseris, manifestissimâ demnnstratione detcgitur parii-
logismus, quem tuœ demonstrationi irrepsisse nec reritas quam quœrimus
palilnr dissimulare, nec tu ipse poteris forlasse difjileri.

H. In prima figura (fig- Jo), qtuv est quarta tuœ propositionis (-),
lus rerbis ita construis.

« Soit le contre de la balance A etc. {voir page 79, ligne 10 à page 80,

ligne 4) équilibre avec la puissance Esur le bras AC. »

Hic vertitur cardo tuœ demonslrationis.

Et primo, si dixeris in omni angulorum acutorum positione eamdem

(') Le texlc semble corrompu, mais ne peiil ùlre rétabli sûrement, la figure originale
faisant défaut. Si la droite CB est tracée au-dessus du point A (supra), les angles C et B
augmentent {migehuiitiw) au lieu de diminuer. Avec miiuicntur, il faudrait infrn, qui est
la leçon la plus probable au lieu de supra, à moins que la figure ne fût retournée.

(2) Comparez en effet la /%. \i, qui est la quatrième de la Lettre XIV.

['"ermat. — II. l3

!)S ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

semper potcntiam requiri ad œquilihriiim, slalini dcmonstraho meam de
veclc propositionem ; fatearis igitur necesse est, rariarc potendam prou/
angii/i varia/Il .

Fig. 5o.
C A F

h;e

His posais, esto, siplacet, in exposUa figura centrum terrœ^ inquod
rectœ CE, BD dirigantur, et sinl in punclis E ef D pondéra seu gravia in
proporlionc data, quod quidem liberum esse tua innuit constructio.

Imo hue tantum abs te tenditur ut, per potentias imaginarias ah omni-
bus omnino parlibus izxpaXki^Xb)^ moventes, inveniatur proportio ponde-
rum in vecte quiescente : aliter quippe, quum hujusmodi potentiœ nullibi
in reruni natura reperiantur, inutiles prorsus essent.

Inpunctis H e^ G construis potentias ponderibus E et D œquales, quœ ah
omnibus ipsariun partibus r^v.py.'k'kr^'kijj:; moveant. Potentiam deinde H
potentiœ E œqualiter movere, concludis per primum tuorum axiomatum.
quia ncmpe trahet H potentia per punctum C et rectarn HC perpendicula-
rem vecti; trahet etiam pondus E per eamdem rectam vecti perpcndicula-
rem : quum igitur œquales potentiœ per eamdem rectam et eumdem angu-
lum moveant et circa eamdem a vectis ccntro distantiam, pondus E et
imaginaria ^potentia œqualiter trahunl.

Id, i^erisimile quum sit, verilatem intimam quœrentibus non potest non
vulerifalsissunum. Pondus in E sit sphœricum, verbi gratia; omnes om-
nino ipsius parles ad centrum N tendunt per rectas in eodem N centra con-
currentes et vectem AC, si continuentur, ad angulos acutos sécantes : ergo
potentiœ, abs C utrimque œqualiter remotœ, intelligentur vectem ad angu-
los acutos suis motibus sécantes. Contra, quum parles omnes potentiœ H
-apaXXïjXcjç moveant, intelligentur potentiœ, abs C utrimque œqualiter
remolœ, ad angulos rectos vectem suis motibus sécantes.

XVIII. - FEVRIEK 1636. 99

Quum igitur partes omnes potentiœ H simid sumptœ œquentur partihus
omnibus polentiœ seu ponderis E simul sumptis {tôt a enim potentia H ton
ponderi E œquatur), patet, exjam traduis, potentiarum H, E w piinctis H
et E inœqualem esse motum ; f/uod igitur de potentia H concludit demon-
stratio, perperam ad pondus E porrigit.

12. S'il me restoit du temps ou du papier, j'ajouterois, suivant voire
désir, la démonstration des cônes isopérimètres ('). Ce sera une autre
fois, me réservant encore de vous écrire quelque chose de plus re-
cherché sur les Méchaniques, à la charge que vous m'obligerez de
croire que je n'aurois garde de m'opiniâtrer après une proposition, si
je ne la croyois véritable, et que je la quitterai un moment a|)rès que
de nouvelles raisons l'emporteront sur les miennes.

Je suis etc.

(>) Voir Lettres XIV, 11 et XV, 8.

100

(EUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

ANNEE 1637.

XIX.

FERMAT A ROBERVAL.

< FÉVRIER 1637 >

( ^'rt, p. i5i-!.):>.)

Monsieur .

1- Je trouve assez de loisir pour vous envoyer encore la construc-
lion du lieu plan : Si a quotcumque de. ('), que je tiens une des plus
belles propositions de la Géométrie, et je crois que vous serez de mon
avis.

Sinl dataquotlibet piincta, quinque verbi gratia. A, G, F, H, E (tig. 5i)

Fig. 5i.
N

A li C 0 D E

(nain propositio est generalis), quœrkur circulus ad cujus circumfercu-
liam in quolibet punclo inflectendo rectas a dalis punclis , quadrala om-
nium sint œqualia spatio dalo.

C) Foir Tome I, p. 37, la proposition V du Livre II des Lieiiv plans d'Apollonius. —
Cp. Lettre XIII, 7. — La présente semble n'être qu'un Irasjment d'une Lettre perdue.

\1X. - FÉVRIER 1637. 101

.lungantur puiiela qusevis A et E por rectam AE, iii qiiam al) aliis
punctis datis cadant perpendiculares GB, HD, FC. Omnium rectaruni,
punctis datis vel occursu perpendicularium etpuncto A terminatarum,
sumatur pars conditionaria, quintans, verbi gratia, in hac specie :
quintans ergo rectaruni AB, AC, AD, AE simul sumptarum esto AO, et
a puncto 0 excitetur perpendicularis infinita ON, a qua rcsecetur 01
pars conditionaria (quintans nempe pro numéro punctorum datorum)
perpendicularium GB, FC, HD, et inteiligantur jungi recttc AI, GI, FJ,
HI, El. Quadrata istarum quinque erunt minora spatio dato : deman-
tur igitur a spatio dato et supersit, verbi gratia, Z planum, cujus quin-
tans (pars nempe conditionaria) sumatur et in quadratum 31 redigatur.
Circulus, centro I, intervallo M descriptus satisfaciet proposito : hoc
est, quodcumque punctum sumpseris in ipsius circumferentia, recta-
runi a datis punctis ad illud punctum ductarum quadrata erunt a-qua-
lia spatio dato.

Adderem demonstrationem, sed longa sane est, et malim vestrum
amborum sollicitare geniuni ad eam inveniendam.

2. Non soluni autem has propositioncs, sed omnes omnino de lacis
planis absolvi, imo bicos quamplurimos adinveni, de quibus nibil
scripserat Apollonius, qui tamen sunt pulcherrimi, verbi gratia (') :

Datis tribus punctis in recta A, B, C (fig. 02), invenire circuli circum-

Fis. 52.

ferentiam, in qua sumendo quodlibet punctum, ut N, quadrata k^, NB
superent quadratum NC spatio dato.

(') Voir Tome I, p. 3i, la seconde addition de Fermai à la proposition 1 du Livre II des
Lieux plans.

102 (EUVRES ni: FERMAT.- COllUKSPONDANCE.

Di» /ocis so/idis cl ad superficicm multa (iiKuitic jaiii siint delocla.

Casiis lofi plaiii superioris, non addo, iiam paU'bunt statim. — Si
puncta data sint tant uni tria el constituanl triangulum, centriim circuli
localis erit ccniruni gravitatis illius triangiiU, et ha'C prupositio siiign-
laris satis est mira.

3- S(h1 hic non nioror. i'ropositioiicia universalissimam ita coiisti-
tuo et jam construxi (' ) :

>Y a dalis quolUbel punclis injleclanlur rectœ, el cxpunanlur omnium
species in data proportione crescentes aul déficientes, erunt species ita
aurlœ aut deminutœ dato spatio œquales.

Exemplum : Sint data tria puncta in superiori tigura A, B, C, et
<|ua'rendus circulas in cujus circumferenlia sumendo quodiibet punc-
(uin, ut N, quadrati NA dimidium, verbi gratia, quadrati BN dupium
et quadrati CN triplum simul juncta conficiunt spatium datum, et de-
nionstratio ad quamlibct proportionem et quotlibet puncta porrigenda.

Hanc propositioneni, pulcherrimam sane, videtur non vidisse Apol-
lonius.

XX.

ROBERVAL A FERMAT.

SAMEDI k AVRIL 1637.

(/'a, p. i')j-i.)3.)
MONSIELU,

1- Ouoique j'eusse reçu dès lundi dernier votre démonstration du
lieu plan (^), néanmoins mes occupations, tant publiques que parti-
Ci) Généralisation de la proposition V (lu Livre II dos Lieux plans.
(2) J'oir Lettre XIX, 1. — Roberval, dans une Lettre perdue, avait demandé la démon-
stration de l'énoncé donné pur Format.

XX. — 4 AVRIL 1C37. 103

culières, ne me permirent point de la considérer jusques à jeudi que
je la présentai de votre part à l'assemblée de nos mathématiciens, qui
étoit, ce jour-là, chez M. de Montholon, conseiller, où elle fut reçue,
considérée, admirée avec étonnement des esprits, et votre nom élevé
jusques au ciel, avec charge particulière à moi de vous remercier au
nom de la Compagnie et vous prier de m'envoyer tout d'une main la
composition du lieu solide (*) avec une brève démonstration, afin de
faire imprimer les deux ou sous votre nom ou sans nom, comme vous
le voudrez; en quoi nous aurons le soin d'étendre plus au long ce qui
semblera trop concis pour le public.

Cependant, il y eut débat à qui auroit votre écrit pour en tirer copie,
chacun m'enviant le bonheur de la communication que j'ai avec vous;
mais M. le président Pascal, à qui le premier je l'avois mis entre les
mains et qui l'avoit lu à la Compagnie, donna arrêt en sa faveur, se
fondant sur la maxime : quitenel, teneat, et pour faire droit aux parties
intéressées, se chargea lui-même de leur en fournir copie, ordonnant
que puis après l'original me seroit remis entre les mains.

Je leur avois dès auparavant communiqué la construction et un
nommé M. Le Pailleur avoit trouvé la démonstration particulière pour
trois et pour quatre points, si différente de la vôtre que c'est une chose
étrange. Il y avoit apparence qu'avec le temps il eût trouvé une démon-
stration générale; mais il confesse que cette recherche le tuoit et qu'il
vous a une particulière obligation de l'avoir délivré d'une peine presque
insupportable.

2. Pour moi, je ne me puis promettre aucun loisir que trois mois ne
soient passés, pour être délivré de mes leçons publiques et, quand
j'aurois ce loisir, je ne serois pas assuré de trouver le lieu solide, le-
quel je prévois très difficile. C'est pourquoi, dès maintenant, je vous
ferai, si vous voulez, une ample déclaration de mon impuissance, afin
que, sans me tenter plus longtemps, et qu'ayant égard aux prières
d'une telle Compagnie que celle dont je vous parle, vous nous fassiez

( ' ) Le lieu solide ad très et quatuor tineat. J'oir Lettre XXI, 2.

!(>■, ŒUVRES DE FERMAT.- CUHUESPONDANCE.

j);irl tlo volro invention. (|ui csl (cllo (jnc le ij;r;in(l géomètro (') dos
siècles passés se glorifioit particulièromcnl d'y avoir ajouté la porf'cc-
lion. en ayant reçu l'invenlion de ceux ([ui l'av(Hen( précédé. Jugez
comliien vous avez occasion de vous glorifier de l'avoii' Ironvée en un
temps auquel elle étoil en même étal que si elle n'avoit jamais été
connue.

3. il m'est eiilin paru quelque lumière pour le centre de gravité des
paraboles, en considérant les centres des parallélogrammes circonscrits
comme s'ils étoient tous posés sur une même base, différant seulement
en hauteur. .Mais, comme ces lumières me viennent an matin en me
levant et ([u'il faut du loisir pour les éclaircir, je ne me puis pas pro-
mettre d'en venir à bout si tôt. Si vous me délivrez de cette peine, je
vous en aurai l'obligation entière.

Je suis etc.

XXI.

FERMAT A ROBERVAL(-).
n;.M)i 20 AViiiL 1037.

( /'rt, p. i53-i.) J. )
MONSIKIU!,

1. Je ne pus pas vous écrire par le dernier courrier, à cause des
occupations auxquelles je me trouvai engagé; je prends maintenant la
])lume j)()ur vous témoigner que je suis beaucoup obligé à ces Messieurs
il qui vous avez fait voir ma proposition, auxquels vous assurerez, s'il
vous plail. ([Ile j'estime beaucoup plus leur approbation que mon ou-
vrage. Leur savoir est si connu que je ne puis in'empècher d'être glo-

( ' ) Apollonius, préface du Mmc 1 des Cuniqucs (page 8 de l'édilion llalley).
I -) Réponse à la Lellre précéd<'nte.

XXI. - 20 AVRIL 1637. 105

ricux d'avoii" écrit et inventé quelque chose qui leur plaise, -le ne
prétends pas par là vous exclure du nombre ; au contraire, les marques
dCiVotre savoir m'étant plus particulièrement connues, je juge parla
(jucis doivent être ceux qui confèrent avec vous.

2. Au reste, je vous eusse envoyé les lieux solides ad très et quatuor
lineas, n'étoit que j'ai cru que M. de Beaugrand ne fera pas dilficulté
de bailler à M. de Carcavi le lieu ad très lineas, que je lui envoyai, il y
a longtemps, avec la démonstration ('). Dès que vous aurez celui-là, je
vous envolerai l'autre. Si j'avois retenu copie de celui ad 1res lineas,
je n'eusse pas fait difficulté de vous l'envoyer; mais, ne l'ayant plus,
j'ai voulu ménager la peine qu'il m'eût fallu prendre à le refaire, à la-
quelle je me porterai pourtant, si M. de Beaugrand ne le baille pas.

3. Vous verrez entre les mains de M. de Carcavi les deux Livres De
locis planis (-), que j'avois promis depuis longtemps à M. de Beaugrand
et que j'ai à dessein envoyé un courrier plus tôt que je ne lui avois fait
espérer, afin que vous puissiez cependant les voir. Vous m'obligerez
de m'en écrire avec franchise votre sentiment; je ne doule pas que la
chose n'eût pu se polir davantage, mais je suis le plus paresseux de
tous les hommes.

.le serai bien aise que vous m'écriviez aussi quelles de ces proposi-
tions vous étoient connues et quelles non, et en cas que vous en ayez
vu quelqu'une, principalement du deuxième Livre, si elles étoient pa-
reilles à celles que vous verrez. Car il y a huit ans que le deuxième
Livre est écrit et en ce temps j'en baillai deux copies, l'une à M. Des-

pagnet, conseiller au parlement de Bordeaux, et l'autre à M. de , si

bien que peut-être quelqu'une de ces propositions aura été divulguée.
Peut-être vous-même ou quelqu'autre de ceux de votre Compagnie en
ont l'ait une partie.

Éclaircissez-moi de tout au vrai et vous m'obligerez beaucoup etsur-

(1) C'est la Pièce publiée Tome I, pages 87-89. La dcmonslralion du lieu ad i/iurtuor
lineas est perdue.

(2) f'oir Tome I, pages 3 à 5i.

l'EBMAT. — II. '"4

106 GÎUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE.

tout qiio votre jugement suive toutes ees propositions, s'il vous plait;
je l'attends pour réponse à celle-ci.

4. Au reste, quoi qu'on juge digne d'impression de moi, je ne veux
pas que mon nom y paroisse.

Je me réserve à vous entretenir plus amplement une autre l'ois; ce-
pendant vous saurez qu'outre les lieux plans et solides qui sont dans
Pappus. j'en ai trouvé grande quantité de très beaux et dignes de re-
marque, que je n'ai pourtant osé mêler avec ceux d'Apollonius. J'en ai
plus de cent propositions très belles et particulièrement des lieux so-
lides et ad superjiciern, mais le loisir me manque.

Je n'ai pas voulu faire le grammairien en expliquant au menu le
texte de Pappus; il suffît que j'aie pris son sens, comme je crois (|uc
vous m'avouerez.

J'attends votre réponse et suis etc.

XXII.
FERMAT A MERSENNE.

< SEPTEMBRE 1637 >

(D, 111,37.)

Mon Révkrem) Père,

1- Vous me demandez mon jugement sur le Ti'aité de l)ioplii(|U(' de
,M. Descartes ( ' ); il est vrai (jne le peu de temps que M. de lîeaugrand

(M l.e premier Volume publié par nescartes : — Discours \ de la Méthode \ pour bien
conduire sa raison, et chercher \ la vérité dans les sciences. \ Plus \ la Dioptrique \ les
Météores \ et \ la Géométrie \ qui sont des essais de cette Méthode. — ./ Leydc \ Dr
l'Imprimerie de Jan Maire | CIO.IO.CXXXVII. Juec Priuilcgc. — ne parvint en France
et ne fui distribué (par Mcrsonne) que vers la fin de 1637. Mais, avant raehéveuienl <\o
l'impression et à l'appui de la demande du privilège, ipii l'ut accordé le 4 mai. Descartes
avait envoyé un exemplaire au Minime, q\ii le communiqua par |>arlies à différentes per-
sonnes, (^'csl ainsi qu'il prit l'avis do Fermai sur la Dioptriquc . (pii parait cependant avoir

XXII. - SEPTEMBRE 1637. 107

m'a donné pour le parcourir semble me dispenser de l'obligation de
vous satisfaire exactement et par le menu, outre que, la matière étant
de^oi très subtile et très épineuse, je n'ose pas espérer que des pen-
sées informes et non encore bien digérées puissent vous donner une
grande satisfaction. Mais d'ailleurs, quand je considère que la recherche
de la vérité est toujours louable, et que nous trouvons souvent à tâtons
et parmi les ténèbres ce que nous cherchons, j'ai cru que vous ne trou-
veriez pas mauvais que je tâchasse à vous débrouiller une mienne
imagination sur ce sujet, laquelle, étant encore obscure et embarras-
sée, j'éclaircirai peut-être davantage une autre fois, si mes fondemens
sont approuvés, ou si je ne change pas moi-même d'avis.

2. La connoissance des réfractions a toujours été recherchée, mais
inutilement. Alhasen et Vitellion ( ' ) y ont travaillé sans avancer beau-
coup; et ceux qui sont venus depuis ont très bien remarqué que tout
se réduisoit à établir une certaine proportion, parle moyen de laquelle,
une réfraction étant connue, on pût aisément trouver toutes les autres;
de sorte que tous les fondemens de la Dioptrique doivent consister en
ce point, c'est-à-dire en la convenance cl au rapport (ju'iine réfraction
connue a à toutes les autres.

Cela supposé, il a été nécessaire que ceux qui ont voulu établir les
principes de la Dioptrique aient cherché cette convenance et ce rapport.

été envoyée à Toulouse par Bcaugrand sans son aveu. En tout cas. il ressort delà fin de la
présente Lettre que les autres parties ne furent pas dès lors communiquées à Fermât, et
<]u'il ignorait même qu'elles dussent être réunies en un seul Ouvrage.

La date réelle de cette Lettre est très inccrlaine; nous l'avons supposée du mois de sep-
tembre, la réplique de Descartes (Lettre XXIII ci-après) étant certainement de la pre-
mière quinzaine d'octobre. Mais il se peut très bien que iMersenne ait gardé, même plu-
sieurs mois, la Lettre de Fermât.

Au reste, ce dernier n'avait pas été prévenu que sa critique serait communiquée à l'au-
teur de la Dioptrique et il se plaignit à .Mersennc quand il eut connaissance de l'indiscrétion
de celui-ci (Lettres de Descartes, éd. Clerselier, 111, 55, p. 298).

(') oPTic.E THESAVRVS. — Alliazeui Arabis libri septeni, nunc primùm edili. Ejusdem
liber de crepusculis et nubium ascensionibus. Item Vitellionis Thuringopoloni libri X. —
Omnes instaurati, figuris illustrati et aucti, adjectis etiam in Alhazenum commenlariis a
Federico Risnero. — Cum privilegio Ca?sareo et Kegis Galliœ ad sexennium. Basile», per
Episcopios, M.D.LXXU.

lOS ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE.

^laurolic, abbé ilo Mossiiic. cii son Traité posthume De lumine et iim-
hra ( '). a soutomi (|ue les angles (|ti'oM appelle d'incidence sont pro-
portionaux àeeiix(iiron nomme de rélVaelion. Si cette proposition étoit
vraie, elle snlïiroit pour nous marquer les vraies figures que doivent
avoir les corps diaphanes qui produisent tant de merveilles ; mais,
pour ce qu'elle n'a pas été bien démontrée par Maurolic, et que l'expé-
rience même semble la convaincre de faux, il en est resté assez i»
M. Deseartes poui" exercer son esprit, et pour nous découvrir de nou-
velles lumit*res dans ces corps, qui, pour en être seuls capables, n'ont
pas laissé de produire jusques à présent de grandes obscurités..

Son Traité de la Dioptrique est divisé en plusieurs discours, des-
quels les principaux sont, ce me semble, les deux premiers, qui par-
Iciil de la lumière et de la réfraction, pource qu'ils contiennent les
fondemens de la Science, dont on voit ensuite les belles conclusions et
conséquences ([u'il en tire.

3. Voici à peu près son raisonnement (^) : La lumière n'est autre
chose que l'inclination que les corps lumineux ont à se mouvoir; or,
cette inclination au mouvement doit probablement suivre les mêmes
lois que le mouvement même; et partant, nous pouvons régler les
eilels de la lumière par la connoissance que nous pouvons avoir de
ceux du mouvement.

Il considère ensuite le mouvement d'une balle dans la réflexion e(
dans la réfraction, et pour ce qu'il seroit inutile et ennuyeux de copier
ici tout son discours, je me contenterai de vous marquer simplement
les observations que j'y ai faites.

4. Je doute premièremenl, et avei' raison, ce me semble, si l'incli-
nation au mouvement doit suivre ii's lois du mouvement mèaie, puis-

( ') Abbalis Francisci Maurolyci Messancnsis. Pliolismi de iLiniiiie, et umbia ad perspec-
tivam, et radionim incidenliam facienles. — Diaphaiiorura partes, seu Libri très : in quo-
rum primo de perspiciiis corporibus, in secundo de Iride, in tertio de organi visualis slriic-
lura, et conspiciliorum formis agitur. — Problemata ad perspcctivam, et Irideni pertinentia.
— Onmia nunc prinium in hiccni édita. — Neapoli, ex Typograpliia Tanpiinii Long!.
M.UC.XI. Superioruni pcrmissu.

(!) Page 8 de l'édition originale du Traité de Descaries.

XXII.

SEPTEMBRE 1637.

109

qu'il y a autant de ditrércnce de l'un à l'autre que de la puissanee à
l'acte; outre qu'en ce sujet, il semble qu'il y a une particulière discon-
venance, en ce que le mouvement d'une balle est plus ou moins vio-
lent, à mesure qu'elle est poussée par des forces différentes, là où la
lumière pénètre en un instant les corps diaphanes et semble n'avoir
rien de successif. Mais la Géométrie ne se mêle point d'approfondir
davantage les matières de la Physique.

5. En la figure {fig. 53) par laquelle il explique la raison de la ré-
flexion, page i5 de la Dioptrique ('), il dit que la détermination à se

Fig. 53.

mouvoir vers quelque côté peut, aussi bien que le mouvement et gé-
néralement que toute autre quantité, être divisée en toutes les parties
desquelles on peut imaginer qu'elle est composée, et qu'on peut aisé-
ment imaginer que celle de la balle qui se meut d'A vers B, est compo-
sée de deux autres, dont l'une la fait descendre de la ligne AF vers la
ligne CE et l'autre en même temps la fait aller de la gauche AC vers la
droit(^ FE, en sorte que ces deux, jointes ensemble, la conduisent jus-
ques à B, suivant la ligne droite AB.

Cela posé, il en tire la conséquence de l'égalité des angles d'inci-
dence et de réflexion, qui est le fondement de la Catoptrique.

Pour moi, je ne saurois admettre son raisonnement pour une preuve
et démonstration légitime. Car, par exemple, en la figure ci-jointe
{fig- 54). ''Il laquelle AF n'est plus parallèle à CB, et où l'angle CAF

(') Nuus reproduisons la figure donnée par Clerselier dans son édition des Lettres de
Descartes, lomo III, page 171. Dans l'édition originale de la Dioptrique, les lignes BG,
GDK, Dg' ne sont pas tracées.

110

ŒUVRES DE FERMAT. CORRESPONDx\NCE.

(>st obtus, pourquoi ne pouvons-nous pas imagincM- quo la détermina-
tion de la halle qui se meut d'A vers B est composée de deux antres,
dont l'une la fait descendre de la ligne AF vers la ligne CE, et l'autre la
fait avancer vers AF? Car il est vrai de dire qu'à mesure que la balle
descend dans la ligne AB. elle s'avance vers AF, et que cet avancement

doit être mesuré par les perpendiculaires tirées, des divers points qui
peuvent être pris entre A et B, sur la ligne AF. Et ceci pourtant se doit
entendre lorsque AF fait un angle aigu avec AB; autrement, s'il étoit
droit ou obtus, la balle n'avanceroit pas vers AF, comme il est aisé de
comprendre.

Cela supposé, par le même raisonnement de l'auteur, nous conclu-
rons que le corps poli CE n'empêche que le premier mouvement, ne lui
étant opposé qu'en ce sens-là; de sorte que, ne donnant point d'em-
pêchement au second, la perpendiculaire BH étant tirée, et HF faite
égale à HA, il s'ensuit que la balle doit réfléchir au point F, et ainsi
l'angle FBE sera plus grand que ABC.

Il est donc évident que, de toutes les divisions de la détermination
au mouvement, qui sont infinies, l'auteur n'a pris que celle qui lui
peut servir pour sa conclusion; et partant il a accommodé son médium
à sa conclusion, et nous en savons aussi peu qu'auparavant. Et certes,
il semble qu'une division imaginaire, qu'on peut diversifier en une in-
finité de façons, ne peut jamais être la cause d'un effet réel.

Nous pouvons, par un même raisonnement, réfuter la preuve de ses
fondemens de Dioptrique, puisqu'ils sont établis sur un pareil dis-
cours.

XXII. - SEPTEMBRE 1637. 111

6. Voilà mon sentiment sur ces nouvelles propositions, dont les con-
séquences qu'il en tire, lorsqu'il traite de la figure que doivent avoir
les lunettes, sont si belles, que je souhaiterois que les fondemens sur
lesquels elles sont établies fussent mieux prouvés qu'ils ne sont pas ;
mais j'appréhende que la vérité leur manque aussi bien que la preuve.

J'avois fait dessein de vous discourir ensuite de mes pensées sur ce
sujet; mais, outre que je ne puis encore me satisfaire moi-même exac-
tement, j'attendrai toutes les expériences que vous avez faites ou que
vous ferez à ma prière, sur les diverses proportions des angles d'incli-
nation et ceux de réfraction. Vous m'obligerez beaucoup de m'en faire
part au plus tôt, et je vous promets, en revanche, de vous dire de nou-
velles choses sur cette matière.

Tout ce que je viens de vous dire n'empêche pas que je n'estime
beaucoup l'esprit et l'invention de l'auteur; mais il faut de commune
main chercher la vérité, que je crois nous être encore cachée sur a'
sujet.

7. Vous m'avez encore envoyé deux Discours ('), l'un contre M. de
Beaugrand, et l'autre de M. Desargues. J'avois vu déjà le second, qui
est agréable et fait de bon esprit. Pour le premier, il ne peut pas ètr(>
mauvais, si nous en retranchons les paroles d'aigreur; car la cause de
M. de Beaugrand est tout-à-fait déplorée. Je lui écrivis les mêmes rai-
sons de votre imprimé à lui-même, dès qu'il m'eut envoyé son Livre.

(') Le Discours de Desargues doit ùtre son premier opuscule sur la perspecti\e :
Ece/nple de l'une des manières universelles du S. G. D. L., touchant la pratique de la
perspective sans empliicr aucun tiers pol'il, de distance ny d'autre nature qui soit liors
du champ de l'oavra-^c. A Paris, en Maj i636, avec Privilège (Bil>l. Nat. iinpriniés
Vi22, Inventaire V1527), reproduit, sous un titre inexact, pages 5Î-84 du premier Vo-
lume des OEuvres de Desargues (éd. Poudra, Paris, Leiber, 1864 ).

Le Discours contre Beaugrand est l'Ouvrage : Esclaircisscment d'une partie des Para-
logis'nes ou fautes contre les toix du raisonnement et de la démonstration que Moisieur
de Biaugrand a commis en sa prétendue Démonstration de la première / arlie de la
quatricsme proposition de son Liure intitulé Gcostatique. Adresse au mcsme Monsieur de
Beaugrand. Par Guy de la Brosse, Escuicr Conseiller et Médecin ordinaire du Boy, et
Intendant du lardin Royal des Plantes Medecinales de Paris. — A Paris. Chez Jac-
ques Di/gast, rue S. Jean de Beauuais. à l'Olivier de Robert Estienne et en sa boutique
dans la court du Palais, place du r/iaHOf. M. DC.XXXVll (Bibl. Xat. imprimés V 'p, In-
ventaire Vi538).

112 ŒUVRES DE FERMAT. CORRESPONDANCE.

.l'altciuls la faveur que vous ino l'ailes espérer de voir par voire
iiioyeu les autres Livres de M. Descartes et Je Livre de Galilée De
moi II ( ' ).

Je suis, uioii Révérend Père, votre très lumihle serviteur,

Ferjiat.

XXIH.
DESCARTES A MERSENNE POUR FEMIAT ( = ).

< OCTOBRE 1687 >

(D, III, 39.)

Mon Révérend Père,
1- Vous me mandez qu'un de vos amis, qui a vu la Dioptrique, y

(') Il s'agit do l'Ouvrage : Discorsi e dimustrazioni jnatfniaticlie intorno a due nuove
scienze attenenù alla Mecanica e i moviinenlali locali, del Signur Galileo Galilei, fdo-
sofo e matcmatico priinario del serenisslmo Grand Duca di Toxcana. — Cou una Ap-
pendice del centra di gravita di alcuni solidi. — qui était alors sous presse à Leyde, chez
les Elzcvirs, et qui ne parut que l'année suivante, en i638.

(') Réponse à la Lettre précédente. La date iudiquée dans les annotations manu-
scrites de l'exemplaire des Lettres de Descaries do la Bibliotlièque do l'Institut, qui a été
utilisé par Cousin pour son édition, est celle du 3 décembre iGîy. Mais cette réponse de
Descartes fut adressée par lui à Mersenne en môme tem|)S que sa Lettre (Clorselicr, III,
38), qui commence ainsi :

« Mon Révérend Père, j'ai été bien aise de voir la lettre de M. de Fermât et je vous
« on remercie; mais le défaut qu'il trouve en ma démonstration n'est qu'imaginaire et
» montre assez qu'il n'a regardé mon Traité que de travers. Je réponds à son objection
» dans un papier séparé, afin que vous lui puissiez envoyer, si bon vous semble, et si
11 vous avez envie par charité de le délivrer de la peine qu'il prend de rêver encore sur
" cette matière .... »

Or, dans la même Lettre, Descartes dit a\oir reçu « ces jours passés » quelques ob-
jections de Froinoudas, auxiiuelles il a répondu dès le lendemain. Conimo la lettre de
Libert Froidmont est datée du i3 septembre 1687 et qu'elle fut transmise à Descartes le
i5 septembre [)ar Plcmpius (Domela Nieuwenhuis, Commentatio de R. Cartes i i com-
mcrcio cum pliilosophis hclj^icis, Louvain, 1828, p. g5), il faut adopter pour les réponses
de Descartes à Plempius et à Fromondus (éd. Clerselier, II, 7 et 8) la date du 3 octobre
donnée par l'édition latine d'Amsterdam des Lettres de Doscartes, et non pas celle du
j- novembre supposée par l'annotateur anonyme do l'cxeuiplairo de l'Institut.

Dès lors, notre Lettre XXIII doit avoir été écrite du 5 au 12 octobre 1G37.

XXIII. - OCTOBRE 1G37. 113

trouve quelque chose à objecter, et premièrement qu'il doute si l'incli-
nation au mouvement doit suivre les mêmes lois que le mouvement, puis-
qu'il y a autant de différence de l' un à l'autre que de la puissance à
l'acte (').

Mais je me persuade qu'il a formé ce doute sur ce qu'il s'est imaginé
que j'en doutois moi-même, et qu'à cause que j'ai mis ces mots en la
page 8, ligne il\ : « car il est bien aisé à croire que l' inclination (-) à se
mouvoir doit suivre en ceci les mêmes lois que le mouvement », il a pensé
que, disant qu'une chose est aisée à croire, je voulois dire qu'elle
n'est que probable. En quoi il s'est fort éloigné de mon sentiment; car
je répute presque pour taux tout ce qui n'est que vraisemblable,
et quand je dis qu'une chose est aisée à croire, je no veux pas dire
qu'elle est probable seulement, mais qu'elle est si claire et si évidente,
qu'il n'est pas besoin que je m'arrête à la démontrer; comme en effet
on ne peut douter avec raison que les lois que suit le mouvement, qui
est l'acte, comme il dit lui-même, ne s'observent aussi par l'inclina-
tion à se mouvoir, qui est la puissance de cet acte. Car, bien qu'il ne
soit pas toujours vrai que ce qui a été en la puissance soit en l'acte, il
est néanmoins du tout impossible qu'il y ait quelque chose en l'acte
qui n'ait pas été en la puissance.

2. Pour ce qu'il dit ensuite (^), qu'il semble y avoir ici une particu-
lière disconvenance, en ce que le mouvement d'une balle est plus ou moins
violent, à mesure quelle est poussée par des forces différentes, là où la
lumière pénètre en un instant les corps diaphanes, et semble n'avoir rien
de successif, je ne comprends point son raisonnement.

Car il ne peut mettre cette disconvenance en ce que le mouvement
d'une balle peut être plus ou moins violent, vu que l'action que je
prends pour la lumière peut aussi être plus ou moins forte; ni non
plus en ce que l'un est successif et l'autre non, car je pense avoir assez

(I) ruir Lettre XXII, 4.

C) Le texte de la Dioptrique porte : l'actioit ou inclination.

(3) Foir Lettre XXII, U.

Febmat. — il i5

II. ŒlXiil.S l)K F KRMAT. - COUHESPONDANCE.

t'ait ciilciulrc. par la comparaison du Itàloii li'iiii avciigU', cl par celle
(lu vin (jui (loscond dans une cuve, (iiic, bien ([ue i'inelinalion à se
iiioiivoir se coiinnunicuic d'un lieu à l'aulrc eu un iuslant, elle ne
laisse pas de suivre le même chemin par où le mouvenicnl successit
se doit tairo, qui est tout ce dfuil il esl ici ([uestiou.

3- il ajoute après cela un discours qui nw semble n'être rien moins
qu'une démonstration ('). Je ne veux pas répéter ici ses mots, pour
ce que je ne doute point que vous n'eu ayez gardé l'original; mais je
dirai seulement que, de ce que j'ai écrit que la détermination à se
mouvoir peut être divisée (j'entends divisée réellement, et non point
par imagination) en toutes les parties dont on peut imaginer qu'elle
est composée, il n'a en aucune raison de conclure que la division de
cette détermination, qui est faite parla superficie CBE(y/^. 54), qui est
une superficie réelle, a savoir celle du corps poli CBE, ne soit qu'ima-
ginaire. Et il a fait un paralogisme très manifeste en ce que, supposant
la ligue AF n'être pas parallèle à la superficie CBE, il a voulu qu'on put,
nonobstant cela, imaginer que cette ligne désignoit le coté auquel cette
superficie n'est point du tout opposée, sans. considérer que, comme il
n'v a que les seules perpendiculaires, non sur cette AF tirée de travers
par son imagination, mais sur CBE, qui marquent en quel sens cette
superficie CBE est opposée au mouvement de la balle, aussi n'y a-t-il
que les parallèles à cette même CBE qui marquent le sens auquel elle
ne lui est point du tout opposée. *

4. Mais, afin qu'on voie mieux la différence qui est entre nos deux
raisonnemens, je les veux appli(|uer à une autre matière. J'argumente
en cette sorte :

Premièrement, le triangle ABC (Jig- 55) peut être divisé en toutes
les parties dont on peut imaginer qu'il est composé. Secondement, or
on peut aisément imaginer qu'il a été composé des quatre triangles
égaux ADE, FED, fîlFB, DCF. Troisièmement . et ensuite il est aisé à

(') ro/r Leure XXII, 5.

XXIII. - OCTOBRE 1C37. 115

entendre que les trois lignes DE, EF, FD marquent les endroits oîi ces
quatre triangles doivent se joindre pour le composer. Donc, si on tire
ces trois lignes, il sera réellement et véritablement divisé par elles en
quatre triangles égaux.

Voici maintenant la façon dont il argumente, ou du moins dont il
vont que j'aie argumenté :

Le triangle ABC peut être divisé en toutes les parties dont on peut
imaginer qu'il est composé. Or on peut imaginer qu'il est composé des

quatre triangles inégaux AHG, IGH, HCI, JBG. Donc, si on tire les trois
lignes DE, EF et FD, elles diviseront ce triangle en quatre autres qui

seront inégaux.

Je m'assure que quiconque voudra entendre raison ne dira point
que ces deux argumens soient semblables.

5. Mais, de quelque qualité que soient les objections qu'on voudra
taire contre mes écrits, vous m'obligerez, s'il vous plaît, de me les
envoyer toutes, et je ne manquerai pas d'y répondre, au moins si elles
ou leurs auteurs en valent tant soit peu la peine, et s'ils trouvent bon
que je les fasse imprimer lorsque j'en aurai ramassé pour remplir un
juste volume. Gar je n'aurois jamais fait si j'entreprenois de satisfaire
en particulier à un chacun.

Je suis, etc.

m; ŒINKKS l»E KEUMAT. - COHKESPONDANCE.

\X1V.
FKRMAT A MKRSENNE (')•

< DÉCEMBRE 1687 >
(D. 111, 40).

M(i> RévkpvF.M) Pèrk,

1- J'ai vu dans la Lettre de M. Descartes, que vous avez pris la peine
de m'envoyer, des réponses succinctes qu'il fait aux objections que
i'avois formées contre sa Dioptrique, auxquelles j'eusse plus tôt ré-
pondu si mes occupations nécessaires ne m'eussent empêché de le
faire, de quoi M. de Carcavi sera mon garant. Je vous proteste d'abord
(|ue ce n'est point par envie ni par émulation que je continue cette
petite dispute, mais seulement pour découvrir la vérité; de quoi j'es-
lime que M. Descartes ne me saura pas mauvais gré, d'autant plus que
je connois son mérite très émincnt, et que je vous en fais ici une dé-
claration très expresse, .l'ajouterai, auparavant que d'entrer en matière,
que je ne désire pas que mon écrit soit exposé à un plus grand jour

(') Le texte do celle Lcllre a été revisé sur la copie faite à Vienne jiar Despcyrous
iliiprès lc.< originaux de Clerselier (Bibl. Nat. MS. français nouv. acq. 3280, fol. 29 ;'i 34).
Elle répond à la Lettre XXIII qui précède.

Sa date est fixée au 25 janvier i638 par l'annotateur de l'exemplaire des Lettres de
Descartes de la Bililiollièque de l'Inslilut (OEuvres de D., éd. Cousin, VL p. 38i), et de
fait Mersenno ne l'adressa à Uesoartcs que le 12 février i638. Mais il la lui avait annoncée
dès la (in de décembre 1637, en même temps qu'il lui envoyait des écrits mathémaliques
de Fermât {voir ci-après Lettre XXV, 2" note). C'est, en effet, à la présente Pièce XXIV
que se rapporte le passage suivant d'une Lettre de Descartes à Mersenne (éd. Clerselier,
lit, p. 429) à dater de janvier i638 :

« .le n'ai pas tant de dcsir de voir la démonstration do M. de Fermât contre ce que j'ai
écrit de la réfraction, tpic jo vous veuille prier de me l'envoyer par la poste, mais, lors-
qu'il se présentera commodité de me l'adresser par mer, avec quelques balles de mar-
chandise, je ne serai pas marri de la voir, avec la Géoslatique et le Livre de la Lumière
de M. de la Chambre et tout ce qui sera de pareille étoffe; non que je ne fusse bien aise
de voir promiitement ce (ju'écrivont les autres pour ou contre mes opinions ou de leur
invention, mais les ports de lettres sont excessifs. »

•XXIV. - DÉCEMBRE 1637. 117

que celui que peut souffrir un entretien familier, de quoi je me contie
à vous.

2. Je tranche en quatre mots notre dispute sur la réflexion, laquelle
pourtant je pourrois faire durer davantage, et prouver que l'auteur a
accommodé son médium à sa conclusion, de la vérité de laquelle il étoit
auparavant certain; car, quand je lui nierois que sa division des déter-
minations au mouvement n'est pas celle qu'il faut prendre, puisque
nous en avons d'infinies, je le réduirois à la preuve d'une proposition
qui lui seroit très malaisée. Mais, puisque nous ne doutons pas que les
réflexions ne se fassent à angles égaux, il est superflu de disputer de la
preuve, puisque nous connoissons la vérité; et j'estime que je ferai
mieux, sans marchander, de venir à la réfraction, qui sert de but ii la
Dioptrique.

3. Je reconnois, avec M. Descartes, que la force ou puissance mou-
vante est différente de la détermination, et, par conséquent, que la dé-
termination peut changer sans que la force change, et au contraire.

L'exemple du premier cas se voit en la figure de la i5* page de la
Dioptri(fue, où la halle poussée du point A au point B {fig. 53) se dé-

FiR. 53.

A

/

H X

F

l\

\

\

?

\

B
6

\ E

]/

D

K

tourne au point F, de sorte que la détermination ii se mouvoir dans la
ligne AB change, sans que la force qui continue son mouvement soit

diminuée ou changée.

Nous pouvons nous servir de la figure de la page 17 pour le second
cas {fig. 56). (]ar, si nous imaginons que la halle soit poussée du
point H jiisques au point B, puis qu'elle tomhe perpendiculairement

118 (Kl VliKS l)K FRIlMVr. — COIîRKSPONnVNCE.

>iir lu Idilr (",HE, il es! cvidcnl (nrdlc l;i Iravci'srr;! dans la lii;n(' H(!,
t'I ainsi sa force inoiivaiilc s'afloihlira, cl son iiioiivciiicnl sera relardc
sans (|iic la ilélcriiiinalion chaiiij;e, |)iiis(Hi'elle coiidniie son nioiivc-
mic'mI dans la même lii!;nc IIBG.

Fis. 5f..

4. Je reviens maintenant à la dcinonslralinn de la réfraction sur la
iiiènie ligure de la page 17.

« Considérons (') », dit rauteur, « ywe des deux parties, dont onpeitt
imaginer que cette détermination est composée, il n'y a que celle qui fai-
sait tendre la halle de haut en bas qui puisse être changée en quelque
façon par la rencontre de la toile, et que, pour celle qui la faisoit tendre
vers la main droite, elle doit toujours demeurer la même quelle a été, à
cause que cette toile ne lui est aucunement opposée en ce sens-là. »

5. Je remarque d'abord que l'auteur ne s'est pas souvenu de la dif-
férence qu'il avoit établie entre la détermination et la force mouvante
ou la vitesse du mouvement. Car il est bien vrai que la toile CBE atfoi-
blit le mouvement de la balle, mais elle n'empêche pas qu'elle ne con-
tinue sa détermination de haut en bas, et, quoique ce soit plus lente-
ment qu'auparavant, on ne peut pas dire que, parce que le mouvement
de la balle est aiï'oibli, la détermination qui la fait aller de haut en bas
soit changée. Au contraire, sa détermination à se mouvoir dans la
ligne Bl est aussi bien composée, au sens de l'auteur, de celle qui la
fait aller de haut en bas et de celle qui la fait aller de la gauche ii la

(') Texte de la Dioplriqiic : Et contidcrons aussi que etc.

XXIV. - DECEMBRE 1G37. 119

droite, comme la première délermination à se mouvoir dans la
ligne AB.

6. Mais donnons que la détermination vers BG, ou de haut en i)as,
pour parler comme l'auteur, soit changée; nous en pouvons conclure
que la détermination vers BE, ou de gauche à droite, est aussi chan-
gée. Car, si la détermination vers BG est changée, c'est pource qu'à
comparaison du premier mouvement, la halle qui maintenant se dé-
tourne et prend le chemin de BI, avance moins à proportion vers BG
que vers BE qu'elle ne faisoit auparavant; or, par ce que nous suppo-
sons qu'elle avance à proportion moins vers BG que vers BE qu'eHe
ne faisoit auparavant, nous pouvons aussi dire qu'elle avance à pro-
portion davantage vers BE que vers BG qu'elle faisoit auparavant; si
le premier nous fait comprendre que la détermination vers BG est
changée, le second nous peut bien faire concevoir que la détermina-
tion vers BE est aussi changée, puisque le changement est aussi bien
causé par l'augmentation que par la diminution.

7. Mais donnons encore que la détermination de haut en bas soil
changée, et non pas celle de gauche à droite, et examinons hi conclu-
sion de l'auteur, duquel voici les mots :

« Puisque la balle ne perd rien (') du tout de la détermination quelle
avait à s'avancer vers le côté droit, en deux fois autant de temps quelle
en a mis à passer depuis la ligne AC jusques à HB, elle doit faire deux
fois autant de chemin vers ce même côté. »

8. Voyez comme il retombe dans sa première faute, ne distinguant
pas la détermination de la force du mouvement; et pour mieux vous le
faire entendre, appliquons son raisonnement à un autre cas.

Supposons, en la même figure, que la balle soit poussée du point H
au point B. Il est certain qu'elle continuera son mouvement dans la
ligne BG et que sa détermination ne change point; mais aussi son
mouvement est plus lent dans la ligne BG qu'il n'étoit auparavant, et

(' ) Texte do la Dioptriquc, pai,'e i- : Et puisqu'elle ne perd rien etc.

120 ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

néanmoins, si le raisoiiiicimMil de raiilciir éloit vrai, nous pourrions

(tin

Puisque la balle ne perd rien du (ou( de la délerminalion ([u'idle
avoil il s'avaneer vers HBG (car e'esl toute la même), doue, en autant
de temps qu'auparavant, (die fera autant de eliemin.

Vous voyez que cette conclusion est absurde, et (|ue, pour rendre
l'argument bon, il faudroit (jue la balle ne perdit rien de sa détermi-
nation ni de sa force, et partant, voilii un [laralogisme très manifeste.

9. Mais, pour détruire pleinement la proposition, il faut examiner
deux sortes de mouvements composés qui se f(mt sur deux lignes
droites.

Considérons, par exemple {/ig- 37), les deux lignes DA et AO, (|ui
comprennent l'angle DAO de quelque grandeur que vous voudrez, et

Fig. 07.

imaginons un grave au point A, qui descende dans la ligne ACD eu
même temps que la ligne s'avance vers AN, à telle condition qu'elle
fasse toujours un même angle avec AO, et que le point A de la même
ligne ACD soit toujours dans la ligne AN. Si les deux mouvements, de
la ligne ACD vers AO et du même grave dans la ligne ACD, sont uni-
formes comme nous les pouvons supposer, il est certain que ce mou-
vement composé conduira toujours le grave dans une ligne droite,
comme AB, dans laquelle si vous prenez un point, comme B, duquel
vous tiriez les lignes BN et BC parallèles aux lignes DA et AO, lorsque
le grave sera au point B, en un temps égal, s'il n'y eût eu que le mou-
vement sur ACD, il eût été au point C, et s'il n'y eût eu (|ae l'autre
mouvement tout seul, il eût été au point N; et la proportion de la force
qui le conduit sur AD à la force qui le conduit vers AO sera comme
AC à AN, c'est-à-dire comme BN à BC.

XXIV.- DECEMBRE 1G37. 121

C'est de celte sorte de mouvements composés que se servent Arclii-
mède et les autres anciens en la composition de leurs hélices, des-
quelles la principale propriété est que les deux forces mouvantes -ne
s'empêchent point mutuellement, ains demeurent toujours les mêmes.
Mais, pource que ce mouvement composé ne vient pas si bien dans
l'usage, il le faut considérer d'une autre façon et en faire une spécula-
tion particulii're.

10. Supposons en la même figure un grave au point A, lequel en
même temps est poussé par deux forces, dont l'une le pousse vers A()
et l'autre vers AD, si bien que la ligne de direction du premier mouve-
ment est AO, et celle du second est AD. S'il n'y avait que la première
force toute seule, le grave se trouveroit toujours sur AO, et sur AD s'il
n'y avoit que la seconde; mais, puisque ces deux forces s'empêchent
et se résistent mutuellement, supposons (et il faut se souvenir que
nous supposons aussi tous ces mouvements uniformes, car autrement
le mouvement composé no se feroit pas sur des lignes droites) que
dans une minute d'heure, par exemple, la seconde force fait que le
grave s'éloigne de sa direction AO selon la longueur NB, (|u'il i'aul dé-
crire parallèle à AD ; car le grave qui est emporté sur AD par la seconde
force, se trouvant empêché par la première, se portera toujours et s'a-
vancera d'Avers D par des parallèles à AD. Supposons aussi que, dans
la même minute d'heure, la première force fait que le grave s'éloigne
de sa direction AD selon la longueur CB parallèle, par la précédenle
raison, à la ligne AO. Il est tout certain que dans une minute d'heure
le grave se trouvera au point B, qui est le concours des deux lignes BN
etBC. Le mouvement composé se fera donc sur la ligne AB, et nous
pourrons dire que le grave parcourra la ligne AB dans une minute.

11. Supposons maintenant {fig. jH) que l'angle DAO soit changé el
soit, par exemple, plus grand. En la figure suivante, les mêmes choses
étant posées comme auparavant, je dis que, dans une minute d'heure,
le grave s'éloignera de sa direction AO selon la ligne BN égale à celle
que nous avons appelée de même en la précédente figure. (3ar, puisque

Feu.mat. — \l. l6

I-2-2 ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

los torcos s(»nl les mômes, l;i seconde (liniiiuieni égalemeni la délermi-
iiatioii de la pi'emière, et l'era, en ((>mps égal, éloigner le gi'ave de sa
direelitin aiilaiil eomiiie au[taravaiil, |)Oiii'c(> que c'est toujours la même
résistance. Nous conclurons la même chose de la ligne BC.

Fis. 5S.

Le mouvement composé se fora donc ici sur la ligne AB, et la ligne AB
sera parcourue comme devant en une minute d'heure; mais, pource
que, dans les deux triangles ANB de la première et seconde figure, les
côtés AN et NB de la première figure sont égaux à ceux de la seconde,
et que les angles ANB qu'ils comprennent sont inégaux, il s'ensuit
que les hases AB seront inégales (et par conséquent le mouvement
composé sera moins vite en la seconde qu'en la première), et qu'il y
aura telle proportion de la vitesse du mouvement composé en la pre-
mière figure à la vitesse du mouvement composé en la seconde, que de
la longueur de la ligne AB en la première à la longueur de la ligne AB
en la seconde.

12. .le prends maintenant un point à discrétion dans la ligne AB,
comme F, duquel je tire les lignes Fl^], FG parallèles à AO et à AD.

FE est à CB comme FA à A15, c'esl-à-dire FG à BN,

comme la construction nous marcjue : donc

FE est à VV, comme CR à RN.

X\1V. - DECEMBRE 1637. 123

Or, en la précédente figure, les lignes BN et BC sont égales, cha-
cune à la sienne, aux lignes BN et BC de cette seconde figure, et nous
pouvons, par un même raisonnement, prendre un point à discrétion
dans la ligne AB de la première figure, pour en tirer une pareille
conclusion à la précédente. Donc, quelque point que vous preniez
dans la ligne AB, soit de la première, soit de la seconde figure, les
parallèles seront entre elles comme CB à BN, c'est-à-dire toujours en
même proportion.

Du point F tirons les perpoiuliculaires FH, FI sur les lignes AO
et AD. Au parallélogramme GAEF, les angles AGF, AEF seront égaux
comme étant opposés : donc les triangles GFH et EFI sont équiangles,
et par conséquence,

comme EF est à FG, ainsi FI est à FH.
Or

FI est à FH comme le sinus de l'angle DAF est au sinus de l'angle OAF,

et par conséquent. Taisant, si vous voulez, une même construction en
la première figure, vous conclurez, pour éviter prolixité, que le sinus
de l'angle DAB est au sinus de l'angle OAB en la première figure,
comme le sinus de l'aufirle DAF au sinus de l'angle OAF en la seconde
figure ( ').

13. Cela ainsi supposé et démontré, considérons la figure de la
page 2() de la Diopfrique {fig. oq), en laquelle l'auteur suppose que
la balle, ayant été premièrement poussée d'A vers B, est poussée de
rechef, étant au [xtint B, par la ratiuefte CBE, qui sans doute, au sens
de l'auteur, pousse vers BG; de sorte que de ces deux mouvements,
dont l'un pousse vers BD et l'autre vers BG, il s'en l'ait un troisième
qui conduit la balle dans la ligne BI.

14. Imaginons ensuite une seconde figure pareille à celle-là, en

(i) Ou voit que désormais Format rosoiiiiait pleinement, pour la composition des forces
concourantes, le principe du parallélogramme qu'il avait mis en doute dans sa discussion
avec Roberval sur la Géoslatique {voir notamment Pièce XVI).

12»

CEI VliES DE FERMAT.

COIUIESI'UNDWCE.

laquelle la loi'cc de la Italie ti ecllc de la racjiicKc soiciil les inèincs,
t't (]iio ['angle DHG soil seiileiiien( plus grand en celle seconde figure.
Il est eortaiii. par les deiiionslralions ([ue nous venons de faire, (jn'il y
aura (elle proporlion dn sinns de l'angle (jBI an sinns de l'angle IBD,
en la ligure de l'aulenr, (|ne dn sinus de l'angle (ilJI au sinus de
l'aniîle IBD. en ceUe seconde tionre fine nous iniaifinons èlre décrite

Fi-. 5().

A

C "~^

/

/y

E

C B

\

"/

__„_--^

(
ne

et que nous oino(tons pour éviter la longueur, là où, si les proposi-
tions de l'auteur étoient vraies, il y auroit telle proportion du sinus de
l'angle GBD au sinus de l'angle GBI, en la figure de l'auteur, que du
sinus de l'angle GBD au sinus de l'angle GBI, on cette seconde figure
jue nous avons imaginée. Or, puisque cette proportion est différente
l'autre, il s'ensuit qu'elle ne peut pas subsister ( ').

. 15. D'ailleurs la principale raison de la démonstration de l'aulenr
est fondée sur ce qu'il croit que le mouvement composé sur BI est tou-
jours également vite, quoique l'angle GBD, compris sous les lignes de
direction des deux forces mouvantes, vienne à changer : ce qui est
faux, comme nous avons déjà pleinement démontré.

16. Ce n'est pas que je veuille assurer (ju'en l'application qu'il fait

C) Ainsi Fermai conclut que, si l'on doit, avec Doscarles, considérer le mouvemenl
suivant le rayon réfracté comme résultant du mouvement suivant le rayon incident et
d'une action suivant la normale, la |}roi)ortionaJité doit exister non pas entre les sinus des
angles d'incidence et de réfraction, sini cl sinr, mais entre sin(( — /•) et sin/". A cet
effet, il suppose implicitement l'aclion normale indépendante de l'incidence. L'hypothèse
de Descaries est au contraire que la composante parallèle à la surface d'incidence garde
la même valeur avant et après la réfraction. Il est clair (\\\'a priori on no peut décider
entre ces deux suppositions.

XXIV. — DÉCEMBRE 1G37. l->5

(le la figure de la page 20 à la réfraction, il faille garder ma proportion
et non pas la sienne; car je ne suis pas assuré si ce mouvement com-
posé doit servir de règle îi la réfraction, sur laquelle je vous dirai une
autre fois plus au long mes sentiments.

n. J'attendrai la réponse (') à cette Lettre, puisque vous me la faites
espérer, et serai toujours, mon Révérend Père, votre très humble ser-
vifcur.

L'excuse que vous avez vue au commencement de ma lettre me ser-
vira encore sur ce que je ne vous ai point écrit de ma main.

(') Descartes, n'ayant reçu la Lettre XXIV qu'au moment où il avait à défendre contre
Ilolierval sa propre critique de la méthode des tangentes de Fermai {voir ci -après
Lettre XXV, i'" note), ajouta le môme jour (22 février i638) à son courrier pour Mer-
senne une Lettre spéciale sur la Dioptrique, adressée à Mydorge (éd. Clersclier, III, 42).
Mais cette réplique, qu'on trouvera dans le Supplément à la présente édition, ne fut eom-
muni(|uée à Fermât que vers le mois de juin 16 jS. alors que s'arrangeait le différend sur
la métliode des tangentes. Descartes ne se montrant pas disposé à satisfaire davantage
Fermât sur la question de la réfraction, la discussion en fut également suspendue pour
n'être reprise que vingt ans après, entre Fermât et Clerselier. La présente Lettre XXIV
fil alors l'objet d'une réfutation spéciale {ci-aprcs Pièce XCIV) composée par Rohaull.

126 OU VUES DE FEKMAT. - CORRESPONDANCE.

ANNKE 1638.

x\v.

DESCARTES A MERSENNE {' ).

< LLNDI 18 JANVIER IGS8 >

(D, III, fiG.)
3l0N RÉVÉREM) Pèrf.,

1. Je siM'ois hien aise de ne rien dire de l'Ecrit que vous m'avez
envoyé ("), [)Ouree que je n'en saurois dire aucune chose qui soit à
l'avantage de celui qui l'a composé. Mais à cause que je reconnois que
c'est cehii même qui avoit ci-devant taché de réfuter ma Dioptrique,

(') LcUrc dcslinéo à t'ermat ot envoyée à iMerseiino en même lonips que celU^ (|ui la
précède (III, 5)) dans l'édition Clcrselier. Au lieu de l'adresseï' à Toulouse, le correspon-
dant de Descartes la montra à Roberval et Etienne Pascal qui, prenant la défense de la
Méthode attaquée, rédigèrent une Réplique (perdue). Elle fut envoyée, le 8 février i638,
par Mersenne à Descaries, qui répondit vers le 22 février (éd. Clerselier, III, 4'! à Mer-
senne; III, 57, à Mydorge) en faisant appel à Mydorge et Hardy comme juges. Le 26 mars,
Mersenne fit pari à Descartes (qui répli(pia le 3 mai par la Lettre XXVIl ci-après) de
nouvelles objections de Roberval et, probablement au conmiencemcnt d'avril, ce dernier
composa une seconde Défense de la Méthode de Fermât (éd. Clerselier, III, 58). Ainsi fui
engagé ce procài inatliémaiiquc, auquel Fermât resta de fait étranger pendant toute cette
phase {voir ci-après Lettre XXVI) et dont les pièces seront réunies dans le Supplément
de la |)résente édition.

Le texte de celte Lettre XXV a élé révisé d'après une copie ancienne dans le .MS. Bibl.
Nat. IV. n. a. 'iiGo, ['" 53 à 5G.

(*) L'envoi fait par Mersenne vers la lin de décembre 1O37 comprenait, outre l'écrit
dont il esl ici question ( Methodus ad disquirendam maximnm et miiiimam. — De tnii-
ffe/itihtis llnearum cun'arum. Tome I, pages l33 ù i36), Y Isa gage ad locos plaitos et
solidos (Tome I, pages 91 et suiv.), qui, formant un paquet séparé, ne parvint à Descartes
qu'un peu plus lard. Ces pièces avaient été remises à Mersenne par Carcavi.

XXV. — 18 JANVIER 1638, 1>7

ol que vous me mandez qu'il a envoyé ceci après avoir lu ma Géo-
métrie et s'étonnant de ce que je n'avois point trouvé la même chose,
c'est-à-dire, comme j'ai sujet de l'interpréter, à dessein d'entrer en
concurrence et de montrer qu'il sait en cela plus que moi; puis aussi
à cause que j'apprends par vos lettres qu'il a la réputation d'être fort
savant en Géométrie, je crois être obligé de lui répondre.

2. Premièrement donc, je trouve manifestement de l'erreur eu sa
règle, et encore plus en l'exemple qu'il en donne pour trouver les
contingentes de la parabole : ce que je trouve en cette sorte.

Soit ( /ig. Go) BDN la parabole donnée dont DC est le diamètre, et
({ne (In point donné B il faille tirer la ligne droite BK qui rencontre

Fis. Co.

DC au point E et qui soit la plus grande qu'on puisse tirer du même
point E jusques à la parabole : sic enim proponitnr quœrenda maxima.

Sa règle dit : sialualur quilibet quœstionis terminus esse A ; je prends
donc EC pour A, ainsi qu'il a fait : ei inveniatur maxima (à savoir BE)
in tenninis sub A gradu, iil libet, ini'olttlis; ce qui ne se peut faire mieux
qu'en cette façon : Que BC soit B, le quarré de BE sera Aq. -+- liq., à
cause de l'angle droit BCE.

Ponatur rursum idem terminus qui priits esse A -h E; à savoii' je fais
que EG est A -h E (ou bien, suivant son exemple, A — E, car l'un
revient à l'autre) : iterumqiie inveniatur maxima (à savoir BE) in ter-
minis sub A et E gradibus ut libet coejjïcientibus ; ce qui ne se peut mieux
faire qu'en cette sorte : Posons que CD ait été ci-devant />, lorsque

BC étoile, le côté droit de la parabole sera -j^-, à cause qu'il est à B(",

128 ŒUVRKS DK FERMAT.— COlî UKSl'ONDANCE.

la ligiio appliciiicc par ttrdro, comnip BC csl à CI) le sci^mikmiI dn dia-
nù'tiT auquel cilo est a|)i)li(|né('. C'csl p()iir(|U(ii, iiiaiiilciiaiil (juc Œ

est .1 + /■., 1)(. est /> + h, v[ le (inarrc (le I5(. csl — '- j- — '- ,

(|ui ('lant ajoMli' au quarn'' dr Œ, (jui est -ly. 4- .1 in A' bis + /iV/.. il
lait II' quarré de \\\l.

A(hv(jitcntiir duo /lor/io^c/ica iiia.viDiœ (vqiialia; f'csl-ii-dirc (jnc
Atj.-hUq. soit posé égal ii

n,/. + "'^'1'^' '' -(- A q. -h A in £■ bis + £-7. :

e/ demptis co/tunii/iiùiis, il rcsti'
/Jr/. in E

D
Applicentur ad E e/c. ; il vient

:( in E \>\s + Eq. ("g;il ;i rien.

Bq. ... „

-jj- + A h\s + L.

Elidalur E, il reste

—— -+- A l)is ég;!! à l'icii.

Ce qui ne donne point la valeur de la ligne A, comme assure l'an-
leur. et par conséquent sa règle est fausse.

3. iMais il se mécompte encore bien plus en l'exemple de la même
parabole, dont il tâche de trouver la contingente. Car, outre qu'il ne
suit nullement sa règle, comme il paroît assez de ce que son calcul
ne se rapporte pointa celui que je viens de faire, il use d'un raison-
nement qui est tel que, si seulement, au lieu ào parabole olparaholc/i,
on met partout en son discours hyperbole et hyperbolcn ou le nom de
quidijue autre ligne courbe, telle (jue ce puisse être, sans y changer
au reste un seul mot, le tout suivra en même façon qu'il l'ait touchant
la paraijole jusques à ces mots : ergo Œ probavimiis daplam ipsiiis CD,
r/uod quidem ila se habet. Nec unqiiam failli metJiodus; au lieu des(jucls
on [)eut metli'e : non idco sequilur CK diiplani cssc ipsius (^D, nec unquani

XXV. - 18 JANVIER 1638. 129

ila se hahel alibi quam in parabole, ubi casa et non ex l'i prœmissariun
œrum concludilur : semperque fallit ista methodus.

4. Si cet auteur s'est étonné de ce que je n'ai point mis de telles
règles en ma Géométrie, j'ai beaucoup plus de raison de m'étonner de
ce qu'il a voulu entrer en lice avec de si mauvaises armes. Mais je lui
veux bien encore donner.le temps de remonter à cheval, et de prendre
toutes les meilleures qu'il eût pu choisir pour ce combat, qui sont que,
si on change quelques mots de la règle qu'il propose pour trouver
maximam çiminimam, on la peut rendre vraie et est assez bonne.

(a' que je ne pourrois néanmoins ici dire, si je ne l'avois su dès
auparavant que de voir son Écrit : car, étant tel qu'il est, il m'eût
plutôt empêché de la trouver qu'il ne m'y eût aidé. Mais encore que
je l'aurois ignorée et que lui l'auroit parfaitement sue, il ne me semble
pas qu'il eût pour cela aucune raison de la comparer avec celle qui est
en ma Géométrie touchant le même sujet.

5. Car premièrement la sienne (c'est-à-dire celle qu'il a eu envie de
trouver) est telle que, sans industrie et par hasard, on peut aisément
tomber dans le chemin qu'il faut tenir pour la rencontrer, lequel n'est
autre chose qu'une fausse position fondée sur la façon de démontrer
qui réduit à l'impossible et qui est la moins estimée et la moins ingé-
nieuse de toutes celles dont on se sert en mathématique. Au lieu que
la mienne est tirée d'une connoissance de la nature des équations, gui
n'a jamais été, que je sache, assez expliquée ailleurs que dans le troi-
sième Livre de ma Géométrie; de sorte qu'elle n'eût su être inventée
par une personne qui auroit ignoré le fonds de l'algèbre, et elle suit la
plus noble façon de démontrer qui puisse être, à savoir celle qu'on
nomme a priori.

6. Puis, outre cela, sa règle prétendue n'est pas universelle comme
il lui semble, et elle ne se peut étendre à aucune des questions qui
sont un j)('u difficiles, mais seulement aux plus aisées, ainsi qu'il
[)ourra éprouver si, après l'avoir mieux digérée, il tâche de s'en servir
pour trouver les contingentes, par exemple, de la ligne courbe BDN

l'iIlMVT. — U. 17

130 ŒUVRES DE FKUM \T. - CORRESPONDANCE.

{Jig. Gi), que jo suppose être (elle qu'eu quehjue lieu de sa circonfé-
rence qu'on prenne le point B, ayant tiré la perpendiculaire BC, les
deux cubes des deux lignes BG et CD soient ensemble égaux au paral-
lélépipède des deux mêmes lignes BC, CD et de la ligne donnée P.

(A savoir, si P est g et que CD soit 2, BC sera 4» pource que les
cubes de 2 et de 4. qui sont 8 et 64, font 72, et que le parallélépipède
composé de 9, 2 et 4 est aussi 72.)

Car elle ne se peut appliquer ni à cet exemple, ni aux autres qui
sont plus difficiles, au lieu que la mienne s'étend généralement à tous
ceux qui peuvent tomber sous l'examen de la géométrie, non seule-
ment en ce qui regarde les contingentes des lignes courbes, mais il
est aussi fort aisé de l'appliquer ii trouver maximas et minimas en
toute autre sorte de problèmes; de façon que, s'il l'avoit assez bien
comprise, il n'auroit pas dit, après l'avoir lue, que j'ai omis cette
matière en ma Géométrie.

7. Il est vrai toutefois que je n'y ai point mis ces termes de maximis
et minimis, dont la raison est qu'ils ne sont connus que parce qu'Apol-
lonius en a fait l'argument de son cinquième Livre, et que mon des-
sein n'a point été de m'arrêter à expliquer aucune chose de ce que
quelques autres ont déjà su, ni de réparer les livres perdus d'Apollo-
nius, comme Viète, Snellius, Marinus Ghetaldus ('), etc., mais seu-
lement de passer au delà de tous côtés, comme j'ai assez fait voir en
commençant par une question que Pappus témoigne n'avoir pu être
trouvée par aucun des Anciens; et par même moyen, eu composant et

(') Foir Tome I, p. 3, note 3.

XXV. — 18 JANVIER 1638. 131

clétcrminanL tous les lieux solides, ce qu'Apollonius chcrchoil encore;
puis en réduisant par ordre toutes les lignes courbes, la plupart des-
quelles n'avoient pas même été imaginées, et donnant des exemples
de la façon dont on peut trouver toutes leurs propriétés; puis enfin,
en construisant non seulement tous les problèmes solides, mais aussi
tous ceux qui vont au sursolide ou au quarré de cube; et par même
moyen, enseignant à les construire en une infinité de diverses façons.
D'où l'on peut aussi apprendre à déguiser en mille sortes la règle
que j'ai donnée pour trouver les contingentes, comme si c'étoient
autant de règles différentes. Mais j'ose dire qu'on n'en peut trouver
aucune, si bonne et si générale que la mienne, qui soit tirée d'un
autre fondement.

8. Au reste, encore que j'aie écrit (') que ce problème pour trouver
les contingentes fût le plus beau et le plus utile que je susse, il faut
remarquer que je n'ai pas dit pour cela qu'il fût le plus difficile,
comme il est manifeste que ceux que j'ai mis ensuite touchant les
figures des verres brùlans, lesquels le présupposent, le sont davan-
tage. De façon que ceux qui ont envie de faire paroître qu'ils savent
autant de géométrie que j'en ai écrit, ne doivent pas se contenter de
chercher ce problème par d'autres moyens que je n'ai fait, mais ils
devroient plutôt s'exercer à composer tous les lieux sursolides, ainsi
que j'ai composé les solides, et à expliquer la figure des verres brù-
lans, lorsque l'une de leurs superficies est une partie de sphère ou de
conoïde donnée, ainsi que j'ai expliqué la façon d'en faire qui aient
l'une de leurs superficies autant concave ou convexe qu'on veut, et
enfin à construire tous les problèmes qui montent au quarré de quarré
de quarré ou au cube de cube, comme j'ai construit tous ceux qui
montent au quarré de cube.

9. Et après qu'ils auront trouvé tout cela, je prétends encore qu'ils
m'en devront savoir gré, au moins s'ils se sont servis à cet effet de ma

('I Géométrie lie Descartes, éd. Hermaiin. Paris, i886, p. 3Î.

132 QÎUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

Géométrio. à cause (lu'cllc coiitii'iil le clicinin (iii'il l'aut (ciiii' j)(>iir y
parvoiilr. of (|iii\ si iiu'inc ils iio s'(mi sdiU point servis, ils ne doivenl
|)as pour cela prétendre ancuii avantai;(> j)ar dessus moi, d'au(an( (pi'il
n'y a aucune de ces choses que je ne trouve autant (|u'(dle es( Irou-
vable, lorsque je voudrai prendre la pi'ine d'en faire le calcul. Mais je
crois pouvoir employer mon tcni[)s plus ulilcMient à d'autres choses.
Je suis etc.

XXV bis (').
FERMAT A .MERSENNE.

< FÉvRnîR 1C38 >

(A, f" 35-:ili, B, f" ai-^-aa-».)

Mon Rkvérf.nd Père,

1. J'ai appris par votre lettre que ma réplique (-) à M. Descartes
n'étoit pas goûtée, que même il avoit trouvé à dire à mes méthodes de
maximis et minimis et de tangenlibus (■'), en quoi pourtant il avoit
trouvé M''* de Pascal et de Roberval de contraire sentijnent. De ces
deux choses, la première ne m'a point surpris, pource que les choses
de physique peuvent toujours nous fournir de doutes et entretenir les
disputes; mais je suis étonné de la dernière, puisque c'est une vérité
géométrique, et que je soutiens que mes méthodes sont aussi certaines
que la construction de la i'^ proposition des Eléments. Peut-être que
les ayant proposées nuement et sans démonstration, elles n'ont pas été

(') Réponse inédite à une lettre par laquelle Merscnnc, sans communiquer à Fermât
la critique de Doscartes relative à la Méthode de maximis et minimis, c'est-à-dire la
Pièce XXV, l'informait que cette critique avait donné lieu à une réplique (perdue) de
Roberval et de Pascal, envoyée à Descartes le 8 février i638.

(') Lettre XXIV. iMersenno avait parlé de l'impression produite dans son cercle, i Paris,
par celte Lettre, non pas de la réplique de Descartes, qu'il n'avait pas encore reçue.

(') Tome I, pages i33 à i36.

XXV bis. - FEVRIER 1638. 13:!

ealciidiics ou qu'elles ont paru trop aisées à M. Descartes, qui a fait
tant de chemin et a pris une voie si pénible pour ces tangentes dans sa
Géométrie.

2. Quoi qu'il en soit, je ne me pique pas d'être cru que par ceux qui
le voudront, et vous proteste que j'aimerois mieux prononcer :

Jamjam efficaei do nianus sciontiae ('),

que de soulTrir que rien de ce que je vous ai envoyé soit imprimé sous
mon-nom, ce que je vous prie d'empêcher par le pouvoir que vous
avez sur tous ces Messieurs qui se mêlent de cette étude. Je ne vous
envolerai donc plus rien pour ^l. Descartes, puisqu'il met des loix si
sévères à un commerce innocen(, et me contente de vous dii'e que
je n'ai trouvé encore personne ici qui ne soit de mon avis, que sa
Dioptrique n'est pas prouvée. Je voudrois seulement savoir si dans
Paris on croit qu'il ait démontré exactement les fondements et les
principes de la réfraction, et particulièrement qu'il vous plût me faire
part des sentiments de M. Mydorge sur ce sujet, et de M. Desargues.

3. Voilà pour ce sujet. Pour les manuscrits de Viète (-), il n'y a ([ue
fort peu de chose que nous n'eussions pas dans les imprimés : ce sont
seulement des exemples plus étendus et quelques propositions de
nombres multangulaires, qui se trouvent en d'autres livres, de sorte
que l'impression de ses œuvres n'en profiteroit guères. Outre que je
les ai reçus de M. Despagnet, à la charge de ne les bailler à personne
que par son aveu.

4. Puisque M. de Roberval a soutenu ma méthode, je lui veux faire
encore part d'un de ses plus beaux usages touchant Vinvention des centres
(le gravité, puisque M. de Beaugrand ne les lui a pas baillés, comme je
l'en avois prié. Et ne serai pas marri qu'on propose à M. Descartes l'in-

(') Vers d'Horace, Epodes, XVII, i.

(-) On voit que Mersenne s'occupait déjà de l'édition des Œuvres de Viète, imprimée
à Leyde par les Elzevirs en 1646 et à laquelle il apjiorta un concours efficace.

13i ŒIVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

vontion de (Hichnios-ims ih' ers ccntros do gravité. Vous m'ohligoroz de
donner cet écrit (^ ') à M. de Uohorval et de in'envoyer son sentiment là-
dessus, et s'il croit (lue nous soyons obligés d'envover à Leyde, pour
avoir la solution des problèmes géométriques.

.Mon Révérend Père, votre Iri's humble et tri's afToctionné serviteur.

Fermât.

5. Je (-) serai bien aise de savoir le jugement de M'* de Roberval et
de Pascal sur mon Isagoge topique et sur YAppendix ('), s'ils ont vu
l'un et l'autre.

6. Et, pour leur faire envie de quelque chose d'excellent, il faut
étendre les lieux d'un point à plusieurs in infiniium : comme par
exemple, au lieu qu'on dit d'ordinaire :

Trouver une parabole en laquelle, prenant tel point qu'on voudra, il
produise toujours un même effet,

je veux proposer :

Trouver une parabole en laquelle prenant tels deux, trois, quatre.
cinq, etc. points que vous i^oudrez, ils produisent toujours un même ejfel,
et ainsi à l'infini.

C'est chose que j'ai trouvée et plusieurs autres par l'aide de ces
misérables méthodes qui passent pour sophistiques. Bien plus, je puis
encore donner la résolution de cette question :

Trouver autant de lignes courbes qu'on demandera, en chacune des-

(') Il s'agil du fragment imprimé Tomo I, pages i36 à iSg, et pour lequel (page i36,
noie 3) le uo avril i638 a été indiqué à tort comme date de la lettre d'envoi.

Pour la communication antérieure à Beaugrand, voir Lettre XVIII, 5.

(2) Le po.st-scriptum qui suit se retrouve imprimé, sauf le dernier alinéa, dans les
Lettres de Descarte.s (éd. Clorselicr, III, page 383) comme Extrait d'une lettre de Fermât,
inséré dans un envoi de Mersenne à Doscartes (du 28 avril ou du i"' mai iG38). Il s'y
trouve précédé, dans le même Extrait, du premier alinéa de l'écrit Ceiiirum gravitatis
parabolici coiioidis (Tome 1, pages i36 à 139), qui, comme on l'a vu dans la note précé-
dente, fut envoyé par Fermât pour Roberval, dans la présente lettre à Mersenne. Il est
clair que le post-scriptum était également destiné à Roberval.

(') Tome I, pages 91 à 110. Ce passage prouve que \ Appeiulit est, comme Y Isagoge,
antérieur à la publication de la Géométrie de Descartes.

XXVI. — 20 AVRIL 1G38. 135

quelles prenanl tel nombre de points qu'on voudra, tous ces points ensemble
produisent un même effet.

1- J'oubliois de vous dire, sur le sujet de la roulette (') de ^I. de Ro-
berval, que je crois qu'il n'aura pas persisté en l'opinion qu'il avoit,
de lui avoir donné un cercle égal. Je vous prie de le savoir de lui.

XXVI.

FERMAT A MERSENNE.

MARDI 20 AVRIL 1638 (*).

(D. III, 36.)

Mon RKVÉr.END Pèhe,

1. Je vous suis extrêmement obligé du soin que vous prenez pour
satisfaire ma curiosité, m'ayant bien voulu faire part d'une Lettre que
je trouve très-excellente, soit pour la matière qu'elle contient, soit
pour les paroles dont on s'est servi; c'est celle qui est signée Petit {^),
qui est un nom inconnu pour moi, mais qui m'a donné un très grand
désir d'être connu de lui; je serai ravi qu'il vous plaise de m'en donner
le moyen, et j'ai cru que ni vous ni lui ne désapprouveriez pas la

(') Mersenno avait parle à Fermât de la quadrature do la cycloïde, obtenue par
Roberval.

(2) L'annotateur anonyme de l'exemplaire des Lettres de Descartes de la Bibliothèque
de l'Institut jirétend que la date ne s'applique qu'au post-scriptum et que le corps de la
lettre remonte au 26 novembre 1637. Victor Cousin, dans son édition des OEwres de Det-
caries (t. VI, p. 365), adopte la même opinion qui nous paraît insoutenable, car si C.lerse-
lier a commis des confusions dans les lettres qu'il a publiées d'après les minutes non
datées de Descartes, ces confusions ont résulté uniquement du désordre dans lequel se
sont trouvées ces minutes à la suite d'un accident où elles ont failli être détruites. Mais
la présente lettre était évidemment écrite (en copie par Mersenne) sur un seul feuillet et
n'a pu souffrir aucun dérangement.

(') Mersenne avait annoncé à Descartes cet écrit do Petit dans une lettre du 12 fé-
vrier i638 (Lettres de Descartes, III, p. 190). Il le lui envoya le 12 mars (III, p. 889).

13() ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE.

liborle qiio j'ai prise d'i^HaccM' sur la lin tiiichiiics paroles qui iiiar-
quoiont que ses objeeli(»iis coiilre la Dioptrique de M. Descaries éloienl
plus fortes et moins sujettes ii répli(|ue que les miennes, ('e n'est pas
(]ne j'en doulc puisque j'ai eonc^'u une très i^'rande opinion de son
esprit; mais je dcsii'e. si vous l'agréez, d'être un pou mis ii l'écart, et
de voir toutes ees belles dis|)ntes plutôt comme témoin (|ue comme
partie.

2. A'^ius ajouterez une très grande obligation à toutes celles que je
vous ai déjii, si vous me procurez la vue de ce Discours que l'auteur
de celte belle Lettre promet touchant laréfraction. Et si j'osois espérer
la communication des expériences qu'il a faites, peut-être y mêlerois-
je de la géométrie, si je les trouvois conformes ii mon sentiment. J'at-
tendrai cette satisfaction avec impatience, et vous renvoierai par le
premier courrier son écrit, que je retiens pour en tirer copie.

3. J'attends aussi par votre faveur les réponses (^') que M. Descartes
a faites aux difficultés que je vous ai proposées sur sa Dioptrique, et ses
remarques (■) sur mon Traité de maximis et minimis et de tangentibus.
S'il y a quelque petite aigreur, comme il est malaisé qu'il n'y en ait,
vu la contrariété qui est entre nos sentiments, cela ne vous doit point
détourner de me les faire voir; car je vous proteste que cela ne fera
aucun effet en mon esprit, qui est si éloigné de vanité, que M. Des-
cartes ne sauroit m'cstimer si peu que je ne m'estime encore moins.
Ce n'est pas que la complaisance me puisse obliger de me dédire d'une
vérité que j'aurai connue, mais je vous fais par là connoître mon hu-
meur. Obligez-moi, s'il vous plaît, de ne différer plus à m'cnvoyer ses
écrits, auxquels par avance je vous promets de ne faire point de ré-
plique.

4. J'ai fort vu ces jours passés M. Despagnet, avec qui je vis de

(') Lettres de Deuartes, éd. Clersclicr : Descaries à Mydorgc, 111, 42; lin de lu Icltrc 111,
57 (pi 3i2) à Mydorge.

(') Foir ci-avant Lettre XXV. Mcrsenno aurait pu communiquer aussi dès lors à Fer-
mal les autres lettres écrites à ce sujet par Descartos (Letlres de Descaries, éd. Clersc-
licr : à Mersenne, III, 4>; à Mydorge, III, ^i\ à Mydorge, 111, 'J7).

XXVI. - -20 AVRIL 1G38. 137

loiiE^ue main comme un ami intimo; s'il va à Paris, comme il espère, il
vous dira qu'il est de mon avis en tous les petits Discours que j'ai faits,
sans en exclure la Dioptrique.

J'attends de vos nouvelles, et suis, etc.

A Toulouse, ce io avril i638.

5. Quand vous voudrez que ma petite guerre contre M. Descartes
cesse, je n'en serai pas marri et, si vous me procurez l'honneur de sa
connoissance, je ne vous en serai pas peu obligé.

(A ^ 6o) (').

6. Outre le papier (-) envoyé à R(oberval) et P(ascal), pour sup-
pléer à ce qu'il y a de trop concis, il faut que M. Descartes sache, qu'a-
près avoir tiré la parallèle qui concourt avec la tangente et avec l'axe
ou diamètre des lignes courbes, je lui donne premièrement le nom
(|u'elle doit avoir comme ayant un de ses points dans la tangente,* ce
qui se fait par la règle des proportions qui se tire des deux triangles
semblables. Après avoir donné le nom, tant à notre parallèle qu'à tous
les autres termes de la ([ueslion, tout de même qu'en la parabole, je
considère derechef cette parallèle, comme si le point qu'elle a dans la
tangente étoit en effet en la ligne courbe, et suivant la propriété spéci-
tique de la ligne courbe, je compare cette parallèle par adêgalité avec
l'autre parallèle tirée du point donné à l'axe ou diamètre de la ligne
courbe.

Cette comparaison par adêgalité produit deux termes inégaux qui
cntin produisent l'égalité (selon ma méthode), qui nous donne la
solution de la question.

Et ce qu'il y a de merveilleux, est que l'opération nous indique si la

(') Nous avons raltaché à la lettre du 20 avril 1038 le fragment suivant dont les copies
par Arbogast portent sur le brouillon le titre : De iiKutimis et intnimi<:,par M. Fermât et
la souscription : Fin; sur la mise au net, le titre : Sur la mélliode des tangentes, par
Fermai. 11 a déjà été publié par M. Charles Henry (Recherches, pp. i83-i84) d'après le
brouillon d'Arbogasl (Bibl. Nat. fr. n. a. 3280, f" rSy), lecpiel n'a d'ailleurs eu entre les
mains ([u'une copie de Merscnne en partie indéeliiH'rable.

('^) Probablement la pièce insérée Tome I, pages iSC-iSg. Foir Lettre XXV Ois, 4.

Fermât. — II. 18

i:î8 œuvres 1)1-: fkiîmat. - cohhespondance.

lignô courlio ost t'oiivcxc ou concave, si la (aiigculc est parallèle à l'axe
ou diamètre, et de quel côté clic fait son concours lorsqu'elle u'est pas
parallèle; ce (|ui sérail trop long à décrire par le menu ('), et suffit de
din> que nous trouvons des équations impossibles pour avoir pris le
concours du mauvais c()té. etc., d(> sorte ([u'il paroit, même sans faire
un plus grand discours, que l'équation se soudra aisément si le con-
cours jteut exister et en aussi peu de temps (|u'on puisse imaginer.

XXVII.
DESCARTES A MERSENNE (-).

LUNDI 3 MAI 1G38.

• ■ (D, m, 60.)

Mon Rr.vi':r>E>{n Père,

1. H y a déjà quelquesjours que j'ai reçu votre dernière du 26 mars,
où vous me mandez les exceptions (^) de ceux qui soutiennent l'Ecrit

(') A [larlir des mots el suffît, le Icxlc est conjectural. Le brouillon d'Arbogasl porte
(les mois cil italique sont ceux pour ll^^squcls il a particulièrement hésité) :

« Et suffit lors que nous trouvons des équations impossibles, nous ayons pris le con-
cours du mauvais côté etc. de sorte qu'il paroît même sans faire un plus grand retour.
que l'équation soit toujours aussi -ù le concours peut exister et en aussi peu de temp?
qu'on ()uissc imaginer. »

.Vrbogast a ajouté en note : « 11 me paroît que cette leçon est véritable, nous n'en avons
pas mis la fin dans la copie au net, par ce que nous craignions do nous tromper. »

('■) Le texte de celle lettre a été corrige sur l'original, actuellement conservé à la
Bibliothèque 'VictGr Cousin.

(') Ces e.tceptions se retrouvent développées dans \ Escrit de quelques amis de Mon-
sieur de Fermât, imprimé Lettres de Detcarles, éd. Clerselier, III, 58. Mais Descartes ne
l'avait pas encore reçu {voir ci-après, Lettre XXI.K, 3); c'est donc à tort que la note de
l'exemplaire de l'Institut, reproduite par Cousin (OEuvres de Descartes, t. VII, p. aS).
assigne à cet Écrit la date du i5 mars i638. Il ne doit avoir été envoyé qu'en avril; Des-
cartes répondit seulement à Mersenne par la lettre III, Sg de l'édition Clerselier; la date
du i4 avril i6î8, indiquée |>our cette lettre par l'annotateur anonyme (OEufrcs de Des-
cartes, éd. Cousin, t. VII, p. 35) est également trop reculée, Iloberval n'ayant pas encore
eu connaissance de cette réponse le i"' juin i(i38.

XXVII. - 3 MAI 1638. 139

(le M. Fermât de maximis etc. Mais elles ont si peu de couleur que
je n'ai pas cru qu'elles valussent la peine que j'y répondisse. Toute-
fois, pource que je n'ai point eu depuis de vos nouvelles et que je
crains que ce ne soit l'attente de ma réponse qui vous fasse différer de
ni'écrire, j'aime mieux mettre ici pour une fois tout ce que j'en pense,
atin de n'avoir jamais plus besoin d'en parler.

2. Premièrement, lorsqu'ils disent qu'il n'y a point de muxinia
dans la parabole ('), et que M. F. trouve les tangentes par une règle
(lu tout séparée de celle dont il use pour trouver maximam, ils lui font
tort en ce qu'ils veulent faire croire qu'il ait ignoré que la règle qui
enseigne à trouver les plus grandes sert aussi i\ trouver les tangentes
des lignes courbes : ce qui scroit une ignorance très grossière, à cause
que c'est principalement à cela qu'elle doit servir; et ils démentent
son Écrit où, après avoir expliqué sa méthode pour trouver les plus
grandes, il met expressément : Ad superiorem methodiim inventionem
tangentium ad data puncta in lineis guibuscumque curvis reducimiis (-).

11 est vrai qu'il ne l'a pas suivie en l'exemple qu'il en a donné fou-
chant la parabole, mais la cause en est manifeste. Car, étant défec-
tueuse pour ce cas-là et ses semblables (au moins en la façon qu'il
la propose), il n'aura pu trouver son compte en la voulant suivre, et
cela l'aura obligé à prendre un autre chemin, par lequel rencontrant
d'abord la conclusion qu'il savoit d'ailleurs être vraie, il a pensé avoir
bien opéré et n'a pas pris garde à ce qui manquoit en son raison-
nement.

3. Outre cela, lorsqu'ils disent que la ligne EP, tirée au dedans de
la parabole C), est, absolument parlant, plus grande que la ligne EB,

(•) roir Lellro XXV, fig. 6o. L'objection do Descartes contre la règle de Fermât était
que pour trouver la tangente BE au point B de la parabole, il fallait ehercher le maximum
de BE, considéré comme droite a mener du jjoint E à la parabole. Roberval et Pascal
repoussaient à bon droit ce raisonnement.

{-) Voir Tome I, page i34, les deux dernières lignes.

(3) Voir fig. 6o, page 127. Il faut supposer la droite EP menée de E à un point de la
parabole plus éloigné que B par rap|>ort à E.

liO

ŒUVRES m: F K II M AT.

COUHESPONDANCE.

ils ne disent ricii (|ui serve à leur eaiise. Car il n'est pas requis ((u'elle
soit la plus grande absoliinieiil |)ai'lan(, mais seulement (|u'elle soi( la
plus grande sous eerlaines eonditions, comme ils ont eux-mêmes délini
au eommencement de l'Eerit^') (|u'ils m'oni envoyé, où ils disenl (|ue
eotle invention de M. F. est louchant Us plus grandes et les moindres
lignes ou les plus grands et les moindres espaces rpte Fan puisse mener ou
faire sous certaines conditions proposées.

Va ils ne sauroient nier que la ligne EB ne soit la plus grande qu'on
puisse mener du |)oint E jusques ii la parabole sous les conditions que
j'ai proposées, à savoir qu'elle n'aille que jusques à elle sans la tra-
verser, comme ils ont assez dû entendre dès le premier cou|). >Iais |)our
faire mieux voir (|iie leur excuse n'est aucunement valable, je donnerai
ici un autre exemple où je ne parlerai ni de tangente ni de parabole,
et où toutefois la règle de M. Fer. manquera en même façon ((u'au
précédent. Aussi bien vous vous plaignez quand je vous envoie du
papier vide, et vous ne m'avez point donné d'autre matière pour rem-
plir cette feuille.

Soit donné le cercle BDN {fig- G2), et que le point E qui en est
dehors soit aussi donné et qu'il faille tirer de ce point E vers ce cercle

une ligne droite, en sorte que la partie de cette ligne qui sera hors de
ce cercle entre sa circonférence et le point donné E soit la plus grande.
Voici comment la règle donnée par M. Fer. enseigne qu'il y faut pro-
céder.

Ayant mené la ligne EDN par le centre du cercle et sa partie ED
étant nommée B, et sa partie DN qui est le diamètre étant (', statuatur

(') Écril [jcniu, envoyé [)ar Mcrsennc à Descarlos le 8 février i638.

XXVII. - 3 MAI 1638. 141

(juilihel quœslionis terminus esse A ('), ce qui ne se peut mieux faire
(ju'en menant BC perpendiculaire sur DN et prenant .4 pour CD.

Et inventa maximâ etc. Pour trouver donc cette maximum, à savoir
BE, puisque DC est A et DN est C, le quarré de BC est

.4 in C — Iquad.,

et puisque DC est .4 et DE est B, le quarré de CE est

Aq. + Bijf.-h A inZf bis,

lequel joint au quarré de BC fait le quarré de la plus grande BE. qui

est

AiiiC -i- Bq. -H .1 in B bis.

Ponatur nirsits idem qui prius terminus esse A + E, ilerumquc invc-
iiiatur maxiina, ce qui ne se peut faire autrement, en suite de ce qui a
précédé, qu'en posant A -^ E pour DC. Et lors le quarré de BC est

C in ^ -t- C in £• — yl 7. — .4 in £■ bis — £"7. ;

puis le quarré de CE est

Aq. -4- A in £" bis + Eq. + Bq. + .4 in fi bis -1- ^ in fi bis,

lequel, étant joint \\ l'autre, fait

A in C H- ^ in C -(- Bq. + ,4 in fi bis -1- /Tin fi bis

pour le quarré de la plus grande BE.
Adœquentur. c'est-à-dire qu'il faut poser

{\n(^ + Bq.-\-A in fi bis égala ,4 in C ^E\nC-hBq.+ A in fi bis 4- /-.'in fi bis.

El (lemptis œqualibus (_-), il reste

E'mC -\- E in B bis égal à rion,

ce qui montre manifestement l'erreur de la règle.

5. Et afin qu'il, ne puisse plus y avoir personne si aveugle ((ii'il ne

('/ Descartes reprend successivement, comme dans la Lettre XXV, les dillérenles
phrases du texte de la règle donnée par Fermât (Tome I, page i33).
{-) Fermât aviiit tVd rommii/iibu.r (Tome I, p. i33, ligne 3 en remontant).

li-2 ŒIVUES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE.

la voie, je tiirai ici on (|uoll{' sorte on la pcnt corriger, (lar, hien (|ne
j'en aie touché un mot en ee (|ue j'ai écrit à M. IVÎvdorge ('), il v est
néanmoins en telle t'a(;on (jue je ne désirois pas encore ([ue ton! le
monde le put entendre.

Promièroment doue ii ces mots el inventa maximâ. il est bon d'ajouter
vel alla qiiâlibet ciijiis ope possit postea inaxima inveniri. Car souvent, en
cherchant ainsi la plus grande, on s'engage en beaucoup de calculs
supertlus.

Toutefois cela n'est pas un point essentiel; mais le principal et celui
qui est le fondement de toute la règle est omis en l'endroit où sont
ces mots : Adœqucntitr duo homogenea rnaximœ aiil minimœ œqualia.
lesquels ne signifient autre chose sinon que la somnu> qui explique
maximani in tenninis suh A gradu iil libcl involiitis, doit être supposée
égale à celle qui l'explique in tenninis siib A et E gradibus ut libel coef-
ficientibits.

Et vous demanderez, s'il vous plaît, à ceux qui la soutiennent, si ce
n'est pas ainsi qu'ils l'entendent, avant que de les avertir de ce qui doit
y être ajouté : à savoir, au lieu de dire simplement adœqaentur, il falloit
dire : adœqnentiir tali modo, ut quantitas per istani œquaiionem inve-
nienda sit qnidcm una, cùni ad maximum aut minimam refertur, sed
una emergens ex duabus quœ per eamdem œquaiionem possent inveniri
essentque inœquales, si ad minorem maximâ vel ad majorem minimâ
referrentur (-).

6. Ainsi, en l'exemple que je viens de donner, ce n'est pas assez de
chercher le quarré de la plus grande en deux laçons; mais outre c»da,
il i'aiil dire :

comme ce quarré, lors(|u'il esl .1 in C -\- Bq. -^ A'xwB bis,

estai! même quarré, lorsqu'il esl /IinC-+-É'in6'H-/?7. + >i in/?bis + /?in/?bis,

ainsi C'in A — Aq., qui est le quarré de BC,

est à C\n A -h 6' in £" — Aq. — A in E bis — Et/., ([ui est aussi le même quarré.

( '; Lettres de Descaries, éd. Clerscller, III, 57, pai;o 3n6.

(') Descarlcs essaye de raiiicncr la niclliode de Kermat à la sienne propre, c'est-à-diro
à la recherche de la condition sous laquelle deux racines d'une équation deviennent égales.

XXVII. - 3 MAI 1638. 143

Puis multipliant le premier de ces quarrés par le quatrième, on le doit
supposer égal au second multiplié par le troisième, et après, en démê-
lant cette équation suivant la règle, on trouve son compte, à savoir que
CD est ^-r^ t;, comme il doit être.

1- Tout de même, en l'exemple de la parabole qui avoit été pris par
M. F., et que j'avois suivi en mon premier Écrit ('), voici comme il
faut opérer :

Soit BDN {Jig. Go) la parabole donnée, dontDC est le diamètre, et
(jue du point donné B il faille tirer la ligne droite BE, qui rencontre

Fig. 6o.

DC au point E et qui soit la plus grande qu'on puisse tirer du même
point E jusques à la parabole : — à savoir au dehors de cette parabole,
comme ceux qui ne sont point sourds volontaires entendent assez, de
ce que je la nomme la plus grande.

Je prends li pour BC et D pour DC. d'oii il suit que le côté droit est

^jj^, et sans m'arréter à chercher la plus grande, je cherche seulement

le quarré de BC en d'autres termes que ceux qui sont connus, en pre-
nant A pour la ligne CE, et par après en prenant A -h E pour la même :
à savoir, je la cherche premièrement par le triangle BCE, car

comme A est a B, ainsi A -h E est a ^ ,

(|ui par conséquent représente BC, et son quarré est

.4^. in Bq.-h A in £"111 JJ q.b\s -^ Eq.'nx B(j.
A^.

( ' ) Lettre XXV.

lU ŒLiVlU:S DE FKHjMAT. - (.OIÎRESPONDANCK.

puis ji' lii clicrclie par la paraltolc, car, quand KC est A-hE, DC est
D -+- /•.', ri le (luaiTO île Bd est

/it/.m D + fiq. in E
T) '

(jui doit ôtro égal au précédout, à savoir

.1 il) fi in Bq. bis + Eq. in Btf. , , Bq. in ^

D'où l'on trouve, on suivant la règle, que^, c'cst-;i-dire CE, est double
de D, c'est-à-dire CD, comme elle doit être.

Or il est à remarquer que cette condition qui éloit omise, est la
même que j'ai expliquée {' ) en la page 3l^G, comme le fondement de
la méthode dont je mosuis servi pour trouver les tangentes, et qu'elle
est aussi (oui le fondement sur lequel la règle de M. F. doit être
appuyée; en sorte que, l'ayant omise, il fait paroître qu'il n'a trouvé
sa règle qu'il tâtons, ou du moins qu'il n'en a pas conçu clairement
les principes.

El ce n'est point merveille qu'il l'ait pu former sans cela, car elle
réussit en plusieurs cas, nonobstant qu'on ne pense point à observer
celte condition, ii savoir en ceux où l'on ne peut venir h l'équation
(|u'en l'observant, et la plupart sont de ce genre.

8. Pour ce qui est de l'autre article, où j'ai repris la façon dont se
sert M. F. pour trouver la tangente de la parabole, vous dites qu'ils
assurent tous qu'il faut prendre une propriété spécifique de l'hyper-
bole ou de l'ellipse pour en trouver les tangentes. En quoi nous
sommes d'accord, car j'assure aussi la même chose et j'ai apporté
expressément les exemples de l'ellipse et de l'hyperbole, qui con-
cluent très mal, pour montrer que M. Fermât conclut mal aussi tou-
chant la parabole dont il ne donne [loint de propriété spécifique.

Car dédire (*) qu'il y a plus gi'ande proportion de CD ii Dl que du

(') Geoincïric de Duscarles, ciJ. lIcriMiiiin, |}uges 30 et 37.
(2) yoir Tome I, page i35, lignes 4 ù (J.

XXVII. — 3 MAI 1638. W6

quarré do BC au quarré de 01, ce n'est nullement une propriété spé-
cifique de la parabole, vu qu'elle convient à toutes les ellipses et à une
infinité d'autres lignes courbes, au moins lorsqu'on prend le point 0
entre les points B et E comme il a fait, et s'il l'eût pris au delà, elle eût
convenu aux hyperboles. De façon que, pour la rendre spécifique, il
ne falloit pas simplement dire sumendo quodlihet punctum in recta BE,
mais il y falloit ajouter sWe sumatur ilhid intra puncta B et E, sive ultra
punctum B in. lineâ EB productâ. Et cela ne peut être sous-entendu en
son discours, à cause qu'il y décrit la ligne BE comme terminée des
deux côtés, à savoir, d'un côté par le point B qui est donné, et de l'autre
par la rencontre du diamètre CD.

Outre cela il falloit faire deux équations et montrer qu'on trouve la
même chose en supposant El être .4 + E, que lorsqu'on le suppose
être A — E. Car sans cela le raisonnement de cette opération est im-
parfait et ne conclut rien.

9. Voilà sérieusement la vérité de cette affaire. Au reste, pour ce
que vous ajoutez, que ces Messieurs qui ont pris eonnoissance de notre
entretien ont envie de nous rendre amis, M. Fermât et moi, vous les
assurerez, s'il vous plaît, qu'il n'y a personne au monde qui recherche
ni qui chérisse l'amitié des honnêtes gens plus que je fais, et que je
ne crois pas qu'il me puisse savoir mauvais gré de ce que j'ai dit fran-
chement mon opinion de son Écrit, vu qu'il m'y avoit provoqué. C'est
un exercice entièrement contraire à mon humeur que de reprendre les
autres, et je ne sache point l'avoir encore jamais tant pratiqué qu'en
cette occasion; mais je ne la pouvois éviter après son défi, sinon en le
méprisant, ce qui l'eût sans doute plus offensé que ma réponse.

.le suis, mon Révérend Père,

Votre très humble et très affectionné serviteur.

Descartes.

Du 3 mai t638.

Fermât. — II. ig

U6

Œl VKKS DE FERMAT.

COllRESPONDANCE.

WVIII.
BILLET AJOUTÉ A LA LETTRE PRÉCÉDENTE (').

Pour ontoiulro parfaitiMuonl la troisième (-) page de ma lettre, et
par même moyen le déduit de la règle de M. de Fermât, il faut con-
sidérer ces trois figures {/ig. G3) et penser que lorsqu'il dit : .S/«-
lualiir idem qui prias terminus esse A -+- E, cela signifie qu'ayant posé
EC pour .4 et El pour .1 4- E, il imagine El être égal à EC, comme on
le voit (Ml la troisième figure, et que néanmoins il en fait le calcul tout
de même que si elles étoient inégales, comme on le voit en la pre-
mière et seconde figure, en cherchant premièrement EB par EC qu'il
nomme A, puis EO par El qu'il nomme .4 -i- E.

Fi-. 63.

Et cela va fort bien, mais la faute est en ce qu'après les avoir ainsi
calculées, il dit simplement : Adœquentur. Et on la peut voir claire-
ment par la première figure où si l'on suppose la'ligne EO (') être
égale à EB, il n'y a rien qui détermine les deux points B et 0 à s'as-
sembler en un endroit de la circonférence du cercle plutôt qu'en
l'autre, sinon que toute cette circonférence ne lut qu'un seul point,
d'où vient que toutes les quantités qui demeurent en l'équation se
trouvent égales à rien.

Mais pour faire que ces deux points B et 0 ne se puissent assembler

(') L'original de Va Lettre précédente a fait piirtie do la collection dos autographes de
De.scarles anciennement conservée à l'Académie dos Sciences et volée par Libri. (lolui du
fragment i]uc nous cotons XXVIII n'y figurait pas; il n'est donc connu que par Clerselier.

(«) Foir plus haut XXVII, 5.

(') Addition en rnar^c : a Notez (jue je suppose ici que (;'est le point E qui est donné
et non le point B. «

XXIX. - !"■ JUIN 1638. IW

qu'en un seul endroit, h savoir en celui où EB est la plus grande qu'elle

puisse être sous la condition proposée, il faut considérer la seconde

figure et, à cause des deux triangles semblables EGB et EIO, il faut

dire :

comme EC ou BC est à EB, ainsi El ou 01 est à EO;

au moyen de quoi on fait qu'à mesure que la quantité EB est supposée
plus grande, la quantité EO est supposée plus petite, à cause que les
points E, B, 0 sont toujours là en même ligne droite. Et ainsi lorsque
EB est supposée égale à EO, elle est supposée la plus grande qu'elle
puisse être : c'est pourquoi on y trouve son compte.

Et c'est là le fondement de la règle qui est omis. Mais je crois que ce
seroit pécher de l'enseigner à ceux qui pensent savoir tout et qui
auroient honte d'apprendre d'un ignorant (îomme je suis; vous en
ferez toutefois ce qu'il vous plaira.

XXIX.
ROBERVAL A FERMAT.

MARDI 1''' JllN 1638.

{ra, p. i5/|-i:>5.)

Monsieur,

1. Puisqu'il est vrai qu'il n'y a aucun contentement que je préfère
à celui que je reçois de vos lettres, vous devez penser que les occupa-
tions qui m'ont empêché de vous écrire depuis si longtemps, doivent
avoir été bien pressantes, ayant eu la force d'interrompre notre entre-
tien qui m'est si cher et si agréable.

2. Or, pour recommencer, je vous dirai que, si j'ai entrepris la dé-
fense de votre Traité [de minimis et mciximis] contre les objections de

r.S ŒUVRES DE l'EUMAT. - COUUESPONDANCE.

M. Descartos ('), jo m'y suis senti (»i)lig(' ou |)hi(ùl nécessité par mou
génif. (jui nt' \)onl soullVirciuo la vérilé soil laul soit peu obscurcie,
tant s'en faut (|u'il endure (|u'oii la lasse passer pour ce (|u'elle a de
plus coutraire, j'entends pour une fausseté accompagnée de paralo-
gismes. C'est pourquoi j'ai grand besoin qu'au lieu de me remercier (-)
comme vous faites, vous m'excusiez, tant pource qu'étant foible, j'ai
osé entrer en lice contre un fort adversaire pour vous, que pource que
je l'ai fait sans vous en avertir, vu que vous sembliez y avoir le prin-
cipal intérêt. Mais, en elfet, c'est l'intérêt de la vérité et de tous ceux
(|ui la chérissent : c'est pourquoi j'en ai fait le mien propre, et elle
m'a paru si claire qu'elle m'a fait passer par dessus les considérations
de ma foiblesse, à laquelle j'ai pensé que son évidence pourroit sup-
pléer assez suffisamment, .l'espère que vous recevrez cette excuse et
que vous me ferez l'honneur de croire que la connoissance que j'ai de
votre mérite, m'a tellement acquis à vous, qu'elle m'a fait témoigner
i-e zèle, quoique mon insuffisance seule l'ait pu rendre en quelque
sorte indiscret.

3. M. Descartes n'ayant pas encore reçu uion Ecrit (') le 3 mai, ce
qui est pourtant bien tard, a fait quelques objections nouvelles de peu
de conséquence. Vous les verrez dans sa Lettre (*) que le Père Mer-
senne vous pourra envoyer.

Il veut trouver la tangente d'un cercle, persistant toujours (jue c'est
la plus grande, sinon qu'il y ajoute qu'elle n'est la plus grande que
sous certaines conditions : en quoi il s'enferre lui-même, voulant ré-
futer votre Ecrit ('), qui [)arle de la plus grande absolument, par
l'exemple d'une (jui n'est la plus grande que conditionairement.

Il est vrai que, voulant la trouver absolument ou la moindre, el.
pour ce faire, nommant le diamètre ND (^/fg. tJ4) C, DE ^, et DC ou

( ' ) Foir Lettre XXV.

(') Dans une Lettre perdue.

(') Lettres (le Descarte.t, vd. V,\cvscUp[', lit, 58.

(») Lettre XXVll.

(') Metliodiis ad disiiairciidtnii iiuixiiiuiin et i//i/ii»iniii, Tome I, |). i33 cl sui\'.

XXIX. — 1" JUIN 1638. IW

EC A, on tombe dans une absurdité que C+ B bis est égal à rien; et.
si le point E étoit dans le cercle, C — B bis seroit égal à rien. Mais cette
absurdité montre qu'il ne faut pas chercher le point B dans la circon-
férence autre part que dans la ligne DN, savoir au point N pour la

Fis. 6'..

plus grande et au point D pour la moindre : en quoi il est remarquable
que C -h B bis est la somme de la plus grande et de la moindre, et
C — B bis est leur différence.

Mandez-moi quel est votre sentiment, car, n'ayant pas encore le
loisir de considérer bien particulièrement le fonds de votre méthode et
sa démonstration, il se peut être qu'elle ne contienne des mystères
qui me sont encore cachés.

4. J'ai trouvé admirable le moyen (') par lequel vous l'appliquez
aux paraboles et solides paraboliques pour en trouver les centres;

mais, le voulant éprouver en la vraie parabole, j'ai trouvé qu'il falloit
changer votre raisonnement qui n'est que particulier au conoïde par

( ' ) Ceiitrum grm'itfttis paraholici conoidh, lomc I, ]). 1 3G cl sui\'. J'oir I^pl tre XXV his, 4.

150 ŒUVRES !)[•: FERMAT.- CORRESPONDANCE.

raboli(]U(\ car, ayaiil l'cspiu'c do la ligiio EO {Jîg. 65), vous pouvez
l)itMi dire :

eoiuiiie la iliU'i'reiice des quanés lA et AN osl au quané de AN,
ainsi la ligne EO est à OM,

ce que vous ue pouvez pas en la parabole même ( ' ), en laquelle, sui-
vant ee raisoniuMuent. il Caudroil dire :

comme la difféieiice de;? cubes de lA cl AN est au cube de AN,
ainsi la didëreiice des quanés de EM ei MO est au ([uai-ré de MO,

et cepeiidanl vous n'avez pas l'espèce ni de l'un ni de l'autre de ces
quarrés.

Au lieu desquels j'ai dit ainsi :

il y a plus grande raison du cube lA an cube AN que du qunrré El au quarré 01,
ce qui réussit, et en la parabole cubique j'ai dit :

il y a plus giande raison du quarréquarré lA au quarréquarré AN
que du cube El au cube 01,
etc.

Mais le raisonnement est autant ou plus beau et plus facile par les
ligures qui restent, ayant ôté le plan parabolique du parallélogramme
qui le comprend.

J'ai promis à M. Mydorge de l'entretenir sur cette invention que je
ne saurois assez admirer, et je m'assure que M. Pascal en fera ses ex-
clamations ordinaires, si je puis la lui faire voir, comme j'espère (^),
et à 31. Desargues.

5. Il faut aussi que M. Descartes la voie, afin qu'il nous en fasse voir
les paralogismes et, puisque vous avez trouvé les tangentes de sa

(') Koberval n'avait pas compris toutes les ressources de la méthode de Format.
(2) Depuis quelque temps, Etienne Pascal avait attiré sur lui la colère de Richelieu et il
se cachait, pour éviter une arrestation.

XXX. — 1" JUIN 1638. 151

tigurc (' ), qui est une espèce d'ovale, il sera bon que vous lui en-
voyez, ou nous, si vous le trouvez meilleur. Mais prenez garde que,
par le même point donné, il peut y passer deux de ces ovales et par-
tant y avoir deux tangentes, ce que j'espère que l'équation fera décou-
vrir.

6. J'y travaillerois, mais je suis assuré que vous y réussirez mieux
(juc moi, joint qu'il me faudroit être délivré de la roue à laquelle je
suis attaché, ayant appelé du nom de roue le cercle qui roule avec les
conditions que vous savez (^); et ayant donné un nom à la ligne
courbe que décrit un point delà circonférence pendant une révolution
entière, je démontre que l'espace compris de cette ligne courbe et de
la droite qui lui sert de base, sur laquelle la roue se meut, est majus
(lato qiiam in ratione, c'est à savoir que, de cet espace en ayant ôté
l'espace de la roue, il y aura même raison du reste à la même roue que
de la base de l'espace à la moitié de la circonférence de la roue.

D'où il s'ensuit qu'en la roue ordinaire, de laquelle la base est esti-
mée égale à la circonférence, l'espace dont il s'agit est triple de la
roue; et si la base est double de la circonférence, l'espace sera quin-
tuple de la roue; si triple, septuple : et ainsi en continuant par les
nombres impairs.

De tout ceci je vous envoierai par le premier courrier une brève dé-
monstration, en attendant le Traité entier.

Je suis etc.

(') La courbe .r^-i- )-3= axy. — /'<«> Lettre XXV, 6, et ci-après, pièce XXXI, 3. —
Il faut observer que, pour prendre à la lettre l'énoncé de Descaries et en l'absence de
conventions précises sur l'interprélation des signes des coordonnées, Roberval devait
rejeter les branches infinies de la courbe, comme ne faisant pas partie du lieu, et, au con-
traire, y ajouter dans eliaquo angle autre que celui des coordonnées positives, un folium
symétrique de celui que forme la courbe dans ce dernier angle. La figure d'ensemble du
lieu, figure admise au reste par Descartes lui-même, justifie dès lors le nom do galand
(nœud de ruban), que lui donna Roberval (voir, ci-après, Lettre XXXV). Dans la phrase
ipii suit, ce dernier semble faire allusion au point double à l'origine.

(-) Conditions de génération des cycloïdes. — ^oir Lettre XXV bis, 7.

152 ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

XXX.

FERMAT A MERSENNE (').

< JUIN 1638 >

(A, f- 27, B, f° 26.)

Mon Révérend Père,

1. .l'avois déjà fail 1111 mot d'rciit pour m'oxpluiiKT plus clairement
à 31. Descartes, sur le sujet de ma méthode demaximis et minimis et de
im'entione tangentiiim, lorsque votre dernière m'a été rendue, qui
contient copie de la réplique (-) de M. Descartes. Je ne reste pas de
lui envoyer ce que j'avois déjà fait ('), où il trouvera sans doute de
quoi se désabuser de la croyance qu'il semble avoir, que j'ai trouvé
cette méthode par hasard et que je n'en connois pas les vrais prin-
cipes.

2. îl a déjà franchi qu'elle est bonne pour les tangentes, en se ser-
vant d'une propriété spécitique des lignes courbes, ce qu'il di( < ne >
pouvoir être sous-entendu en mon écrit latin; en elTet, je n'aurois ni
sens commun, ni logique naturelle, si je croyois d'une propriété géné-
rale en tirer des particulières. La méthode donc est bonne, au sens
auquel je l'emploie pour les tangentes.

Et n'importe de dire qu'il faut faire deux opérations, l'une par A-i-E,
l'autre par A — E, car une seule suffit pour la construction, quoique
la démonstration que je n'ai pas encore donnée, tire son principal
fondement de ce que A -1- E fait la même chose que A — E.

(1) Lettre inédite, envoyée à Mersenne avec la Pièce suivante XXXI. Mersenne adressa
le tout à Descartes le 20 juillet i638. D'autre part, cette Lettre XXX fut écrite sur le vu
de celle de Descartes à Mersenne, du 3 mai {ci-nvnnt XXVII), que le Minime n'adressa à
Fermât qu'après le i'"' juin {voir Lettre XXIX, 3). Les deux Pièces XXX et XXXI sont
<lonc de la fin de juin nu du comnienccnient de juillel i(J31S.

r-) Lettre XXVII.

r') La Pièce XXXI.

XXX.

JUIN 1638.

153

3. Reste de dire un mot de la méthode sur le sujet de l'inveiitioii
maximœ et minimœ, laquelle il prétend être fautive et en allègue
l'exemple suivant :

Du point D {fig. 66) il faut tirer DA sur le cercle, en telle sorte
qu'elle soit la plus grande qui, du point D, puisse être menée au dit

cercle sans le franchir (ce qui, en effet, ne veut dire autre chose que
chercher la tangente AD).

Si nous prenons CN pour A, et DA pour la plus grande, selon la
méthode, nous trouverons une équation impossible, d'où il conclut
que la méthode est insufiisante.

Je réponds que je n'ai garde de prendre DA pour la plus grande
(bien que la limitation de M. Descartes semble lui pouvoir donner ce
nom), d'autant que la méthode, n'agissant que par la propriété spéci-
fique du cercle, en trouve toujours de plus grandes qui peuvent être
tirées au dit cercle jusques au point B. Mais la méthode satisfait d'ail-
leurs à cette question, qui y peut très facilement être réduite, comme
M. Descartes a reconnu, et voici comment :

Puisque DA touche le cercle, DA est à AC, perpendiculaire, en
moindre proportion qu'aucune autre ligne tirée du point D au cercle,
de l'un et de l'autre côté du point A, n'est à la perpendiculaire tirée,
du point auquel elle concourt avec le cercle, sur le diamètre; ce qui
paroît d'abord.

Cherchons donc par la méthode un point au cercle, comme A, en
sorte que DA ad AC habeat minimam proportionem ; dabiturpunctum A,
ideoque tangens.

Voilà la raison de l'opération de M. Descartes, qu'il n'a pas dite.

Fermât. — U.

ISi ŒUVRES 1)K l'KHMAT. - (.015 IlESPON DANCK.

laciiiolli; coiitiriiie la roi^lo (oui à i'ail. liion loin d'y remarquer des
défauts, je erois qu'il y trouvera plus de facilité qu'à la sienne (')

XXXI.

aiÉTHODE DE MAXIMIS ET MINIMIS

EXPLIQUÉE ET ENVOYÉE l'AU M. FERMAT A M. DESCARTES (2).
(A, f»' ih. k 6-].)

1. La méthode générale pour trouver les tangentes des lignes
courbes mérite d'être expliquée plus clairement qu'elle ne semble
l'avoir été.

Soit la courbe donnée ZCA (Jïg. 67), de laquelle le diamètre soit
CB. Soit encore donné dans la courbe le point A, duquel soit menée
l'appliquée AB sur le diamètre. Il faut chercher la tangente AD, de
laquelle le concours avec le diamètre prolongé se fait au point D.

Les lignes AB et BC sont données; supposons que BA s'appelle //,
cl (jue BC s'appelle IJ. Supposons que la ligne BD, que nous cher-
chons, s'appelle A. Prenons à discrétion un point, tel que E, sur la
tangente, duquel soit tirée EF parallèle à AB, et supposons que la
ligne BF soit E.

(') La Lellrc csl cviilcminoiU incomplolo. D'apri's la réponse do Descarlos à llcrsciinc,
en date du 27 juillet i638 {Lettres de Descartes, éd. Clci'selicr, lll, 66, p. 37.J-375), Fer-
mat y aurait répondu à la question V do Sainte-Croix (voir p. 64, note), c'ost-à-dirc
donné le nombre i 476 3o4 896, comme quatrième connu dont le double soit égal à l;i
somme de ses parties aliquotcs. Descartes ajoute :

« ... il mot un peu devant, touchant la quatrième question de M. de Sainte-t^roix
(voirp. ag, note 2), que j'aurai peut-être fait la même équivocpie, qui lui arriva la pre-
mière fois qu'elle lui fut proposée, cl que j'aurai cru qu'il sullisoil que les nombres clicr-
cliés ne fussent ni quarrés, ni composés de deux quarrés, bien qu'ils fussent composés do
quatre, ce qui n'est pas pourtant selon le sens de l'auteur etc. »

(■) Pièce jointe à la précédente {voir page i,'J2, note i). — Elle a été publiée par
M. Charles Henry dans ses Jier/iérc/ict sur les manuscrits de Pierre de Fermai
(pages 184 à 189;, d'après le brouillon d'.Vrbogast. Celui-ci ne l'a connue que par une
copie de Alersenne, aujourd'hui perdue.

Donc CF sera D- E,¥E sera

XXXI. - JUIN 1638.

BinA — Bm/i

135

A

et, de quelque nature

que soit la courbe, nous donnerons toujours les mêmes noms aux
lignes CF et FE que nous venons de leur donner.

Cela étant fait, il est certain que le point E de la ligne EF, étant dans
la tangente, sera hors de la courbe, et, par conséquent, la ligne EF sera
plus grande ou plus petite que l'appliquée qui s'appuie à la courbe du
point F : — plus grande, lorsque la courbe est convexe en dehors,
comme en cet exemple, et plus petite, lorsque la courbe est convexe
en dedans; car la règle satisfait à toutes sortes de lignes et déter-
mine même, par la propriété de la courbe, de quel côté elle est con-
vexe. — Quoique la ligne FE soit inégale à l'appliquée tirée du point F
à la courbe, je la considère néanmoins comme si en effet elle étoit égale
à l'appliquée, et en suite la compare par aciéqualion avec la ligne FI,
suivant la propriété spécifique de la courbe.

2. Comme, en la parabole, par exemple, je fais

comme BC à CF, ainsi BAciuarré à FEtiuarré,

ou bien, pour éviter les fractions et la diversité des lignes,

comme BC à CF, ainsi BD quarré à DF(|nairé;

car c'est toujours la même chose, à cause des deux triangles sem-
blables DBA, DFE.

Ou bien encore je pourrois comparer le quarré FE avec le rectangle
compris sous le côté droit et la ligne CF, comme si ce quarré étoit égal
à ce rectangle, quoique en effet il ne le soit pas, puisque ce sont seule-

156

ŒUVRES m: FERMAT. CORRESPONDANCE.

ment los appliquées à la coiirho (|ui ont la propi'iclé (|m' nous iloiiiioiis
par adéquation à la ligne FE.

C.ela elant (ait, j'ôle les choses communes e( divise le resie par E.
J'elTai'i» tout l'c (|ui resIe mêlé avec E et égalise le surplus, de sorte que,
par cette dernière équation, je conuois la valeur de .4 et par consé-
quent la ligue BD et la tangente.

3. Kt pour l'aire voir que la méthode est générale, et qu'elle satis-
fait avec pareille facilité à toutes sortes de questions, nouvs la pouvons
appliquer, pour servir d'un second exemple, à la ligne courhc pro-
posée par M. Descartes ( ' ).

SoU la courue C\ { tig. 6S ), de laquelle la propriclé esL telle que, quelque
point qu on prenne sur la dite courbe, comme A, tirant la perpendicu-

laire AB, les deux cubes €M et BA soient égaux au parallélépipède com-
pris sous une ligne droite donnée, comme N, et sous les deux lignes CB
et BA.

Supposons que la chose soit déjà faite, et une construction pareille
à la précédente, avec les noms des lignes BD, BC, BA, CP\ FE. H faudra
comparer, par adéquation, les deux cubes CF, FE avec le solide com-
pris sous N, FC, FE.

Les deux cubes de CF, FE sont en notes

Dcub. — li euh. — Dq. \n E .Z + D in Eq. 3

Bcub. in Acub. — Bcub. in Ectib. — Bctib. in A q. in £'.3 -i- Bcub. in A in Eq. 3
"^ ~ ' ^Âcût). " '

(<; roir LeUrc XXV. 6.

XXXI. - JUIN 1638. 157

le solide de A', CF, FE, en notes, est

yVinZ)ingin 4 — Vin /) in ^ in g — /Vin ^ in .4 iii g + Vin g in gy.

Multipliant tout par Acub., il faut comparer

De. in Ac. — Ec. in Ac. — Dg. in E in .) f. 3 + Z> in Erj. in A c. 3

-+- Bc. \n A c. — Bc. in Ec. — Bc. in A q. in £".3 -+- Bc. in A q. in Eq. 3

avec

7Vin/>iri /?in te— Vin Z) in 5 in £" in .47.

— Vin B\\\ E\i\ .4 c. +./Vin fi in Eq. in .47.

Otons les choses communes, savoir, du premier terme,

De. in .4 c. H- fie. in .4 c,

et du second,

iVin D in B in 4c.,

qui sont égaux par la propriété de la ligne; — puisque les deux
cubes De. et Bc, répondant aux cubes des deux lignes BC et BA,
sont égaux au solide A' in D in U, qui répond à celui de la ligne donnée
et des deux lignes BC et BA. — Divisons le reste par E et ôlons ensuite
tout ce qui se trouvera mêlé avec E; restera enfin

/>7. in 4 1er + fi cm6. 1er égala A' in Z) in fi h- A' in fi in I,

e( ainsi nous aurons

/Vin Z> in fi = B euh. 1er

/>7. ter = Ain B

égal à .4,

ce qu'il falloit chercher.

Nous avons mis, suivant la méthode de Viète(' ), deux lignes == [)our
la marque du défaut, parce qu'il n'appert point, s'il n'a été dit d'ail-

(') Vièie, la Arlom analyticen Isagoge, cap. iv, praic. n (éd. Scliooteii, Lcyde, El/.e-
virs, 1646, page 5) :

(I Ciim autem non pi-oponilur ulra magnitiido sit major vel minor, et tamon siibdm-tio
D facionda est, nota dilleronliu3 est = id est, minus inccrto : ut propositis A qnadralo et
1) li piano. dilTerenlia erit A quadratum = B piano, vel B plannm = A quadrato. u

1S8 ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

leurs, (iiioUo est la proportion dos doux liguos H ot D, ou bien BA et
BC, données. Car il pont arriver que quelquefois, suivant la diversité
dos proportions do D ol do D, la ligne eourbo sera oonvexo ol d'autres
fois concave; quelquefois encore (|ue la tangente sera parallèle au dia-
mètre BC; quelquefois enfin que le concours avec le dianiètro se fora
de l'autre oôté, ce qui se détermine aisément par la méthode même,
lorsqu'on nous donne la proportion des deux lignes données BActBG,
comme il est très aisé de voir ot de faire comprendre. Lorsque je parle
de la proportion des deux lignes données, j'entends leurs valeurs, en
nombres ou sourds ou ralionaux; car autrement on sait assez que, deux
lignes étant données, leur proportion est aussi donnée.

4. Il parait donc que ou je me suis mal expliqué ou que M. Doscartcs
a mal compris mon Écrit latin ('); s'il veut que ce soit le premier, je
ne le lui contesterai guère. Il s'est aussi trompé en ce qu'il a cru que,
pour appliquer la méthode de maximis et minimis à l'invention des
tangentes, il falloit chercher une ligne, comme AD {fig. 69), menée,

Fig. fio-

du point A donné, sur le diamètre, en telle sorte que AD soit la plus
grande qui puisse être tirée du point D à la courbe. M. de Roberval (^)
lui a déjà fait voir la raison de son mécompte, duquel il a voulu tirer
cette conséquence, que la méthode de maximis et minimis étoit fautive
et avoit besoin d'être corrigée, en quoi il s'est aussi bien trompé qu'au
reste.

5. Mais pour lui marquer de quelle façon la méthode de maximis et
minimis peut être appliquée à l'invention des tangentes, la voici :

(') Aletliodiis ad diaquircnâdm maxunum et inininiani. Tome I, Jiagc l'iS.
(') LeUrcK de Dcscarte.i, éd. Clcrselier, III, 58.

XXXI.

JUIN 1638.

1.59

Le point A étant donné, il tant avoir recours, non pas admaximaiii.
puisqu'on ne trouvcroit que l'intini, mais ad minimam. Cherchons
donc le point 0 dans le diamètre, de telle façon que la ligne OA soit la
plus courte qui puisse être tirée du point 0 à la courbe. Le point O
étant trouvé par la méthode, joignez les deux points 0 et A par la
ligne OA, et tirez la ligne AD perpendiculaire sur OA. Je dis que
la ligne AD touchera la courbe, < ce > dont la démonstration est
aisée.

Car si AD ne touchoit pas la courbe, une autre droite la toucheroit
au point A, laquelle fera son concours au dessus ou au dessous de D,
et tous ses points seront hors de la courbe, et elle fera des angles iné-
gaux avec OA au point A. Si donc, sur cette touchante supposée, du
point 0 l'on tire une perpendiculaire, elle ne rencontrera pas la tou-
chante au point A, mais au dessus ou au dessous, et elle coupera la
courbe plus tôt que d'arriver à la touchante. Donc la partie de cetic
perpendiculaire comprise entre le point 0 et la courbe sera plus courte
que la perpendiculaire, et la perpendiculaire étant plus courte que OA.
à cause de l'angle droit, il s'ensuivra que la ligne comprise entre la
courbe et le point 0, faisant partie de la perpendiculaire, sera plus
courte que OA, laquelle pourtant nous supposons la plus courte île
toutes celles qui du point 0 peuvent être menées à la courbe.

Que si la ligne Cx\ {fig- 70) est convexe en dehors, soit la taii-

Fig. 70.

gente DA sur laquelle soit tirée la perpendiculaire AO. Il paroit par
la construction que AO est la plus courte de toutes celles (jui du
point 0 sont menées à la courbe, de sorte qu'en cherchant le point 0,
le point A étant donné, on trouve aisément la tangente.

160 ŒIVUES DE FERMAT.- C0RHES{M)NI)AN(;E.

6. Il reste doiio de chcwhcr le point 0 par la méthode.

Soif par exemple la parabole donnée CIA {ûg. G7) .*///■ laquelle le
point A soit donné. Je veux chercher le point 0, en sorte que OA soit la
plus courte de toutes celles qui du point 0 peuvent être menées à la para-
bole.

Fig. 67.

BC, comme ci-devant, s'appellera D, et BA s'appellera B, le côté droit
de la figure, Z, donné, puisque la parabole est donnée. Supposons que
OB soit .4. Donc le quarré OA en notes sera Aq. -+- Bq.

Prenons maintenant, au lieu de la ligne A ou OB, OF ou A -+- E. Si
du point F nous menons l'appliquée FI, son quarré sera en notes

Z'xnD— Z\n h\

lequel, ajouté au quarré de OF, fera

^«7.4- Eq. + A in £'bis + Zin /) — Zin Ë,

et celte somme fera le quarré de 01, lequel doit être plus grand que
celui de OA, puisque son côté est supposé plus grand que OA. Compa-
rons donc en notes, par adéquation, les quarrés 01 et OA.
Nous aurons d'un côté

Aq.+ Bq.,

et de l'autre

Aq.-^ Eq. + ^ in E h\i +Zin D — ZinE.

Otons les choses communes; la comparaison restera entre

Eq.-\- Am E bis

d'un côté, et

Zin E

de l'autre; car Bq. est égal, par la propriété de la parabole, à Zin D.

XXXI. — DE iMAXIMlS ET MINIMIS. 161

Divisons le tout par E, et du reste ôtons le même E :

A bis sera égal à Z,

et partant .4 ou OB sera égal à la moitié du côté droit de la parabole,
et la tangente est trouvée.

T. C'est ainsi que j'appliquois ma méthode pour trouver les tan-
gentes, mais je reconnus qu'elle avoit son manquement, à cause que
la ligne 01 ou son quarré sont d'ordinaire malaisés à trouver par cette
voie; la raison est prise des asymmétries qui s'y rencontrent aux ques-
tions tant soit peu difficiles, et qu'on ne peut éviter, puisque, sur
D — E en notes, il faut donner un nom à FI aussi en notes, ce qui est
souvent très malaisé.

La méthode de M. Descartes n'ôte pas non plus tous les inconvé-
nients, car obligeant à mettre \jss — vv + i9y — y y au lieu de js e( le
quarré de cette somme au lieu de xx, et son cube au lieu de x'\ et
ainsi des autres, — c'est ainsi qu'il parle (') page 342, — si on lui
propose de trouver la tangente à une courbe, en sorte que, faisant en
sa figure MA égal à r et CM à x, on ait l'équation suivante qui explique
le rapport qui est entre x et r,

t j9 _|- 63 ,.7 ^ 1,-0 y-. _^ 1,1 yi _,_ 1,'Sy ^ .,. lU _ J^9 _ f/S ^.T _ ^3^3 _ f/7^3_ ^/9 ^.^

il me semble qu'il lui sera 1res malaisé de se desembarrasser des asvm-
métries qui se rencontrent en cette question et autres semblables et
plus difficiles encore, si on veut, à l'infini; ce que je serai bien aise
qu'il prenne la peine d'essayer.

8. Puisque donc ces deux méthodes paroissent insuffisantes, il en
falloit trouver une qui levât toutes ces difficultés.

Il me semble avec raison que c'est la première que j'ai proposée, car

CF restant toujours I) — h, et FK, ^ > je ne vois rien qui

(1) Géométrie de Descartes, éd. Hermann. Paris, 1886, page 33, au bas. — Dans la
Bguro, A est le sommet d'ime courbe, AM l'abscisse, MG l'ordonnée courante; Fermât
note d'ailleurs exactement les coordonnées comme l'avait fait Descartes.

Fermât. — 11. 21

162 ŒUVUES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

ompècho ([iroii ne puisse lo comparer, en prenaiil, si vous voulez,

I) — h pour V et -. pour x, saus renconirer jamais une

seule asymméirie. en quoi eonsisle la facilité e( la pert'eclion de lette
niélliode.

9. Ou pourroit ensuite chercher la converse de cette proposition
et, la propriété de la tangente étant donnée, chercher la courhe à qui
cette propriété doit convenir : à laquelle question aboutissent celles
des verres brûlants proposées par M. Descartes. Mais cela mérite un
discours à part et, s'il l'agrée, nous en conférerons quand il lui plaira.
Je désire seulement qu'il sache que nos questions de maxbnis et mi-
nimis et de tangentihiis lineariim ctavariim sont parfaites depuis huit
ou dix ans et que plusieurs personnes qui les ont vues depuis cinq ou
six ans le jieuvent témoigner.

S'il désire voir l'application (') que je fais de cette môme méthode
pour trouver les centres de gravité des espaces compris des lignes
courbes et de leurs solides, je la lui ferai voir et lui proposerai cepen-
dant, s'il l'agrée, de trouver le centre de gravité du conoïde qui se fait
lorsque la demie parabole CBA est tournée sur son appliquée BA, et celui
aussi de toutes ses portions, comme aussi la proportion qu'elles ont aux
cônes de même base et de même hauteur (-).

(') Centruin pnrabolui conoitlis, Tomo I, p. i36.
, {--) fuir Lettres IX, 7; XIII, 6; XV, 5.

XXXII. - 27 JUILLET 1638. 1C3

XXXII.

DESCARTES A FERMAT (').

MARDI 27 JUILLET 1C38.

(D. Iir, G3.)

jMonsielu,

Je n'ai pas eu moins de joie de recevoir la Lettre (') par laquelle
vous me faites la faveur de me promettre votre amitié, que si elle me
venoit de la part d'une maîtresse dont j'aurois passionnément désiré
les bonnes grâces : et vos autres écrits qui ont précédé me font sou-
venir de la Bradamantc de nos poètes (/"), laquelle ne vouloit recevoir
personne pour serviteur qui ne se fût auparavant éprouvé contre elle
au combat.

Ce n'est pas toutefois que je prétende me comparer à ce Roger qui
étoit seul au monde capable de lui résister; mais, tel que je suis, je
vous assure que j'honore extrêmement votre mérite. Et voyant la der-
nière façon (*) dont vous usez pour trouver les tangentes des lignes
courbes, je n'ai autre chose à y répondre, sinon qu'elle est très bonne
et que, si vous l'eussiez expliquée au commencement en cette façon,
je n'y eusse point du tout contredit.

Ce n'est pas qu'on ne pût proposer divers cas qui obligeroient à
chercher derechef d'autres biais pour les démêler, mais je ne doute
point que vous ne les trouvassiez aussi bien que celui-là.

Il est vrai que je ne vois pas encore pour quelle raison vous voulez

(') I.cllrc adressée par l'inlermédiairo do Mersenne, en même temps que celle de Des-
cartes au Minime de la môme date (Clersclier, !II, 66), dont l'original (Bibl. Nat. fr. n. a.
5iGo, f° 1 i V") porte en marge ces mots :

« Je vous enuoye ma lettre pour M. de Fermât toute ouuerte, mais vous la fermerez s'il
vous plaist auant que de lui enuoyer pour la bienséance. »

(-) Lettre perdue.

(') Expression quelque peu singulière, puisque Bradamantc et Roger appartiennent à
VOrlaiido inamorato de Bcrni et à Y Orlando j'urioso de l'Arioste.

(') Fo//- Pièce XXXI.

16i ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

(|iit' voIrc itrciniiM'o règle, pour clicrclicr les pins grandes cl les iiKtin-
(liTS. so puisse appliciuer à l'invciilion de la laiigenle, en considérant
la ligne (|ni la eonpe à angles droils eoninie la plnsconrle, [dulôl qu'en
eoiisidéranl eelte langente comme la plus grande, sous les conditions
qui la rendent telle.

Car. |)cn(lan( qu'on ne dit point la cause pourquoi elle réussit en
l'une de ces façons [)lutot qu'en l'autre, il ne sert de rien de dire que
cela arrive, sinon pour faire inférer de là que, même lorsqu'elle réus-
sit, elle est incertaine. Et, en efl'et, il est impossible de comprendre
tous les cas qui peuvent être proposés dans les termes d'une seule
règle, si on ne se réserve la liberté d'y changer quelque chose aux oc-
casions, ainsi que j'ai fait en ce que j'en ai écrit, où je ne me suis as-
sujetti aux termes d'aucune ri'gle, mais j'ai seulement expliqué le fon-
dement de mon procédé et en ai donné quelques exemples, afin (juc
chacun l'appliquât après, selon son adresse, aux divers cas qui se pré-
senteroient.

dépendant je m'écarte ici, sans y penser, du dessein de cett(i Lettre,
lequel n'est autre que de vous rendre grâces très humbles de l'offre
qu'il vous a plu me faire de votre amitié, laquelle je tâcherai de mé-
riter, en recherchant les occasions de vous témoigner que je suis pas-
-ionncment, etc.

XXXIII.

FERMAT A MERSENNE.

MARDI 10 AOUT 1038.

(A, ("' 21- 23, B, f 3,', V».)

^ioN Révèrf.M) Pèhe,

1- Je ne vous écris à ce coup que pour vous remercier très humble-
ment de la peine que vous prenez à me faire pai'l des cui'iosilcs qui
tombent en vos mains.

XXXllI. - 10 AOUT 1G38. JGo

Je vous renvoie votre Ecrit Harmonique (' ), duquel je vous dirai
une autre fois pleinement mes sentiments.

Maintenant je me trouve sur le point d'aller à la campagne, pour
une commission de ma charge, d'oîi je n'aurai nulle commodité pour
vous écrire, de quoi je vous demande pardon par avance, vous conju-
rant de ne rester pas pour cela de m'écrire par tous les courriers; car
j'ai baillé ordre pour faire que vos lettres me soient rendues, lesquelles
vous mettrez au bureau en la forme ordinaire.

2. J'attends surtout avec impatience de voir rétracter M. Descartes
du jugement qu'il avoit fait de ma méthode, et de l'impossibilité qu'il
s'étoit figuré qu'elle avoit, pour résoudre la question de sa figure, de
laquelle, sans doute, il a maintenant vu les tangentes (-).

3. Vous direz, s'il vous plait, ii M. de Roberval, que j'ai trouvé
celle (') qui lui manquoit pour les connoitre toutes, et que je satis-
ferai ii ses autres questions à mon retour.

4. Pour les nombres des parties aliquotes ('), si j'ai loisir, je met-
trai par écrit ma méthode analytique sur ce sujet et vous en ferai part.
Je trouve que M. Frenicle se tient fort caché et ne veut pas découvrir
son artifice. Je n'en fais pas de même, car vous savez assez avec quelle
liberté j'étale toutes mes pensées.

(') Les Lcllres qui suivent ne renferment rien au sujet de cet Écrit Harmonique, qui
devait ôlre, non pas de Mcrscnne, mais d'un de ses correspondants, peut-être Bannius,
de Harlem {Lettres de Descnrtes, éd. Clersclier, III, C8, p. 3g3), peut-être Gandais {ihid..
II, 97, p. 418)-

(-) Koir Pièce XXXI, 3. — Fermai n'a pas encore reçu la lettre de Descartes, XXXII.

(3) roi'r LeUre XXXV, 2.

(*) F'olr page i54, note i. — Dès le i"mai i638 {Lettres de Descaries, éd. Cleree-
lier, III, 68, p. 392), Mersenne avait demandé à Descartes une règle pour trouver des
nombres ayant un rapport donné avec la somme de leurs parties aliquotes. Le 1 3 juillet
{ihid.. Il, 89, p. 388), Descartes avait envoyé au Minime sept nombres satisfaisant à cette
condition pour les rapports \ ou i. Frenicle fit faire à ce sujet une Communication à Des-
cartes {ibuL, II, 92, Lettre de Descartes à Mersenne du i5 novembre i638, p. 408-409),
et lui adressa ensuite directement une Lettre, à laquelle Descartes répondit {ihid.,
II, 95).

l(iG' ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE.

5. Ji' lirai le Galiloi {') vn mon voyage, à quoi je n'ai pu encore
vaquer, à cause des occupations de la tin du Parlement. Souvenez-vous
de m'écrire. bien ([ue vous ne receviez pas de mes lettres, et croyez-
moi, mon Révérend Père,

A'oire très humble serviteur,

Fermât.

A Toulouse, ce lo août iC>38.

<^ P. -S. > 6. En relisant une de vos Lettres, j'ai trouvé que vous
nie demandiez ma pensée sur la question 2.5 des Méchaniques d'Aris-
lote (-). Si vous cherchez parmi vos j)apiers, vous trouverez que je
vous l'ai envoyée, il y a longtemps, tout au long.

7. Pour les centres de gravité, il y a plus de deux ans que je les ai
envoyés ii M. de Roberval, des ligures mêmes auxquelles 31. Des-
cartes (^) dit les avoir trouvés et desquelles on peut dériver tous les
autres.

Car celui de la parabole quarrée, qui est l'ordinaire, divise l'axe en

deux parties qui sont

comme 3 à 2;

la cubique,

comme 4 à 3;

1 ') Les Discursi imprimas à Leydo en iG38. roir page 112, note i.

(2) « On demande pourquoi doux cercles, l'un plus grand, l'autre plus pelil, placés
» concentriquement, parcourent des longueurs égales lorsqu'on les fait rouler ensemble,
» tandis que les longueurs parcourues par les cercles roulant isolément sont dans le rap-
» port de grandeur (des diamètres) des deux cercles; pourquoi, d'autre part, quand ils
» sont adaptés concentriquement, la longueur parcourue dans le roulement est égale
)) tantôt à colle que parcourrait le petit cercle roulant seul, tantôt à celle que parcourrait
» le grand cercle. »

Dans les explications qu'il donne à ce sujet, Aristote admet que la longueur parcourue
par un cercle qui roule est, après un tour complot, égale à la circonférence do ce cercle ;
mais il n'arrive pas à définir cinôtiqucmenl le glissement, et fait intervenir dos considéra-
tions dynamiques qui sont en réalité étrangères à la question.

(3) Leitrct r/e Devcartes, éd. Clerselier, II, 89, Lettre à Mcrsenne du i3 juillet iG3S,
pages 38G-387. — Fermât avait énoncé la règle générale, |)our trouver le centre de gra-
vité d'une aire de parabole do degré quelconque, dans sa Lettre à Roberval du 4 novembre
i636(w//-.XV,5).

XXXIV. - Il OCTOBRE 1638. IC7

la quarréquarrée,

comme -3 à 4;

la sursolide,

comme 6 à 5,

et ainsi ii l'infini.

Et ce que vous trouverez de plus merveilleux, c'est que ces ques-
tions se trouvent par ma méthode de maximis cl minirnis ('), comme
3F. de Roberval vous fera voir, et à M. Descartes.

XXXIV.

DESCARTES A FERMAT (-).

< LUNDI 11 OCTOBRE 1638 >

(D, ni, 6^).
Monsieur,

1. Je sais bien que mon approbation n'est point nécessaire pour
vous faire juger quelle opinion vous devez avoir de vous-même, mais
si elle y peut contribuer quelque chose, ainsi que vous me faites l'hon-
neur de m'écrire ('), je pense être obligé de vous avouer ici franche-
ment que je n'ai jamais connu personne qui m'ait fait paroître qu'il
sût tant (|ue vous en Géométrie.

2. La tangente de la ligne courbe que décrit le mouvement d'une
roulette, qui est la dernière chose que le Révérend Père Mersenne a
pris la peine de me communiquer de votre part, en est une preuve
très assurée. Car, d'autant qu'elle semble dépendre du rapport qui est

('^ Foir l'Eci'it Centrum gravitai ia parabolici coiioidis, Tomo I, page ijG.

(2) Dans une Lettre à Mersonne du i5 novembre i6'38, Descaries (éd. Clcrselier, 11, 91,
p. 406-407) dit lui avoir adressé une Lettre pour Fermât cinq semaines auparavant, dans
un paquet qui devait arriver à Paris environ la mi-octobre. Il s'agit évidenmient de celle-
ci, qui a donc été mal datée du a5 septembre par l'annotateur anonyme do rcxemplairc
de l'Institut.

(^) Dans une Lettre perdue.

168 ŒLVUKS ])!•: KKUMAT. - COU U KS IMMNDANCE.

cntiv une ligne dmito cl une cii'cuhiiiv. il n'es! |)as aisé d'y a|)pli(|iUM-
les règles qui sei'von( aux autres, et M. de Roberval qui l'avoit propo-
sée, qui est sans doute aussi l'un des premiers géomètres de notre
siècle, eontessoil ne la savoir pas e( nuMue ne eonnoilre au('un moyen
pour y parvenir ( ' ).

Il est vrai qnt^ de|)iiis il a dil aussi «[u'il l'avoit trouvée, mais e'a été
justement le lendemain, apri-s avoir su (juc vous et moi <la> lui
envoyions, et une marque certaine ([u'il se mécomptoit est ([u'il disoit
avoir trouvé en même temps que votre construction étoit fausse,
lorsque la base de la courbe étoit plus ou moins grande que la circon-
l'érencc du cercle : ce qu'il eiit pu dire tout de même de la mienne,
sinon qu'il ne l'avoit pas encore vue, car elle s'accorde entièrement
avec la vôtre {-).

3. Au reste. Monsieur, je vous |)rie de croire que, si j'ai témoigné
ci-devant n'approuver pas tout-ii-f'ait certaines cboses particulières qui
venoient de vous, cela n'empêche point que la déclaration que je viens
de faire ne soit très vraie. IMais comme on remarque plus soigneuse-
ment les petites pailles des diamans que les plus grandes taches des
pierres communes, ainsi j'ai cru devoir regarder de plus près à ce qui
venoit de votre part que s'il lût venu d'une personne moins estimée.

Et je ne craindrai pas de vous dire que cette même raison me con-
sole, lorsque je vois que de bons esprits s'étudient à reprendre les
choses que j'ai écrites, en sorte qu'au lieu de leur en savoir mauvais
gré, je pense être obligé de les en remercier. Ce qui peut, ce me
semble, servir à vous assurer que c'est véritablement et sans fiction
que je suis, etc.

(') Lettres de Dcxcartes, éd. Clcrselier, III, 05, p. 33o. — Dans coUo LcLlro à Mer-
senne, du 23 août i638, Descartes donne, pour la tangente en un point donné d'une cy-
cloïdc ordinaire, allongée ou raccourcie, la construction fondée sur la considération du
centre instantané de rotation.

( 2) Cp. Lettres de Descartes, II, gi, p. 4oo-4oi. — La construction de Format, jiour la
tangente à la cycloïde, fut envoyée par Mersonnc à Descartes le ii septembre i638. —
Foir, pour celte construction. Tome I, p. i63.

XXXV. - 22 OCTOBRE 1638. 1C9

XXXV.

FERMAT A MERSENNE.

VENDREDI 22 OCTOBRE 1638.

(A, f-39-44; B, f-io--i2-.) ,

1- Je reprends le style géométrique après vous avoir parlé d'af-
faires (').

Premièrement, je vous renvoie le sentiment de M. Descartes sur la
Géostatique (-), et vous conjure de me faire part de tout ce que vous
avez de lui.

2. Après cela, je satisferai à la question de la tangente du galand
parallèle à Vaxc ('), c'est-à-dire qui fasse un angle de 4^ degrés avec
la droite donnée par position.

Pour satisfaire à cette question, qui semble d'abord malaisée et qui
l'a paru à M. de Roberval, car je n'ai pas encore vu la solution de
M. Descartes (^), je me suis servi de la méthode de mon Appendix ad
locos {'), de laquelle l'usage en plusieurs rencontres est miraculeux,
pour éviter les asymmétries et cette longueur d'équations qui sem-
blent ne devoir jamais prendre fin.

Soit donné le galand NSQR {fig- 71). la droite donnée par position
DNOP, et la ligne Z donnée de grandeur.

La propriété du galand est que, quel point que vous preniez, comme

( ' ) Le commencement de cette Lettre inédite est perdu.

{-) La Lettre de Descartes à Mersenne (éd. Clerselier, I, 78) du i3 juillet i638 : Exa-
men de la question, savoir si un corps peso plus ou moins, étant proche du centre de la
terre, qu'on étant éloigné.

(3) Foir Lettre XXXIIl, 3. — C'était Roberval qui avait posé cette question, après avoir
donné le nom de galand (nœud de ruban) à la courbe proposée par Descartes et dont il
avait étudié la forme.

(*) Cette solution se trouve dans la Lettre de Descartes à Mersenne du 23 août i638
(éd. Clerselier, III, 65, p. 354-357). Comparez la Lettre du i5 novembre (Clerselier, II.
92; Cousin, VIII, p. G).

(5) Tome I, page io3-iio.

Fermât. — U. 22

170

ŒUVRES DE FEUMAT. - CORRESPONDANCE.

S ou H, le solide sous Zin NO in OS est égal aux deux cubes NO et OS;
ou bien le solide sous Z in NO in OR est égal aux deux cubes NO et OR.
11 faut trouver la tangente SD, par exemple du côté d'en haut, qui fasse
l'angle SDO égal à la moitié d'un droit.

Fig. 7>-

Soit fait. Par ma méthode des tangentes ('), si NO est appelée /), et
OS, B, la ligne OD sera égale ii

Bctib.hh — Dcuh.
Z m B — Dr] . \ev '

et si la tangente étoit du côté d'en bas, la ligne OD seroit égale à

D cub. — B cub. bis
Dq.ier — ZinB

Mais nous n'avons besoin que de la première équation, puisque nous
ne travaillons qu'au premier cas.

Supposons que NO, inconnue, s'appelle .4, et que OS s'appelle E,
nous aurons, pour la ligne OD,

E cub. bis — A cub.
Z\nE — A(]. 1er

Or, puisque l'angle D est demi-droit et que l'angle 0 est droit, les
lignes OD et OS seront égales; il faudra donc qu(^

Ecub.b'x?, — A cub. . . , , „

—^. — = j — ; soit égal a E,

Z\n E — Aq. ter

et, par conséquent,

E cub. bis — A cub. sera égal à Z in Erj. — Aq. in E 1er.

f«) foj> Pièce XXXI, 3.

XXXV. — 22 OCTOBRE 1638. 171

Or, par la propriété de la ligne,

Acitb. est égal à Z\{\A\\\E — Ecub.

Nous aurons donc (')

E cub. — ZinAinE ég:al à Zin Eq. — Ac/.\n E 1er.

Divisons le tout par E, nous aurons

E(j. — Z in A égala ZinE — Ag.ler,

et enfin

Eq. — Z\n E égala Z\i\ A — Aq. \e\\

Et partant, nous avons un lieu elliptique, et le point S est ad cUipsin
posUione datam; sed est etiam ad curvam posilione datant. Ergo dalur
par l'intersection de ces deux lieux et par ma méthode topique (^).

Par la même facilité on fera la résolution du second cas. Mais, pour
rendre la proposition générale, vous pourrez, par la même méthode,
faire l'angle D égal à tel angle que vous voudrez, ou bien, ce qui est la
même chose, faire que la ligne DO soit ;i la ligne OS en proportion
donnée.

En voilà, à mon avis, assez pour vous témoigner que je ne tiens pas
caché ce que je sais.

3. Pour la tangente de la roulette ('), bien loin d'en faire un mys-
tère, je vous veux faire comprendre qu'il n'y a point de question de
cette matière qui puisse m'échapper. Vous saurez donc que cette même
méthode dont je me sers pour les tangentes des lignes courbes, lorsque
leurs appliquées ou les portions de leur diamètre ont relation à des

(') Fermât commet ici une faute de calcul. Les premiers termes des équations sui-
vantes devraient être E cub. ter; E(/. ter; Eq. ter. Le lieu est donc un cercle ot non un
ellipse.

(2) ;^o(> plus loin 9, une seconde solution, également imparfaite. Fermât n'a pas re-
connu, comme l'avait fait Descartes, que le problème particulier est plan; il n'avait,
semble-t-il, cherché que des méthodes générales.

(3) Folr Lettre XXXIV, 2.

172

ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE.

ligiios droites, luo sort aussi, avec un peu de chaugeiueut pris île la
nature de la chose, à trouver les tangentes des courbes dont les appli-
quées ou les portions de leur diamètre ont relation à d'autres courbes.

4. .le vous en ai déjà fait voir l'exemple en la roulette. En voici nn
autre en i<nale (') de laquelle le sphéroïde est au cylindre circonscrit
comme le double du diamètre à la circonférence du cercle, laquelle j'en-
voyai dernièrement à M. de Roberval.

Soit l'ovale GARD {fig. 72) et l'axe GD autour duquel se décrit le

sphéroïde. Soit le cercle NOIS, coupé à angles droits par les deux dia-
mètres OS et NU, duquel la circonférence soit double de l'axe GD, en
sorte que le quart OU soit égal au demi-axe FD. Soit le point B en l'o-
vale, duquel il faut tirer la tangente.

Tirons la perpendiculaire BE et faisons la portion du quart 01 égale
à FE; tirons au cercle la tangente IR qui coupe le diamètre NU au
point R. Faisons EC, en l'ovale, double de IR. La ligne BC touchera
l'ovale.

5. En voici un autre exemple :

Soit la parabole EDAG {fg. yS), de laquelle l'axe AG et le sommet A.
Soit une autre courbe ABF de même axe et sommet, et que BC, appliquée,
soit égale à la portion de parabole DA, et l'appliquée FG égale à la por-
tion de parabole EA, etc., à l'infini. 11 faut trouver, au point B de cette
nouvelle courbe, une tangente.

( ' ) CeUe courbe, évidemment imaginée par Fermai, a pour équation rapportée aux
axes FA, FD ■ y =^ a 1 / ces j , h étant le rayon du cercle auxiliaire NOIS.

XXXV. — 22 OCTOBRE 1638. 173

Soit tirée l'appliquée BDC. Soit 0 Xefociis de la parabole. Faisons
comme OA + AC à AC, ainsi le quarré BC au quarré CN.
La ligne BN touchera la courbe FBA.

6. Voilà deux exemples aisés, lesquels vous pourrez proposer à
soudro, si vous voulez, avant que do faire voir les solutions. Mais,
pour le suivant, je le propose à M. de Roberval et encore, si j'osois,
à M. Descartes :

Soient autant de courbes que ion voudra de même sommet B (fig. 74)-
coOTme BE, BD, BF, BA, données par position, et soit marquée une autre

Fig. 7^

courbe de même sommet, comme MB, en sorte que les appliquées de cette
dernière, comme MC, soient moyennes proportionnelles entre la somme
des portions des autres courbes, AB, BF, BD, BE, et la somme des appli-
quées AC, FC, DC, EC. Il faut trouver une tangente à un point donné de
cette dernière courbe.

Si vous voulez que les quatre courbes de mon exemple soient un
cercle, une parabole, une hyperbole et une ellipse, j'y consens, à la
charge que vous croyiez que je donnerai la solution en tout nombre et
en toute espèce de courbes données, et ce sans aucune asymmétric, ce
qui semble merveilleux.

7- Avant que de quitter la Géométrie, je vous donne encore une spé-

m ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE.

culation qui semble, être excellente et qui allonge infiniment l'étrivière
au lieu plan : Si a (/uotcumt/ne piinclis ('), laquelle j'ai trouvée en cher-
chant les lieux ad superficiem (-) :

C'est que, après avoir trouvé un cercle qui satisfasse à la question
(l'Apollonius in piano, comme par exemple : Soient (fig. yS) les points

Fis. 7.i.

donnés F, G, H, E, 1) et le cercle trouvé ABC en sorte que, quel point que
vous preniez en sa superficie, comme A, les quarrés FA, GA, HA, DA, EA
soient égaux à un espace donné, je dis que : Si autour du point I comme
centre, vous décrivez une sphère de laquelle le cercle ABC soit un des
grands, quel point que vous preniez en la superficie de la sphère, il satis-
fera à la question du lieu.

J'ai trouvé ensuite beaucoup de choses merveilleuses sur le sujet des
lieux ad superficiem, mais je ne puis pas vous dire tout à la fois.

8. Le quadrilatère (^) de M. do Roberval, que je n'ai pas cru si
pressé que la tangente du galand, sera différé au premier voyage.

9. Il faut que je vous die encore qu'on peut trouver la tangente de
45 degrés au galand (") par une voie qui semble plus géométrique.
Car, là où ma précédente solution a employé la ligne courbe du galand
pour trouver le point cherché par l'intersection du galand et d'une
ellipse, cette autre voie n'emploie que les sections coniques.

(') f'oirLMTQ XIX, 1.

(2) Comimrer 'VomoX, p. ii3.

(') Problèmo proposé à Descarlcs par Mcrsenne, comme n'ayant pas été résolu par
Roberval {Lettres de Descartes, éd. Clerselier, III, 65, du aS août i638; p. 357) :

« Les côtés AD et AE du quadrilatère ADCE étant donnés avec l'angle DAE et la lon-
» gueur de la diagonale AC, et enfin la proportion qui est entre les deux lignes AG et
» AU, perpendiculaires sur les côtés inconnus Cl) et CE, il faut ciiorciier le reste. ><

(*) yoir plus haut, 2.

XXXV. - 22 OCTOBRE 1638. 175

Supposons que Z (yfig. 76), le côté droit du galand, est iuconnu, et

que AD est une ligne donnée nommée B, que DB est inconnue, nom-
mée A. Donc le côté droit sera

A cub. -+- B euh.
B\\\ A

Par ma méthode des tangentes, la ligne DN qui concourt avec la

tangente sera

BK'CiA cub. bis — Bqq,
A cub. — B cub. bis

laquelle il faut faire égale à A. Nous aurons donc

Aqq. — B cub.\nAh\s égala B in A cub. b\s — Bqq.,

et enfin

B\n A cub.his + B cub.'in Ah'is — A qq. égala Bqq.,

laquelle équation, pour trouver la valeur de /l, se peut résoudre ou
par ma méthode topique, ou par telle autre qu'on voudra.

Or, A étant connue, le côté droit Z sera connu, et si le galand donné
est différent de celui-ci, il faudra faire :

comme le côté droit de celui-ci à la ligne AD ou B donnée,
ainsi le côté droit du galand donné à une autre ligne

qui déterminera un point semblable au point D, et la question est
faite.

S'il y a manque en la supputation, vous la corrigerez, car je n'ai pas
seulement le loisir de relire ma lettre.

176 ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

10. INnir Galiloo {' ), j'avois commencé do l'examiner par le menu,
et, si j'ai ilii loisir assez, je continuerai.

Lorsqu'il parle de la proportion de la vitesse en la descente qui se
fait en u\\ même on divers milieux par des corps difl'érents, vous trou-
verez que son expérience qui précède contredit sa ri'gle (|ni suit.

Je vous entretiendrai une autre fois plus à loisir, bien que l'oisiveté
de la campagne vous ait présentement fait voir une lettre plus longue
que je n'avois desseigné.

Je suis, mon Révérend Père, votre très humble serviteur,

Yv.UMXT.

Ce 22 octobre t638.

11- Puisque mes deux vers (-) ont eu votre approbation, en voici
deux autres de même main qu'on estime ici plus que les premiers et
desquels vous me direz, s'il vous plaît, votre sentiment :

Optato patriam affliclam Delphine boavit
Kcx .lustus : nunqiiam juslior ille fuit.

XXXVI.

FERMAT A MERSENNE (').

DIMANCHE 26 DÉCE.MBRE 1638.

(A, f- 23-24; B, f° 25 v.)

1. Pour les nombres, je peux trouver par ma méthode toutes les
questions des parties aliquotes (''), mais la longueur des opérations
me rebute et la recherche des nombres premiers, à laquelle toutes ces

('» roi> Lettre XXXIIl, 5.

(') Ces vers de Fermât ne sont pas connus.

(') Celle Pièce est un extrait d'une Lettre perdue, déjà publié par .M. Charles Henry
{Rcclierchc.i, etc., pp. 177-178) d'après le brouillon d'Arbogast, qui déri\o d'une copie de
Mersenne.

{<•) rotr Lettre XXXIIl, 4.

XXXVI. - 26 DECEMBRE 1638. 177

questions aboutissent. Sur lequel sujet je ne sais point de méthode
que la vulgaire, sinon qu'il suffît de faire la division jusques à la plus
petite racine quarrée du nombre donné, car si on n'a point trouvé de
diviseur jusque là, on n'a garde d'en trouver de plus grands, pource
que leur quotient seroit moindre que la racine quarrée, ce qui est
impossible, par l'expérience qu'on aura déjà faite.

2. Pour la Géométrie, comme toutes les courbes et les tangentes
qui sont de la juridiction de la méthode de M. Descartes le sont aussi
de la mienne, et particulièrement lorsque la comparaison des portions
du diamètre aux appliquées est mêlée de lignes courbes, je m'en
démêle aussi aisément que des simples tangentes. De quoi je vous ai
déjà donné quelques exemples, vous priant d'en proposer les ques-
tions et principalement le dernier exemple ('), sur quoi vous ne m'a-
vez pas répondu. Obligez-moi donc de savoir si les messieurs de Paris
en peuvent donner la solution, et je vous envolerai tout aussitôt la
mienne.

3. Bien plus, je donnerai intinies tangentes do courbes dont la pro-
portion est pleine d'asymmétries.

Soit la courbe DNE {fig. 77), le diamètre NF, l'appliquée quel-

conque DF. Supposons que NF étant appelée .4, l'appliquée DF soit
égale à

lat. {Bq. + Ag.) -hlat. [Dq. — Aq.) -1- lat. ( /? iii ,-l - Àrj.)

^ l^l_ fAcub.-B\nAq.\ ^ ^^^ fAqq. + Dq.mA,,.
' \ D / ' ' \ Bq.+ Aq.

Je demande une tangente au point D.

(M Voir Loltre XXXV. 6.

Fermât. — M. 23

178 ŒUVRES DE FKllMAÏ. - COHUESPON DANCE.

.Ma iiu'lhutli.' les iloiiiicra, o( infinies de pareille nature, etc., quand
bien la ligne DF seroit composée de centinomies ou plus grand nombre
de termes.

,1e ne dis rien (|ue je n'exéeute dès (jii'on m'aura témoigné qu'on ne
le sait pas.

4. Je proposerai le reste après ([ue vous m'aurez envoyé les papiers
de M. Descaries (' ). Cependant j'étends encore ce problème local «r/
superjîciem (^) qui enchérit sur le plan d'Apollonius, et le conçois
ainsi :

Si (t i/iio/cii/fK/iic pitnrlis datis iii quibuslibet planis ad piinrliirn iiniim
injlectantur rcctœ, et sint species, quae ah omnibus, daio spalio œquales,
punclum ad injlexionem sphcvricam superftciem positione datam con-
tinue t.

La construction se dérive aisément de celle que je donnai il y a long-
temps (lu lieu ])lau. VA ls\. de Roberval le pourra trouver d'abord et
avouera qu'il y a tort peu de propositions de C.éoméfrie (pii valent
celle-ci.

(') l'roluihlemoiU les iiiiporlanles LcUros (ie Descartes à .Merscniic, du 27 juillet i63S
(Clersclier, III, 0(i), du xi août (111, Ci")) pi du 1 "> novendire (11. t.yi).
('-) y<>ir Lclln- \XXV. 7.

XXXVII. - 20 FEVRIER 1639. 179

ANNÉE 1639.

XXXVII.

FERMAT A MERSENNE (').

DIMANCHE 20 FÉVRIER 1639.

(B, f" 2 v°.)

1- Vous m'avez envoyé 36o duquel les parties aliquotes sonl au
même nombre comme 9 à 4. et moi je vous envoie 2016 qui a la même
propriété.

2. ,Ie viens maintenant au défi des plus grands géomètres du
monde ( -).

Pour première question, proposé :

I (] — 6N égal à 4o et la valeur tl'iN, !\,

et encore

iC-t-4N égal à 80, où N est encore 4,

ils demandent la méthode pour trouver la racine en pareilles questions
sans aller à tâtons.

(') Extrait inédit d'une Lettre perdue.

(-) Descartes, dans sa Lettre à Mersenne du 9 février i63y (Clerselier, II, 97, p. 45o),
répond à ces mêmes questions. La seconde et la troisième lui avaient été adressées le
23 janvier; il les désigne comme étant d'un M. Dounot. La première ne lui fut envoyée
que par le courrier suivant.

180 (F.UVRES DE FERMAT. CORRESPONDANCE.

,lo vous réponds avor Vii'to {') quo ceux qui foroiil cette recherche
sans employer h^s artifices déjà connus excruciahuni se frustra et bonas
/taras mathemalices quam colcnt dispendio perdent.

3- Ils proposent ensuite

iC — 8Q + 19N éfial à t4,

et après avoir déterminé que le problème est ambigu et donné trois
valeurs de la racine, savoir 2,3 — v'2, 3 -t- \j'i, ils ajoutent : Qui dederit
quartam solutionem, portento erit simile.

En quoi, sans préjudice de la grammaire, ils pèchent autant contre
les Mathématiques, qui nous enseignent qu'il est impossible qu'en ce
cas et autres pareils, il y ait quatre solutions. Car il est très certain
qu'un problème ne peut recevoir pour le plus qu'autant de solutions
que son plus grand terme a de degrés, et ainsi ils ont fait eux-mêmes
ce portentum d'avoir proposé une question impossible.

4. Mais la troisième proposition contient sans doute la plus forte
attaque, qui semble d'autant plus considérable que le moyen dont Viète
s'est servi pour soudre pareilles questions, lequel il appelle synensis
en son Traité De recognitione œquationum (-), est défectueux et ne dit
pas tout.

Voici la dernière question :

iC — 9Q-t-i3N aeq. v/â^S — 15.

Quœritur i N. Hoc problema recipit très solutiones quarum exhibimus pri-
marn, scilicet 3 — \/2, quœ satisfacit exacte.

Si reliquas duas dederim, ero illis magiuis Apollo.

Hae sunt : prima 3 + v/i8, secunda 3 — y/TS.

P I VlÈTE (éd. Sclioolcn, Lcydo, Elzcvirs. iG.lG), De einendalloiie œquationum, cliap. 1,
|). 129 :

« Itaquc cxerucianiiU so frustra et bonas horas Malhematices quam colcbanl dispendio
•1 absumpsoruiU. j

( -; Ib'ul., pages 104 et suiv.

XXXV.II. - 20 FÉVRIER 1639. 181

Si cela ne sutfit, je donnerai une méthode générale ( ' ) pour toutes
solutions pareilles, laquelle réussit sans nulle peine, et n'a pas les dé-
fauts de celle de Viète, qui est très fâcheuse à cause des divisions,
particulièrement aux exemples un peu malaisés, comme celui dont est
question, (|U(' les analystes communs ne sauraient soudre par la
syncrise.

( ' ) roir LeUre XXXVIll Ins. 4.

182 ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE.

ANNEE 1640.

XXXVIII.
FRENICLE A MERSENNE ('V

< MARS ICiO >

f Fr. II. a. H204 , i'° t>2;).)

IMON RÉVKRF.M) Pèrf,,

1- Puisque vous dosirez que je vous rafraîchisse la mémoire de l'en-
tretien que nous eûmes dernièrement ensemble touchant les nombres
des tables magiques, je vous dirai que ce que M. Fermât vous en a
envoyé est fort peu de chose, car il n'y a presque rien hors de ce qu'il
peut avoir vu dans Stiphelius, Spinula et la vieille Clavicule (-), et
que la méthode qu'il dit avoir pour les construire n'est autre que celle
qu'ils enseignent, encore qu'elle ne soit pas d'eux : laquelle, pour ce
qui regarde les impairs, est la plus noble qui se sauroit trouver et est
si facile que ce n'est qu'un jeu d'enfant, et n'y a pas grand sujet de se
tant glorifier pour l'avoir apprise dans un livre.

(') Lettre inédite qui fut communiquée à Fermât et à laquelle il répondit par la sui-
vante, XXXVIll his.

{-) Arithmetica intégra, authore IMichaelo Stifelio, cum prœfationc Philippi Melancli-
thonis. — Norimber!»a3 apud Joh. Petrejum. Anno Christi MDXLIII. Cura gratia et privi-
légie Cicsareo atque Regio ad soxennium.

Franciscus Spinoln est cité dans les Deliciœ pliysicoiiialhematinr de Daniel Scliwenter,
Nuremberg, 1626, comme s'ctant occupé des carrés magiques. Le seul Ouvrage imprimé
qui soil connu avec ce nom d'auteur {P. Fronasci Hjmiulœ Mediolanensis Opera,\Qn\sc,
i5G3) est un Volume de vers latins où ne se trouve aucune allusion à ce sujet.

Nous n'avons pu déterminer non plus quel Ouvrage Frenicle désigne sous le nom de
meitlc Clavicule; il s'agit peut-être d'un tirage sans lieu ni date de l'Écrit tliéoso|)liique
Clavlcula Salomonis fllii David.

XXXVIII. - MARS 1640. 183

2. S'il savoit quelque chose de uouveau pour les pairs, il vous devroit
avoir envoyé une table du quarré de i8 ou 22 ou pour le moins de i4.
qui a servi de borne à Bachet ( ' ), et, quand il l'aura fait, nous avoue-
rons qu'il y sait quelque chose.

3. Ce qu'il vous a envoyé n'est pas digne d'un honnête homme
comme lui, mais est plutôt l'occupation d'un écolier et, s'il veut s'em-
ployer à un exercice qui lui soit plus convenable, sans sortir de cette
matière, qu'il dispose les nombres d'un quarré en telle sorte que toutes
les lignes et diagonales soient égales et que, telles enceintes qu'on
voudra, et- non plus, en étant ôtées, le quarré qui restera soit de
même nature que le premier.

Par exemple, que 22 soit donné pour le côté du quarré magique;
on demande que, ce quarré ayant les conditions requises, on en puisse
oter trois enceintes et que le quarré restant, qui aura 16 cellules de
côté, soit encore magique; et qu'étant deux enceintes de celui-ci.
le quarré restant, qui aura 12 cellules de chaque côté, soit encore
magique; et que de celui-ci, en étant une enceinte, le quarré restant,
qui aura 10 de côté, soit encore magique; et que du premier quarré
de 22, tel autre nombre d'enceintes qu'on en veuille ôter, le quarré
restant ne soit plus magique.

4. Davantage, il se peut aussi étudier à taire de ces tables qui aient
une partie de leurs cellules vides et néanmoins que toutes les lignes,
colonnes et diagonales, soient égales tant en la quantité des nombres
qu'en la somme d'iceux.

Par exemple, s'il y a en la table quarrée i44 cellules, qu'il n'y en
ait que Go ou autre nombre possible de remplies de nombres consécu-
tifs et qui commencent par tel qu'on voudra, et qu'en chaque colonne,
ligne et diagonale, il y ait o nombres, la somme desquels soit égale par
tout.

5. Mais s'il veut sortir des quarrés et s'appliquer aux solides, il
pourra considérer les nombres disposés en telle sorte qu'ils forment

( ' ) Problèmes plaisans et délectables qui se font par les nombres. — A Lyon, MDCXXIV.

18i ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE.

les trois t'aci-s ox lé ri cures d'ime pyramide triangulaire ou tétraèdre,
ot faire que les dits nombres, étant en progression donnée, Cassenl
toutes les enceintes égales entre elles.

Par exemple, que la somme des nombres représentés par A m, n, <>,
p, y, r. s, t soit égale à celle de e, f, g, h, i, k, et à celle de c, b, d : et
que les lignes a, c, e, /; a, b, g, o el a, d, i, r soient égales entre elles
en valeur comme elles le sont en longueur en Géométrie; et que les
trois lignes de chaque enceinte soient égales entre elles, c'est-à-dire
l'une à l'autre, jusques à où il se peut; et déterminer h quelles
enceintes doit finir l'égalité susdite.

Ce seront là des occupations qui méritent aucunement qu'il s'y
emploie et, quand il y aura satisfait, on lui découvrira des choses qui
surpasseront d'autant celles-ci que celles-ci surpassent ce qu'il vous
a envoyé.

6. Je vous dirai aussi que, s'il ne veut pas sortir des plans, je lui
pourrois demander un hexagone rempli de nombres consécutifs, qui
ait même somme en chacun de ses côtés et des lignes qui vont du
centre à la circonférence.

p

n

h

»i

f

c

a

l

,,

d

e

k

l

h

i

XXXVIII. — MARS iG40. 185

Par cxL'iiiple, que les nombres représentés par o, n, in\ m, I, /.■; X-,
/, h\ h, I, s\ s, r, q\ y. p, n, comme aussi par a, h, o; a, c, ?>2; a, d, k\
a, e, h; a, g, s et a, /, </, eussent chacun leur somme égale; et en
nuire, qu'ôtant quelques enceintes de ladite figure, sous les condi-
tions déduites au quarré, la même égalité demeurât encore.

Vous remarquerez, s'il vous plait, que la quantité de lettres qui sont
ici ne sert que d'exemple, et ne s'ensuit pas d'iccllc qu'on puisse faire
ces choses sous la quantité qu'elles représentent, car elles ne servent
que pour les donner mieux h entendre.

7. Pour ce qui est des nombres dont il veut renouer la conférence,
on attend encore la solution de ceux qu'on lui a envoyés autrefois, et
de celui que vous avez encore envoyé depuis peu ('), duquel il doit
d'autant plus facilement venir à bout, qu'il a trouvé la démonstration
de tout ce qui concerne les parties aliquotes.

8. Et s'il trouve que ce soit peu de chose pour lui, (|u"il vous envoie
un nomhva parfait qui ait 20 lettres ou le prochainement suivant, atiii
de ne point sortir de ce qu'il sait avec perfection, et j'estime qu'il en
viendra d'autant plus facilement à bont, qu'il pourra sur tout ce que
dessus consulter l'oracle de ce grand démon dont vous nous avez tant
fait de fête, lequel nous tiendrons pour bon ange et des plus blancs,
s'il y satisfait. Encore que, s'ils éfoient versés en ces matières-là
comme le sont vos Sainte-Croix et Frenicle, cela leur serviroit plutôt
d'ébattement que de travail, vu qu'il y a longtemps qu'ils ont trouvé
et considéré ces choses-lîi.

Voilà, mon Pi're, si j'ai bonne mémoire, un raccourci de tout l'en-
tretien que nous eûmes ensemble avant-hier.
Je suis, mon Révérend Père,

Votre très humble et afTectionné serviteur,

Frexicle.

C) Comparer los LcUrcs XXXVI, 1 et XXXVII, 1. l^'i'ciiicle fait allusion à une corres-
pondance perdue, qui paraît avoir surtout concerné les nombres en relation donnée avec
la somme de leurs i)arties aliquotes.

Fermât. — 11.

i86 ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE.

WWIIT bis.
FERMAT A 3IERSENNE.

DIMANCHE 1 AVIIII. IG'tO.

( f'ii, p. 173-17G.)

Mon RiivÉREND Père,

1. .le vous dois deux réponses pour les deux dernières Lettres que
j'ai reçues de votre part et que j'ai trouvées toutes deux en même
temps à mon retour de la campagne; le sujet de la première concerne
Monsieur Desargues et celui de la seconde Monsieur de Frenicle.

2. Je suspends la réponse aux questions de Monsieur Desargues,
jusques à ce que j'aurai vu par votre faveur le troisième Livre des
Coniques de Monsieur Mydorge et les autres ('), s'il y en a d'im-
primés depuis les deux premiers qui sont les seuls que j'ai en mon
pouvoir. Je vous promets alors de m'étendrc sur tout ce qu'il semble
que vous desirez de moi, et cependant je suis obligé de vous dire que
j'estime beaucoup Monsieur Desargues et d'autant plus qu'il est lui
seul inventeur de ses Coniques; son livret, qui passe, dites-vous, pour
jargon, m'a paru (rès intelligible et très ingénieux (^).

(') Les deux premiers Livres des Coniques de Mydorge avaient élo puijlios en lU'ii
sous le titre :

Claudii Mydorgii palricii Parisini Prodromi Catojjlricorum et Dioptricorum sive Coni-
corum operis ad abdita radii rcflexi et refracti mysteria prœvii et facem praeferonlis Libri
primus et seciindus. D. A. L. G. — Parisiis, Ex typographia L Dcdin, via Nucum, sub
signo trium Coiuniliarum, M.DC.XXXL Cum privilégie Régis (in-f'oHo;.

Les deux suivants furent ajoutes dans la réédition do ifi^g ;

Claudii .Mydorgii.... Libri quatuor priores. D. A. L. G. — Parisiis, E\ typographia
l. Dedin, via Nucum, sub insigni parvi Scuti, M. DC. XXXIX. Cum privilegio Kogis.

(-) Il s'agit du Brouillon project d'une atteinte aux euenemena des rencontres d'un
cône (wec un plan, par le S. G. D. L., dont l'édition originale, imprimée à Paris en 1O39,
est introuvable (Œuvres de Desargnes, éd. Poudra, I, pages y; à ■l'io). — La corres[)On-
dance de Fermât ne contient aucune autre indication sur les questions que lui avait posées
Desargues.

XXXVIIl bis. — 1" AVRIL 1G40. 187

3. Pour 3Ionsieur de Frenielc, ses inventions en Arithmétique me
ravissent et je vous déclare ingénument que j'admire ce génie qui.
sans aide d'Algèbre, pousse si avant dans la eonnoissance des nombres
entiers, et ce que j'y trouve de plus excellent consiste en la vitesse
de ses opérations, de quoi font foi les nombres aliquotaires qu'il
manie avec tant d'aisance. S'il vouloit m'obliger de me mettre dans
quelqu'une de ses routes, je lui en aurois très grande obligation et ne
ferois jamais difficulté de l'avouer, car les voies ordinaires me lassent
et, lorsque j'entreprends quelqu'une de ces questions, il me semble
(jue je vois devant moi

Magiuira maris îEquor anindum { ' ),

à cause de ces fréquentes divisions qu'il faut faire pour trouver les
nombres premiers. Ce n'est pas que mon analyse soit défectueuse,
mais elle est lente et longue pour ce regard et j'ose dire sans vanité
que, si je pouvois l'accompagner de cette facilité, je trouverois de fort
belles choses. Je voudrois avoir mérité par mes services la faveur que
je lui demande et ne désespère pas même de la payer par quelques
inventions qui peut-être seront nouvelles à Monsieur Frenicle.

( 13, f» 3 r- ) ( = ).

4. Pour la méthode que j'oppose à la syncrise ('), ce n'est seule-
ment que pour éviter les divisions qui sont souvent très fâcheuses en
cette sorte de questions.

Soit, par exemple :

bda — 6(7^ — a^ a?f|. c'"'-.

Cette équation peut avoir trois solutions, desquelles soit par exemple
Il l'une qui soit donnée. Il faut trouver les autres deux.

(') Virgile, Enéide, II, 780 : [,onga tibi exsilia cl vasliim maris aîquor araadiim. *

(2) Le fragment qui suit est inédit; il est reproduit d'après l'extrait de la Lettre du
i" avril 1640, que contient le manuscrit Vicq-d'Azyr-Boncompagni. U est très improbable
que les notations algébriques, dans lesquelles dominent les habitudes cartésiennes, soient
réellement celles de Fermât.

(3) Foir Tome L page 147, note 3. — Comparer Lettre XXXVII, 4.

188 Πl y II K S n K F F. Il M VW - C () U II E S P 0 N I) A N C E.

Pmir V parvenir, il os( lUH'cssaii'o de I)aissor colle ('qualion (riiii
(logro, 00 (|iio A'iolo i'ail j)ar division o( M. Dosearlos aussi; voioi
ooniiuo jo procodo :

// osl ogal il <i; or il y a deux lii^nos égalos ii a, iiiogalos ii //. Posons
(|ui' l'uiio do oos doux iii(nos soil // + e, ot faisons inainlonani ro(|ua-
lion ooninio si // + c oloil a, nous aurons

bchi ■+- hde — bc- — e^ — bn" — ihne — Zne- — li^ — 3/t-e a?(|. ;'°'-.

Or, puisquo a est ôgal à //, donc

bda — ba"- — a^ sera égal l\ bcln — bn- — n^.

Mais

bda — ba- — a^ est égal à z""^-,

[lar la pi'oniiôro oquation; donc

bdn — bn-— n^ est égal à z^°^-.

Olez donc d'un côlé de la seconde équation hdn — hn- — «', et de
l'autre (-(Mé ;*"', il restera

b<lc — bc- — e' — nbne — ci ne- — 'in-e œq. o.

l-]t, le tout divisé par e, qui est une division simple et non composée
comme colle de Yiète et des autres, restera

bd — bc — e- — ■ ibn — Zne — 3/i'- a^j. o

et ainsi l'équation ne sera que quarréc et, lorsque e sera connu, en y
ajoutant «, vous aurez la ligne olierchée.

O n'est pas que j'estime beaucoup ceci, ni que j'aie tout dit en
vous donnant ce seul exemple, mais c'est seulement pour la facilité do
l'opération.

' 5. Je viens aux propositions des quarrés (') : sur quoi je vous puis
protester que je n'ai jamais vu ni Stiphelius ni celle Clavicule et ne sais

C) loir LoUre XXX VIII, 1 à 3. — Ici icprcud lo tcxlu doiiiiô par les luria. Le carré
magique est inédit.

XXXVIII ùà. — i<-' AVRIL ICVO.

180

ce que ces livres coiUieiinent et, pour faire voir que j'ai vu peul-èlre
plus loin qu'eux et satisfaire à la semonce de M. Frenicle, je vous
envoie le quarré de i4 aux conditions requises, duquel, si vous ùtez
deux enceintes, le restant sera aussi quarré aux conditions requises
et, si vous ôtcz encore deux enceintes de ce restant, ce qui restera sera
encore quarré aux mêmes conditions.

.

2

i85

18G

■)

G

7

190

19'

19).

1 1

'91

19''

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42

iG
i-.G

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9,5

24

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17G

17 j

171

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1 71

27

1G7

28
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5o

49

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22

21

20

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18

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184

3

4

,87

188

i8()

8

9

10

19Î

12

i3

196

Le premier quarré fait en ces lignes iS-q; le deuxième fait 985-, le
troisième fait .J91.

6. Or, ne doutez point que je ne possède la méthode générale pour
faire toute sorte de quarrés en cette sorte et aux conditions qu'ùtant (cl
nombre d'enceintes qu'on voudra, le restant soit encore quarré, etc.

190 ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

.Mais, il n'otor (ju'iinc seule enceiiile, je erois la qiieslioii impos-
sible : à (|uoi peiif-ètre .M. Treniele ne prit pas garde (' ), lorsqu'il me
proposa d'ôler trois eneeiiiles de 22, et puis deux du restaul, et |)uis
uue du reslaut. Car, aux deux premiers eas, la questiou est faisable
eu beaucoup de iiiauières, uuiis au troisième je ue l'estime poiut pos-
sible : de quoi la raisou dépend de ma règle, laquelle je n'ai pourtant
ni trouvée ni chorcbée que lorsque j'ai reçu la Lettre de M. Freuiele,
et c'est pour cela que je ne détermine pas absolument l'impossibilité
de ce cas, jusqu'à ce que j'aurai eu encore quelques jours pour y
sons;er de nouveau.

7. Mais ce que je trouve de plus beau en ma règle, et que je ne
crois pas avoir été touché ni par Sliphelius ni par aucun autre, est que
je puis déterminer en combien de façons, et non plus, chaque quarré
peut être disposé aux conditions requises, comme par exemple, s'il
m'est permis de demander à M. Frenicle, en combien de sortes diffé-
rentes 22 peut être rangé.

8. Je passe bien plus outre, et passant aux solides qui le sont effec-
tivement, j'ai trouvé une règle générale pour ranger tous les cubes à
l'infini, en telle façon que toutes les lignes de leurs quarrés, tant dia-
gonales, de largeur, de longueur que de hauteur, fassent un même
nombre, et déterminer outre cela en combien de façons difl'érentes
chaque cube doit être rangé, ce qui, me semble, est une des plus
belles choses de l'Arithmétique.

Vous en trouverez un exemple (-) sur le cube 64, à côté du quarré
.le 14.

Il faut ranger les quatre quarrés qui font la solidité du cube, en telle
façon que le premier soit dessous; le deuxième soit mis sur le premier,
en telle façon que 53 soit sur 4 et 50 sur i.; il faut ensuite mettre le
troisième sur le deuxième, en telle façon que Go soit sur 53 et 37

(') Foir Lellre XXXVIII, 3. — Comparer Lettre XL, 3.

C) Les carrés ci-;i()rcs se trouvaient, ainsi que le carré magique reproduit plus luiul (5),
transcrits sur une leuille détachée; ils ne sont pas non plus donnés dans les J'aria.

XXXVIII bis.

i" AVRIL IGVO.

191

sur 5G; et enfin il faut mettre le quatrième sur le troisième, en sorte
que i3 soit sur Go et iG sur 57. Cela étant fait, vous aurez un cube
qui sera divisé en douze qnarrés, lesquels se trouveront tous disposés
aux conditions requises; il y aura en tout 72 lignes différentes, cha-
cune desquelles fera une même somme, savoir i3o.

1.

2.

3.

1

(il

C3

1

Ô3

1 1

10

5(i

Go

6

7

*7

i3

5i

5o

16

4i

l'i

22

44
24

32

34

35

'9

17

47

46

20

4«

40
28

26

2^

37

21

43

42

30

3o

3i

3'.

8

19

18

38

39

25

(ii

9.

3

61

9

55

54

12

58

59

5

49

i5

t4

5>,

9. Vous voyez combien ceci est au-dessus du tétraèdre et de l'hexa-
gone (') de M. Frenicle, desquels le premier n'est pas solide en effet,
mais par fiction seulement, quoique je ne doute pas qu'il ne puisse
être haussé en solide; mais, dans ces deux propositions, il y a beau-
coup de nombres superflus dans les entre-deux des lignes qui abou-
tissent ou au sommet ou au centre, ce qui fait qu'elles ne sont pas si
parfaites que la mienne, en laquelle je puis encore ôter les enceintes
requises et faire que le restant demeure aussi cube, etc.

Je soumets pourtant le tout à mondit S'' de Frenicle et crois que, si
j'avois l'honneur d'être connu de lui, il auroit omis quelques paroles
qui sont dans sa Lettre. Je ne resterai pas de lui assurer l'estime que
je fais de lui et de le conjurer de me faire part de sa méthode.

10. Pour le solide de la roulette, je le réduirois bien à des solides
plus simples, mais à des sphères, cônes ou cylindres qui soient créés
par des lignes droites données, il me semble qu'il est impossible.

Excusez si le papier me manque, etc.

H. P. -S. Depuis ma Lettre écrite (-), un de mes vieux papiers m'est

(') Voir Lellre XXXVIII, 5 et 6.

(^) Ce posl-scriptiim [jarail appartenir à une Lettre aiUorieuro et avoir été l'occasion
(le la Lettre XXXVIII de Krenicle.

19-2 ŒUVRES Iti: FEUMAT. — CORUESPONDANCE.

toiiihi' cil main. IimiucI coiitieiil iiiic olisorvalioii sur le [)i"ol)li'mo XXI
(lu Livre do Harlu'I. innirimc à Lyon en i()2'|, o( (jiii [joric pour lilrc :
Problèmes plaisons et délectables (/la' se font par les nombres.

Voici rciidroil (^'); il propose do ranger en (|iiarré les noniI)res con-
séeulii's en progression arithmétique, on sorte (jne tous les rangs,
tant de haut, A(' has (|ue des côtés et par U's diami-tros, fassent une
môme somme, de quoi il haille une règle générale pour les quarrcs
impairs, et avoue n'en avoir pu trouver aucune pour les pairs, mais
avoir fait seulement plusieurs observations particulières, par le moyen
desquelles il a rangé les pairs jusques à 141.

Or, pour la règle des (|uarrés impairs, je dis premièrement qu'elle
n'est pas de son invention, car (die est dans l'Arithmétique do (lar-
dan (-); mais d'ailleurs elle ne résout la (]ueslion que d'une seule
façon, qui le peut ètroen plusieurs. Je dis donc :

1° Que ma méthode range les quarrés pairs et impairs à l'infini ;

2° Qu'elle les range en toutes les façons possibles, lesquelles aug-
mentent comme les combinaisons, à mesure que les quarrés sont plus
grands;

3° Que la règle des pairoment impairs n'est pas dilférento do celle
des pairoment pairs, mais bien la mémo, quoique Bachet ait cru
qu'elles dévoient être différentes.

Voici un exemple de ma méthode :

Il range le 2j d'une seule façon, n'y sachant autre chose, et voici
comme il le range :

1 I 24 7 20 3

4 12 25 8 i6
17 5 i3 21 9

10 l8 I l4 22

2 3 fi j g 1 1 5

(') Pages Go et suivantes de rédition originale.

(2) Practica ar'ithinetica et nwii.mroiidi xiiigidnrls (Milan, iSSg), réimprimée dans le
quatrième lonie de l'édition des Giiivrcs de Cardan en lo volumes (Lyon, iG63). — Car-
dan y donne, sans règle de consiruciion, sept eurrcs magiques (de 3^ à 9^) qu'il attribue
aux se|)t planètes et appelle /)/«//(;ii7/;-e.f. Il parait les avoir empruntés à Agrippa de Nettes-
heym (De occulta pldlosnphia. Cologne, i533).

XXVIII Us. - 1" AVRIL 1C40. 193

En voici trois autres que j'ai choisis parmi plusieurs que ma mé-
thode enseigne :

1 1

•i>.

9

■iO

3

1 1

24

17

10

9

12

23

G

19

3

'2

■'.

2")

H

lO

4

12

ij

18

6

5

1 1

■>4

8

17

19

5

i3

21

7

7

5

i3

21

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iG

4

i3

■>.2

10

10

i«

I

r.î

■>.',

■'.0

8

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22

9

18

2

1 j

21

■2!

0

[7

4

i5

23

iG

9

2

i5

23

7

20

I

14

Il range le 3G à tâtons d'une seule façon, comme s'ensuit :

G 32 3 34 35 I

7 II 27 28 8 3o

19 1 i iG i5 23 >4
18 20 22 21 17 i3
2 3 29 10 g 2G 12
3fi 5 33 4 2 3i

En voici une aulro parmi plusieurs que ma méthode fournit; si le
temps ne me manquoit, je vous en envoierois demi-douzaine :

5 3i 4 33 3G 2

14 18 22 21 1 3 23

2G 7 9 10 3o 29

II 25 27 28 12 8

20 24 i5 iG 19 17
35 G 34 3 i 32

Mais, parce qu'on pourroit croire que la règle n'a qu'un seul
exemple, lorsque les diamétraux demeurent les mêmes, voici qui fait
voir le contraire : c'est un exemple de ma méthode du 04, différent de
celui de Bachet, et qui garde néanmoins les diamétraux :

I 7 G Go Gi 59 58 8

iG 10 5i 32 33 54 i5 9

17 47 19 43 4i 22 18 4«

40 31 38 28 29 27 3i 33
32 2G 3o 36 37 33 39 2J

41 23 43 21 20 4^ 42 24
3G 5o II i3 12 14 55 49
57 63 62 5 4 3 2 64

Fermât. — M. 'iO

19i (i: l V 11 K s 1) K F K n M Al". — (". O U U K S l' ON DAN CE.

E» voilà assez pour donner de l'exercice à M. Krcnicle, car je ne
sais guère rien de plus beau en l'Arillunétique que ces nombres que
quelques uns appellent planclarios, et les autres wa^/co*; et do fait j'ai
vu plusieurs talismans, oii quelques uns de ces (juarrés rangés de la
sorte sont décrits, et parmi plusieurs un grand, d'argent, qui conlient
le '19 rangé selon la méthode de Bachot, ce qui t'ait croire (]ue personne
n'a encore connu la générale ni le nombre des solutions qui peuvent
arriver ;i chaque quarré.

Si la chose est sue à Paris, vous m'en éclaircircz; en tout cas, je ne la
dois qu'à moi seul.

Je suis etc.

XXXIX.

FERMAT A MERSENNE (').
< MAI? levo >

(B, f» 6 v°.)

1- Je trouve plusieurs abrégés pour trouver les nombres parfaits (■)
et je dis par avance qu'il n'y en a aucun de 20 ni do 21 caractères, ce
qui détruit l'opinion de ceux qui avoient cru qu'il y en avoit un dans
l'enceinte de chaque dixaine; comme un depuis i jusques à 10, un
autre depuis 10 jusques à 100, un autre depuis 100 jusques à 1000, etc.
(le qui n'est pas vrai, comme il paraît par cet exemple; car depuis
10 000 000 000 000 000 000 jusques à la dixaine suivante, il n'y en a
pas un. ni d(qniis la suivante à la prochaine non plus.

2. Je passe à ma proposition (^) de ranger les quarrés. Vous pouvez
vous assurer que j'en possède absolument la méthode, aussi bien que

(') Ce fragment inôdit, de dalc inccrUiino, semble avoir fait partie d'une Lettre envoyée
à Mersenne par Fermât avant qu'il en eût reçu la réponse de Frenicle à la précédente.
(S) Foir Lettre XXX VIII, 8. — Comparer ci-après Lettre XL. 6.
(3) Comparer Lettres XXXVIII bis, 7, et XL, 2.

XL. - JUIN 1640. 195

(■L'IIo (les cubes, et pour vous montrer jusques où va la connaissance
que j'en ai, le quarré de 8, qui est G4, se peut disposer en autant de
façons différentes, et non plus, qu'il y a d'unités en ce nombre

1 oo4 144995344,

ce qui sans doute vous effraiera, puisque Hachet et les autres que j'ai
vus n'en donnent qu'une seule.

Je rangerai de même tous les quarrés et cubes à l'infini et détermi-
nerai en combien de façons et non plus, avec la démonstration.

3. Pour savoir si M. Frenicle ne procède point par tables, proposez
lui (') de

Tromper un triangle rectangle duquel i aire soit un nombre quarré ;
Trouver deux quarréquarrés desquels la somme soit quarrcquarrée ;
Trouver quatre quarrés en proportion arithmétique continue ;
Trouver deux cubes desquels la somme soit cube;

S'il vous répond que jusques ii un certain nombre de cliilfres il a
éprouvé que ces questions ne trouvent point de solution, assurez-vous
qu'il procède par tables.

XL.
FERMAT A ÎMKRSENNK.

< JUIN? ICVO. >

(r„, p. ,7(5-, 78.)

iMox RicvÉUEND Pi':r\E,

1. J'ai reçu avec grande satisfaction votre lettre accompagnée de
cylle (-) de M. Frenicle, qui me confirme en l'estime que je faisois de

(') P'oir LcUre XII, 2, où Format proposait déjà à Sainte-Croix trois de ces problèmes
Impossibles, et un dernier analoij;ue au troisième de la présente.
(-) En réponse à la Lcttie XXXVIll his.

1% GÎUVRES DE FERMAT.- COHllESPONDANCE.

lui. .l'y ropoiuls suoc'mcliMucnt et [trcinièrcnicnl, sur ce (|ii'il a douU'
que j'eusse uue méthode générale pour ranger fous les quarrés pairs à
l'intini. Je vous prie de l'assurci' du contraire, car il est très certain
(|u'il y a plus de dix ans que je la découvris et en donnai di's lors des
exemples sur des quarrés |)Ius liants que ceux de Bacliet, comme
M. Despagnet vous ponrroil témoigner.

2. Il est vrai que je n'avois pas songé de déterminer exactement en
combien de façons ces quarrés pouvoient être ordonnés, et j'avoue que
je n'avois pas vu toutes les manières qui y conduisent, puisque je dou-
tois même que l(> quarré put demeurer magique en levant une seule
enceinte ('); mais, ayant trouvé une règle pour les ordonner en beau-
coup de fiH'ons, je crus qu'elle les contenoit toutes, ce qui me semble
excusable, puisque je vous envoyai ma Lettre aussitôt après la première
méditation que j'eus fait sur ce sujet.

3. Depuis que j'ai reçu la dernière de M. Frenicle, j'ai aussitôt dé-
couvert que la question du quarré de 22 étoit de ma portée et, pource
que l'opération seroit trop longue qui consiste à ranger le quarré de
22 en telle sorte que, levant trois enceintes, il reste magique, et du
restant encore deux et qu'il demeure magique, et puis une seule du
reste à la même condition, je me contenterai pour ce coup de vous en-
voyer le carré qui reste après les trois premijères et les deux secondes
enceintes ôtées, daqu(d si vous levez une seule enceinte, le reste de-
meure magique, comme vous verrez.

Pource que le temps me manque, je diffère à vous envoyer les cinq
enceintes qui manquent pour parfaire le quarré entier de 22, jusques
au départ du prochain courrier (-).

Après cela vous devez croire que, dès que j'aurai loisir, j'irai aussi
avant sur ce sujet qu'il est possible.

(') Comparer Lettres XXXVIII bà, 6 cl 7, et XXXIX, 2.

(') La Lettre ainsi annoncée l'ait défaut.

XL. - JUIN 16i0.

li>-

12-

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120

125

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3G2

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3GG

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i3S

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3i8

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280

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275

21 1

210

209

208

278

279

20 5

21 5

248

227

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23o

232

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257

2 38

237

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228

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232

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2 54

253

234

235

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259

204

214

206

207

•^77

27G

273

274

212

2l3

271

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3oo

189

188

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296

295

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3o3

171

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323

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1G6

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170

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336
358

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123

122

121

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i"9

367

368

4. Pour ce qui est des cubes ('), je n'eu sais pas plus que M. Fre-
nicle, mais pourtant je puis les ranger tous à la charge que les diago-
nales seules des quarrés que nous pouvons supposer parallèles à l'ho-
rizon seront égales aux côtés des quarrés, ce qui n'est pas peu de
chose, en attendant qu'une plus longue méditation découvre le reste.
Je dresserai celui de 8, 10 et 12 à ces conditions, si M. Frenicle me
l'ordonne.

5. Pour les quarrés qui ont des cellules vides (-), j'y travaillerai au
plus tôt.

6. Ce que j'estime le plus est l'abrégé (') pour l'invention des
nombres parAiits, à quoi je suis résolu de m'attacher, si M. Frenicle
ne me fait part de sa méthode.

(') rnir Lettre XXXVIH bis, 8.
(2) roi> Lettre XXXVIII, 4.
(') foj> LeUre XXXIX, 1.

198 ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE.

Voici trois propositions (|ue j"ai trouvées, sur lesquelles j'espère de
l'aire un t;ran(l bâtiment :

Les nombres moindres de l'unité que ceux (|ui |»rocèdent de la pro-
jjtrcssion double, comme

l 2 3 l s C 7 S 0 10 II 12 13

I 3 - I.") 3i G3 12- ajj ; H I loaS 20/17 4o95 8191 etc.,

soient appelés les radicaux des nombres parfaits, pource que, toutes
les lois qu'ils sont premiers, ils les produisent. Mettez, au dessus de
ces nombres, autant en progression naturelle : i, 2, 3, 4. 5, etc. qui
soient appelés leurs exposants.

(icla supposé, je dis que :

1° Lorsque l'exposant d'un nombre radical est composé, son radical
est aussi composé. Comme, parce que G, exposant de 63, est composé,
je dis que 63 est aussi composé.

2" Lorsque l'exposant est nombre premier, je dis que son radical
moins l'unité est mesuré par le double de l'exposant. Comme, parce
que 7, exposant de 127, est nombre premier, je dis que 126 est mul-
tiple de i4-

3" Lorsque l'exposant est nombre premier, je dis que son radical ne
peut être mesuré par aucun nombre premier que par ceux qui sont
plus grands de l'unité qu'un multiple du double de l'exposant ou que
le double de l'exposant. (]omme, parce que 11, exposant de 2047, est
nombre premier, je dis qu'il ne peut être mesuré que par un nombre
plus grand de l'unité que 22, comme 23, ou bien })ar un nombre plus
grand de l'unité qu'un multiple de 22 : en effet 2047 n'est mesuré que
par 23 ou par 89, duquel, si vous ôlez l'unité, reste 88, multiple
de 22.

Voilà trois fort belles propositions que j'ai trouvées et prouvées non
sans peine : je les puis appeler les fondements de l'invention des
nombres parfaits. Je ne doute pas que M. Frenicle ne soit allé plus
avant, mais je ne fais que commencer, et sans doute ces propositions
passeront pour très belles dans l'esprit deceux qui n'ont pas beaucoup

XLI. - 4 AOUT 16i0. 199

épluché CCS malières, et je serai bien aise d'apprendre le senliment
de M. de Roberval.

7. Au reste, vous ou moi avons équivoque de quelques caracti'res
au nombre que j'avois cru parfait ('), ce que vous connoîtrez aisé-
ment puisque je vous baillois 1 37 _Y38 953471 pour son radical, lequel
j'ai pourtant depuis trouvé, par l'abrégé tiré de ma troisième propo-
sition, être divisible par 223; ce que j'ai connu à la seconde division
que j'ai faite, car, l'exposant dudit radical étant 3;, duquel le double
est 74. j'ai commencé mes divisions par 149. plus grand de l'unité que
le double de 74; puis, continuant par 223, plus grand de l'unité que
le triple de 74, j'ai trouvé que ledit radical est multiple de 223.

De ces abrégés j'en vois déjà naitre un grand nombre d'autres et jni
par di veder un gran liane.

Je vous entretiendrai un jour de mon progrès, si M. Frenicle me
vient au secours et m'abrège par ce moyen ma recherche des abrégés.
En tout cas, je vous conjure de faire en sorte que M. de Roberval joigne
son travail au mien, puisque je me trouve pressé de beaucoup d'occu-
pations qui ne me laissent que fort peu de temps à vaquer à ces
choses.

Je suis etc.

XLI.
ROBERVAL A FER:\IAT.

SAMEDI 4 AOUT 16iO.

( /"rt, p. i65-iG6.)

Monsieur,

1. Encore que depuis près de trois ans je n'aie eu l'honneur d'a-
voir commerce avec vous, je n'ai pourtant pas été privé entièrement

(') Probablement dans la partie perdue de la Lettre XXXIX.

200 ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE.

du plaisir ([iio jo reçois de vos spéculations mathémati(juos, car le Père
.Mersenne m'a t'ait la faveur de me communiquer la plupart des lettres
(|u'il a reçues de vous depuis ce temps là, dans lesquelles j'ai reconnu
une augmentation continuelle e( très sensible en la heaulé et solidité
de vos pensées, auxquelles il n'y a rien que d'admirable, soit sur le
sujet de la Géoniéirie ou de l'Arithmétique.

2. Sur tout je suis ravi de votre invention de minimis et maximis et
du moyen (^ ' ") par lequel vous l'appliquez à la recherche des tou-
(dianles des lignes courbes, et ne crois pas que jusques ici il se soit vu
rien sur ce sujet qui ne cédât de beaucoup à ce que vous nous en avez
donné. Car l'invention de M. Descartes, à laquelle j'assigne le premier
lieu après la vôtre, n'en approche que de bien loin, parce que, quoi-
qu'elle puisse être rendue universelle, ce qu'il n'a pas fait et le pourra
maintenant à l'imitation de votre dernière addition, toutefois elle est
sans comparaison plus longue, plus embarrassée et plus difficile.

3. Je vous dirai que j'ai d'autant plus admiré votre invention qu'à
peine croyois-je que, pour trouver les touchantes des lignes courbes
tjui n'ont rapport qu'à d'autres courbes ou partie à des droites et partie
à des courbes, on pût s'en servir, ce que M. Descartes avoue de la
sienne sur le sujet de la roulette et autres lignes pareilles, lesquelles
pour cette considération il rejette de la Géométrie (-) : sans raison,
puisqu'à l'imitation de votre dernière addition, sa méthode peut être
rendue universelle comme la vôtre, mais avec une difticulté, laquelle
bien souvent ne se pourroit presque surmonter par un esprit humain.

4. Cette opinion fut cause que, quand je vis que vous aviez trouvé
les touchantes de la roulette (') et que vous assuriez avoir la règle uni-
verselle pour toutes les lignes courbes, je crus qu'elle ne pouvoit être
autre que celle que j'avois inventée au temps même que j'inventai
cette roulette, laquelle règle ou méthode je n'avois encore commu-

(•) Voir le Traité Doctriiiam la/igeiitiiim. Tome I, pages i58 à 167.
(-) Géométrie de Descartes, éd. llcrmann, l'aris, 1886, page iG.
(») Voir Lettre XXXIV, 2.

\L1. - i AOUT IGiO. :20l

niqnée à personne, ni'étant contenté d'en avoir démontré les eli'ets à
.Al. Pascal en la tangente de la quadralrice qui se trouvoit des plus dit'ti-
ciles, y joignant la démonstration géométrique, comme a fait Archi-
mède en celle de la spirale, laquelle par ma méthode s'expédie en deux
mots.

5. .Favois fait la même chose en la cissou/e et avois démontré, de
plus, que ces deux lignes courhes sont infinies de leur nature et oui
(les asymptotes parallèles entre elles ('), ce qu'on m'a assuré avoir
été déjà démontré par un auteur dont on ne m'a pu dire le nom.

6. .l'ai aussi démontré le.s tangentes des lignes courhes (|ui se
décrivent avec un compas sur la superficie d'un cylindre, |)uis se
réduisent en plan, et en général celles de toutes les courhes ([ui oui
pu venir à ma connoissance; et cette méthode est tellement différente
de la votre (contre ma première opinion) qu'elles ne se ressemhicnl
en lien qu'en la conclusion.

T- Depuis, M. Mydorge faisant quelques difficultés sur la vùlre, je
lui en donnai la solution, et en même temps je lui ouvris les principes
de la mienne et lui en fis voir un essai en la cissoide. Si je sais (|uc
vous l'ayez agréahle, je vous en écrirai. Elle n'est pas inventée avec
une si suhtile et si profonde géométrie que la votre ou celle de 31. Des-
cartes et, partant, elle paroît avec m'oins d'artitice; en récompense,
elle me semhle plus simple, plus naturelle et plus courte, de sorte
(|ue, pour toutes les touchantes dont j'ai parlé, il ne m'a pas même
été hesoin de mettre la main ii la plume.

8. Depuis cette invention, je me suis appliqué aux lieux solides (t</
ires et ad qualuor lineas, lesquels j'ai entièrement restitués, quoique,
pour n'y rien oublier, il ne faille guère moins de discours qu'aux six

(') Roberval semble avoir considéré la cissoide Qomma comprenant la courbe symé-
trique que l'on obtient en cliangeanl le signe de x dans l'équation _)2(a — x) = (ft-f-.r)'.
Il est probable que les anciens entendaient également dans le môme sens leur définition
de cette courbe, mais, pas plus que pour la quadratrice. ils n'avaient considéré les branches
en dehors du cercle .r^-h r-= «2.

Fermât. ■ — I[. 26

•20-2 (KrVHKS 1)K !• K I! M VT. - CO I! IIKS l'ONDA N CK.

[ircmiiM's Livres tlos Klcinoiils. C/csl de qni»i je vous ciilrcliiMKli'ai une
autre t'ois, parte (|ii'il va quelque chose qui me semble le mériter.

9. ensuite j'ai considéré la percussion, le mouvement et les autres
ellets que cause quelque impression, soit violente ou naturelle, en quoi
je ne crois pas avoir mal employé le temps, puisqu'en une matière si
épineuse, encore ni-je découvert quel(|uc cliose de grande utilité, à ce
(|uc je pense, et laquelle je [)ourrai [leul-élre augmenter avec le
temps.

10- J'oubliois presqiu' à vous dire que les nombres, dont vous avez
déjà découvert des propriétés admirables, contiennent de grands mys-
tères; mais, pour les mieux découvrir, il i'audroit être plusieurs
ensemble, d'accord et sans jalousie, et desquels le génie fût naturelle-
ment porté à cette spéculation, ce qui est très dllficile à rencontrer.
Si ce sujet vous plail, ou quel(|u'un de ceux dont j'ai [)arlé ci-dessus,
je prendrai aussi plaisir à le considérer plus |)articulii'remenl, espé-
rant que vous me l'erez part de vos inventions, de quoi je vous supplie
en ([iialité de etc.

XLll.
FERMAT A R015ERYAL.

< AOUT lOVO >
( >^a, p. iGi-iCi.)

3lo.Nsu;i:u,

1- Après vous avoir remercié de vos civilités (') et protesté que
je serai ravi d'avoir des occasions à vous plaire, je vous supplierai de
me faire part de votre invention sur le sujet des tangentes des ligiu^s
courbes et encore de vos spéculations méclianiques sur la percussion,

(') Réponse ;i la Lollip |)réc,é(ioMli'. XI,I.

XLII. - AOUT IGiO. 203

[)uis(jue vous me faites espérer la commmiiratioii de vos pensées en
retle matière.

2. Après cela, je vous dirai que M. Frenicle m'a donné depuis
(|uelque temps l'envie de découvrir les mystères des nombres, en quoi
il me semble qu'il est extrêmement versé. Je lui ai envoyé (') les belles
pro|)Ositions sur les progressions géométriques qui commencent à
l'unité, lesquelles j'ai non seulement trouvées, mais encore démon-
trées, bien que la démonstration en soit assez cachée, ce que je vous
prie d'essayer, puisque vous les avez vues.

3. Mais voici ce (|ue j'ai découvert (-) depuis sur le sujet de la pro-
position 12 du cinquième Livre de Diophantc, en quoi j'ai suppléé ce
que Bacliet avoue n'avoir pas su, et rétabli en même temps la corrup-
tion du texte de Diophantc, ce qui seroit trop long à vous déduire. Il
suffit que je vous donne ma proposition et que je vous fasse plutôt sou-
venir que j'ai autrefois démontré (^) quun nombre moindre de l'unité
(jn' un multiple du quaternaire n'est niquarré, ni composé de deux q narrés .
ni en entiers ni en fractions. J'en demeurai pour lors lii, bien qu'il y ail
beaucoup de nombres plus grands de l'unité qu'un multiple du quater-
naire, qui pourtant ne sont ni quarrés, ni composés de deux quarrés,
comme 2f , 33, 77, etc., ce qui a fait dire à Bachet sur la division pro-
posée de 21 en deux quarrés : quod quidem impossihile est, ut reor, cîini
is neque quadratus sit, neque suapte natura cumpositus e.r duohus qua-
dratis, où le mot de reor marque évidemment qu'il n'a point su la
démonstration de cette impossibilité, laquelle j'ai enfin trouvée et
comprise généralement dans la proposition suivante :

4. Si un nombre donné est divisé par le plus grand quarré qui le me-
sure, et que le quotient se trouw mesuré par un nombre premier moindre

( ' ) J'oir LeUrc XL, 6.

( 2 ) f'oir Tome I, Observationx XXV et XXVI sur Dioplianle.

( 3) Celte proposition avait été, en même temps que le second théorème énoncé Lettre XII,
3, envoyée par Merscnne à Deseartes, le 22 mars i638, comme démontrée par Fermât.

■2o\ (i:i \ ur.s i)K ri:i!M \i". - cor.KKSi'OM) wci:.

(/(' l'ii/iilc (jit'itn multiple du (/iid/cniairc. le noDibrc donne n'est m (/iKirrè.
ni compose de deux qaarrès. ni en e/itiers. ni en fractions.

Exemple : Soit donni' H'i. Le plus grand (luarri' qui io mesure est 1,
le (|uotieiU ■^\, l(M|uel est mesuré par > ou bien par 7, moindres de
l'unité qu'un multiple de i. Je dis que S\ n'est ni quarré, ni composé
de deux quarrés, ni en entiers, ni en IVai'lions.

Soit donné 77. Le plus grand quarré (jui le mesure est l'unité; le
(|U(i(ient 77, (|ui est iei le même que le nombre donné, se trouve me-
suré par 11 (111 |tar 7, moindres de l'unilé qu'un multiple du ([uater-
naire. .le dis (|ue 77 n'est ni (|uai'ré, ni composé de deux quarrés, ni en
entiers ni en fractions. Etc.

Je vous avoue franchement que je n'ai rien trouvé en nombres qui
m'ait tant plu que la démonstration de cette proposition, et je serai
bien aise que vous fassiez clfort de la trouver, quand ce ne seroit que
jMiur apprendre si j'estime plus mon invention qu'elle ne vaut.

5. J'ai démontré ensuite cette j)roposition, qui sert à l'invention des
nombres premiers :

.*n/ ///; nombre est conipose de deux f/i/arre's pre/niers entre eux. Je dis
(pi il ne peut être divisé par aucun nond>re premier moindre de t' unité
(péun multiple du quaternaire.

Comme, par exemple, ajoutez l'unilé, si vous voulez, à un quarré
paii', soit le quarré 10 oooooo 000, lequcd avec i fait 10 000 000 001 .
Je dis que 10 000 000 001 ne peut être divisé par aucun nombre pre-
mier moindre de l'unité qu'un multiple de 4. <'l îiiusi, lorsque vous
vomirez éprouver s'il est nombre premier, il ne faudi-a point le diviser
ni par '5, ni par 7, ni par i t, etc.

6. Si ne fanl-il pas oublier tout ii fait la (léoim'trie. Voici ce ((ii'on
m'a proposé et que j'ai trouvé tout aussitôt :

l'er dut uni extra rel intra parabole» punetum. rectum diieere ipiiv
abscindat segment uni a parabole U'ipude data spalio. lit. si pu/icliim sit

\LI1I. — AOUT 1G40. 203

mira peu abolen, dcterminare nnniinian (juod a parabole per chcluin punc-
liim abscindi possit spatium.

Si vous ne rencontrez pas d'abord la construction, je vous forai part
de la mienne.

J'attends de vos nouvelles et suis etc.

XLllI.
FERMAT A 1RENICLE(M.

< AOUT? 1640 >

(A, {■>/,.)

1. Soit par exemple la proijression double depuis le binaire avec ses
exposants au-dessus :

1 2 3 1 ô 6 7 8 9 m 11 12 13 1'. lô 1;

3 4 8 1(3 33 6'| 138 356 5i3 1034 3o',8 '|Oi)(i 8ir,>. i638', 83768 i\:',yM\

,1e dis que, si vous augmentez les nombres de la progressinn de
l'unité, et que vous fassiez '\, "), 9, 17, etc., tous les dits nombres |)ro-
gressifs ainsi augmentés, qui se trouveront avoir pour exposants des
nombres qui ne sont pas de la dite progression double, seront nombres
composés.

2. Rien qu'on puisse faire une anatomie particulière qui est trop
longue à décrire, il suffit de vous faire comprendre, dans l'exemple
qui suit, la proposition que j'y ai faite :

Soit le nombre progressif augmenté de l'unité Hi()3, duquel rex[)o-
sant est i3 nombre premier. Je dis que, si vous divisez 8193 par 5, le

(') Fragment publié [lar.M. Ch. Wanr)' (Recherches etc., p. 192-193) d'après le brouillon
(l'Arbogast. Il porte sur la copie au net le titre : Sur tes nombres premiers de Fernuit à
Frenicle, et la mention : D'après In copie de Mersenne.

■im ŒUVRES l)K ri'UM \T. - COItHKSPONDANCK.

(|iiiiliiMi( ne poiiiTa vive divisé (|ii(' par un iioiiihrc (|iii surpasse do l'u-
nili' ou \c doubli' de i i oxposaul snsilil, ou un nailtipk' dudit doiildc
Av 1 ). fie, il l'intini.

Que si l'exposanl csl un nomltrc coiuposô, (|ui pourlanL ne soil pas
un do coux do la prOii;rossion douhlo, jo puis Irouvor (ous les diviseurs
fort aiséinoiit.

3. Mais voici ce que j'aduiiro le plus : c'est que je suis quasi |)or-
suadé (' ) que tous les nombres progressifs augmentés de l'unité, des-
(]U(ds les exposants sont dos nombres de la progression double, sont
nombres premiers, comme

3 5 17 207 65537 4291967297

cl le suivant de 20 lettres

I s 4'|6 7 '|4 073 709 55 1 6 1 7 ; olc.

.le n'en ai pas la démonstration exacte, mais j'ai exelu si grande
quantité de diviseurs par démonstrations ini'aillibles, et j'ai de si
grandes lumii'res, qui établissent ma [)enséo, (juc j'aurois peine à me
dédii'c.

XLIV.

FKKMAT A FRENICI.E.

jECDi 18 ocTOBnr, IG'tO.

( f'tl, p. lG2-l(i'|. )

Mo^•sIEUR,

1- Les vacations, qui m'ont éloigné de Toulouse, m'ont en mémo
temps éloigru' de mon devoir et empêché de vous écrire plus tôt depuis

( ') C'csl l;i le plus ancien énoncé donné par Fermât de la célèbre iiroposiliim dont Eidcr
a reconnu la fausseté, f'oir Tome I, page i3i, note i. Le sixième nombre ( -232 + 1) indi(iué
ici par Fermai comme premier est divisible |)ar 641. Le septième (2'''''+ i) est divisible
par 27 i 1-7.

XLIV. - 18 OCTOBRE 1040. 207

la dernière de vos lettres en date du 21 septembre ('). Je tâcherai de
réparer par celle-ci la longueur de l'attente et commencerai par la
liberté que je prends de vous dire que je n'ai point vu encore aucune
proposition de votre part que je n'eusse plus tôt trouvée et consi-
dérée; et afin de vous rendre vous-même juge de cette vérité, et vous
oter en même temps le scrupule que vous pourriez avoir, que je n'en
use comme quelqu'un de ceux du lieu où vous êtes, qui s'attribue
impunément les inventions d'autrui, après qu'elles lui ont été com-
muniquées, je commencerai par la proposition (-) de la différence de
deux quarrés, que vous trouverez dans Bacliet sur le Diophante, au
commentaire de la proposition U du deuxième Livre, en même façon
que vous me l'avez envoyée, vous avouant pourtant que l'application,
que j'estime beaucoup, est toute vôtre et que je l'ai apprise de vous.

2. Pour le sujet desprogressions, je vousavois envoyé par avance ('j
les propositions qui servent à déterminer les parties des puissances — i ,
et, par ma seconde Lettre ('), jevous avois fait comprendre que j'avois
considéré toutes les propositions qui servent aux puissances + i, de
quoi je m'étois contenté de vous donner deux exemples, dont l'un étoit
démontré par moi et par conséquent connu nécessairement, et l'autre
ne m'étoit point entièrement connu par raison démonstrative, bien
que je vous assurasse que je n'en doutais pas.

Or, pour venir ii la connoissance de ce dernier, quoiqu'imparfaile
encore et non achevée, je ne le pouvois sans avoir plus tôt examiné
et prouvé par démonstrations toutes leurs propositions contenues en
votre dernière, ce que vous n'aurez nulle peine de croire, puisque le
seul exemple que je vous envoyai le marquoit assez, auquel j'ajou(ois
qu'en toutes progressions on pouvoit déterminer les diviseurs com-
muns et généraux avec pareille aisance.

Mais je vous avoue tout net (car par avance je vous avertis que,

(• ) Lettre perdue.

(-) Construction do deux carrés entiers ayant une difTérencc donnée.

(3) Voir Lettre XL, 6.

C') Lettre XLIIL

-208 (KIIVKKS ni: ri:U.M\T. — COUUESl'ONDANCK.

(•(iinnit' jo no suis pas capal)Io dr m'a((ril)ucr plus quo je ne sais, je
(lis avec mémo franohiso oo (]uo jo uo sais pas) quo jo n'ai pu oiicoro
(lomonfror l'oxclusion do tous diviseurs ou cctiL' hoUe proposition quo
jo vous avois onvoyoo o( quo vous m'avoz ooufirméo, touchant los
nomhros 3, j, 17, ■2''i~, G"}")']-, otc. Car, hiou quo jo rôduiso l'oxclu-
sion il la plupart dos nombres et quo j'aie nionio dos raisons probables
pour le reste, je n'ai \)u oncore démontrer nécessairement la vérité do
coite proposition, dv laqiu'lio pourtant jo no doute non plus à cette
heure (|ne jo faisois auparavant. Si vous on avez la prouve assurée,
vous m'obligerez do me la communi()uor; car, après cola, rien ne
m'arrêtera on ces matii'res.

3. Reste il vous parler de la proposition fondamentale des parties
aliquotos, laquelle m'étoit tellement connue quo jo vous l'avois en-
voyée par la première lettre que je vous écrivis ('), laquelle on m'a
dit depuis s'être égarée. Pourtant, si le Père Mcrsonne veut prendre le
soin do la faire cliorcber dans le bureau de la poste, elle se trouvera
dans un paquet que j'adressois à M. ... (- ).

Outre quo cette proposition est si naturelle, qu'il est impossible de
déterminer et de trouver la moindre chose sur ce sujet, qu'elle ne se
présente d'abord; do sorte qu'ayant depuis fort longtemps trouvé et
envoyé les propositions des deux nombres 17 296 et i8 4i<^) et autres
|)areilles ('j, il falloil par nécessité que j'eusse passé par la dite pro-
position.

Pour votre application, il me semble qu'elle u'ôte ])as la longueur
que je trouvois en cette sorte de questions, qui est la seule dilficulté
que j'y ai toujours reconnue; sinon que je ne l'aie pas bien comprise,
de quoi jo vous pi'io m'avortir et me rendre certain.

4. Il me semble après cela qu'il m'im|)orte do vous dire le fondo-

('; Lellre perdue, ijui doit avoir oLc écrilo entre los l^oltres XI. el XLIII.

(2) Carcavi?

(') f^'oir Pièce IVa-

XLIV. — 18 OCTOBRE 1G40. 209

ment sur lequel j'appuie les démonstrations de tout ce qui concerne
les progressions géométriques, qui est tel :

Tout nombre premier (') mesure infailliblement une des puis-
sances — I de quelque progression que ce soit, et l'exposant de la
dite puissance est sous-multiple du nombre premier donné — i; et,
après qu'on a trouvé la première puissance qui satisfait à la question,
toutes celles dont les exposants sont multiples de l'exposant de la pre-
mière satisfont tout de même à la question.

Exemple : soit la progression donnée

1 2 3 i 5 «

3 9 2- 8i 243 729 etc.

avec ses exposants en dessus.

Prenez, par exemple, le nombre premier i3. Il mesure la (roisièmc
puissance — i, de laquelle 3, exposant, est sous-multiple de 12, qui
ost moindre de l'unité que le nombre i3, et parce que l'exposant
de ';2(), qui est G, est multiple du premier exposant, qui est 3, il s'en-
suit que i3 mesure aussi la dite puissance 729 — i.

Et cette proposition est généralement vraie en toutes progressions
et en tous nombres premiers; de quoi je vous envoierois la démonstra-
tion, si je n'appréhendois d'être trop long.

5. .Mais il n'est pas vrai que tout nombre premier mesure une puis-
sance + I en toute sorte de progressions : car, si la première puis-
sance — I, qui est mesurée par le dit nombre premier, a pour expo-
sant un nombre impair, en ce cas il n'y a aucune puissance -f- i dans
toute la progression qui soit mesurée par le dit nombre premier.

Exemple : parce qu'en la progression double, 23 mesure la puis-
sance — I qui a pour exposant it. le dit nombre 23 ne mesurera
aucune puissance -+■ 1 de la dite progression à l'infini.

Que si la première puissance — i qui est mesurée par le nombre

(') C'csl de cet énoncé qu'a été tirée la proposition connue sous le nom de Théorcnie
de Fermât, à savoir que si p est premier et ne divise pas a, il divise «''-' — i.

Feiimat. — ■ n. 27

210 ŒUVRES DE FEUMVI. - (.OIUIE SI'ONDANCE.

premior doniu' ;i pour cxposaiil un iiomhrc pair, en ro cas la piiis-
sanoo -t- I (|iii a |)oiir ('X|)osaii( la nioilir diulil prciuior exposant sera
Mipsuri'c par le nombre |)reniier donné.

6. Tonle la diltienllé consiste à trouver les nombres ])reniiers qni
no mesurent aucune j)uissance 4- i en une progression donnée : car
cela sort, par exemple, à trouver quels des nombres premiers mesurent
les radicaux des nombres parfaits et ii mille autres choses, comme, par
(«xeniple, d'où vieni que la ']-'' puissance — i en la progression double
est mesurée par -i-i']. Kn un mot, il faut déterminer quels nombres |)r('-
miers sont ceux qui mesnrent leur premiî're puissance — i en telle
sorte que l'exposant de la dite puissance soil un nombre impair, ce
que j'estime fort malaisé, en attendant un plus grand éclaircissement
de votre part et qu'il vous plaise d'étendre cet endroit de votre lettre,
oii vous dites qu'après avoir trouvé que le diviseur doit être multiple
+ I de l'exposant, il y a aussi des règles pour trouver le quantième
des dits multiples + i de l'exposant doit être le diviseur.

7. Voici une mienne proposition (que peut-être vous aurez aussi
Irouvée) que j'estime beaucoup, bien qu'elle ne découvre pas tout ce
([ue je cherche, que sans do.ute j'achèverai d'apprendre de vous :

En la progression double, si d'un nombre quarré, généralement
parlant, vous ôlez 2 ou 8 ou j2 etc., les nombres premiers moindres
de l'unité qu'un multiple du quaternaire, qui mesureront le reste,
feront l'effet requis.

(Zomme de 2j, qui est un quarré, ôtez 2; le reste 2! mesurera la
I 1*^ puissance — i.

Otez 2 de \r), le reste '17 mesurera la 23" puissance — r.

Otez 2 de 22j, le reste 223 mesurera la 37* puissance — i ; etc.

Kn la progression triple, si d'un nombre quarré ut supra vous (Mez
3 ou 27 ou 2'|3 etc., les nombres premiers moindres de l'unité qu'un
multiple du quaternaire, qui mesureront le reste, feront l'elfet requis.
Comme :

Otez 3 de 2"), le reste 22 est divisé par it, qui est premier et

XLIV. — 18 () CTO BUE IGVO. 211

moindre de riiiiilé qu'un multiple du quaternaire; aussi ii mesure
la j" puissance — i .

Otez 3 de 121; le reste 118 est mesuré par 09 moindre de l'unité
qu'un multiple du quaternaire; aussi .^9 mesure la 29* puissance — i.

En la progression quadruple, il faut ôter ] ou Cy\ ou 102I, etc. à
l'infini en toutes progressions, en procédant de même façon.

8. J'ajouterai encore cette petite proposition.

Si d'un quarré vous ùtez 2, le reste ne peut être divisé par aucun
nombre premier qui surpasse un quarré de 2.

Comme prenez pour quarré loooooo, duquel, ùté 2, reste 999998.
Je dis que le dit reste ne peut être divisé ni par i 1 , ni par 83, ni par
227 etc. ,

Vous pouvez éprouver la même règle aux quarrés impairs et, si je
voulois, je vous la rcndrois belle et générale; mais je me contente de
vous l'avoir indiquée seulement.

9- Avant que finir, voici une autre proposition, laquelle vous four-
nira peut-être quelque application, comme vous y êtes très heureux.

Si un nombre est mesuré par un autre et que le nombre divisé soif
encore divisé par un autre nombre moindre que le premier diviseur,
en ce cas, si vous otez du quotient de la seconde division, multiplié
par la dillerenccdcs deux diviseurs, le reste de la seconde division, ce
qui restera sera mesuré par le premier diviseur ( ' ).

Exemple : 121 est mesuré par 1 1. Divisez encore 121 par 7; le (]uo-
liiMil sera 17 et le reste de la division 2.

Multipliez le quotient 17 par '\, différence du premier et du second
diviseur, et du produit G8 ôtez-en 2; reste OG ([ui sera aussi mesuré
par I I, premier diviseur.

10. Que si le second diviseur est plus grand que le premier, en ce

( ' ) C'cst-ù-diro que si l'on a

. a = bq = l>tq, + r,

si l'on a /' >/'!, b di\ ise r/, (i — i, 1 — r. Si au conlraire li '. h[, h d'wisu (/[(bi — f') -i- r.

:>12 ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

«■as, si vous ajoultv. au (|U(tliiMil de la sccoudc divisiou, multiplié par
la (lillÏTouco di's deux diviseurs, le rcslo de la seconde division, ce
(|ui restera sera mesuré par le premier diviseur.

Exemple : 117 est mesuré par 3. Divisez encore 1 17 par 'j ; le (|uo-
ticnt sera 29 el le reste de la division i.

Ajoutez au quotient -n^, multiplié par la dilTéronce des diviseurs
( (]ui ne change ici rien, parce que c'est l'unité), le reste de la dite
division, qui est i; la somme 3o sera aussi mesurée par 3, premier
diviseur.

J'ai déjii trop écrit et il me semble qu'il est temps que vous parliez,
après avoir employé si mal votre temps à lire cette longue lettre, ([ui
vous confirmera que je suis etc.

XLV.
FERMAT A MERSENNE.

MAIIDI 23 DÉCEJIllKE IC'iO.

(A, f" i2-i3 to, B, t° H).)

Mon Révérem) Pf;RE,

1. .le languissois dans l'attente de vos lettres et de M. de Frenicle.
Je suis bien aise qu'il approuve ce que j'ai l'ait ('); et afin (|u'il ne soit
plus en doute de ce que je lui demande, voici trois questions que je
lui propose, pource que les spéculations que j'y ai faites ne me satis-
Ibnt pas pleinement :

i" La raison essentielle pourquoi 3, 5, 17, 257, etc. à l'infini, sont
loujours nombres premiers;

2° Qu'il me donne quelqu'un de ses autres moyens pour trouver

(■ ' ; La réponse de Frenicle à la Lettre XLIV est perdue.

\LV. - -26 DECEMBRE 16iO. 213

à l'intîiii des nombres premiers de tels nombres de figures qu'on
voudra.

Sur quoi je voudrois être éclairci si une de mes pensées est vraie,
qu'en la progression d'un nombre pair, comme G, toutes les puissances
+ I de la progression qui ont pour exposant : i, 2, 4, H, iG, etc. sont
nombres premiers, si elles ne sont pas mesurées par un de ceux-ci : "5,
5, 17, 267, etc.; laquelle proposition, si elle est vraie, est de très grand
usage.

Si je puis une fois tenir la raison l'ondamentale que 3, j, 17, etc.
sont nombres premiers, il me semble que je trouverai de très belles
choses en cette matière, car déjà j'ai trouvé des choses merveilleuses
dont je vous ferai part, après que j'aurai eu votre réponse et celle de
M. Frenicle.

3° Je lui demande un moyen plus général que celui que j'ai inventé
pour savoir quels sont les multiples de l'exposant utiles à la division.

Après cela, je travaillerai aux propositions que vous me demandez.

2. Sur le sujet des triangles rectangles ('), voici mes fonde-
ments :

1° Tout nombre premier, qui surpasse de l'unité un multiple du
quaternaire, est une seule fois la somme de deux quarrés, et une seule
fois l'hypoténuse d'un triangle rectangle.

2" Le même nombre et son quarré sont chacun une fois la somme
de deux quarrés;

Son cube et son quarréquarré sont chacun deux fois la somme de
deux quarrés;

Son carrécube et son cubecube sont chacun trois fois la somme di'
deux quarrés;

Etc., à l'infini.

3" Ce même nombre étant une fois l'hypoténuse d'un triangle rec-
tangle, son quarré l'est deux fois, son cube trois, son quarréquarré
quatre, etc. ii l'infini.

(') Comparer, Tome I, VO//.fc'rvalio/i T'H sur Diopliaittc.

21V (KUVHEft DE l-KUM A I . - COUUESPONDANCE.

j" Etant doniu' un nomltrc, pour savoir coiubiL'ii de Ibis il est l'iiv-
poténuse d'un triangle roctanf^lo, divisez-lo par tous les noiiihics pro-
niiors. plus grands de l'unité (|u'uii niuiti[)l(' du (|ualcrnairc, qui le
nu'suront. Puis rangez les exposants des puissanees des dits nombres
premiers (|ui nu-surenl le nombre donné, en (el ordre que bon vous
semblera, l'un a[)res l'autre. Multipliez le premier par le second deux
fois, e( il cida ajoutez la somme du premier et du second; |>uis iiiulli-
pliez cette dernière somme deux fois par le troisii'nie, el ajoutez au
produit tant la dite dernière somme que le troisième, etc. ii l'infini.
F.a dernière somme marquera à combien de triangles le nombre donné
peut servir d'hypoténuse.

Les nombres premiers qui sont moindres de l'unité qu'un multiple
du quaternaire, ni 2, non plus que leurs puissances, ne l'ont rien à la
question, et n'augmentent ni ne diminuent le nombre des dits trian-
gles rectangles.

Soit, par exemple, un nombre donné mesuré par 5, par le quarré de
i3, par le cube de 17, et par le cube aussi de 29.

Nous aurons quatre diviseurs dont les exposants de leurs puissances,
(]ui mesurent le nombre donné, sont :

I, ■>., 3, 3.

Je multiplie le [iremier par le second deux fois : viendra \; ajoutez-y
le premier et le second : viendra 7. Je multiplie 7 par le troisième 3
deux fois : viendra /|2, auquel ajoutant 7 el 3, c'est j2. Je multiplie
)2 par le quatrième (qui est 3) deux fois : viendra 3 12, auquel ajou-
tant 5-2 et 3, viendra 3G7.

Je dis donc que le nombre donné sera l'iiypoténuse de 3G7 triangles
rectangles et non plus.

5" Pour trouver, par exemple, le moindre nombre de tous ceux qui
sont 3G7 fois S(uilement l'iiypoténusi' d'un ti'iangle rectangle, je double
le nombre donné et au dit tlouble j'ajoule l'unité : vieiulra 735, du-
quel je prends tous les diviseurs sépai'ément. (Quoiqu'un nombre me-
sure et par soi et par ses puissances, j'enlends tous les diviseurs (|ui

XLV. — 23 DECEMBRE 1G40. -ilo

sont ii()ml)ros preiiiiors; le dit nombre se trouve donc divisé aux dites
conditions par 3, î), 7, 7. J'ùte de chacun des dits diviseurs l'unité el
prends la moitié du reste : viendra i, 2, 3, 3.

Il faut donc prendre (juatre nombres premiers plus grands de Tunilc
qu'un multiple du quaternaire, et prendre leurs puissances exposées
par les dits quatre nombres. En quoi faisant, vous satisferez à la question
généralement en multi[)liant les dites quatre puissances entre elles.

Que si vous voulez le moindre nombre satisfaisant à la question, il
faudra prendre les quatre plus petits nombres premiers de la qualité
requise, qui sont : j, i3, 17, 29, et pour leurs puissances, il faut que
celle du plus petit ait le plus grand exposant, et ainsi des autres. Nous
prendrons donc le cube de .5, le cube de i3, le quarré de 17, et 29, et
multipliant tous les uns par les autres, nous aurons le moindre nombre
de tous ceux qui servent d'hypoténuse à 3G7 triangles rectangles el
non plus.

3. Il s'ensuit de là que si le double du nombre donné, plus i, es!
nombre premier, en ce cas le nombre cherché ne peut être divisé que
par un seul nombre premier plus grand de l'unité qu'un multiple du
quaternaire.

Comme si vous demandez un nombre qui serve d'hypoténuse à
20 triangles rectangles et non plus, ponrce que 4i est nombre pre-
mier, il faut prendre la 20'' puissance d'un nombre premier de la qua-
lité requise.

Vous trouverez, par conséquence aisée, un nombre qui ait autant de
diviseurs différents que vous voudrez et qui puisse satisfaire à la ques-
tion, lorsqu'elle est possible. J'iMilends des diviseurs de la qualité
requise, car vous y en pouvez mettre, comme nous avons dit, autant
que vous voudrez de ceux qui sont moindres de l'unité qu'un multiple
de '1, ou bien 2 et telle de ses puissances que vous voudrez.

.le vous écris ceci si fort à la hâte que je ne j)rends pas garde si je
fais des fautes, et omels beaucoup de choses dont je vous dirai li;
menu une autre fois.

•216 ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

4- Pour la (iiuslion des ellipses (^'), oll(> so di'duira l'orl aisrmcnl de
ro (]iio vous vouez do voir, car la quostion va là à trouver un nombre
qui scr\e d'IiYpolénuse à 12 triangles et non pins, de telle qualité que la
dite hypoténuse ait plus grande proportion au plus grand des deux autres
côtés que le dit plus grand au moindre : c'ost-à-diro (|U0 chacun dos dits
(riangics soit conimo, par oxomplo, 29, 21, 20. Ce qui est aisé, et
ayant trouvé le dit nombre, son quarré sera le donii-diamètre dos
ellipses.

Il le tant (|uarrer, afin que la porpondiculairo sur le foyer soit un
nombre entier. J'en dis assez pour me faire entendre à M. Frenicle.

5. J'ajoute oiicoro qu'une toute pareille règle à la précédente des
hypoténuses sert à celte question :

Etant donné un nombre, déterminer combien de fois il est la différence
de deux iwmbres desquels le produit est un nombre quarré.

Et n'y a que celte différence, qu'en cette question tous les nombres
premiers hormis 2 sont utiles, ce qui n'est pas en la précédente des
hypoténuses.

Comme, si un nombre est mesuré par 3 et par le quarré de j, les
exposants étant i et 2, multipliez le premier par le second deux fois,
il (|uoi ajoutant leur somme, viendra 7. Vous pouvez donc assurer que
7.") est 7 fois la différence de deux nombres desquels le produit fait un
(j narré.

Pour avoir le plus petit, vous userez de même voie.

Or, [>our trouver tous les triangles et aussi les dits nombres en cetfo

(') f'oir sur cette question, antérieurement proposée par Frenicle à Descartes, les Let-
tres (le ce dernier, du 9.0 décembre i63H ( éd. Clcrselier, II, <)5 ), du 9 février ifiSo ( II, 97),
du 3o avril 1(339 (III, 84). Frenicle avait demandé de construire sur le môme grand axe
(aa) un nombre déterminé d'ellipses telles que pour chacune la distance des foyers (ac)
fût supérieure au petit axe (26) et qu'on pût exprimer en nombres entiers le grand axe.

le petit axe, la distance (a — c) a un foyer au sommet voism, et I excès I I > sur

la dislance des foyers, de la distance de l'un d'eux à l'extrémité de l'ordonnée passant
par l'antre.

XLV. - 25 DECEMBiiH lOiO. 217

t|iiostion, l;i cliosc os( assez aisée, de quf»i je vous écrirai séparémciil,
si vous voulez.

De celte dernière queslion, ou peut tirer l'iuveuliou d'Iiyperboles
au lieu d'ellipses, etc.

Dès que M. de Freuicle m'aura écrit, je lui donuerai des proposi-
lious que je juge, sans me flaller, qu'il estimera incomparablement
plus Itelles que tout ce dont nous avons encore parlé.

Je suis.

Mon Révérend Père,

Voire (ri's liumble serviteur,

Feiuiat.
A Toulouse, ce /.'i décembre 1G40,

FtasiAT. — II.

28

2IS ŒrXllKS 1)1-: KEUiMAT. - CORUESPOM) VNCi:.

ANNÉE IGil.

XLVl.
FRRMAT A MERSENNE ( ' )•

MARDI 20 M Alt S lOil.

(A, f» 34; B, t» '4 v°.)

.Mon Ri:vi-.RENn Père,

1- Les occupations qm' les procès nous donncnl sur la UMc m'onl
ompèché de pouvoir lire îi loisir les Traités (- ) que vous m'avez l'ail la
faveur de ni'envoyer. Je me réserve d'y vaquer avec soin aussitôt après
Pâques, et ce sera alors que je vous satisferai et vous marquerai avec
liberté mes sentiments.

2. Je suis toujours dans l'aKenle de la réponse de M. de Frenicle (■').
et en tout cas, vous m'obligerez de me renvoyer ma démonstration ( ' )
pource que je n'en ai point gardé de copie. Comme aussi je serai bien
aise qu'il vous plaise m'envoyer ma copie de mon Isagoge ad locos, de

( I) Ij'lllT ilUMiilO.

(-) Mersonnc luisait alors iinliimmont eirciilci" {Lettres de Dexcortcs, éd. Clorsclier. M.
41, du 28 octobre 1640 à .Mcrsemie; MS. B, f" 29 v° et suiv., lettre iiicdito do l'ujos ii Mor-
scnno du 9 mai 164 1), avec l'opuscule de Fermât Doctrinam tangeiitiuin (Tome I, p. 1 JS
cl suiv.) : 1° un Traité des cercles qui se font dans l'eau; 2° un autre pour le mouvetnciit
journalier de la terre; 3" la lettre de Beaugrand contre Desargues ( OpAivres de Desar-
gues, éd. Poudra, II, p. 355 et suiv.).

(') Réponse à la Lettre XLV?

(*) Démonstration piTiliie.

XLVI. — 26 MARS ICI. 219

son Appendix et De inveniione tangentimn in ciuvis [ '), m'élaiU engagé
envers M. Despagnet de les lui faire voir.

3. Excusez l'importunité à laquelle je me trouve engagé par ma né-
gligence. Voici, en revanche de la peine que je vous donne, une belle
proposition tirée de mes Lieux ad superficiem (-) et qui n'est qu'une
suite d'une des propositions du Traité entier :

S)oil une sphère donnée et en icelle décru un solide régulier. Je dis (jue,
si vous prenez un point à discrétion dans toute la superficie de la sphère,
et (pie de ce point vous tiriez des lignes à tous les angles du solide régulier,
les quarrés de toutes ces lignes pris ensemble seront égaux à un espace
donné.

(]omnie, si vous en désirez un exemple, soil une sphère donnée et
en icelle décrit un tétraèdre. Je dis que, si vous prenez un poinl à dis-
crétion dans toute la surface de la sphère, et que de ce point vous
tiriez (|uatre lignes aux quatre angles du tétraèdre, les quarrés de ces
([uatre lignes pris ensemble feront un es|)ai'e (|ui sera double du
quarré du diamètre de la sphère. Etc.

La démonstration n'est pas malaisée et se (ire facilement de celle
d'une autre proposition que j'envoyai il v a longtemps à M. de Ro-
berval (').

Je suis, mon Révérend Père,

Votre très humble et très affectionné serviteui',

Feumai'.
A Toulouse, ce aG mars iGii.

(1) FfM> Toins I, pages gi et suiv.; io3 el suiv.; iJ8 et suiv.; le dernier litre doit en
effet designer l'écrit Doctrinam tangentimn.

(2) Foir Tome I, pages 1 1 1 et suiv. L'énoncé qui suit est un ca> particulier du lliéoréiue
général : Si a quotciiinqne pimctix, page ii3.

(3) P'oir Lettre XIX.

■210 ŒU\ IIKS DE FEUMAT. — COIUIESPOND ANGE.

MAIL
FERMAT A MKUSENNE {').

SAMUDI lo JUIN IC'll.

(A, f" l'i: lî, f° i5 v.)

Mon Rr.vKUEND Picr.E,

1. Je lâche de coiitentor assfiz amplonieiil la curiosilé do M. de Fro-
iiiclo par la Lettre que vous trouverez dans votre paquet (/'). 11 m'a
pourtant demandé la solution d'une question (') que je diffère de lui
envoyer jusqu'à ce que je serai de retour à Toulouse, me trouvant pré-
sentement à la campagne où j'nurois besoin de beaucoup de temps
poui' refaire ce que j'ai écrit sur ce sujet et (]ue j'ai laissé dans mon
cabinet.

Voici pourtant un échantillon de cette question générale, que vous
lui pourrez faire voir par avance :

En la progression de 3, tous les nombres premiers, qui sont diffé-
rents par l'unité d'un multiple de 12, mesurent seulement les puis-
sances — I. Tels sont : 11, i3, 23, 37, etc.

Eli la même progression, les nombres premiers, qui sont différents
par 5 d'un multiple de 12, mesurent les puissances + i. Tels sont : i),
1 7, i(), etc.

En la progression de 5, tous les nombres premiers, qui finissent par
I ou par f), mesurent seulement des puissances — i. Tels sont : 1 i,
19, etc.

Ceux qui finissent par 3 ou jtar 7 mesurent des puissances + 1 . Tels
sont : 7, 1 3, 17, etc.

Vous aurez une autre fois la règle générale en toute sorte de pro-
gressions.

(') LeUrc incdile.

(») J^oir Pioce XLVlll ci-après.

(3) roir Leitres XLVlll, 12 cl XLIX, i2.

XLVIll. - 13 JUIN IGll. 221

2. J'attends maintenant qu'il vous plaise m'envoyer la copie de mes
Traités (') que je vous ai si souvent demandée pour M. Despagnet.

Je suis, mon Révérend Père,

Votre très humilie et très affectionné serviteur.

Fermât.

Ce 1 5 juin i(>-i I.

3. Depuis avoir écrit la lettre de 31. Freniclc, j'ai trouvé la dernière
question que je lui fais (-) :

Etant donné un nombre , déterminer combien de fois il peut être In
somme des deux petits côtés d'un trian<^le rectangle.

S'il la veut, je lui eu ferai part, et serai cependant bien aise de voir
sa solution.

XLVIII.

FERMAT A FRENICLE {').

< 13 jLix 16V1 >

(B, f° 26 v°-28 r". )

1- La proposition fondamentale des triangles rectangles est que tout
nombre premier, qui surpasse de l'unité un multiple de \, est com-
posé de deux (| narrés (^ ).

( < ) l'olr Lettre XLVI, 2.

( 2) Voir Lettre XLVIIL 11.

(') Cette pièce inédite, reproduite d'après une copie qui ne porto ni adresse ni date, ne
doit être considérée que comme un extrait d'une Lettre de Fermât. Cette Lettre était évi-
demment adressée à Frenicle, dont nous avons la réponse (ci-après XLIX), datée du
2 août 1641. Le post-scriptnm de la Lettre XLVII ci-avant, adressée àMersennelo i5 juin
ifi/ii, prouve d'ailleurs que le présent extrait a bien été fait sur la Lettre pour F'reniclo,
mise par F'eruiat dans le paquet envoyé à cette date au Minime. L'auteur de l'extrait n'a
copié que ce qui lui a paru avoir un intérêt mathématique et a négligé toutes les transi-
lions d'une question à l'autre.

(^) Viiir Lettre XLV, 2.

■lî'l ŒUVRES 1)K Fi:UiM\T. - CORRESPONDANCE.

2. La nu'lliodi' pour trouver les IriaiigU's coiuposés eu conséquence
des primitil's est dans les Livres ('), ou s'en peut tirer aisément :

Soit le nombre donné d"), ie(juei je trouve être Fliypolénuse de
quatre triangles, [)ar la ri'gle déjà envoyée (-). Les nombres premiers
de la (]ualilé re(|uise (|ui le composent sont "i et l'i. Le triangle ('■') de
j est 5, .'|, 3; celui de i '5 est i), 12, 5.

Je multiplie la base 12 |)ar la base ^|, vient '|8; puis le petit côté 5 par
l'autre 3, vient il; et derechef 12 par 3, en croix, vient 3(); puis 4
par j, vient '20.

La somme des deux premiers produits et la did'érencc des deux se-
conds font les deux petil;s cotés d'un des triangles cherchés, qui sera
par conséquent : G.j, G3, iG.

Kt derechef la somme des deux derniers produits et la difl'érence
des deux premiers sont les deux petits cùtés d'un autre des ti'iangles
cherchés, qui sera partant : Gj, 5G, 33.

(Que si, au lieu de i3, 12, 5, vous aviez pris le même 3, 4. ^. on
faisant la même opération, vous n'eussiez trouvé ([u'un seul triangle
qui est, en mon précédent exemple : 20, 24, 7.)

Les deux autres triangles sont semblables aux deux premiers et se
font, l'un en multipliant les côtés du premier par l'hypoténuse du
second, et l'autre en multipliant les côtés du second par l'hypolénuso
du premier; ils sont donc : Cj, .")2, 39; 6Ï>, Go, 2.5.

3. Cette méthode est générale, de sorte que toute la didicullé con-
siste à trouver les triangles primitifs, lorsque le nombre premier qui
leur sert d'hypoténuse est donné, et cette question se réduit à la sui-
vante déjà proposée (') :

litanl donné un nombre premier qui surpasse de l' unité un multiple
de 4, trouver les deux quarrés qui composent le dit nombre.

(') Fermât va simplement en elTel exposer la métliodo de Dioplianlc, lil, 22, pour con-
struire (pialre triangles ayant une munie hy|)Olénusc.
(2) Dans la Lettre XLV, 2, i".
(') Le triangle qui a 5 pour hypoténuse.
(') Probablement dans un passage non conservé do la présente Lettre.

XLVllI. - lo JUIN 1G41. 223

Car si l'on n'a ces deux quarrés, on ne sauroit trouver le trian;^le
primitif. Mais ce problème, de trouver ces deux quarrés, est aussi mal-
aisé que de tâtonner, et l'ordre de la proposition précédente est gran-
dement dilïicile.

4. Soit un nombre impair donné, comme i5, les couples des nom-
bres sous lesquels il est produit sont i , 1 5, et 3, 5. Chacun de ces deux
couples le fait être un des petits côtés d'un triangle rectangle, car le
premier couple (') produit le triangle : ii3, 112, i >; et le second
couple produit le triangle : 17, iT), 8 (j'entends des triangles non com-
posés).

Au premier de ces triangles, i5 est le plus petit côté, au second, le
moven. On demande quelle est la proportion des deux côtés qui produisent
un nombre impair, au-dessus de laquelle le dit nombre impair soit le petit
côté, et au-dessous le moyen .

Je réponds qu'il est impossible de le déterminer exactement en
nombres entiers, parce que l'équation d'algèbre produit des nombres
irrationaux, quoiqu'on en puisse approcher à l'infini de plus en plus
par nombres entiers.

Par exemple : si les deux côtés qui produisent l'impair sont enire
eux en proportion moindre que de 2414 2i3 à 1000 000 ou égale, le
nombre impair fera le moyen côlé; que si les deux côtés qui produisent
l'impair sont en proportion plus grande que de 2414214 à 1000 000
ou égale, le nombre impair fera le petit côté.

On peut approcher ces deux proportions à l'infini, mais non en
termes précis; elle sera (-) en termes irrationaux, savoir de i à i + Hq.
de 2.

5. Il va des triangles qui se peuvent diviser en deux, et subdiviser

( ' ) En tlièse générale, suivanl le langage de Dioplianle, un triangle rectangle en nombre
(7, //, c, est dit formé des deux nombres p et q, si l'on a

a = p--hq-, b = p- — </-, c = ipq,

relations qui entraînent l'égalité a- = b^--\-c'^. Mais ici, comme Fermai veut des nombres
premiers entre eux et que a, b, c seraient pairs, il prend leurs moitiés.
(2) Format renverse la proportion qu'il a indiquée plus haut.

Mi ŒUVRES ni: fi: UM Vr. - COHRESPONDANCE.

en tjualrt'. seize el ainsi laiil (pic l'on veiil. (miles les lignes des divi-
sions deineiiraiil ediuiiiensiirahies en noiiihres entiers ( ' ).

Si i"(in enlend (|ne Taire dn (iian^le es( tlonltle, edrnine celle de i-,
1 "), 8, (jni esl donlde de l'aire de 1 3, ii, .), cela esl aisé et se pent
ainsi énoncer :

Etant donnes i/cii.v nombres enlicrs. trouver deux triangles, desquels
les aires soient en proportion de deux nombres donnés.

Il y a (|na(re règles pour soiidro eelle (|nes(i()n en ce sens (-).

6. Il V a des Iriangles don! les moindres cotés ne dillérenl jamais
que de l'nnité, comme 3, !\, ") ; 20, 21, -k), lesquels se forment snr
nn des termes par règle infaillilde à rinlini. Car il ne faut qu'ajouter
le double de rhvpotéiuise h la somme des deux autres côtés, et le
tout, ajouté au moindre coté, fait le côté moindre du triangle requis.
Ajoutez-y l'unité, vous aurez le moyen.

Exemple : le double de 29 est jS ; ajoutez-y la somme des deux petits
côtés, savoir /ji, vient 99, auquel ajoutez 20, qui est le petit côté;
vient 119, auquel ajoutez l'unité, vous aurez 1 19 et 120 pour les deux
moindres côtés du triangle requis, qui sera : 1 19, 120, 169.

I-'liypoténuse se fait du triple de l'hypoténuse et du double de la
somme des deux autres côtés. Le triple de l'hypoténuse est S-, le
double de la somme des autres côtés 82, lequel, avec 87, fait 1G9, ([iii
est l'hypoténuse requise.

Nous avons donc tiré du triangle : 20, 2f, 29, celui-ci : 119, 120,
1G9; de celui-ci, nous en tirerons un autre à l'infini.

Même méthode pour trouver un triangle, ladilférencc des moindres
côtés duquel soit un nombre donné. J'omets les règles et les limita-
tions pour trouver tous les possibles de la qualité requise, car la règle
est aisée, en supposant les fondements.

7- il y a des triangles auxquels le moindre côté est toujours diffè-
rent d'un (juarré de chacun des deux autres, comme 20, 21, 29.

( • ) roir LcUrc XLIX, 4.

(') Fb/> l'Observation XXIX sur Dioplianle et ci-après, 10, la première de ces règles.

\LV111. - 13 JUIN IGil. 2-2">

Trouvez, par la précédente, un triangle non composé, les côtés
moindres duquel diflerent par un quarré, comme 20, 21, 29 ou tel
autre.

S'il a les qualités requises, il en faut tirer deux de celui-ci par la
méthode précédente, et le second qui viendra satisfera à la propo-
sition.

Et s'il n'a pas les conditions requises, le premier qui s'en tirera,
par la précédente, satisfera à la proposition.

Comme : 3, 4. 5 ne satisfait qu'à la précédente et non à celle-ci. Le
premier qui s'en tirera y satisfera, à savoir : 29, 21 , 20, et si de cettui-
ci vous en tirez un, viendra 119, 120, 1G9, qui ne satisfait pas à cette
question; mais celui qui s'en tirera, à savoir : 983, 697, G96, et ainsi
à l'infini, alternativement, y satisfera.

8. 11 y en a d'autres qui pris par couples ont leurs différences rela-
tives ( ' ) comme 1 1 , ()o, Gi et 119, 1 20, iCk).

Pour les former, il faut trouver trois quarrés en proportion arithmé_
lique, qui sont par exemple : i, 25, 49- Formez l'un des triangles de
la somme des côtés des premier et deuxième quarrés et du côté du
second, et formez l'autre triangle de la somme des deux côtés du
second et du troisième, et du côté du deuxième, vous aurez les deux
triangles requis.

Autre exemple (- ) : Soient exposés les trois quarrés en proportion
arithmétique 49. 1G9, 289.

Les deux triangles se formeront de 20 et 7 et de 3o et 7, et seroiil

/i49, 35 1, 280; y49> ^ji» 420.

9. Trouver un nombre qui soit autant de fois qu'on voudra polygone
et non plus (').

(') C'cst-à-diro deux triangles rectangles en nombres («, h, c) («i, Ai, ci), tels que
l'on ait a — ù = l/i — ri et /^ — r = «j — /;].

(2) I'"ernial commet dans cet exemple une erreur de plume. Car, d'après sa règle, ayant
les carrés 7-, i32, 172^ j| devait former les triangles, l'un de 7 M- i3 = lo et de i3. l'autre
de i3 -(- 17 = 3o et de i3; il aurait ainsi trouve les triangles 569, 620, 23i et loGy. 7S0.
73 1, satisfaisant au problème proposé. P'oir ci-après, XLIX, 6.

(3) Question proposée par Fermât à Frenicle. Foir Lellrc XLIX, 7.

Fermât. — U. ag

•ÎH\ ŒIIVRKS 1)K FERMAT. (.OURESPONDANCE.

10. Irouvor deux (liaiiglos doiil les airos soient on propoilion
donnée {' ).

Voici la règle la |)lus éléiianle :

Soient les den\ nombres qui expriment la proportion donnée, a cl /v.
Les deux triangles se forment : le premier, de a bis + h et de a — b;
le second, de h bis -h n ci de a — />.

Vous aurez donc deux triangles qui seront par leurs aires en pro-
portion donnée. (]ar, si vous les demandez de 5 à 3, les deux triangles
se formeront, le premier de i3 et 2, le second de 11 et 2, et les deux
triangles seront : 173, i65, .')2 I 12"), 117, 44.

H. Etant donné un nombre, trouver combien de fois il peut être la
somme des deux petits côtés d'un triangle rectangle {'' ).

12. Règle pour déterminer les nombres premiers qui, en toute pro-
gression, mesurent les puissances — i seulement, ou + i aussi (').

XLIX.

FRENICLP] X FERMAT {■').

VENDREDI 2 AOUT IGil.

{Ta, \i. 166-168.)

Monsieur,

1. .l'étois dans l'impatience de savoir votre retour h Toulouse, pour
me donner l'honneur et le contentement de continuer nos conférences,
lorsque le Révérend Père Morsenne m'en adonné avis; j'espère qu'elles
dureront plus longtemps que je ne pensois, parce qu'il est survenu
quelque chose qui m'arrête ici.

( ') /'»//• plus luiul, 5.

(') Question proposée par Format à Frcniclc. /'>;//■ Lettre XLVII, 3, el XLIX. 9.
(') Question proposée par Frcnicle à Fermât. To/r Lettre XLVII, 1, et XLIX, 12.
(') Réponse à la Lettre précédente, XLVUI.

XLIX. — 2 AOUT iGhi. 227

2. J'ai mille remerciements à vous faire de la limitation des cotés
que vous m'avez envoyée ('), laquelle véritablement je prise fort. J'a-
vois bien reconnu que la proportion étoit irrationelle et pour cela je
m'étois contenté des raisons de lo à 24 et à 23, mais vous l'entendez ici
à l'infini. .l'avois cru, [)ar la lecture de votre précédente (-), par
laquelle vous mandiez qu'il étoit aisé de la trouver, que vous préten-
dissiez de donner une raison rationelle pour cette limitation; c'est ce
qui m'avoit fait dire que peut-être ne la trouvericz-vous pas si facile,
parce que je la savois être impossible.

Je sais que l'Algèbre de ce pays-ci n'est pas propre pour soudre ces
questions, ou pour le moins on n'a pas encore ici trouvé la manière de
l'y appliquer : c'est ce qui me fait croire que vous vous êtes fabriqué
depuis peu quelque espèce d'Analyse particulière pour fouiller dans les
secrets les plus cachés des nombres, ou que vous avez trouvé (juelque
adresse pour vous servir à cet effet de celle que vous aviez accoutumé
d'employer à d'autres usages.

Si la démonstration de cette limitation étoit courte, vous m'oblige-
riez beaucoup de me l'envoyer : car, si elle est trop longue, je ne vou-
drois pas que vous vous détournassiez de vos études à cette occasion.

Cette même raison, de i à i H- y'^2, se peut aussi appliquer à la pro-
portion des côtés des quarrés qui composent l'hypoténuse, mais en un
sens contraire à celui des parties plus prochaines du côté impair,
comme aussi elle se peut appliquer aux nombres qui composent la
moitié des côtés pairs, au même sens qu'aux parties des impairs.

3. Je viens maintenant ii ce qui regarde les triangles.

Les méthodes (') que vous donnez, tant pour trouver les quarrés que
les côtés des triangles qui appartiennent aux hypoténuses composées,
sont véritablement fort belles, et vous avez la méthode de si bien dis-
poser vos règles, que cela leur donne une certaine grâce qui les fait
encore agréer davantage, mais elles ne suivent pas mon intention, car

(1) ro(>XLVllI, A.

(2) Lettre perdue.

(3) ro;> XLVIII, 2.

■lis. ŒUVRES DE FERMAT.— COURKSl'ONDANCE.

\v n'ai poiiil oiilciulu (lu'oii so servit des qiiarrés ni des Iriaiigles des
parties des hypoténuses composées, mais seulement dos dites parties.
Par exemple, je demande nne manière de trouver que Gj est com-
posé des quarrés (i'i. 1 et '|i). i('), supposant seulemenl qu'il a .'^ et i3
pour les parties premières, sans employer à cel effet les qnarrés 4 tU i,
ni les côtés 3 et 4. i"^" p'"^ <|"i' ceux qui appartiennent à i).

4. Des (juatre propriétés des triangles que je vous avois proposées,
vous avez fort bien trouvé la deuxième ('); pour les trois autres, vous
n'avez pas suivi mou intention. Parlant, il iïiut (jue je m'éclaircisse
plus que je n'avois fait.

La première est facile (-) : Que le triangle rectangle soit AB(J
(//g. 78); il le faut diviser en deux triangles ABD, ADC avec la per-

Fis. -8.

pendicnlaire AD; et derechef le triangle ADC en deux triangles EDC,
KDA par la perpendiculaire DE et l'autre pareillement ABD en deux,
savoir ADF, BDF, par la perpendiculaire DF; et derechef les triangles
BDF. ADF, ADE, DEC par les autres perpendiculaires FO, FI, EL, EN;
et continuer ainsi tant qu'on voudra et faire que toutes les lignes et
sections d'icelles, comme AL, LL ID, BO, OD, DN, NC, soient nombres
entiers.

5. \'ous donnez par après (^) les triangles dont le moindre colè est
dilférent d'un quarré de chacun des deux autres : je sais bien (jne la

(') Lettre XI.VIII, 6.
(*) Lettre XLVIII, 5.
(») Leuro XLVIlt, 7.

XLI\. — 2 AOUT ICil. ±1'.)

moilié de ceux qui ont i pour différence de leurs petits côtés ont
aussi cette propriété, savoir ceux qui commencent par un nombre
pair ('), mais je n'attendois pas que vous dussiez vous servir di'
ceux-là, espérant que vous donneriez le moyen de les trouver tous:
et, afin d'exclure les susdits, on pourroit ainsi proposer le problème :

Donner tous les triangles qui ont un cjuarré pour différence de leur petit
côté à chacun des deux autres côtés, en sorte que l'une des différences ne
puisse pas mesurer l'autre.

6. Pour l'autre propriété des triangles (-), qui est d'avoir un autr(>
triangle relatif en différences, en sorte que la différence des deux
grands cotés du premier soit celle des deux petits côtés du second,
et la différence des deux petits côtés du premier soit celle des d(Mi\
grands côtés du second, comme on voit aux triangles :

49 ^ • ,
6o Gi

119 i^o 169,

vous n'avez pas considéré attentivement cette proposition, car les
triangles que vous donnez :

/ /

9« /■

^^9 .5.)! 200

98 43 1

9'i9 8r>i 420,

n'ont pas cette propriété, mais en ont une autre, qui est que les grands
côtés de chacun ont pareille différence, savoir 98, et en outre que les
deux hypoténuses ont pareille différence que les deux grands côtés.
Mais ce n'est pas ce que je demande, car aux triangles

49 " ' 49 ,

Il Go 61 et 119 120 169,

vous voyez que 120 et iGf) n'ont pas même différence que Oo et (Ji , ni
(il et iGg même différence que Go et 120. Il faudroit donc, pour satis-
faire à la question, qu'en vos triangles il y eût même différence de l\\[)
à 35 1 que de 85 1 à 420, et de 35 1 à 280 que de ()\r) \\ 85 1.

(') C'est-à-dire dont le plus polit côté est pair.
(2) Lettre XLVIII. 8. J'oir les notes.

■IW (KUVUKS I)K IKU M AT. - COURES POND ANGE.

7. Vous mo lu'oposoz par aprc'S {') do trouver un nombre qui soit
polygone autant de fois qu'on roudra et non plus.

Je vous (liiai (ju'il v a ([uchiucs aiiÊiécs ([iir je m'ôlois mis ii la
rtH'litM'olic (le t'(>la. mais à {jcinc cus-jo comuuMici', quo jo m'avisai
i|ui' les lii,Miros qui soûl uiaiulcuaut ou usage soûl si oxtravagaulos,
lorsqu'ou ios veut uiollro on pratique, j'entends quand on les veut
représente!' avec des jetons ou des points, qu'on les nommeroit plus à
propos chimères ou grotesques que figures, lesquelles, si elles ne sont
ontièrement régulii'res, au moins doivent-elles en approcher le plus
(|ue faire se peut.

Cela fut cause que je quittai ce que j'avois commencé pour mo
mettre à réformer ces figures, et Dieu m'a fait la grâce d'y réussir en
(juelque fa(,'ou, car j'ai trouvé une manière de faire des iîgures régu-
lières en nombres d'une infinité de sortes, et d'autres aussi qui n'ont
point d'angles rVio-/-eV/?V/?i, de tant do côtés qu'on voudra. J'ai ensuite
l'onsidéré quelques-unes de leurs propriétés et ce qui dépend d'icelles,
de sorte que je ne me suis pas beaucoup arrêté aux figures communes,
que je nommerois plutôt progressions de triangles que figures, à cause
de l'assemblage des triangles par lequel elles sont formées. Je crois
bien que ce n'est pas de ces nouvelles figures dont vous voulez parler,
car possible ne vous en ètos-vous pas encore avisé; mais pour les com-
munes, on peut considérer votre question en deux maurèros :

8. La première, si le nombre demandé est plusieurs fois polygone,
de telle sorte qu'il enveloppe tous les polygones inférieurs, c'est-
à-dire que, si ce nombre est, par exemple, heptagone, il doive aussi
être hexagone, pentagone, quarré et triangle. Et ainsi, pour avoir
un nombre qui fût sept fois polygone, il en faudroit donner un qui fût
figure de 9, 8, 7, G, 5, 4 et 3 côtés; ce qui seroità la vérité fort difficile,
et il faudroit un nombre fort grand pour y satisfaire, car les nombres

(') Foir Lcltre XLVIII, 9. Cette question dérive de celle qui termine le IJvre Des
noml/rcs polfgonc.i de Diophanle. I''ermat ne paraît pas être jamais arrivé à une solution
qui l'ait satisfait.

XLIX. - -2 AOUT IGVl. 231

qui sont seulomeiit triangles, quarrés et pentagones deviennent incon-
tinent fort grands, et c'est à cela que j'avois commencé à travailler.

L'autre considération est qu'un nombre soit polygone en plusieurs
façons, sans se soucier si les polygones sont de suite ou non. Je n'ai
pas encore recherché cela; si vous l'avez trouvé, vous m'obligerez de
me le communiquer.

9. L'autre question que vous me faites (') contient deux problèmes :
L'un de choisir un nombre c/iii soit la somme des deux petits côtés de

tant de triangles qu'on l'oudra et non plus;

L'autre est de déterminer à combien de triangles un nombre donné est
la somme des deux petits côtés.

Pour soudre ces problèmes, il faut considérer que tout nombre pre-
mier, différent de l'unité d'un nombre divisible par 8, est la somme
des deux petits côtés d'un triangle, et tout nombre qui est la somme des
deux petits côtés d'un triangle auquel les côtés sont premiers entre eux,
diffère de l'unité d'un nombre divisible par 8.

Sur ces fondements, il faut faire la même chose avec ces nombres
qu'on feroit sur les nombres premiers pairement pairs -hi, pour
trouver ce qui est requis par les problèmes, si on demandoit des
hypoténuses au lieu de la somme des deux petits côtés. Il seroil
su|)erflu de déduire cela plus au long : intelligenti loquor.

10. Si votre méthode est autre que celle-là, vous m'obligerez de
me la communiquer, et aussi de quelle façon se pourroit trouver le
triangle, ayant seulement la somme de ses petits côtés sans avoir les
quarrés et doubles quarrés dont elle est la différence. Car ces sommes
ont cette propriété d'être toujours deux fois la différence d'un quarré
et d'un double quarré; et, si cette somme est un nombre composé
d'autres de même nature, comme 119 composé de 17 et 7, il sera
quatre fois la différence d'un quarré et d'un double quarré.

Il faudroit aussi trouver la même chose pour l'enceinte entière des
triangles que pour la somme des deux petits côtés.

( ') J'oir Letlre XLVUI, 11.

-23-2 (!• UVllKS DE FERMAT. — CORRESPONDANCE.

11. Sur lo sujet tics triangles, voici ce que je vous proposerai
l'ucorc :

L'uc hypotènttse cuDiposéc élaiit donnée cnx'c les (/narres premiers entre
eux qui la composent par leur addition, Iroui'er ses parties.

Qiio 2?. I soit riiypotéinise donucc avec les quarrés qui la composent,
savoir : loo, ii>i et njG, 2"), il faut trouver par le moyen d'iceux que
•2■l^ a i3 et 17 pour parties.

12. .l'alicnds de vous la manière (') de trouver les nombres pre-
miers qui ne mesurent que les puissances — i en toute analogie, et
principalement en celle de 2.

Je suis etc.

L.

FRENICLE A FEMIAT (-).

VliNDIlEDI 6 SEl'TUMnilE 1641.
(Ta, p. i(i9-i;3.)
MOSIECK,

1- Votre règle (■') pour trouver les triangles pareils à 1 1, Go, Gi et
I i(), I20, 169, est fortbonne; je m'étois seulement arrêté à l'exemple,
sans la considérer autrement.

2. Mais celle que vous mettez ensuite, pour les triangles dont le
moindre côté dilFère d'un quarré des deux autres ('), sert à la vérité
pour trouver quelques-uns de ces triangles, mais non pas pour les
trouver tous, ainsi que vous prétendez : car, prenant tous les nombres
<jui sont en proportion comme le quarré -+- r de quelque nombre au

1') roirUnre XLVll, 1.

(*) Réponse à une LoUrc pcnliic, par laquelle l'crinat avait répliqué à la précédeuto,
XLIX.
- 3) roir Lettres XLVIll. 8 el XLIX, 6.
• ■•) Cp. Lettre XLIX. 5.

L. — 6 SEPTEMBRE 1641. 233

double — 2 du même nombre, on ne trouvera pas les triangles qui se
font par 29 et 12 ou par 60 et 298, et une infinité d'autres; mais on
les trouvera tous par la règle que vous mettez en l'écrit particulier ( ')
que vous avez envoyé, qui se fait mettant pour un des nombres consti-
tutifs du triangle un nombre composé de deux quarrés premiers entre
eux et de divers ordres.

Et cette dernière méthode sert à trouver tous les primitifs dont les
côtés des quarrés (-) sont comme d'un nombre impair à un autre
nombre. Par exemple, on trouvera par icelle qu'il y a deux triangles
où les côtés des quarrés sont comme île G5 à un autre nombre, et dont
le moindre côté est différent d'un quarré des deux autres : savoir les
deux qui sont faits de 65 et i4 et de 65 et 24 et les autres qui sont en
même proportion.

Mais si on vouloit tous les triangles primitifs dont les racines des
quarrés sont comme d'un nombre pair à un impair, comme par
exemple de 60 à quelque autre nombre, on n'y pourroit pas satisfaire
par cette seconde règle, sinon après un long tâtonnement (•'), et la
première règle ne donne que la raison de 60 à 1861; mais il y a encore
trois autres proportions, outre celle-là, qui ont toutes 60 pour un de
leurs termes.

J'ai deux règles différentes dont chacune donne tous les triangles

( ') Écrit perdu. — La première règle de Fermât consiste à prendre pour les nombres
servant à former le triangle rectangle {voir page ■ri'i, note i)

/) = r-+i, q = ir — ï.

La seconde règle à prendre, r et ^ étant premiers entre eux,

/) = r- -i- .1'' , q =^ ■x( r — s) s.

C ) Frenicle appelle ici càtés ou racines clex quarrés les nombres servant à former le
triangle rectangle, désignés par/> et q dans la note précédente.
( ' ) Si l'on pose

/•2-+- I

et q = r — I,

■2.

et que l'on fasse q = 60, on aura

r = Gi, /) = 18G1.

J-cs trois autres proportions sont

Go, 293; 60, aGg: Go, 157.
Fermât. — U. 3o

•i;$V ŒUVRES DE FERMAT.- COIUIESPOND ANGE.

siisilils, av(M' ct'llc (lillV'rciu'c (]ii(' I'iiik^ l'cgardc la j)ro|M)rlioii qui coiii-
nioiu'c par un jiair et l'aulrc relie (|iii eouiiiuMire par un iiiipair.

Kl celle-ei n'esl pas beaueoup di lié renie de voire dernière ('), car,
avant pris un lrianij;le priniilil, je nie sers de son hypoténuse pour le
premier lernie, el pour l'autre, j'oie il'un des eolés du lrianii;le la dil-
i'éronee de l'autre eôlé à l'hypoténuse.

Exemple : Que 20, 21, 2Ç) soit le triangle, 29 le premier terme; pour
l'antre, j'ote de 20 la différence de 2[ à 2;), ou de 21 la dilVérence de 20
à 2(), et restera 12. On aura donc 2;) et 12 dont les quarrés compose-
ront le triangle cherché.

3. Voire premii're règle (■) pour trouver trois quarrés en proportion
arithmétique a le même défaut que la précédente, car on ne les peut
pas frouvei' tous par icelle. Par exemple, on ne trouvera pas les quar-
rés de I, 2(), 'il. ou de 17, 53, 7'j. Mais, par la proposition que vous
mettez en l'écrit particulier, on les peut tous comprendre.

Vous pouviez aussi donner aisément par la première règle le troi-
sième quarré, sans obliger à prendre la dilTérence des deux (|uarrés
trouvés. Comme : en l'exemple que vous ajjportez, le quarré — 2 de j
est 2); le quarré suivant +1 est 37 : si on vent avoir le troisième
nombre, il faut ajouter à 37 le double de 5, et on aura 47-

Si on pronoit 4» son quarré — 2 est r4; le quarré suivant -f-i est 2G,
auquel ajoutant 8, double de 4. on aura 34- Les trois nombres, étant
l'éduits, sont 7, i3, 17.

La méthode dont je me sers pour trouver ces irois quarrés propor-
tionaux, est tout autre que celle-là ('), et voici comme on procède
pour les avoir tous :

I ') Celte rè.ijlo fie Frenicle revient en effet à la seconde de Fermai.

(2) Cp. Lotirc XLVIII, 8. — La règle générale de Fermât parait avoir coiisislé de fait à
prendre pour les racines des trois carrés lés nombres r- — a.c-, /•- -1- an- -t- 21-,
r^ -t- irs-i- 2.v2. La première règle revenait à supposer .r = 1.

(') Cette règle de Frenicle, revenant à prendre pour les racines des trois carrés en jiro-
grcssion arillmiélique les nombres p^ — 9.prj — <j^, p'^-h 7^, p-+ opq — 17^, concorde en
réalité avec la règle générale de Fermai {voir note précédente), si l'on a /5 = ;• -h .t et

L. - G SEPTEMBRE IGil. 233

L'iiypoléiuise de tout triangle primitif sera le côté du moyen quarré;
la différence des deux côtés du triangle sera le moindre côté, et leur
somme sera le plus grand.

Exemple : Que le triangle soit 28, 4 j. J^- I^e moyen côté sera l'hy-
polénuse, 53; la diflerence de 28 à 45, qui est 17, sera le moindre, et
leur somme, 7-3, sera le plus grand. On aura donc 17, 53, 73 pour les
racines des quarrés cherchés.

Et si l'on prend tous les triangles, commençant par le premier : 3,
4, 5, on aura tous les dits quarrés.

4. Après celle règle générale, j'en ai considéré deux parliculii'res,
dont l'une est celle que vous proposez en l'écrit particulier, savoir que,
le moindre des trois quarrés demeurant toujours le nu^ue, on ail les
deux autres en une infinité de façons, et à laquelle vous croyez que je
n'ai pas pris garde, quoiqu'il y ail déjii longtemps que je l'ai Irouvée,
lorsque je travaillois aux triangles rectangles :

Car lout nombre et chacun d'iceux est la différence des deux moin-
dres côtés d'une infinité de triangles;

Et tout nombre premier, dillerent de l'unité d'un niulliple de 8, uu
composé desdils nombres premiers seulement, est la différence des
moindres côtés d'une infinilé de triangles rectangles primitifs.

Et, y ayant des voies certaines pour trouver tous les triangles ((ui
ont une même différence en leurs moindres côtés, on aura aisément
tous les quarrés susdits.

Sur quoi il faut remarquer que, si le nombre proposé, qui doit être
la racine du moindre quarré des trois et qui doit être la différence des
deux petits côtés du triangle, n'est divisible que par un seul nombre
premier dilférent de 1 d'un oclonaire, comme sont 7, 4î). 3Vj; 17,
28(7, etc., le nombre sera la différence des petits côtés de deux trian-
gles qu'on peut nommer surprimitifs, pource qu'ils sont primitifs des
primitifs, car d'iceux dépend l'infinité des autres triangles, et ces deux
triangles sont toujours les moindres dont l'un commence par un pair
et l'autre par un impair, et d'iceux se forme l'infinité des autres.

:>:]0 ŒUVRES DE FERMAT.— CORRESPONDANCE.

Voici la iiiaiiioro dont j(> mo sers : si je vrux, par exemple, avoir
Ions les triangles (lui oui 7 île iliiréronee enire leurs moindres côtés,
je eherehe les deux premiers triangles qui ont cette dill'érence, et
trouve T. 12, 1 î et iS, i"), 17. Je prends les racines des quarrés de
eiiaque triangle, savoir i, 2 et 4. '• ^'1 mets cha()ue couple en tète
d'une ciiloune. J'ai donc pour le premier : 3, 2. Pour avoir le triangle
suivant, je prends la plus grande racine du premier pour la moindre
du s(>cond. savoir 3, et pour la plus grande je prends le double de la
plus grande du premier, plus la moindre. Ainsi j'aurai 8, qui est
double de 3, -1- 2. Ce 8 sera la moindre racine du troisième triangle,
et la plus grande du dit troisième sera i<), qui est double de 8, +3. On
iera la même chose à l'autre couple 4. '. et on poursuivra aussi loin
(lu'oM voudra.

3.

2 .

4.

I .

8.

3.

»•

r
4-

•9-

8.

22.

9-

46.

'9-

53.

22.

Ayant donc tous les triangles qui ont 7 pour différence de leurs
moindres cotés, il sera facile, par ce qui a été dit ci-devant, de trouver
tous les quarrés arithmétiquement proportionaux, dont le moindre
est ',<).

Si le susdit moindre quarré étoit divisible par deux nombres pre-
miers de même nature que les susdits, il y auroit (juatre souches dont
tous les triangles dépendroient.

S'il étoit divisible par trois nombres premiers, il y en auroit huit.
qui ne dépendroient point l'un de l'autre.

Ktc.

Ainsi iGi, composé de 7 et 23, est la différence des petits côtés des
triangles surprimitifs :

19. 180. 181. I 60. 221. 22g I 279. [\[\0 . 52

et 4oo. 56 I. 68g,

et de chacun d'iceux on peut faire une infinité de triangles primitifs
f|iji auront le même i()i pour dill'érence, et partant, le quarré de itii

L. — 6 SEPTEMBRE 1C41. 237

sera le moindre quarré des trois propor(ionaiix en une infinité de
sortes.

Il faut excepter l'unité de ce qui a été dit, car elle sert bien de diffé-
rence à une infinité de triangles, mais elle n'a qu'une seule souche,
qui est le triangle 3, 4, 5, d'où dépendent tous les autres.

On aura donc les quarrés proportionaux (') dont les racines son!

ici :

7. .3. .7.
7. 73. io3.

7. 423. 601 .

7. 2477. 35o3.

J

17 .

2J.

1

97-

13".

565.

799-

7

SagS.

4657-

et on les peut continuer tant qu'on voudra en continuant les trian-

ûies.

Voilà donc pour la première chose qui appartient aux dits quai'rés.

5. La seconde est de trouver les dits trois quarrés en telle sorte
qu'ils soient comme enchaînés l'un à l'autre et que le dernier et plus
grand des trois soit le premier des trois suivans : comme on peut voir
en ces colonnes, la fabrique desquelles je vous envolerai au premier
voyage; toutefois j'estime que par l'inspection vous la jugerez aisé-
ment.

.7. 23.

3-. 47-

65. 79.

79. 101. 119.

119. 145. 167.

197. 223.

I .

;).

/ •

y '

i3.

•7-

'7-

25.

3i.

3i.

4..

49-

49-

61.

7'-

7'-

85.

97-

97-

ii3.

117.

; •

23.

iG-

I. 29. |i

4i. 85. 1(3.

1 13. 1 73. 217.

217. 290. 353.

353. 445. 521.

32 r . 629. 721 .

Il y a aussi des voies pour avoir les différences égales desdits quar-
rés : car, en la première colonne, si on multiplie i\ par les sommes de
tous les quarrés, lesquelles sommes sont i, 5, \\, 3o, etc., on aura

(')Frcniclo reprend la construction de trois carrés en progression arithmétique
d'après les séries de Iriingles commençant par 5, 12, i3; 8, i5, 17.

•238 ŒTVRES DK FKItMAT. - COHUESPONDANCE.

les diUorencos des quarrés, vl (M1 la socoiule coloiiiu', il laiidroil imil-
liplior 2'| par los sommes des soiils qiiarrés impairs. •

Il y a d'antres choses à cniisidérer lii-dessiis, (jiie je n'ai pas iiiaiiile-
naiil le loisir de déduire plus au loui;'.

6. Me voici niaiiileuaut ii l'eudroil de voire i.cKre, aïKpiel vous
parlez tles iKUiiljres (jui sont la soaunc des deux petits colés d'un
triangle (^') et, sur ce sujet, je vous dois ôter de l'opinion que vous avez
que je ne susse pas que cliacun de ces nombres peut siM'vir de diffé-
rence à une infinité de ([narrés et de doubles quarrés. Vous vous êtes
fondé sur un avertissement que je donnois, que les dits nombres sont
toujours deux l'ois la différence d'un quarré et d'un double quarré;
mais je n'ai pas dit qu'ils fussent seulement deux fois la différence
d'un quarré et d'un double quarré, comme vous croyez avoir lu. Il
faudroit avoir bien peu de pratique aux nombres pour ne s'être pas
aperçu d'abord que 7 est quatre fois la différence entre de fort petits
nombres : savoir entre i et 8, 2 et 9, 18 et 25, 23 et 32. Et je ne vous
ai pas coté cela pour une propriété des dits nombres; mais, vous ayant
demandé le moyen de trouver le triangle dont un nombre donné est la
somme des côtés, sans avoir les quarrés et doubles quarrés dont il est
la dinérence (-), il falloit vous avertir que les dits nombres étoient
toujours deux fois la différence d'un (juarré et d'un double quarré.

Car il y a deux couples dont je me sers pour avoir le dit triangle.
Par exemple, pour avoir le triangle dont 7 est la somme des deux
côtés, je me sers de i et 8, et de 2 et 9. Et, pource que j'étois pressé,
je n'eus pas le loisir de m'éidaircir davantage. Je n'entends pas que les
dits couples soient 2, 9 et r8, 2"), comme vous avez cru, mais i, 8 et
2, 9; et ce que j'observe en ceci est que les dites sommes sont deux
fois la différence d'un quarré et d'un double ((uarré, en chaque couple
desquels il y a un nombre moindre que la différence donnée : savoir,
il un des couples le quarré est moindre, et à l'autre couple c'est le

( ') f'oir Leltrcs XLVlll, 11, el XI.IX, 9.
(î) Foir Lettre XLIX. 10.

L. — G SEPTEMI5UE IGil. -239

double qiiarré. Gela s'observe toujours aiusi; et aux nombres qui sont
composés de deux nombres premiers, comme 119, il a quatre couples,
dont un des nombres est moindre que 119. Et voilà la méthode dont
je me sers pour voir quels sont les couples utiles pour faire les trian-
gles, car ce sont ceux auxquels un des nombres est moindre que la
diiïérence.

Ainsi, h 17, les deux couples utiles sont i, 18 et 8, 2/), à (diacun
desquels couples il y a un nombre moindre que 17, et, selon votre mé-
thode même, on se servira aussi bien de i, 18 que de 21, 8. Car si à
2j, 8, on prend 2 et la différence de 5 à 2, de même à r, 18, on aura 3
et la dilleroncc de 1 ii 3, et on aura, en l'une et l'autre sorte, les mêmes,
nombres 2, 3.

De même, si on donnoit iGr, on auroit quatre couples, savoir :

I. 162 I 8. 169 I 81. 242 I 128. 289,

il chacun desquels il y a un nombre moindre que lOi .

Et, pour trouver les triangles, je me sers des racines des doubles
(juarrés, car elles sont les racines des quarrés qui composent l'hypo-
ténuse. Ainsi à 17, on aura 1 et 3, racines des doubles quarrés 8, 18 ;
mais, quand il y en a quatre, comme à 161, je prends les extrêmes, sa-
voir 9, 8, et celles du milieu, 2, ir, qui donneront les triangles : 17,
\'\\, 145, et 44, 117, I2J.

1 . 1G2

I .

9

169. 8

i3.

0

81. 242

9-

1 1

289. 128

'7-

8

Pour avoir le coté pair du triangle, il faut prendre le double du pro-
duit des racines susdites des doubles quarrés : ainsi le double de 9
par 8 est i44. et le double de 2 par 1 1 est 44-

Mais pour le coté impair, on prend le produit des racines des quarrés
simples : ainsi r par 17 donne 17, et 9 par i3 donne 117, le premier
pour le triangle 17, \\\, i4n le second pour 44» '17» i2">.

•i'iO (KlIVRES l)i: IKKMAT. - CORRESPONDANCE.

1- Vous voyoz si j'ai eu raison de dire (\in^ les nomhrcs susdits sont
la dilTcrciit'o de (Icii.v couplos (iiiaiid ils son! preniicr's, (■( de (/tiafre
couples lorsqu'ils sont divisibles par deux nombres premiers. iMais ce
(|ui le nioiilrera (Micore mieux est la façon de Irouver fous les couples
donl un des dits nombres est la dillérence : car, selon ma méthode,
il est nécessaire iravoir ces deux couples qui l'ont comme deux
souches.

Kxemple : O/i me demande tous les quanès et doubles tjuarrés dont ~j
est la différence. Je cherche les deux couples utiles \\ chacun desquels
il y a un nombre moindre que 7; j'aurai 1,8 et 9, 2. Je prends leurs
racines et en fais deux colonnes séparées comme on voit ici :

Quarrés. Doubles quarrés.

I

5

1 1

27

65

i57

2

3

8

'9

1 1 1

QuaiTos.

Doub

es quarrés

3

1

5

4

i3

9

3i

22

73

53

i8i

128

e( mets en chaque colonne les racines des quarrés d'un ccMé et celles
des doubles quarrés de l'autre. J'ai donc d'un côté 1,2; pour avoir les
racines des couples suivans, je prends la somme de i, 2, qui est 3,
pour la racine du double quarré, et la somme des racines des deux
doubles quarrés prochains pour la racine du quarré. Ainsi la somme
lie 1 , 2 est 3, et celle de 3, 2 est .5 : j'ai donc 5 et 3. Pour le troisième
couple, la somme de 5, 3 est 8, celle de 8 et 3 est 11. On poursuit
ainsi autant qu'on veut, et l'autre colonne qui commence par 3, i, se
fait de même.

A chaque colonne la rangée de main droite, dont les nombres sont
pairs et impairs alternativement, contient les racines des doubles quar-
rés, lesquels sont plus grands que les quarrés, lorsque la racine du
double quarré est paire, comme i , 2 et 1 r , 8 ; mais le double quarré est
moindre quand sa racine est impaire, ce qui a lieu lorsque le moindre
quarré des deux qui composent l'hypoténuse du triangle dont la dite

L. — 6 SEPTEMBRE 1641. 2il

difTéronce est la somme des côtés, est impair, comme à 3, 4. 5; mais
c'est le rebours, quand le moindre quarré est pair, comme au triangle
5, 12, i3.

8. Je laisse le reste pour le premier voyage, auquel je vous envolerai
aussi la méthode dont je me sers pour former les triangles relatifs en
différence ('), comme i i. Go, Gi et i 19, 120, iCk); car je ne me sers
pas des trois quarrés proportionaux.

Voici seulement ce que je vous proposerai :

i" Trouver le moindre nombre qui soit autant de fois qu'on roudra. et
non plus, la somme de deux quarrés (-).

2" Trouver un triangle auquel le double du quarré du petit côté étant
ôté du quarré de la différence des deux moindres côtés, il reste un quarré.
Par exemple, si le triangle cherché étoit 7, 24, 2j, il faudroit qu'otant
98 de 289, le reste 191 fût un quarré.

3" Trouver un nonibie qui serve d' hypoténuse à tant de triangles <pion
voudra, et non plus à chacun desquels le produit du moindre côté par
l' hypoténuse soit plus grand que le quarré du moyen côté.

'1" Trouver les bornes des proportions que les racines des quarrés consti-
tutifs des triangles doivent avoir l'une à l'autre, afin que les triangles
aient la propriété du troisième problème.

Pour ceci, il y a autant de danger que les racines pèchent en excès
qu'en défaut, mais elles ont un espace assez grand pour s'égayer, et
elles ne sont pas gênées comme à l'autre limitation que vous m'avez
envoyée. Si les racines sont en proportion double ou moindre, ou si
elles sont en proportion triple ou plus grande, les triangles n'auront
pas ladite propriété. Entre ces deux proportions, il y a un grand espace
qui contient une infinité de proportions propres à ces triangles, lequel
pourtant n'est pas si grand que la différence et intervalle des propor-
tions double et triple, mais est un peu plus rétréci.

(') l'hoir LcUrcs XLVIII, 8, cl XI.IX, 6.

(2) yoir l'Observation VII sur Diophaiile, t. I, p. 29G.

U. — Peuuat. 3i

■ivî (i: i \ Il !•: s n k f i-: u m vt. - c o u u e s p o n d a n c e.

9. Vous irav.v. pas pris gardo (iiu- je vous avois proposo, par ma
pivotMliMUe ^' ). tlo fairo la mémo choso de rcncoinlo cnlièro du triangle,
.[uo vous demamlioz de la somme des deux moindres eôtés.

■le suis etc.

(M l.ollre XI.IX. 10.

LI. - 10 NOVEMBRE \Gk-2. 2i3

ANNÉ-E 1642.

LI.
FKR.MAT A MERSKNNE (').

LL'XDl 10 NOVEMBRE 16i2.

(A, f° 3o; D, f» .7 r«.)

Mon Ri;viiur.Mt Pkhi:,

1. Bion que la colore du refus de 31. le Chancelier {-) me dure, je
ne veux pas rester de vous obéir et chercher toutes les occasions à
vous donner des preuves de mon alFection et de mon service.

2. J'ai reçu ces jours passés une lettre de M. de (Jarcavi, par laquelle
il me demande une question que 31. de Roberval a résolue et h hujuelle
il a allaché cet éloge : Magni (juidem facicnda iitvenlio, scd niaxinn dr-
monslrnlio geometrica, nec adeo facilis ab analysi ad synthesin régressas,
at quidam imperiti. re non satis perspecta, e.xistimarunt .

Cela m'a obligé d'y travailler et de l'envoyer par le précédent cour-
rier il 31. de (]arcavi; mais, pource que peut-être il ne se soiiviendroit
pas de vous en faire part et (|ue même, en l'écrivant à la hâte, il m'a
semblé que j'y ai mis (juelque chose de supertlu, je vous l'envoie
comme elle doit être (').

( ' ) Lclli'c inédite.

(2) 11 s'agit d'une nomination qu'attendait l<'erniat (J'oir Lollre LU, 2), probablement
pour sortir des cliambres des enquêtes et entrer dans celle de l'édit.

(') La pièce dont il s'agit est imprimée dans le tome I, p. itJ7 et sui\. La ipiestion ré-
solue par Roberval et traitée par l-'ermat est la construction du cylindre de surface raaxinia
inscrit dans une sphère donnée.

■2\\ (Kl Vil i: S DK FKUM Vr. - COHUKSI'ONDANf.E.

3. J'iillcnds api'i's cela li' Livi'(> m()uv(\tu tic l'Auglois (') cl vous con-
jure lie 111" vous rchud'r pas lic (|uoi je ne vous ai pas envoyé mon juge-
ment lie l'an! ri'. Vous savez mes raisons, que je vous ai déjà allé-
guées.

4. Vous m'obligerez de me dire pourquoi je n'ai pas ou réponse
do M. (le C.liampbon, el de l)aiser les mains de ma part à MM. de My-
doriïo el Desai'iîues.

5. Souvenez-vous de la eommunieation des écrits de M. Freniele,
pour l'amour du(]uel j'ai travaillé après les nombres, et je m'assure
(|ue je vous persuaderai (|uel([ue jour (jue mon travail n'a ]»as été
inutile.

6. Je ne sais j)as en quelle posture je serai dans l'esprit de M. de La
Chambre depuis que la commission de Castres a si mal réussi.

Je suis, mon Révérend Père,

Votre très humble et très alTectionné serviteur,

Fermât.

Ce 10 novembre i64'.i.
Tournez pour le problème ( -).

( ' I Dans la correspondance de celle époque cnlre Dcscarles et Mersenne, l'expression
(le « l'Anglois » désigne Hobbes, qui a donné en iG4'2 la première édition de son De cive :
on y trouve également mentionné un antre auteur de la même nationalité, Tliomas Wliilc
( f'itiix), qui publia, la môme année, ses De inundo dinloi^i très, où Descartes était critiqué.
C'est peut-filre l'ouvrage sur lequel Fermai refusait de donner son jugement.

I') f'oir page précédente, note 'J.

LU. - ANNEE 1043. 2'io

ANNÉE 1643.

LU.
FERMAT A MERSENNE (').

MARDI 13 JANVIER 1GV3.

(A, f- ij-i6.)

Mon Ricvérknd PÈp.f;,

1- J'envoyai par le dernier courrier mon Isagoge ad locos ad supcr-
ficicm (^) à M. de Carcavi, de laquelle il ne manquera pas de vous faire
part. Vous y trouverez des propositions aussi belles que laGéométrie en
puisse produire et, bien que mon discours soit concis, il m'a semblé
que je n'en devois pas dire davantage, s'agissant d'une méthode géné-
rale de laquelle les exemples et l'usage peuvent èlre iniinis.

Je m'imagine même que cette matière n'a pas été exactement connue
des anciens; car, qu'y a-t-il dit dans tous leurs JJvres en fait de lieux,
qui vaille la proposition suivante, par exemple?

Dalis quollibet punclis in uno vel diversis planis, irwenire sphœram. in
cujits superficie sumendo quolUbel punctum et ah co ducendo rectas ad
puncla omnia data, quadrata ductaram sirmd sumpta œquentur spatio
dalo (/ ).

Et toutefois la construction en est aisée par ma méthode, et non seu-
lement cette proposition a été par moi découverte, mais la voie géné-

( ') Lellre inédilo.

(2) Tome I, p. III cl suiv. Celle Isagogc est en cITcldalée du 6 janvier i6iî.

(■') Cp. Tome I, p. ii3 : ,SV' a qiiotcumq'.ie puiictit etc.

246 ŒUVRES DE FEllMAT. — CORRESPONDANCE.

raie |)oiir ni Iroiivcr iiitiiiics. Vous me dire/ volro senliinciil de mon
|>i'tit Traiti'. cl celui de MAI. les aud'cs savan(s.

2. ('.c|icndaiit n'oiiMicz pas de nreiivoyer le livre (juc vous m'avez
promis ('), ni de me dire pour(juoi je n'ai pas eu de réponse do M. de
Champhon.

\i\\ adcndanl (|ue vous preniez voire temps de parler |)Oui' moi lors-
(|uc l'occasion s'en otlVira. je vous j)rie de savoir de M. de La Cliamlire
(|u'esl-cc (]ui empêcha ma nomination l'année passée, et me donner
avis de la réponse qu'il vous fera là dessus, alîn que je sache s'il a joué
de galimatias, ou s'il a eu vérilaldemenl pensée de m'obligcr.

3. l.a pi'oposilion du plus grand cône en superficie qui peut rire inscrit
en hi sphère, et (|ue j'avois demandée ii Al. de Roberval par la voie de
M. de Carcavi en revanche de celle du cylindre qu'il m'avoit. deman-
dée (-), ne m'a pas été encore envoyée. S'il me l'envoie, je vous en
ferai part; mais ce n'est pas à dire que je ne sois en état de vous la
faire tenir, s'il ne me relève pas de ce travail par sa construction.

4. La proporlion du cône, que le triangle équilatéral fait . à la sphère
est aisée, puisque les deux termes sont donnés en même espèce de
corps, car la sphère peut se réduire en un cône par les propositions
d'Archimède. Or, quand les deux termes sont donnés, vous ne doutez
|)as (jue la proportion ne soit donnée; vous n'ignorez pas la méthode
de mettre toutes proportions, quoique irralionelles, en nombres entiers
et approchés si prî's qu'on voudra. Néanmoins, si vous voulez celle-ci
de moi, en tel nombre de ligures de chill're qu'il vous plaira, je vous
la dresserai.

5. Vous m'obligerez de m'envoyer les épitaphes de feu M. le Cardi-
nal que vous tr'ouverez les meilleurs, ii la réserve de celui qui finit :

Phiudento coroiia. Valclc dixil,
que j'ai déjii vu.

('} /"("■/■ LvAUt: Ll, 3 ol 4
(5; J'oir LeUri; 1,1, 2.

LUI. — ANNEE 16i3. 2V7

Je suis de loul mon cœur, mon Révérend Père,

Votre elc.,

Ferjiat.

A Toulouse, ce i3 janvier iGi3.

6. Je vous prie de presser M. de Carcavi pour le Pappus manuscril,
et pour les propositions que M. de Saint-Martin a de M. Frenicle (').

LUI.

FERMAT A CARCAVI {-).
< 16i3 >

(fa, p. 178.)

MoxsncLu,

1. Vous m'obligez toujours et je connois, dans la continuation de
vos soins, celle de votre afFection, de quoi je vous rends mille grâces.

Pour la Géométrie, je n'ose pas encore m'y attacher fortement
depuis mon incommodité : je n'aurai pourtant pas beaucoup de peine
à trouver les deux de vos propositions (■'); pour celle de la parabole,
je ne l'ai pas examinée, ni tentée.

2. Je remets tout ceci à ma première commodité; mais, de peur que
vous ne m'accusiez de n'envoyer rien de mon invention, je vous envoie
trois nombres parmi plusieurs autres que j'ai trouvés, dont les parties
aliquotes font le multiple.

(1) rail- Lettre U\', 3 et 4.

(2) Nous avons conservé à celte Lettre, dont la date est incertaine, le numéro qui lui
a été assigné dans la Table du Tome L page 4^9; mais, après nouvel examen, elle nous
parait avoir été écrite entre la Lettre LVIII du 3i mai 1643 et la Lettre LIX non datée;
elle peut donc n'être pas antérieure au mois d'août i643.

(3) Ces propositions paraissent bien différentes do celles dont il est parlé Lettre LIV, 1.
Nous n'avons pu trouver d'autres renseignements ni sur les unes, ni sur les autres.

'2kS ŒUVHKS 1)K FEU MAT. - CORHESPON DANCE.

"* Le nombre suivant ost soiis-triplc do sos parties alicjiiotos :

\!\ ()42 l'.îS 37GG41 920,
Cehii-ci ai sous-quadruple :

1 803 58-.Î 780 3^0 364 661 760,

pt folni-i'i aussi :

87 934 '17G 787 6()8 o55 o^o.

Puis([ucje me trouve sur coKo matière, en voici deux que j'ai elioisis
parmi mo'i soas-qui/ituples :

Le premier se produit des nombres suivants multipliés entre eux :

8 388 608, -iSoi, ?.4oi, 2197, 2187, i33i, 4^7, 307, 289, 241, i25, fii, 4', 3i,

cl l'autre se produit des nombres suivants multipliés entre eux :
134217728, 243, 1G9, 127, 120, ii3, 61, 43, 3i, 39, 19, II, 7.

Lji voiei encore un sous-rlouhle de ses parties, de mon invention,
ie(|uel, multiplié par J, l'ait un sous-lriplc : le dit nombre est

5i 001 180 160.

3. ("."est parmi quantité d'autres que j'ai trouvés, que j'ai choisi
par avance ceux-ci pour vous eu faire part, afin que vous en puissiez
juger |)ar cet éclianlilloa. J'ai trouvé la méthode générale pour trouver
Idus les possibles, de quoi je suis assuré que M. deRoberval sera étonné
et le bon Pi're Mersenne aussi; car il n'y a certainement quoi que ce
soit dans toutes les Mathématiques plus difficile que ceci, et hors
M. de Frenicle et peut-être j\L Descartes, je doute que personne en
connoisse le secret, qui pourtant ne le sera pas pour vous, non plus
que mille autres inventions, dont je pourrai vous entretenir une
autre fois.

4- Kl pour excitei' par mon exemple les savants du pays oii vous
êtes, je leur propose ( ' ) de trouver autant de triangles en nombre qu'on

(') f'oir l'Observation XXIII sur DiophaïUc. — Cp. LfUrc KVIII, 3.

LIV. - JANVIER 1643. 2W

voudra de même aire, ce que Diophante ni Viète n'ont trouvé que pour
trois seulement.
Je suis, etc.

LIV.
FERMAT A MERSENNE (').

< 27 JANVIER 1G43 >

(A, f° 33; D, f° i4 v.)

Mon Révérend Père,

1. Je vous rends mille grâces de votre souvenir et dos proposi-
(ions ( ^) que vous m'avez fait la faveur de m'envoyer.

Celles de la parabole, de l'hélice et du conoïde parabolique sont si
visiblement fausses que ce seroit perdre le temps que de les réfuter.
Néanmoins, si vous me l'ordonnez, je le ferai.

2. Je m'imagine que vous avez vu maintenant mes Lieux ad supcr-
ftciem ('). Pourvu qu'on ne m'écrive pas qu'on lès savoit auparavant
que d'avoir vu mon Discours, comme on a ci-devant fait de quelques-
unes de mes pièces, je serai assez satisfait; du reste, vous et ceux qui
les verront, en serez les juges.

Je dois maintenant répondre aux deux questions numériques de
M. de Saint-Martin (').

3. La première est de (roiwer trois triangles rectangles desquels les
aires fassent les trois côtés d'un triangle rectangle (^).

(') Letlre inédite, non datée, mais qui, intermédiaire entre la Lettre LU du i3 janvier
el la Letlre LV du i6 février i643, doit être du 27 janvier ou du 3 février, jours de cour-
rier. Nous avons supposé la première de ces deux dates.

(2) Nous n'avons trouvé aucune autre indication sur ces propositions.

(3) Fo(> Lettre LU, 1.
(*) Foir Lettre L!I, 6.

(5 1 Foir l'Observation XXIX sur Diophante, Tome I, p. 32 1.

Fermât. — M. 32

•2.i0 ŒUVRES DE FERMAT.- CORK ESP(3N UANCE.

l.os (rois triangles qu'on demande sont ceux-ci :

a4o5, 3397, igG. 22i3, 22o5, 188. 23o5, 23o3, 96.

S'il (Ml veut d'autres (|ui satisfassent à la question, je lui eu puis
fournir infinis et, s'il veut uia méthode pour les trouver, je lui eu ferai
pari. Cependant il pourra éprouver si les trois que je lui envoie satis-
font h ladite (juestion.

4. La seconde question est celle-ci {' ) ■ Un nombre étant donné,
déterminer combien de fois il est ht différence des côtés d'an triangle qui
ail un (jiiarré pour différence de son petit côté aux deux autres côtés. Le
nombre qu'il donne est i 8o3Goi 800.

Je réponds qu'en l'exemple proposé, il y a 243 triangles qui satisfont
à ta question, et qu'il n'y en peut pas avoir davantage.

La méthode universelle dont je lui ferai part, s'il me l'ordonne, est
lieiie et digne de remarque, bien que je ne doute point que M. Freniele
ne lui ait baillé tout ce qui concerne ces questions.

Je ne vous envoie ces deux solutions que pour vous faire voir que
les mystères numériques de M. Freniele me doivent être communiqués
aussi tôt qu'à tout autre, et que M. de Saint-Martin n'y doit pas faire
difficulté.

5. Je vous prie m'euvoyer au plus tôt le livre que vous m'avez pro-
mis ( -), et faire en sorte que M. de Carcavi me fasse copier la réponse
pour que je la puisse voir.

Je prendrai la liberté d'écrire par la première commodité à M. de
Saint-Martin sur l'occasion de ces deux questions qu'il a voulu m'étre
proposées.

Cependant je vous prie me croire toujours, Monsieur,

Votre très humble et très affectionné serviteur,

Fermât.

( ' ) Cp. LeUre L, 2.

(î) Cp. Lellres LI, 3 el LU, 2.

i

LV. - 10 FEVniER 1G'»3. 2ot

6. Vous ne m'écrivez pas à quoi il a tenu que je n'aie pas eu de
réponse de M. l'abbé de Champbon (') depuis si longtemps, ni si
vous avez parlé à M. de La Chambre, duquel je voudrois, avant que
rien tenter pour moi, que vous sussiez à quoi la chose tint Tannée
passée.

LV.
FERMAT A MERSENNE (').

LUN'Dt IG FÉVnlER 1GV3.

(A, f»- 17-18; B, f" 23 V.)

Mon Révérend Père,

1- Je vous remercie de vos soins h l'endroit de M. de La Ciianilire, et
il lui-même de ceux qu'il prit à Lyon pour moi. M. deMarmiesse, noire
avocat-général, m'ayant confirmé ce que vous venez de m'écrire, lors-
qu'il sera temps, je ne doute point qu'il n'ait assez de crédit pour fiiire
tenir cette vieille promesse que 3L le Chancelier a faite depuis si long-
temps en ma faveur (').

2. Je suis bien aise que mes solutions (*) aient plu a M. de Saint-
Martin; elles sont purement de mon invention, et M. de Frenide le
pourra assurer que j'ai trouvé par ma méthode la solution de tout ce
qu'il m'avoit proposé sur pareil sujet. Ce n'est pas qu'il ne l'eût trouvé
sans doute longtemps auparavant, mais j'ai eu assez de bonheur pour
découvrir par d'autres voies ou quelquefois par les mêmes ce qu'il me
proposoit, et je crois que les démonstrations de toutes ces proposi-
tions pourront malaisément venir d'ailleurs que de moi, si je ne me
trompe.

(') Cp. LeUres Ll, 4 cl 6; LU, 2.
(,') LeUro incdile.

(3) Cp. LeUres LI, 1; LU, 2; LIV, 6.
(M roir Lettre LIV, 3 et 4.

■2:yl ŒllVRKS l)K FKUMAT. COUHESPON 1) ANCE.

3. Si >[. de Sailli-Martin ost exercé aux questions des nombres,
voici ce que je prends la liberté de lui proposer en revancbe de ses
deux questions :

Tramer deux triangles rectangles dont les aires soient en raison donnée,
en sorte que les deux petits eûtes du plus grand triangle diffèrent par
t unité.

Trouver deux triangles rectangles en sorte que le contenu sous le plus
grand côté de i un et sous le plus petit du niênw soit en raison donnée au
contenu sous le plus grand et le plus petit côté de l'autre (' ).

Après qu'il aura résolu ces deux questions, je lui en fournirai de
plus difficiles.

4. Que s'il croyoit que les solutions des deux que je lui ai données
ne soient pas de moi, il m'obligera de choisir des plus difficiles qui
sont résolues dans les écrits qu'il a de M. Frenicle, et, si je n'en fais
pas la solution, je consens de ne voir point le dit travail de M. Frenicle,
que je désire plutôt voir pour apprendre quelles sont les questions,
que pour la solution qu'il en donne. Ce n'est pas que je ne l'estime
beaucoup, mais c'est que je m'imagine que je n'aurai pas beaucoup
de peine à la trouver.

Si je puis trouver du loisir pour satisfaire au désir de M. de Saint-
Martin sur le sujet de ma méthode de maximis et minimis et sur celle
dont je me sers à la résolution de ses questions numériques, je serai
ravi de lui plaire et à vous qui me l'ordonnez.

5. Pour les lignes courbes auxquelles vous m'écrivez que M. de Ro-
berval a trouvé d'autres lignes égales, sur lequel sujet vous m'allé-
guez l'hélice (-), j'appréhende qu'il y aura de l'équivoque. H semble
d'abord, par la raison des inscrites et circonscrites, que l'hélice

(•) P'oir l'Observation XX.K sur DiopliaïUe.

(') Ce passage donne une date pour la découverte par Roberval de régalitc entre la lon-
gueur des arcs de la spirale d'Arcliimède et ceux d'une parabole, égalité démontrée plus
tard par Pascal. Foir Tome I, p. 206, note 1.

LVI. - 7 AVRIL lGi3. 253

d'Ai'chimède est la moitié de la circonférence du cercle qui sert ii
la décrire, et c'étoit une pensée que j'avois eue il y a fort longtemps,
mais je me détrompai d'abord. Si c'est celle de M. de Roberval, je m'as-
sure qu'il ne sera pas longtemps de même avis, et qu'il n'aura besoin
que d'une seconde réflexion pour se dédire.

.le suis en peine de savoir des nouvelles de M. de Carcavi; vous
m'obligerez de m'en donner et de me croire, mon Révérend Père,

Votre très humble et très affectionné serviteur,

Fermât.

A Toulouse, ce lO fcvrifr iG.i3.

LVI.
FERMAT A MERSENNE (').

MARDI 7 AVRIL 164-3.

(A, f" 19-20; B, f° '22 v.)

MosiELTR MON Révérend Père,

1. Vous n'eûtes pas de mes lettres par le dernier courrier, à cause
d'une petite absence qui m'a tenu huit jours à la campagne pendanl la
fcte. Vous aurez maintenant la réponse que je fais à M. de Brularl ( - )
jointe à celle-ci; je l'ai écrite à la hâte, comme vous verrez, et c'est la
raison qui m'oblige à vous prier qu'il n'en soit pas fait de copie cl
qu'elle ne sorte pas d'entre les mains de M. de Bruhirt.

( ' ) Lettre inédite.

(') Le personnage désigné dans les Lettres LIV et LV sous le nom de Saint -Martin
s'appelait Pierre Bruslart de Saint-Martin et était collègue de Carcavi au Grand-Conseil.
11 semble qu'ici il s'agit encore de lui {Cp. LV, 4).

La réponse dont parle Fermât est perdue; on voit qu'elle concernait sa méthode de
maxùnis et mininiis.

•2ôh ŒUVUKS HK FKRMVT. - C() U UKSPONDA NCi:.

Ce n'osl pas qiio ce que j'y .ai mis ne puisse è(re expli([ué assez aisé-
menl, mais il y a quelque petit équivoque où on nie pourroit accuser
de négligence, comme lorsque j'ai dit que les deux derniers termes de
l'équation (|ui se trouvent mesurés par K sont en plus grande raison
qu'aucuns antres qui leur soient relatifs dans les pins hautes puis-
sances. On pouri'ail dire qu'à le prcMidi'e ronvciicndu , ils sont en
moindre raison qu'aucuns autres de leurs relatifs; mais c'est en ma
règle et en mon raisonnement toute la mémo chose, et les mêmes con-
séquences se déduisent de l'un et de l'autre.

11 y pourroit encore avoir équivoque en ce que j'ai dit : que non
seulement A — K doit donner la même équation que A + E, mais
encore que, si A-i-E donne moins que A, A — E doit aussi donner
moins que A. Car il semble d'abord que, si A — E donne la même
équation que A -l- E, qu'il est infaillible que, l'un donnant moins que
A, l'autre donnera de même moins que A; ce qui pourtant n'est pas
et qu'il me semble avoir suffisamment expliqué par l'exemple que j'ai
ajouté.

Mais, pour ôter tout équivoque, lorsque j'ai dit que A ~ E doit
donner la même équation que A-hE, j'entends que par la position
de A — E, en suivant ma méthode, on doit trouver A ésal îi une même
(juantité que si nous employons A -+- E par la même méthode. Mais,
lorsque j'ai ajouté, en la seconde condition, que si A H- E donne
moins que A, A — E doit de même donner moins que A, j'entends
que si, par la position de A + E, les homogènes qui représentent le
plus grand sont moindres que les homogènes qui représentent le plus
grand en la position de A seul, de même, en la position de A — E,
les homogènes qui représentent le plus grand doivent être moindres
que les homogènes qui représentent le plus grand en la position de A
seul.

Voilii ce que j'ai cru vous devoir dire sur ce sujet. Car pour rendre
la chose entièrement claire et parfaitement démontrée, il faudroit un
Traité entier, que je ne refuirai pas de faire, dès que je pourrai
trouver du loisir assez pour cela.

k

LVI. — 7 AVRIL ICi3. 25o

2. J'attends la solution de quelques-unes de mes questions numé-
riques ('), et vous prie de m'apprendre quand est-ce que M. Frenicle
sera do retour à Paris, et si M. de Sainte-Croix est en état de soudre
des questions.

3. Pour les parties aliquotes, j'ai découvert des choses excellentes
et je puis vous envoyer quelques multiples de mon invention autres
que ceux que vous avez mis dans la préface du petit Livre Des Pensées
de Galilée (-), et pour ne vous laisser plus en doute <Jue je ne possède
la voie infaillible de ces questions, j'ai relu ces jours passés une ques-
tion que vous me faisiez par ordre de M. Frenicle, dont je vous envoie
présentement la solution.

4. Vous me demandiez donc quelle proportion a le nombre, qui se
produit des nombres suivants, avec ses parties aliquotes :

2i4 7 jS 364 Sooooo, "> i9> i^, 6i, 83, 169, 223, 33i, 3-9, Goi, 707, g6i,
1201, 7019, S23.j'i3, 616818177, 6r)Gi, 10089.5598169.

Vous me demandiez ensuite si ce dernier nombre est premier ou
non, et une méthode pour découvrir dans l'espace d'un jour s'il est
premier ou composé.

A la première question, je vous réponds que 1(> nombre qui se fait
de tous les nombres précédents multipliés entre eux, est sous-quin-
tuple de ses parties.

(1) J'nir Lettre LV, 3.

(2) Les nouvelles pensées de Galilée, matlieniaticien et ingénieur du duc de Florence,
où il est traité de la proportion des mouvements naturels et violents et de tout ce qu'il y
a de plus subtil dans les Meclianiques et dans la Physique. Où l'on verra d'admirables
inventions et démonstrations inconnues jusqu'à présent. Traduit d'Italien en François. —
A Paris, chez Henry Guenon, rue Saint-Iacques, à l'Image de S. Bernard, près des
lacobins, M.DC.XXXIX. Avec Privilège du Roy.

Dans la préface de ce volume, Mersenne ne donne d'après Fermât que les nombres déjà
insérés dans celle deV Harmonie universelle Aa i636 {voir Pièce IVa). 11 en a ajouté divers
autres dus à Sainte -Croix, Descartes {un excellent Géomètre), Frenicle (un excellent
esprit), au reste sans aucune désignation par nom propre.

•256 ŒUVRES DK FKRM \T. - CORRESPOND ANGE.

A la seconde queslion, jo vous réponds que le dernier de ces
nombres est composé et se fait du produit de ces deux :

898 !\?.o et I ly 3o3,
i|iii soni premiers (^ ' ).

Je suis toujours, mon Révérend Père,

Votre très huml)le el très an'eclionné serviteur.

Fermât.

A Toulouse, ce 7 avril iG43.

LVII.

FRAGMENT D'UNE LETTRE DE FERMAT ( = ).

< 16V:5 >

(A, f-74.)

Tout nombre impair non quarré est difTérent d'un quarré par un
quarré, ou est la diiïérence de deux quarrés, autant de fois qu'il est

( ') Sur le problème ainsi posé, il était aisé de trouver la composition du dernier nombre.
En effet, si, pour trouver le rapport du produit à la somme des parties aliquotes, on pari
du premier nombre qui est 2^^ x 5^, on remarque que 2^^ a, pour somme de ses parties
aliquotes, 223 x 616 318177. Le second de ces deux facteurs correspond de même à la
somme 2 x 7' x 898 '|23. Ce dernier facteur ne se retrouvant pas, comme les précédents,
parmi ceux du produit proposé, il est naturel d'essayer de diviser par lui le dernier
nombre donné, dès que l'on ignore si celui-ci est premier. Par conséquent, quelque mé-
thode que possédât F'ermat pour rechercher si un nombre est premier ou non (voir
Pièce LVII), il est improbable qu'il ait employé cette méthode et fait des calculs plus longs
que ceux que nous avons indiqués.

(2) Le fragment qui suit a été publié par M. Cliarles Henry (Recherches etc.. p. 191)
d'après le brouillon d'Arbogast, transcrit d'une copie perdue de Mersenne. Il ne renferme
que l'exposé d'une méthode pour la recherche des diviseurs d'un nombre, en commençant
par les plus grands, et répond ainsi à une question faite par Mersenne pour le compte de
Frenicle (Cp. LVI, 4) et sur laquelle les correspondants de Fermât ont dû revenir. Mais
la copie d'Arbogast porte le titre : Des nombres des parties aliquotes, qui semble indiquer
que ce fragment faisait partie d'une communication beaucoup plus étendue, adressée soit à
Mersenne, soit à Frenicle. Dans ce cas, la date en serait probablement postérieure à celle
que suppose le rang assigné à cette pièce pour la rapprocher de la Lettre LVI.

LVII. - 1613. 237

composé de deux nombres, et, si les quarrés sont premiers entre eux,
les nombres compositeurs le sont aussi. Mais si les quarrés ont entre
eux un commun diviseur, le nombre en question sera aussi divisible
par le même commun diviseur, et les nombres compositeurs seront
divisibles par le côté de ce commun diviseur.

Par exemple : 4) est composé de j et de 9, de 3 et de ij, de i et de
'p. Partant, il sera trois fois la dilTérence de deux quarrés : savoir de
'1 et de 49, qui sont premiers entre eux, comme aussi sont les compo-
siteurs correspondants 5 et 9; plus, de 30 et de 81, qui ont 9 pour
commun diviseur, et les compositeurs correspondants, 3 et i), ont le
côté de 9, savoir 3, pour commun diviseur; enfin 4^ est la différence
de 484 et 52g, qui ont i et 4j pour compositeurs correspondants.

Il est fort aisé de trouver les quarrés satisfaisants, quand on a le
nombre et ses parties, et d'avoir les parties lorsqu'on a les quarrés.

Cette proposition se trouve quasi tout par tout. On en pourrait quasi
autant dire des pairements pairs, excepté 4. avec quelque petite mo-
dification.

Cela posé, qu'un nombre me soit donné, par exemple 2027G51 281,
on demande s'il est premier ou composé, et de quels nombres il est
composé, au cas qu'il le soit.

J'extrais la racine, pour connoitre le moindre des dits nombres, el
trouve 4^029 avec 4o44o de reste, lequel j'ôte du double plus i de la
racine trouvée, savoir de 90009 : reste 49 G 19, lequel n'est pas quarré,
parce que aucun quarré ne finit par 19, et partant je lui ajoute 90 061 ^
savoir 2 plus que 900)9 qui est le double plus i de la racine 4^ 029,
Et parce que la somme 189 680 n'est pas encore quarrée, comme on le
voit par les finales, je lui ajoute encore le même nombre augmenté
de 1, savoir 90063, et je continue ainsi d'ajouter tant que la somme
soit un quarré, comme on peut voir ici ('). Ce qui n'arrive qu'à io4o4oo,
qui est quarré de 1020, et partant le nombre donné est composé; car
il est aisé, par l'inspection des dites sommes, de voir qu'il n'y a au-

(') Fermât avail dû elTeetiier en marge les calculs indiqués, qui n'ont pas été repro-
duits sur la copie.

Fermât. — H. 33

•258 ŒUVRES 1)K FEllMAT. - COUUESPONI) ANCE.

cuiio qui soit nonibro qtiarré que la dernière, car les quarrés ne
peuvent soulTrir les finales qu'elles ont, si ce n'est 'iqo 9/1 'i qui néan-
moins n'est pas quarré.

Pour savoir niaintenanl les nombres qui composent 2027651 281,
j'ote le nombre que j"ai premièrement ajouté, savoir 90 oGi, (lu dernier
ajouté 90081. Il reste 20, à la moitié duquel plus 2, savoir à 12, j'a-
joute la racine premièrement trouvée 4jo-9- I-^a somme est 43041,
auquel nombre ajoutant et ôtant 1020, racine de la dernière somme
ïo4o4oo, on aura 46061 et 44 021, qui sont les deux nombres plus
prochains qui composent 2027651 281. Ce sont aussi les seuls, pource
que l'un et l'autre sont premiers.

Si l'on alloit par la voie ordinaire, pour trouver la composition d'un
(el nombre, au lieu de onze additions, il eût fallu diviser par tous les
nombres depuis 7 jusqu'à 44 021.

Plusieurs abrégés se peuvent trouver, comme lorsqu'on ne fait
qu'une addition au lieu de dix, aux endroits où les sommes ont leurs
tinales quarrées, quand les compositeurs sont beaucoup éloignés l'un
de l'autre.

LVIII.
FERMAT A < SAINT-MARTIN >(').

UIMANCIIE 31 MAI 16i3.

(B, P 9V«.):

1. Donner le sixième triangle qui a l'unité pour différence de ses deux
petits côtés.

(') Fragmcnl inéilit d'une lettre perdue. Il porle comme titre, dans le manuscrit :
« Extraict d'une Irc du ^l may iO|3 à M. DF. », ce qui indiquerait Fronicle comme le
destinataire. Mais, si l'on compare la Lettre L de Frenicle à Fermât, il est très impro-
bable que le premier ait propose au second deux questions dont il lui avait auparavant
donné une solution. 11 est établi d'autre part, par les lettres suivantes (LIX et LX), que
les questions énoncées par Fermât dans la présente (3) étaient proposées à S'-Martin et à
Frenicle. Le destinataire effectif fut donc plutôt S'-Martin et la confusion s'cxpli(iue d'ail-
leurs facilement.

LVIII. - 31 MAI 16V3. 259

Donner le second triangle qui a pour différence de ses deux petits
côtés 7.

Pour la première question, le premier triangle qui a pour différence
de ses deux côtés l'unité, lequel est : 3, 4. 5, donne aisément tous les
autres par ordre, et voici comme je procède :

Du double de la somme de tous les trois côtés, ôtez-en séparément
les deux petits côtés, et ajoutez-y le plus grand côté, vous aurez le
second triangle, lequel par la même règle donnera le troisième, celui-
là le quatrième, etc. à l'intini.

Pour avoir donc le second, prenez le double de la somme dos trois
côtés du premier, qui est i\ ; ôtez-en séparément les deux petits côtés,
restera 20 et 21, et ajoutez à 24 le grand côté, viendra 29. Nous aurons
donc pour le second triangle : 20, 21, 29; le troisième sera : 119, 120,
169, et le sixième : 23G6o, 2'3 66i, 33 4*3 1.

2. La seconde question a la pareille solution : il y a deux triangles
fondamentaux qui ont 7 pour différence de leurs petits côtés, savoir
5, 12, i3, et8, i5, 17. De chacun de ceux-là se forment tous les autres
à l'infini par la méthode précédente.

Par exemple, le double de 5, 12, 1 3 est Go; ôtez-en séparément les
deux petits côtés, 5 et 12, restera 48 et 55; ajoutez à Go le plus grand
côté, viendra 73. Donc nous aurons pour le premier triangle : 48,
55, 73.

De même 8, i5, 17 donnera G5, 72, 97. Etc. à l'infini.

Je sais bien qu'on pourroit réduire ces questions à trouver combien
de fois et l'unité et 7 sont la différence d'un quarré et d'un double
quarré; mais il faudroit en ce cas deux opérations, et il me semble
plus commode d'en user d'une seule.

3. Je vous propose (') :

i" Trouver un triangle rectangle duquel le plus grand côté soit un
quarré et la somme des deux ou trois autres soit quarrée.

(') Foin pour ces questions : 1° l'Observation XLIV sur Diophanto; 1° l'Observa-
tion XXIII; 3° les Lettres LIX, 2, et LX, 2.

:>G0 ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

2" Trouver (/ital/r triangles de même aire.

3" lu triangle duquel l'aire, ajoutée au (/uarré de la somme des deux
petits eàlés, fasse un quarté.

Ll\.

FKKMAT A MERSENNE (').
< AOUT 16i3 >

(A, l- 37-38; B, f" 22'''' r. )

Mon RiivKUF.ND Pèhk,

1. Vous m'écrivez que la [)ropo&itioii (le mes (jueslions impos-
sibles (-) a fâché et refroidi M.M. de Saint-Martin et Frenicle, et que
(•'a été le sujet qui m'a rompu leur communication. J'ai pourtant à
leur représenter que tout ce qui paroît impossible d'abord ne l'est pas
|)ourtant, et qu'il y a beaucoup de probli'uies desquels, comme a dit
autrefois Arcliimèdc, oùx sùaÉOooa toj Trpojiw çavivra ypovco ty]v

Vous vous étonnerez bien davantage si je vous dis de plus que toutes
les questions queje leur ai proposées sont possibles, et que j'ai décou-
vert leur solution. Ce n'est pas qu'elles ne soient très malaisées et que,
pour les soudre, il ne faille faire quelque démarche au delà du Dio-
pbante et des Anciens et Modernes. Mais, comme toutes les inventions
n'ai'rivent pas 'et ne se produisent pas en même temps, celle-ci est du
nombre de celles dont la méthode n'est pas dans les Livres et que je
puis attribuer au bonheur de ma recherche.

2. Et, afin que je ne vous tienne pas plus longuement en suspens,

(') Lettre inédite, dont la date approximative est indiquée par colle de la .sui\aiito.
(') Les questions de la Lettre LVllL 3.

(') Préambule du Traité De lincis spiralilnis. Fermât a cité de mémoire; dans le texte
d'Archimède, au lieu de t'ù ::p.w-';). on lit h ip/i-

LIX. — AOUT 16V3. 2G1

j'ai résolu toules les questions que j'ai proposées à ces Messieurs, doii(
je ne vous coterai maintenant qu'un exemple, pour leur oter soulemeni
la mauvaise impression qu'ils avoient conçue contre moi, comme leui'
ayant proposé un amusement et un travail inutile. Je choisirai pour
mon exemple une des plus belles propositions que je leur ai faites ( ' ) :

Trouver un triangle duquel le plus grand côté soit quarré, et la somme
des deux autres soit aussi quarrée.

Voici le triangle :

4687298610289, 4 '^65 ,'|86 027 761, 1061652293020.

3. S'ils veulent la solution de quelqu'une des autres questions, je la
leur envolerai des qu'ils voudront; ils n'ont qu'à me marquer celle ou
celles qu'ils désirent.

Il faut proposer les autres ii soudre à ceux qui disent (comme ^]. de
Carcavi m'a écrit) que j'ai trouvé ma méthode de maxima et mi/iima
par hazard. Car peut-être ne croiront-ils pas que j'aie (rouvé ces ques-
tions il tâtons e( par rencontre. M. Hardy est un de ceux-là.

Vous m'obligerez de saluer M. de Saint-Martin de ma part. Peut-èlrc
que, pour l'amour de lui, je mettrai par écrit mes inventions sur Dio-
pliante, où j'ai découvert plus que je ne m'étois jamais promis. La mé-
thode pour soudre les questions que je lui ai proposées est un échan-
tillon de mon travail.

Je serai bien aise que M. de Frenicle souffre le renoucment de
notre commerce.

4. M. de Carcavi vous fera part de quelques nombres sous-muldples
que je lui ai envoyés (- ).

J'en ai trouvé quantité d'autres et la méthode générale pour trouver
tous les possibles.

5. N'oubliez pas de presser M. de La Chambre (^) et de le faire agir

(') Comparer l'OLiscrvalion XLIV sur Diophanle.

(2) Foir Lctlrc LUI, 2.

(.') T/). LelUes U, 1 et 6 ; LU, 2; LIV, 6.

26-2 ŒUVRES l)K FEIUIVF. - COURESPONDANCi:.

ilo la bonne façon. S'il nio considère, comme il fail semblant, celle

petite alVaire vant faite.

Je suis, mon Révérend Père, voire etc.

Fermât.

6. Le théorème qne vons m'avez proposé de la part du géomètre do
("-hàlons ('), marque qu'il n'a pas fait grand progrès en l'Algèbre, car
les plus médiocres ne peuvent pas douter que ce théorème ne soit gé-
néralement vrai.

Si MM. de Saint-Martin et de Frenicle veulent renouer le commerce
des lettres, nous vous ferons voir des choses nouvelles et qu'il ne faut
pas chercher dans les Livres.

Si M. de La Chambre n'agit pas bientôt et avec affection, je songerai
à ne l'employer plus.

LX.
FERMAT A MERSENNE ( = ).

MARDI 1" SEPTEMBRli i6'l-3.

(A, f» 3i; B, !'"22 ter.)

Mon Révérend Père,

1- J'ai vu, par la lettre de M. de Saint-Martin, que mes questions
lui ont paru impossibles (') et à M. Frenicle aussi.

C'est une marque infaillible de la difficulté qu'ils y ont trouvée;
pourtant, non seulement elles sont toutes faisables, mais j'en ai décou-
vert la solution et, afin qu'ils n'en doutent pas, j'ajouterai à la solution

(') Nous n'avons trouvô aucune indicalion sur co géomètre, ni sur son problème.

(«) LcUre inédile.

(>) Foir Lettres LVIII, 3, et UX, 1.

LX. — l"-^ SEPTEMBRE 16.V3. 203

de la question que je vous envoyai dernièrement ('), qui étoit :

Trouver un triangle dont le plus grand côté soit rjuarré, et la somme
des deux autres soit aussi quarrée,

celle de la suivante, qu'ils ont tout de même jugée impossible :

2. Trouver un triangle duquel l'aire ajoutée au quarré de la somme
des deux petits côtés fasse un quarré.

Voici le triangle :

205769, 190281, 78820.

3. La troisième étoit :

Trouver quatre triangles de même aire.

Mais, pource que M. de Saint-Martin m'écrit qu'il espère de venir à
bout de celle-là, je ne vous donnerai point la solution présentement,
seulement vous dirai-je qu'après qu'il en aura trouvé quatre, je lui en
ferai voir cinq et, s'il m'invite, une méthode générale pour trouver
autant de triangles qu'on voudra de même aire; ce qui vous fera peut-
être étonner de ce que Diophante et Viètc (-) n'ont proposé ni fait la
question qu'en trois seulement.

Si M. de Saint-Martin ne m'écrivoit qu'il est allé faire un voyage, je
lui récrirois sans remise. Vous m'obligerez de m'apprendre quand il
sera de retour, afin que je satisfasse à mon devoir, et cependant je
vous prierai de lui faire voir cette lettre avec ma précédente ('), afin
qu'il connoisse que je ne lui ai rien proposé dont je ne sois venu à
bout.

Je serai bien aise que M. Frenicle voie ces miennes solutions, de

quoi je me confie à vous et suis toujours, mon Révérend Père,

votre etc.

Fermât.

A. Toulouse, i septembre i643.

4. Je n'ai pas bien compris le théorème de Torricelli en votre

(•) To/r Lettre LIX, 2.

C) Diophante, Aritlimctique.'!, V, 8; Viète, Zetetic, IV, 11.

^3) La Lettre LL\.

■iR\ ( i: i \" li i: s I) i: . v !•: i\ m at. — c o n n i: s i> o m ) v n c e.

Loltrt* ( ' "): vous ni'obligoroz de l'élcndre im peu plus o( de l'iiirc Iticn
la liiînrc.

(M Torrieelli avnil cumimmiiiin' cm idiS au P. Niccroii un ccrliiiii tioiiiliio {li' |iru|iiisi-
lions qu'il lit impriuier l'anuoo suivante dans ses Opcr/i gconictricn. La plus rmiarquablo
concernait le volume do révolutinu engendré par une hyperbole éipiilalére tournant autour
de sort asxmptote: Torrieelli L>noni;ail ipie ce volume, à partir d'une ordonnée déterminée.
est fini. Dans une lettre adressée par .Merseune à Torrieelli le aj décembre iG4'3 (Dixcc-
poli di Galilco, l" XLI, f° ij r° i, cl publiée dans le Jliillrtliiio /lo/irumpt/^/ii, VIII, p. 4ïo,
on lit :

'■ Clarlssimus aieomctra Sonahir Tholosanus Fermalius libi pçr nie scqueus problema
solvendum proponil, quod Ino de conoide acuto infinilo a'ipiivalcat :

» Invenire triaui;ulnm rectan.ijulum in numcris, cujus latus majus sit (piadratum, summa-
(juc duorum aliorum eliam sit quadralum, deni(pie summa majoris et medii laleris sit etiam
quadralum.

» Excmpli gratia : ia triangulo 3, 4. 5, oportct J esso numerum quadralum; dcinde
summa 4 et 3, hoc est 7, foret numerns quadratus; denique sunima 'i et j, hoc est g. esset
ijuadrala.... u

LXI. - IGhk. 265

ANNÉE 1644.

LXI.

FERMAT A CARCAVI {' ).

< t6ii >

{fa. p. 17.S-179.)

Monsieur,

1- Je suis iiiani de l;i perte du paifuel de M. de Saiut-Martiu. Je lui
éerivois sur le sujel des nornltres el lui faisois part de qael([ues propci-
sitions et surtout de la suivaute, que M. Frenicle in'avoit autrefois
proposée (-) et qu'il m'avoua tout net ne savoir point :

Trouver itn triangle rectangle, auquel le quarré de la différence des
deux moindres côtés surpasse le double du (juarré du plus petit côté d' un
nombre quarré.

Je lui avouai aussi pour lors que je n'en savois point la solution et
que je ne voyois pas même de voie pour y venir, mais de|)uis je l'ai
trouvée avec autres infinies. Voici le triangle (^) :

i.")6, ir)ij, 1520.

Il sert à la suivante question, pour la(|uelle M. Frenicle se melloil
en peine de ce préalable :

Trouver un triangle rectangle, duquel le plus grand côté soit quarré et
le plus petit diffère d'un quarré de chacun des deux autres.

( ') La date de celle Lcllre osl présumée d'après celle do l'édition de Thcon de Smyrno,
donnée par Boulliaii.

(2) ro(> Lettre L. 8. — On peut constater la perle île deux Lettres échangées entre
Fermai et Frenicle à la suite de celte Lettre L.

(') Cp. l'Observation XLIV sur Diophanle.

l'KtOUT. — IL •34

■Hm ŒUVRES 1)K l'KHMVT. - COK HESI>OM)ANCE.

Si vous jugoz à propos do l'airo par( tlo coKo proposition à mon dil
Sioiir do Saint->[ai'(iii, jo m'en rémois à vous; je ne reslerai pas de lui
réerire par la première voie.

2. J'ai donné ii Monsieur rArehovèquo (') nu polil mémoire de eor-
reetions sui' le T/ico/i Smyrnœiis, ijue je crois (ju'il envolera à l'auleur
avee le mauuseril de l'Astronomie (-). Je serai ravi (jue cette occasion
nie s(M'vi> ;i être connu de 31. Houlliau, de qui le mérite, étant connu
il tout le monde, m'a été pleinement confirmé par ce nouveau travail
sni' le Tliéon. oii j'ai particulii'remeut admiré la coi'rection du décret
de riniotluM', (]ui ne pouvoit être due qu'il une main de celle impor-
tance.

.)(> suis etc.

{') Charles de Moiitehal, arcliovCque de Toulouse. — Pour les euiTcclioiis proposées
par Fermât au texte édité par Boulliau, voir Tome I, Appendice, VIII, pages 373-376.

(-) Dans les prolégomènes do son J.tlrofiomia phllolaîca (i645), p. 20, Boulliau dit en
effet avoir entre les mains ce manuscrit de la seconde partie de l'ouvrage de Tliéon, que
Montclial avait mis à sa disposition; mais il ne le publia pas. Ce manuscril, entré vers
ijooà la Bibliothèque Boyale (fonds grec n" 1821), ne fut utilisé (]u'cn iSjg par Th. -II.
Martin : Tlieonis Smyrnwi Platoiiici lihcr de .Isiri

rniioiuKi.

LXII. - ICiG. 267

ANNÉE 164(>,

lAII.

FERMAT A GASSENDI (').

< 1046? >

( f'a, p. ^01- :!o:^ . )

1- Proniintiavit Galiieiis motum unifoiiaitfr accoleraUim psso cuni

( ' ) Celte pièce a été imprimée on i)i-emiei' lieu dans l'édilion lie Lyon ( iGJ8) des Œuvres
de Gassendi, t. VI, pp. 541-543, ainsi que le menlionne au reste la noie suivante des
Faria :

« II;cc epistola Typis édita fuil tuinu 0 Operum Gassendi inter ejjislolas ad eiim seri-
plas. »

Elle porte comme intitule dans les f'nr'ui :

« Viro Clarissimo Dom. Gassendo Petrus de Fermât S. P. — De proporlinne (|uâ gi'a\ia
deeidentia accelerantur. »

Elle est suivie dans les J'arUt, p. 204. de la pièce suivante :

« Lettre de Monsieur Gds.sendi à Monsieur de* " ' *

i) Monsieur,

» 1! y a déjà quekjue temps que Monsieur le Président do Donneville, s'étanl donné la
i> peine do me venir voir, me laissa un écrit de Monsieur de Fermât touchant l'accroisse-
» ment de vitesse qui est en la cheute des corps, et parce que je n"ay point eu l'honneur
0 do le revoir depuis, et que je ne sçay poini son lotjis pour le liiy pouvoir rendre, et que
<> d'ailleurs il 1110 semble qu'il me dit en passant qu'il avoit charge de vous le remettre
» après qu'il me l'auroit monstre, je me suis advisé de vous l'envoyer sans plus attendre,
« avec les très humbles remerciemens que je dois à mondit sieur de Fermât do la bonté
1) qu'il a eiie de m'en donner la communication. Il seroit superflu de vous dire combien

:>(iS (Kl'VKES PK FKUM'iT. - COU KESPOND ANCR.

(|tii. a (iiiioto riH"('tl('iis. (ciiiporilnis a'(Hialil»iis avjiialia celcritatis iiio-
iiH'iita sihi supi'i'adilit (^ ' ).

lùiiii vrro t[iii a'(|iialil)iis spatiis a'iiiialia celoritalis inomenta silti
superailtlil. adco non convciiin' inotui graviiiiii dcsccndi'iitiiini alllr-
iiial ul, ox 00 siipposih), iiKitiiiii in iiislaiili ticri (Icdiical ol, ni silii
pcfsnasil. t'acillinic donionsirol.

Sed concedatnr, si plaeot, viro pcrspicaci et Lynca^o indcmoiisli'ala
conclusio, diiininotld si( vcra. DcmonstralioiuMii enim dnni |)rinio sta-

liin ohlnlu

Aiit viilet, nul vidisso piiUil pcr iiiibila (-),

niliil niirnm si Irctorihns minus uliquo LyucaMs parum vidoatnr salis-
IVcissc.

Il igilnr coiistet suus lionor Galilcu, nt-que amplius de ipsins ilia-
lione anibigatur, aut ralionibus tantum probabilibus disputetur, pru-
posilioncrn ipsam naore Archiniodoo bic demonstratam habebis.

2. Si qitolli1>L'l rectce. ad iintirn panel iim rimcurrentes, exponanliir in
caiitiima proporlianc, canun inicivalla enail in endem ralione.

» j'en suis satisfait, pui?iine comme vous gravés mieii\ qui.' loiil autre rien ne peut jun-lir
1) d'une telle uiain (pii ne soit |)iirrait e:i tout jioint. Je suis, etc. «

D'autre part, les /■"«/•(« (page vi non numorotéo) reproduisent la mention lionoriliipie
suivante :

« Samuel Sorhcrhis m pr/fft/tio/ic Uperiiin Gassendi.

» Petruni Fermatium tam longo iatorvallo Victam, Diophanluni et l'ythagoreos omnes
» post se relinquenteni. »

Cette mention se trouve effectivement page 36 (non numérotée) de la Notice do Sor-
bière.

La présente lettre n'est pas datée; mais on jicut la rapporter vraisemblablement à
l'année lO.'iC); c'est la date de l'ouvrage in-4 de Gassendi : De proporliaiie i/iu/ grnvia deci-
dciitia accclcrniitur Ej)istolœ TU (judius rcspondetur iid epislolas Pétri Ciizrœi ( OEin'res,
tome III, 1). 504). Fermât fera allusion dans les n"' LXXXII et LXXXIIl à la même ques-
lion.

( ' ) C'est la définition qu'on trouve commentée dans la Ginrnata tcrzn des Discorsi e
ilimostrazioid nudeiiiitliehe i/ilor/io a due iiiim'e Scie/ize (itteneiui nlla mcccanica et mo-
iimeiiti loiali. Levde, id'iS, .'1°, p. 1S8. (Cf. Opère di Cntileo (Udilei, éd. Alliéri. tome XIII.
|i. i55.)

( ') Virgile, Enéide, VI, l'» i-

LXII. - 16i6. -260

Verbi gratia, sint rectai {fig. 79) AF, BF, CF, DF, EF, etc. in conti-

Fig. 79.

mia proportione, enint intorvalla ipsarum, AB, BC, CD, DE, in cadeni

rationo.

Est enim

m tola AF ad totam BF,

ita ablata BF a priore ad CF ablalam a posteriore.
Ergo

ila rcliqua \H ad reliquam BC ut tota ad totam, hoc est, iit AF ad BF,

et sic de cseteris.

Eadom ratione demonslrabimus

ut AF ad CF, ita esse AB ad CD,

et

ut BF ad DF, ita esse DC ad DE,

etc.

3. Si inlelligatur motus a punclo F (fig. 80) i^ersus panrluni A con-
tinue acceleralus secundum ralionem ilecursorurn spaliorurn. et expo-

Fig. 80.

B C D" E

li JI X 0 V X
Z

nanlur quolUhel continue proportioiiales ut AF, BF, -^CF, DF, >KF, etc.,
lempus in quo mobile percurret spatium DE erit œquale tempori in quo idem
mobile percurret spatium DC ; denique spatia omnia ED, DC, CB eodem tem-
[)ore singula percurrentur.

4. Demonstrabiinus/jn>«o spatia CB, BA oodeni toniporc in snppo-
sito motu percurri.

Si onini tempus per AB non est «quale lenipori per BC, eril vcl nia-
jns vel minus.

■r,{) ( i: l N W ES 1) K F E l{ M AT. - C ( ) IU{ E S 1' 0 xN D A N C E.

Sil iiriimim niajiis, si lieri polost. Krgo

lempiis per AB osl ad Icnipus pcr Ii(^.
m alitiua rccla major ipsà BF ad ipsam I5F.

Sit rccla illa Z : erno est

m Iciiipus pcr AI5 ad lcm|)(is por BC, i)a recla Z ad rcelam BF.

Siiniantur inter rectas AF, BF, (ot niodiic in coiiliiiua proportionc,
m HF, MF, NF, douce miiior ex ij)sis, ut NF, sit minor quiim recta Z :
(|ii()(l (|ui(lcm necessario eventuriim, vel ex sola médise invcnlioiic
cjiisqiic itcrata, qiioties opus fuerit, opcratione, quis non videl?

Kriint ei'go continua' proporlionales rectse AF, RF, MF, NF, BF ;
ciini auteni sit

ut AF ad BF, ila BF ad CF, et ita AB ad BC,

ergo poterit continuari proportio sub eodcni numéro terminorum, lit
sint etiam proporlionales BF, OF, VF, XF, CF, idque in cadem snpc-
riorum rationc.

His ita positis et constructis, considcrcntur et comparentur singula
spatia AR, RM, MN, NB singulis spatiis BO, OV, VX, X(], singula nempe
singulis, hoc est, spatium AR spatio BO.

Si igitur per spatium AR fuerit motus uuiformis juxta gradum velo-
citatis in puncto R acquisitum, <^ et per spatium BO moins uuiformis
jiixta tfradum velocitatis in puncto B acquisitum >,

tempus per AR ad tempos pcr I$0 componcreliu'
ex ralione spatii AU ad sitalium BO
et (vicissim) ex rationc velocitatis pcr B ad vclocilatcm pcr II :

(|uod uotissimum est etGalileus ipse demonstravit, proposilione quinlà
Traclatiis de motu (vqunhili (' ).

At

\\\ spaliiim AB ad spatium BO, ila,

C) B Si duo mobilia œquabili motu feranlur, sint tamen vclocilatcs iiurqualos et ina'-
(liialia ?pBtia poracla, ralio toniporum composita erit ex ralione spalionim, et ex rationc
velocilalum contrarie sumptarum. » (Dixcorsi e dimostrazioiu matcmatichc, Leydo, iGiS,
p. i54: Opère di Gaideo Gnlilei, éd. Albèri, l. XIII, p. iSa.)

LXII. - lGi6. -271

per primam proposUioncm,

recta AF ad rectani BF,

et

ul velocitas per B aci velocitatem per R, ila,

ox supposita niotùs accelcrati jiixta spatia dccursa definitiono,

recta BF ad reclani RF;
ergo fcmpus per AR, hoc casu, ad lempus per BO componeretiir

ex rationc AF ad BF et ex ratione BF ad RF;
cssel igitur

tempus per AR ad lempus per B() ut recta AF ad reclam RF.

Deiiide, si per spatium RM HoreL motus uniformis juxta gradiiiii
velocitatis •< in puncto M acquisitiim, et per spatium OV motus uni-
formis juxta gradum velocitatis > in < puncto > 0 acquisitum,
eàdem ratione probabitur

tempus per MR ad tempus per OV esse ul recta RF ad rectam MF.

Similiter, considerando velocitates punctorum N et V, erit

tempus |)er M.N ad lempus per VX ul MF ad NF.

Denique, considerando velocitates punctorum B et X in ultimis spa-

tiis, erit

tempus per NB ad lempus per \G ul NF ad BF.

Sed omnes cjusmodi rationes, nempe AF ad RF, RF ad MF, MF ad
NF, NF ad BF, ex constructione sunt esedem : ergo

tempus omnium motuiim per lotam AB
ad tempus omnium motuum per lotam BC

in ulrisque spatiis ita ut diximus consideratorum

est ut recla AF ad RF, sive NF ad BF.

Sed tempus motùs accelerati per AR est minus temporc inotùs per
AR uniformis juxta velocitatem in R : cùm enim a puncto R usque ad
punctum A perpetuo, ex hypothesi, velocitas crescat, ergo a puncto R
ad punctum A citius per motum acceleratum pervenitur quiim si vélo-

•2rl (El VHKS DM FEUMVT. - CO 1! 1$ KSI'OX I) VNCI-:.

l'ilus a("(|iiisila in H oadciii vl iiniroriiiis us(|ii(' ad piiiicdiin A pcrscvo-
rari't.

Kadciii ralioiic jn'ohaltiliir Icnipiis mod'is accidcialt [)pr KM oss(>
iiiiiuis lompoi'p inolùs uniforiiiis pcr R.M, si vclocilas ipsiiis iiiliiiio
ipsiiis sjiatii M pimrlo rcspondcal.

Doniquo oonstal nioUiiii por tolaiii AB aci'oI(M'aliiiii, iil lie! Iivpo-
llicsis. inii\(>ii (ciuporf licri (luàm moliiin aliiiia ticliliimi ex niolibiis
iiiiilbriuibus, jii\(a vchicilales tiUiinis spalionini AU. H.M, MN, NB
pHnctis rcspondoiik'S, compositiiiii.

At contra lonipus motiis accolcrati por BO est majus tomporc molùs
uniforniis pcr BO, considtM'ati juxta velocitalem puncti B, quia volo-
citas a puncto B ad 0 senipcr crescit in motu accelerato, juxta hypo-
ihesin, et niinor somper est velocitate qu* respondet puncto B.

Undc pari ratiocinio concludetur motuni per totam BC accélérai uni.
ut tiel liypothesis, majori tempore tîeri quàni niolum iilum fictiliuui ex
nioliiins uniformibus, juxta velocitates primis spatiorum BO. OV. YX,
XC punctis respondentes, compositum.

Cùm ergo tempus motûs accelerati per AB sit minus tempore motùs
illius tictitii per eamdem AB, et contra tempus motûs accelerati per BC
sil inajus tempore motùs illius fictitii per eamdem BC, ergo

niinor est r;itio icmporis motùs accelerati per AB
ad leiiipus motùs accelerati pcr BC
quiim lemporis molùs fictitii |)er AB
ad tempus molùs tictitii per 13C;
sed,

ut lempus molùs accelerati per A15 ad tempus molùs accelerati pcr liC,
ila posuimns esse reclam Z ad reclam BF,

et

ul leiiii)us molùs fu^lilii |)er AB ad lempus motùs iîclilii pcr BC,

ita demonstravimus esse iN'F ad 1$F :
ergo

iniiior e^l ralio i-ecUe Z ad leclam 151' (|ii;uii recta; NF ad eamdem 15F,
qiiod est alisurdum, cùm recta Z sit major rectà NF.

LXII. - IGIC. 273

Ergo tempus motùs accelerati per AB non est majus temporp motùs
accélérât! per BC.

Eàdem facilitalc probabimus tempus motùs per AB accelerati non
esse minus tempore motùs accelerati per BC.

Sit enim minus, si fieri potest : erit igitur

ul tempus motùs per AB accelerati ad tempus motùs accelerati pcf I5('.,
ita recta miiior i])sà BF ad ipsaiii BF.

Ksto itaquc recta illa, minor quàm BF, G et sit

tempus motùs acceleraii per AB ad tempus motùs acceierali per BC
ut G ad rectam BF,

et inter rcctas BF, CF exponatur continue proportionalium séries
quarum maxima OF sit major quàm G. Eodem quo usi sumns, in
superiori demonslrationis parte, ratiocinio, conferendo spatia in ipsà
AB inler similes proportionalcs intercepta cum spatiis BO, OV, VX,
XC, mutemus solummodo velocitates uniformes et tingamus, verbi
gralia, motum per AR uniformem fîeri juxta gradum velocitatis in
puncto A acquisitae; motum vero uniformem per BO fieri juxta veio-
citateni acquisitam in puncto 0; et sic in reliquis spatiis, in quil)us
patet omnes velocitates per AB uniformes augeri, velocitates verb per
BC. uniformes minui. contra id quod in priore dcmonstrationis parle
fuerat usurpatum.

C.oncludetur, ut supra,

lempus motùs luijusmndi unilormis per AFl
ad tempus motùs unilormis per KO
esse ut recta BF ad rectam AF :

duni enim augcntur velocitates, tempora motuum minuuntur.
Similiter

tempus motùs uniformis per BM ad tempus motùs uniformis per OV

erit ul MF ad MB.

Keumat. — II. 35

f

n(Miii|iu>

itMiipiis iiioli'ls ficlilii illitis per AB e\ uniformibiis composili
ad teinpus moti'^s firtilii (lor UC o\ iiniforiiiilnis parilcr conipositi
dit m l\V ad VF.

cîirn oinnes nitionos siiil cTrliMii. Iincost, ni OFad BF, porpriniam prn-
|)ositittii('iu.

Teinpiis aiUcin luotùs acccU'iali prr A15 est majus Icmporo iiiotùs
illius tu'titii ex imiformibiis (îoinpositi, cùm supposuorimiis in mo-
tilms uiiirormihiis aiirtas fuisse volocitatos, qua' nimiriiin in lior casu
priiiiis spalioriiin AK, RM, clc. piinclis rcspoiidcnt; sod cl Icnipiis
motùs accelerali per BC est iniiuis lenipore inotùs ticlitii ex uiiifoi"-
inil)us composili, quia hic velocitales iniiiiuiiiliir et ultiniis spaliorinn
no, OV, etc. punctis respondeiit : ergo

major esl ratio leniporis iiiolMS accelerali jter < AB

ad tenipiis niotùs accelerali per > BC

cHiàm lemporis motùs lictitii per ATî

ad tempus molùs ficlilii per HC.

Sed

ut lempus motùs accelerali per AB ad tempus molùs accelerali per Bli,
ita est recta (î ad reclam BF,

ex suppositioiie; ut autem

tempus molùs (iclilii per AB ad tempus molùs ficlitii per B(],
ila recta ()F ad BF,

ex deinonstrationc : ergo

refla G ad rectam BF majorcm pi-oportionem lialtet
quàin recta OF ad rectam BF,

(|uod esl ahsnrdum, ciim recla ('• sil minor rectà OF, ex conslnir-
liouc.

Non ergo lempus motùs acciderali per AB est minus leinpore molùs
accelerati por BC; sed nec majus, ut supra demonstratum esl : ergo
est œtj/uale.

L\ll. - IG'.6. -275

Ivuk'in ratione patol k'iiipus molùs accclerali pcr CD a'qiiaii (cinpori
niolùs accclorati por AB, et tompori niotùs accehM'ati por HC, cl, coii-
tinualis, si plaei't, in infinitum rationibus, ornnia omnino spaliu eodcni
tempore perciirri.

5. llis positis, tcriià propositioiie mL'iiloin Galiici rovelaimis aul pro-
|)Os;ilioiiis voritalem astruimus.

Intelligatur motus gravium dcsconckMiliuni a (|iiie((' ex puacto A
{fig- Si) usque ad punctum H, verbi gratia, et siipponaliir, si //cri

Viff. Si.
F G

po/csi . rrlocitatem gravis cadentis accelerari jiixUt rnlionem spatioruin
ilcriirsonim. Ponalur moins jaiii t'aclus ab A usque ad U lem|)ore unius
miiiuli aul altero (|uovis tempore determiuato, et supponatur motus
contiiuiari usque ail punctum K : Aio jtiolum pcr WK/icri in instanli.

Si enim motus per HK non tiat in instant!, tiet in tempore arK|U(i
determiuato, quod, per aliquem numerum mullipliealum. exeedel
tempus in decursu spatii AH iusumptum; ponalur numerus mulli-
plieans "i, ila ut tempus motùs per HK (juiiujuics sumptum excédât
tempus motùs per AH.

lieetis KA, HA sumatur terlia proportionalis (;A et loties eonli-
uuelur |)roporlionalium seiies, ibuiec spatiorum interceptorum nu-
merus excédât numerum ") ; tiant ergo, ex proportionalibus eonli-
nualis, sex, ver!)i gratia, spalia uilra punctum \\, i\wx siiit H(i, (iK,
FE, ED, DC, CB.

Ergo tempus molùs per HG, per prœcedentem, esl «quale tempori
motùs per HK.

Simililer tempus motùs per GF est iequale tempori motùs per HK.

Denique motus per totam HB fiet in tempore quod ad tempus ])er
HK erit sextuplum; al lempus temporis per HK quiutuplum est majus
tempore motùs per AH : ergo a foi'liori lempus motùs per HB tempore
motùs per totam HA est majus. Quod est absurdum.

■270 ŒUVRES DE FEUMAT. - COUIIESPOND ANCE.

Krgo vora rcmaïu'l (ialilci illado (jiiamvis l'ain ipso non dciuoii-
stnirit.

6. Uivc hrovitor ot fainiliarilor, (^larissiinc Gassoiule, scripsinms,
110 tilû in poslcriiin faccssaf negotiiim aut Cazraeiis aut qiiivis alitis
("lalilt'i advorsariiis, ot in iniinensum cxcrcscant volnmina, qua" unicâ
dcmonstraliono, vol lahMilihiis ipsis aucloribns, ant deslruentiir aut
iniitilia ol supcrlUia onicionlui'. Vaic.

LXIII. — JEUDI k JUIN 1C48. 277

ANNÉE 1648.

lAlII.
FERMAT A MERSENNE (').

JEUDI k JUl.N 1648.

(B„2vg

Voici la consh'udioii de la question des Iniis Iriaiiiçlcs (jiiorurn (ircfc
consliliiutil iria latcra trianguli reclan gidl numéro (-).

Trouvons un Irianglo de telle sorte que la somme de riivpolénusc
et de l'un des cotés soit quadruple de l'autre e(Mé.

Ce qui est t'ait ainsi. Soit le dit triangle :

R S r

17 I.-) s

Funnabuntnr Iria Iriangida rcrtangula :

priinitm abs R-t-4S et îW — ^S,
secundiiDi abx 6 S et W — 2 S.

terlium ahs Jj S -t- T et \'i — 2 T.

(') Fragment de lettre inédil.

(-) Cp. rObservutioi) XXIX sur Dioplianle.

278 Œ U V H i: S I) K F !•: K M A P. - C (» lî H K S 1' () M t \ N ( ; i:.

Hoc csl : in hoc exeinplo i/i s/icrir /on>ia/>//iif :

/>ri'/iiiini I///S .\() et ■?,,
sifii/ii/iiiti itbs /|!^ et I,
Icrliiiin (dis .'\~ cl '..

lAIV.

KEHMAT A SÉdLMKIÎ ( ' ).
inRiii !) JUIN 1648.

( Bill. liât. l'r. 173SS, f« 7/1 f.)
MONSEIG.NEIR,

Je sçai que la vertu et le sçauoir sont les seules recommaiulalious
qui peuuent obtenir vostre protection, et que c'est sans doute auec
(ro[) de confiance que je prens la liberté de vous demendcr une
grâce (-) (|ue i'aduoue n'auoir pas méritée. Mais ie seai aussi, Mon-
seigneur, que vous aués assés de bonté pour conter parmi les bonnes
qualilcs l'inclination de les acquérir, ("est la seule qui ne m'a iamais
abandonné et mon ambition a tousiours esté assés hardie pour me faire
considérer les Ixdles lettres comme une conqueste aisée en mesme
temps que ie sentois bien et que l'expérience m'a faict cognoistre
qu'elle esloit au dessus de mes forces. C'est donc a des mouvements
imparfaicts et au désir seul de mériter quelqu'une de vos faneurs que
ie vous coniure, Monseigneur, d'accorder celle que M. de la Chambre
a voulu prendre le soin de vous demender de ma part. Si ie ne suis pas

(') Publiée p;ir .M. Charles lloiirv ( Rec/icrc/iew p. 63) d'après l'uriginal doiil amis
reproduisons l'oilhographe.

(') Le ïg aoùl iG|8 Fermât fui dépiilé à Castres « pour tenir cl desservir séance do la
oliambre de l'édil avec les présidents et conseillers de la rcliijion ])rétendue rélbrniée »
(Histoire générale du Ltini^iiedoe. tome XIV, Toulouse li^jG, col. 'ioCj; c'est |)ent-ètrc
celle nomination qui faisait l'objet do la présente requête.

L\V. - MAHDI 18 AOUT ir,V8. 27i)

capable do m'en rondre digne a l'adiienir, ie la recognoistrai du moins
|iai' le respeet auec leqmd ie vens eslre toute ma nie.

Monseigneur,

Vostre très humble, très obéissant
et très obligé seruiteur,

Fermât.

A Tolosi' le 9 iuin 1648.
( .-/drefse.)

A Monseiirnear
igné II
Chancelier.

A Paris.

Monseigneur le

L\V.

FHH.MAT A LA CHAMBRE (Martin CUREAU de) (').

MARUI 18 AOUT lG'l-8.
!■ Bib. X.it. fr. 17390, f» iij 1'°.)

.MoNSIELU,

.l(^ ne vous ai point entretenu iusqu'ici d'all'aires publiques, mais
pnuree que les véritables mouvements d'un arrest que le parlement a
donné n'ont pas esté peust estre cognus chez Monseigneur, i'ai dressé
un mot d'escrit ou vous le treuueres, ie vous l'expose sur rasseurancc
(|ue i'ai et de vostre prudence et de l'honneur que vous me faictes de
m'aymer. 11 ne verra qu'autant de iour que vous voudres, outre (jue ma
politique est très foible et très bornée, ie ne pretens par lit vous l'aire
paroistre que mon zcle pour le seruice du roi et mon respect |)oiir les
volontés de Monseigneur. Si cest escrit ne peut pas seruir a cela

(' ) Publiée par M. Cliarlos Henry ( Rcclicrcliex, p. G7) d'après laulograplic.

280 Œ r \ Il i: s n e f e i\ m \t. — c o iiu e s p o n n a n c e.

iiiosmo, pxciisos lUi moins mos faulos et faictos moi la grâce do les
Icnir cacheos t'( de me croire tousiours,

^loiisiciir,

Vostre (rcs Inimble cl

1res obéissant seruitciir,

Fermât.

A Toloso le iS août 16 18 ( ' ).

I I dresse.)

A Monsieur

Monsieur de la Chambre

chez Monseigneur le

Chancelier.

A Paris.

LXVI.
NOTE DE FER^IAT

JOINTE A I.A LETTRE PRÉCÉDENTE (").
(liib. Nat. fr. i;.^, f" "^■)

L'arrest que \('. parlement de Tolose a donne par lequel il est inhibé
(le liMicr les tailles a main armée et par logements effectifs de gens de
guerre, a esté si nécessaire dans la conionture présente, qu'il n'y auoil
apparament que ce seul remède pour faire subsister le calme dans la
])rouince de Guicnne qui est dépendante de ce ressort.

1-c i)ruit (jui s'estoit espandu par toutes les villes que le roi alloit
(]nit(cr les arrérages des impositions et accorder une diminution con-
sidérable de la taille courante faisoit supporter au peuple auec tant

I ') (;elle suscriptioii est i)rc.sf]',ie entièrement efTacéc : la date a clé inscrite au \cr.-;o
par les l'onimis cio Si^siiicr.
I ^) Publiée par .M. Charles Henry {Reciierclies, p. 08} d'après l'aulograplie.

LXVI. - MARDI 18 AOUT 1648. 281

d'impatience ces ordres seueres de logements effectifs qu'il se faisoit
de louts costés des conspirations et des attroupements contre les bri-
gades, et des rebellions si notables qu'elles eussent sans doute tramé
de plus grands souslevements si le parlement n'eiist suspendu par sou
arrest ces ordres violents qui sont contre les ordonnances et contre
l'humanité mesme, s'il faut ainsi parler. Depuis ce temps là on n'a
point cessé de donner des arrests pour procurer en toute diligence le
payement des tailles, on a mesme taché d'empescher diuers abbus pra-
tiqués par les commis qu'on a descouuert qui faisoient faire des quit-
tances antidatées pour s'approprier par ceste voye les deniers royaus
et les diuertir a leur profit; le parlement en a faict informer, a donné'
arrest et comission là dessus, bref il n'a rien omis pour ce regard. J'ai
esté le premier qui ai eu quelque cognoissance des voyes obliques et
qui ai suggéré à quelques uns de la Grande Chambre l'arrest qui est
donné sur ce subject.

Je ne laisse pas de vous aduouer que ces remèdes sont lents et que
le payement des tailles l'est encore d'advantage, depuis que ceste
grande rudesse de l'exaction a cessé, la raison est claire, la pauureté
est si generalle et si grande, et les charges si hautes que des que ceste
constrainte armée a cessé, rien ne paroist d'assés fort pour faire payer
les contribuables, les saisies qui estoient l'extrême dans les voyes
réglées commencent de n'effrayer plus et sont plustost des menaces
que des coups.

Il faut pourtant haster les Icuees et donner promptement au roi un
secours si iuste et si nécessaire. Il me semble que l'expédient le plus
plausible et le plus aisé seroit d'auoir une déclaration du roi qui por-
tast permission a toutes les communautés d'emprunter les sommes
nécessaires a concurrence des tailles courantes et qui declarast les
sommes empruntées audict effect priuilegiees a toutes debtes desd.
communautés comme destinées au payement des charges courantes.
Il est très probable que tout l'argent de la prouince aboutiroit là,
pource que la fréquence des banqueroutes est cause que ceux qui
ont de l'argent ayment mieux le garder que le bazarder. Ceste decla-

Fermat. — M. 36

•282 ŒUVHES DE FERMAT.— CORRESPONDANCE.

ration signée du rogistro ilu parlement seroit une asseurancc entière
pour les créanciers et si le roi accordoit quelque remise pour l'auance,
toutes les communautés accourroieut en foulle pour emprunter les
deniers nécessaires et les payer tout aussi tost aux receueurs. On
ponrroit mesme enjoindre au parlement d'enuoyer des comissaires
dans toutes les uilies pour faciliter lesd. payements, et si sa maiesté
ingeoil qu'il fust important pour le bien de son estai de se seruir de
ce mesme moyen pour faire approcher les deniers de l'an iG'Î9, Fexe-
cution n'en seroit pas apparament malaisée.

LXVII.
FERMAT A MERSENNE (?).

FRAGMENT (').
1648.

(I), m, 83.)

Asymmetrias in Algebraicis omnino tollerc, opus arduum nec salis
hactenus ab Analystis tentatum.

Dentur, verbi gratia, termini asymmetri plures quatuor et secundum
artis prsecepta proponantur asymmetria liberandi. Vix est ut ab hujus-
modi tricis expédiât se Analysta : dum crescct labor, augebitur dilR-
cultas et fatigatus tandem, nihil, post repetitas sœpius operationes,
aut profecisse se aut promovisse deprchendet. An itaque hœrebit Ana-
lysis et asymmetriis undique obruta conticescet? Videant eruditi et
methodum huic negotio conducibilem inquirant.

('; Tire d'une Lettre de Doscartes à M***, datée du i8 décembre 16^8, où ce fragment
est précédé des mois : roici maintenant le billet de M. de Fermât, et suivi d'une
réponse de Descartes à la question posée. La partie latine, qui dans l'édition Clerselier
est composée en italiques avec les lettres de l'équation en minuscules; est traduite fii
français (édition Cousin, tome X, p. ifig).

LWII. - 16V8. 283

Proponatur in exomplum :

latiis(B in A — Aquad.) -t- lal.{Z quad. + D in A + Aquad.)

-h lat.(M in A) + lat.(D quad.— A quad.),
— lalere(R in A 4- A quad.) œcjuari B + A.

Oporelur secundum praecepta arlis Analysta et ab asyminelria pro-
posita se expédiât, aut artis inefficaciam fateatur (').

Il me semble que les illustres en cette Science ne sauroient prendre
un plus digne et plus nécessaire emploi que celui d'aplanir ces didi-
cultés. Pour les y exciter, vous leur pourriez dire par avance que j'ai
fait quelque progrès en cette matière et qu'il y a beaucoup ii décou-
vrir et à inventer; vous pourriez même en écrire en Italie et en Hol-
lande, afin que la prophétie du Chancelier d'Angleterre s'accompliss(> :
Miilti pertransihiint et augehitiir scicritia (^).

( ') Voir Tome I, p. 181-188.

I ^) f'oir plus haut. p. 3J, noie 1.

281 ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

ANNEE 1G50.

LXVIll.

FERMAT A CARCAVI (').

SAMEDI 20 AOUT 1C30.

(Bibl. nat., lat. 11196, f°* 5i-55 )

Monsieur,

i- Ma lettre par malheur fut envoyée trop tard la semaine dernière
au messager d'Aurillac; vous la recevrez seulement par celui-ci avec
la pénitence que je me suis enjoint à moi-même pour payer ce retar-
dement, c'est-à-dire que je n'ai point voulu différer h vous envoyer ma
méthode générale pour le déhrouillement des asymmélriesi^-). Les fêtes
m'ont tout à propos donné le loisir nécessaire pour y vaquer; je vous
envoyé mon original par pure paresse et vous prie me le renvoyer au
plus tôt ou hien un autre à votre choix. Vous ménagerez mes intérêts
comme vous l'entendez; ils consistent seulement à me laisser la satis-
faction (j'use à dessein d'un mot adouci) d'avoir dévoilé une matière
(|iii n'étoit pas connue, ce que diverses questions, que je vous ai pro-
posées à diverses fois et dont pas une solution n'a jamais été donnée,
prouvent assez suffisamment.

2. Mais, si vous voulez avoir le plaisir tout entier, proposez hardi-
ment à trouver la tangente d'une courbe dont, par exemple, la pro-

(') Publiée par M. Charles Henry {Recherches, p. igS).

(') C'est la niéltiode d'élimination des radicaux, exposée tome I, p. 181-188.

LXVIII. — SAMEDI 20 AOUT 1650. 285

priété soit, en prenant A pour l'appliquée et E pour la portion du dia-
mètre qui lui correspond :

Lattis cub. (Z<7.in A — Xc.)-\- lat.quad.quad.(Bpl. pi. — ïiq. in B in A + A(/y.)
+ lat. quad. (B in A — Aiy.) + lat. quad. cub. {Aqc. — Bqq. in A).

Ilœc ornnia quatuor homogenea, quce, in hoc casu, sunl rectœ, œquen-

tur

B + A - E.

Quœritur tangens ad punctum daturn in cun'a cujus superior œqualitas
proprietatem specijicam reprœsentat.

Que fera en ce rencontre la méthode de M. Descartes que vous savez
être infiniment plus embarrassée que la mienne? mais que fera encore
la mienne, si les asymmétries ne sont ôtées?

Pour les ôter, la méthode que je vous envoyé en vient à bout sans
nulle difficulté, car, en donnant à chacune des lignes irrationelles le
nom d'une seconde racine, tierce, quarte et cœt., on vient toujours à
des doubles égalités lesquelles se réitèrent jusques à ce que l'applica-
(ion (ou la division) ôte la dernière de ces racines, puis la pénultième,
et ainsi en rétrogradant jusques à ce que toutes les nouvelles racines
inconnues que vous aurez prises à discrétion aient entièrement dis-
paru, et pour lors il vous restera une équation sans asymmétrie en
laquelle il n'y aura de racines inconnues que les deux premières A
et E, qui n'auront que changé de degré à cause des multiplications fré-
quentes et nécessaires à chaque opération, et cette équation exempte'
d'asymmétrie représentera la propriété spécifique de la courbe.

Or, quand nous avons la propriété spécifique de la courbe sans
asymmétrie, ma méthode de tangentihus donne la tangente très sim-
plement et par la seule application ii tous les cas généralement, soit
que la propriété spécifique aie relation à des lignes droites seulement,
soit qu'elle l'aie aussi à des courbes. Et partant, en joignant les deux
méthodes, la tangente de la question proposée se trouve par l'applica-
tion simple, ce qui semble merveilleux.

•286 ŒrVIJES DE FERMAT.- COIIRESPON [) ANCE.

Jo n'ajoute pas l'opéralion onlii'rc, ])oiirco (jiio la lonj^iiciir du (ra-
vail ino lassoroit, mais, en un mol, il sulFil que vous voyez très claire-
ment le progrès et la fin tle l'ouvrage; ce que je crois avoir été in-
connu jns(jues à présent, puis(|uc JM. Descartcs, que je nomme avec
tout le respect qui est dû à la mémoire d'un si merveilleux homme,
proposoit comme une dilTiculté insurmontable la question suivante :

l-llaitl donnés quatre points et une courbe, en laquelle prenant un point
à discrétion, les droites menées de ce point aux quatre donnés fassent
une somme donnée, trouver une tangente à quelconque point donné de
cette courbe.

ainsi (juc je puis l'aire voir par une de ses lettres ('). Pourtant, mes
nu'thodes jointes ensemble en donnent la solution simple, et l'opéra-
tion <C se fait > en se jouant.

Vous comprenez par là que le principal et plus considérable effet de
cette méthode paroît aux tangentes de toutes sortes de lignes courbes
il l'infini, puisque les tangentes s'y trouvent toujours par application
simple, et après cela aux questions que j'appelle abondantes, qui se
résolvent aussi par la seule division, sans aucune extraction de racines
et caet.

3. En voilà trop pour une seconde lettre, mais je suis d'humeur à
vous faire paroitre ce que peut notre ancienne amitié. Peut-être que
ces petits éclaircissements serviront à ce qu'il y aura de trop concis
dans mon écrit latin, quoique je ne doute point qu'après que vous et
messieurs à qui vous le communiquerez y auront un peu rêvé, ils n'en
trouvent l'intelligence et la pratique aisée.

Je n'ai (ju'à vous avertir que l'ordre des pages de mon petit Traité
est marqué par chiffres, et qu'il y a un endroit, en la page septième,
qui semble défectueux, qui pourtant ne l'est pas, et il faut tout écrire
comme un sens continu, ainsi que vous comprendrez d'abord.

') Celte IcUre n'a pas été conservée.

LXVIII. - 20 AOUT IGoO. 287

Je vous réitère encore que je vous renvoierai vos écrits de mes
Traités au plus tôt avec le Livre de M. Gaignières ('), sinon que vous
en trouviez ;» Paris un autre exemplaire, auquel cas vous m'obligerez
de le bailler à mondit S'' Gaignières, e( j'en rembourserai le prix au
messager qui vous porte mes lettres.

Je suis, Monsieur, votre du tout acquis serviteur,

Fermât.

A ('astres, ce 20 août lOJo

( ' ) l,a suite de la phrase montre qu'il s'agit d'un ouvrage prête par Gaignières. Celui-ci
n'est pas Koger de Gaignières dont les collections ont enrichi la Bibliothèque du roi. puisque
ce célèbre collectionneur est né vers 1644, mais sans doute son père Aimé de Gaignières.
secrétaire du duc de Bellegarde, gouverneur de Bourgogne. (Léopold Delisle. Le caliinet
des m/i/iitscrilx, Tome I, p. 335.)

288 ŒL'VUES DE FERMAT.- COIUIESPONDANCE.

ANNEE 1654.

LXIX.

FERMAT A PASCAL ^').
1654.

{OEuvr'es de Pascal^ ^779' I^'j P- ^W~41--)

Monsieur,

Si j'onlropronds de fairo un point avec un seul dé en huit coups; si
nous convenons, après que l'argent est dans le jeu, que je ne jouerai
l)as le premier coup, il faut, par mon principe, ((ue je tire du jeu { du
total pour être désintéressé, à raison dudit premier coup.

Que si encore nous convenons après cela que je ne jouerai pas le
second coup, je dois, pour mon indemnité, tirer le Ci""^ du restant, qui
est ~ du total.

Et si après cela nous convenons ([ue je ne jouerai pas le troisième
l'oup, je dois, pour mon indemnité, tirer le G'"" du restant, qui est ^
ilu total.

Et si après cela nous convenons encore que je ne jouerai pas le qua-
trième coup, je dois tirer le (i'"" du restant, qui est ^~ du total, et je
conviens avec vous que c'est la valeur du (|uatrième coup, supposé
qu'on ait déjà traité des précédents.

Mais vous me proposez dans l'exemple dernier de votre lettre (je

( ' ) « Iinpriméi; pour la promière fois. Cctlo LoUre est sans date dans la copie (pis j'en
ai; elle paroîl répondre à une lettre de Pascal que je n'ai pu recouvrer. » (Note de
/Sossut.) — L'éditeur des OEavrex de Pascal a d'ailleurs placé cette Lettre entre celles
numérotées ci-après LXXIV et LXXV.

L\\. - 29 JUILLET 1634. 289

mots vos propres termes) que si j'entreprends de trouver le six en huit
coups et que j'en aie joué trois sans le rencontrer, si mon joueur me
|)ropose de ne point jouer mon quatrième coup et qu'il veuille me
désintéresser à cause que je pourrois le rencontrer, il m'appartiendra
T^ de la somme entière de nos mises.

Ce qui pourtant n'est pas vrai, suivant mon principe. Car, en ce cas,
les trois premiers coups n'ayant rien acquis à celui qui lient le dé, la
somme totale restant dans le jeu, celui qui lient le dé et qui convient
de ne pas jouer son quatrième coup, doit prendre pour sou indemnité
~ du total.

Et s'il avoit joué quatre coups sans trouver le point cherché et qu'on
convînt qu'il ne joueroit pas le cinquième, il auroit de même pour son
indemnité ^ du tolal. Car la somme entière restant dans le jeu, il ne
suit pas seulement du principe, mais il est de même du sens naturel
que chaque coup doit donner un égal avantage.

Je vous prie donc que je sache si nous sommes conformes au priu-
l'ipe, ainsi que je crois, ou si nous diirérons seulement en l'applica-
lion.

Je suis, de tout mon cœur, etc.

Fermât.

LXX.

PASCAL A FERMAT.

MEHCREUI i'J JIILI.ET 1054.

( fa, p. 179-183.)

Monsieur,

1. L'impatience me prend aussi bien qu'à vous et, quoique je sois

encore au lit, je ne puis m'empècher de vous dire que je reçus hier

au soir, de la part de M. de Garcavi, votre lettre sur les partis, que

j'admire si fort que je ne puis vous le dire. Je n'ai pas le loisir de

II. — l'ERsuT. 37

290 ŒUVRES DE F E KM AT. - COllRESl'OND ANGE.

m'ctenclro. mais, on un mot, vous avez trouvé les deux partis (') des
dos ol dos partios dans la parfaito juslosso : j'en suis tout satisfait, car
jo no tlouto plus maiutonant que je ne sois dans la vérité, après la
ronoonire admirahlo où je me trouve avec vous.

J'admire l)iou (lavanlai;-o la méthodo des parties que celle des dés;
j'avois vu plusieurs porsounos trouver celle des dés, comme M. le che-
valier de ^loro, qui est celui qui m'a proposé ces questions, et aussi
M. do Hohorval : mais .M. do ^loré n'avoit jamais pu trouver la juste
valeur dos partios-ni do biais pour y arriver, de sorte que je me trou-
vois seul qui eusse connu cotte proportion.

2. Votre méthode est très-sùre et est celle qui m'est la première
venue à la pensée dans cette recherche; mais, parce que la peine des
combinaisons est excessive, j'en ai trouvé un abrégé et proprement une
autre méthode bien plus courte et plus nette, que je voudrois vous
pouvoir dire ici on pou de mots: car je voudrois désormais vous ouvrir
mon cœur, s'il se pouvoit, tant j'ai de joie de voir notre rencontre. Je
vois bien que la vérité est la même à Toulouse et à Paris.

Voici il peu près comme je fais pour savoir la valeur de chacune des
parties, quand deux joueurs jouent, par exemple, on trois parties, et
chacun a mis 32 pistolos au jeu :

Posons que le premier en ait deux et l'autre une; ils jouent mainte-
nant une partie, dont le sort est tel que, si le premier la gagne, il
gagne tout l'argent qui est au jeu, savoir 64 pistoles; si l'autre la
gagne, ils sont deux parties à deux parties, et par conséquent, s'ils
veulent se séparer, il faut qu'ils retirent chacun leur mise, savoir cha-
cun 32 pistoles.

('> Parti signifie ici réparLlLloii enlro dos joueurs, d'après leurs chances rcIaUves, de
la masse des enjeux, dans le cas où le jeu est abandonné avant sa fin.

Le parti des des dont il s'agit ici paraît avoir été simplement demandé dans le cas où
celui qui lient les dés a parié d'amener un point déterminé en un nombre do coups convenu
(voir Lettre LXIX et ci-après, LXX, 7).

Quant au parti des parties, la question est clairement exposée ci-après (2 à 6). Com-
parer, à la suite du Traité du triangle arithmétique de Pascal, l'apijlicalion qui en est
faite à ce même problème {OEuvres de Pascal, édition de 1779, V, p. 32).

LXX. - 29 JUILLET iGok. 291

Considérez donc, Monsieur, que, si le premier gagne, il lui appar-
tient 64; s'il perd, il lui appartient 32. Donc, s'ils veulent ne point
hasarder cette partie et se séparer sans la jouer, le premier doit dire :
« Je suis sur d'avoir 32 pistoles, caria perte même me les donne; mais
» pour les 32 autres, peut-être je les aurai, peut-être vous les aurez, le
» hasard est égal. Partageons donc ces 32 pistoles par la moitié et me
» donnez, outre cela, mes 32 qui me sont sûres. » Il aura donc 48 pis-
toles et l'autre iG.

Posons maintenant que le premier ait deux parties et l'autre point,
et ils commencent à jouer une partie. Le sort de cette partie est tel
que, si le premier la gagne, il tire tout l'argent, G4 pistoles; si l'autre
la gagne, les voilà revenus au cas précédent, auquel le premier aura
deux parties et l'autre une.

Or, nous avons déjà montré qu'en ce cas il appartient, à celui qui a
les deux parties, 48 pistoles : donc, s'ils veulent ne point jouer cette
partie, il doit dire ainsi : « Si je la gagne, je gagnerai tout, qui est 64;
» si je la perds, il m'appartiendra légitimement 48 : donc donnez-moi
» les ^8 qui me sont certaines, au cas même que je perde, et partageons
» les iG autres par la moitié, puisqu'il y a autant de hasard que vous
» les gagniez comme moi. » Ainsi il aura 48 et 8, qui sont 56 pistoles.

Posons enfin que le premier n'ait qii une partie et l'autre /^ot«i. Vous
voyez. Monsieur, que, s'ils commencent une partie nouvelle, le sort en
est tel que, si le premier la gagne, il aura deux parties à point, et par-
tant, par le cas précédent, il lui appartient 56; s'il la perd, ils sont
partie à partie : donc il lui appartient 32 pistoles. Donc il doit dire :
« Si vous voulez ne la pas jouer, donnez-moi 32 pistoles qui me sont
» sûres, et partageons le reste de 56 par la moitié. De 56 ôtez 32,
» reste 24; partagez donc 2'i par la moitié, prenez-en 12 et moi 12,
» qui, avec 32, font 44- »

Or, par ce moyen, vous voyez, par les simples soustractions, que,
pour la première partie, il appartient sur l'argent de l'autre 12 pis-
toles; pour la seconde, autres 12; et pour la dernière, 8.

Or, pour ne plus faire de mystère, puisque vous voyez aussi bien

±)1 (F.rVllKS DE rEHMAT. - COU RESPON I) ANCE.

tout à (locouvert et (]iu' jo n'en l'aisois que pour voir si jo ne nie trom-
pois pas, la vali'ur y'enlonds sa valeur sur l'argent de l'autre seule-
ment^ (le la dernière partie de t/ci/.v est double de la <] dernière >
partie de /rois et quadruple de la dernière partie de quatre et octuple
de la dernii're partie de ci/k/. etc.

3. Mais la pi'oportion des premières parties n'est pas si aisée à
trouver : elle est donc ainsi, car je ne veux rien déguiser, et voici le
problème dont je l'aisois tant de cas, comme en ell'et il me plaît fort :

Etaiil donné tel nombre de parties qu on rendra, trouver la valeur de
la première.

Soit le nombre des parties donné, par exemple 8. Prenez les huit
[iremiers nombres pairs et les huit premiers nombres impairs, savoir :

2, 4, G, 8, 10, 12, i4, i6

et

I, 3, 5, 7, 9, II, i3, i5.

Multipliez les nombres pairs en cette sorte : le premier par le second,
le produit par le troisième, le produit par le quatrième, le produit
|)ar le cinquième, etc.; multipliez les nombres impairs de la même
sorte : le premier par le second, le produit par le troisième, etc.

Le dernier produit des pairs est le dénominateur et le dernier pro-
duit des impairs est le numérateur de la fraction qui exprime la valeur
de la première partie de hait : c'est-à-dire que, si on joue chacun le
nombre de pistoles exprimé par le produit des pairs, il en appartien-
droit sur l'argent de l'autre le nombre exprimé par le produit des
impairs.

Ce qui se démontre, mais avec beaucoup de peine, par les combi-
naisons telles que vous les avez imaginées, et je n'ai pu le démontrer
par cette autre voie que je viens de vous dire, mais seulement par
celle des combinaisons. Et voici les propositions qui y mènent, qui
sont proprement des propositions arithmétiques touchant les combi-
naisons, dont j'ai d'assez belles propriétés :

L\\. — 29 JUILLET ICai. 293

4. Si d'un nombre quelconque de lettres, par exemple de 8 :

A, M, C, D, E, F, G, II,

vous en prenez toutes les combinaisons possibles de 4 lettres et ensuite
toutes les combinaisons possibles de 5 lettres, et puis de (3, de 7 et
de 8, etc., et qu'ainsi vous preniez toutes les combinaisons possibles
depuis la multitude qui est la moitié de la toute jusqu'au tout, je dis
que, si vous joignez ensemble la moitié de la combinaison de 4 avec
cbacune des combinaisons supérieures, la somme sera le nombre tan-
tième de la progression quaternaire à commencer par le binaire, qui
est la moitié de la multitude.

Par exemple, et je vous le dirai en latin, car le français n'y vaut
rien :

Si quollibet litteraniin, verbi gralia oclo :

A, B, C, D, E, F, G, II,

sumanlur omnes combinationes qualernarii, quinquenarii, senarii. clr. .
usque ad octonariiim . dira , si jitngas dimidium combinationis qualer-
narii, nempe 35 (^dimidium 70), cum omnibus combinationibus (juin-
quenarii, nempe 56, plus omnibus combinationibus senarii, nempe 28,
plus omnibus combinationibus septenarii, nempe 8, plus omnibus combi-
nationibus octonarii, nempe i , factum esse quartum numerum progres-
sionis quaternarii cujus origo est 2 : dico quartum numerum, quia '\ octo-
narii dimidium est.

Sunt enini numeri progressionis quaternarii. cujus origo est 2, isti :

2, 8, Sa, 128, 5i2, etc.,

quorum 2 primus est, 8 secundus, 32 lertius et 128 quartus : cui

] 28 œquanti/r

■+- 35 dimidium combinationis 4 litlerarum
-+- 56 combinationis 5 litlerarum
+ 28 combinationis 6 litlerarum
-t- 8 combinationis 7 litlerarum
-(- I combinationis 8 litlerariun.

•29i (Kl Vr»i:S DE FKKMAT. — COU II KS rONDANCK.

5. \()ilii la proiiiièro proposition (|iii os( purement arilinnéli([ne;
l'antre reijiarile la doclrine des parties et est telle :

Il faut (lire auparavant : si on a une partie de /), par exemple, et
ipiainsi il en mancjue '\, le jeu sera infailliblement d(?cidé en tS, qni
est douille de '\.

\a\ valeur de la |)renii(''re partie de Z) sur l'argent de l'autre est la
fraction (]iii a pour numérateur la moili('' de la combinaison de 4 sur 8
ye prends '\ parce qu'il est égal au nombre des parties qui manque,
et 8 parce qu'il est double de f\) et pour dénominateur ce même numé-
rateur plus toutes les combinaisons supérieures.

Ainsi, si j'ai une partie de 5, il m'appartient, sur l'argent de mon

joueur, — 5 : c'est-à-dire que, s'il a mis 12S pistoles, j'en prends 35 et

lui laisse le reste, f)3.

Or cette fraction —5 est la même que celle-là : ô^-d laquelle est faite

par la multiplication des pairs pour le dénominateur et la multiplica-
tion des impairs pour le numérateur.

Vous verrez bien sans doute tout cela, si vous vous en donnez tant
soit peu la peine : c'est pourquoi je trouve inutile de vous en entre-
tenir davantage.

6. Je vous envoie néanmoins une de mes vieilles Tables; je n'ai pas
le loisir de la copier, je la referai.

Vous y verrez comme toujours que la valeur de la première partie
est égale à celle de la seconde, ce qui se trouve aisément par les com-
binaisons.

Vous verrez de même que les nombres de la première ligne aug-
iiiciilenl toujours; ceux de la seconde de même; ceux de la troisième
de même.

Mais ensuite ceux de la quatrième diminuent; ceux de la cin-
quième, etc. Ce qui est étrange.

LXX. - 29 .lUir.LET 165i.

Si on jonc chacun 2 JG on

295

partie .

— iS 12° partie.

3 .3" partie.

.£ 0

/,« paru.

5° partie.

6° partie.

6
parties.

5
parties.

i
parties.

3
parties.

2
parties.

1
partie.

2)6

63

70

80

9<''

12S

63

70

Su

<jl''

12S

56

60

Oi

01

',■?.

io

32

i.\

16

8

Si on joue 2j6 chacun en

ra 1

CL

6
parties.

63

0
parties.

4
parties.

3
parties.

0
parties.

1

partie.

la 1" partie

70

80

9«

128

2 56

les 2 premières parties....

126

i4o

160

192

2JG

les 3 premières parties....

182

200

224

2 36

%

les 4 premières parties

22 i

2i0

2')6

les 5 premières parties....

2_i8

2 J6

les 6 premières parties....

2 56

7. Jt' n'ai pas lo temps de vous envoyer la démonstration d'une clifli-
culté qui étonnoit fort M. < de Méré >, car il a très bon esprit, mais
il n'est pas géomètre (c'est, comme vous savez, un grand défaut) et

■im (KrVIlKS 1)K FKIUIAT. - COHHKSPONDANCE.

moine il ne conipronil pas qu'uno ligne matliomalique soit divisible à
l'infini et croit fort bien entendre qn'(die esl composée de points en
nombre tini, et jamais je n'ai |iu l'en lirei'. Si vous le ponviez faire,
on le rendroil parfait.

Il MU' disoil donc (jn'il avoil trouvé fausseté dans les nombres par
eelte raison :

Si on enlre[)rend de l'aire un six avec un dé, il y a avantage de l'en-
ti'e|>re!idre en ], coninic de (iy i ii (")2j.

Si on entreprend de faire sonnés avec deux dés, il y a désavantage
de l'entreprendre en ■i'\.

Et néanmoins i\ est ii 36 (qui est le nombre des faces de deux dés)
comme \ à G (qui est le nombre des faces d'un dé).

Voilà quel étoit son grand scandale qui lui faisoit dire hautement
que les propositions n'étoient pas constantes et que l'Arithmétique se
démentoit : mais vous en verrez bien aisément la raison par les prin-
cipes où vous êtes.

Je mettrai par ordre tout ce (jue j'en ai fait, quand j'aurai achevé
des Traités géométriques où je travaille il y a déjà quelque temps.

8- J'en ai fait aussi d'arithmétiques, sur le sujet desquels je vous
supplie de me mander voire avis sur cette démonstration.

Je pose le lemme que fout le monde sait : que la somme de tant de
nombres qu'on voudra de la progression continue depuis l'unité,

comme

I, a, 3, /(,

étant prise deux fois, est égale au dernier, \, mené dans le prochaine-
ment plus grand, j : c'est-à-dire que la somme des nombres contenus
dans .1, étant prise deux fois, est égale au ])roduit

A in (A -\- 1).

Maintenant je viens à ma proposition :

Duoriirn quorumlibel ciiborurn proximorum diffcrenlia, imitalc demptâ,
sextupla esl omnium numerornm in minoris radiée conlentorum.

LX\. - 29 JUILLET 1G54. 297

Si/i/ c/iiœ indices fi, S unitate différentes : dico

/{' — .S"' — I œguari sunimœ immerornm in S contentonirn sexies siimplcv.

Etenim S vocetur A : ergo H est

.4 + 1.

Igitiir cidjus radicis R, seu .-1 + i , est

A^~h3A^+3A + i\

Cubas rero S. seu A , est

A\

et horuin différentiel est

3.-l--h3.4-(-i',

id est IV — S' ; igitur, si auferatur uuitas,

ZA'-^àA œq. /P — S'-J.

Sed duplum summœ numerorum in A seu S conte/ilonini ccqualur, ex

lemmate,

A in {A -H i), hoc est A- -{- A :

igitur sextuplum summœ numerorum in A contentorum œquatur

3.42+3.4.

3.4'+ 3.4 œr,. fi'-S'—i:
igitur

/?' — 5' — I fetj. sextupla sitmniœ niiincroruni in A seu S contentorum.
Quod erat demonstrandum .

On lie m'a pas fait de clifTiciilté là-dessus, mais on m'a dil qu'on 110
m'en faisoit pas par cette raison que tout le monde est accoutumé au-
jourd'liui à cette méthode; et moi je prétends que, sans me faire
grâce, on doit admettre cette démonstration comme d'un genre excel-
lent : j'en attends néanmoins votre avis avec toute soumission.

Tout ce que j'ai démontré en Arithmétique est de cette nature.

Fbrmat. — M. 38

298 ΠU \' H r. S n E F E II IVI AT. - C 0 1{ H E S PO N 1) A N C E.

9. Voici oiicore doux dillicultés :

J'ai domontré iiiip proposition piano en me servant du cube d'une
li«;ne compare au cube d'une autre : je prétends que cela est purement
géométrique el dans la sévérité la plus grande.

ne même j'ai résolu le probli'me :

/)e quatre plans, quatre points cl quatre sphe'res, quatre quelconques
étant donnés, trouver une sphère qui. touchant les sphères données, passe
par les points donnés et laisse sur les plans des portions de sphères ca-
pables d'angles donnés,

et celui-ci :

De trois cercles, trois points, trois lignes, <[ trois ]> quelconques étant
donnés, tromper un cercle qui, touchant les cercles et les points, laisse sur
les lignes un arc capable d'angle donné.

J'ai résolu ces problèmes plainement, n'employant dans la construc-
liou que des cercles et des lignes droites; mais, dans la démonstration,
je me sers de lieux solides, de paraboles ou hyperboles : je prétends
néanmoins qu'attendu que la construction est plane, ma solution est
plane et doit passer pour telle.

(>'est bien mal reconnaître l'honneur que vous me faites de souffrir
mes entretiens que de vous importuner si longtemps; je ne pense
jamais vous dire que deux mots, et si je ne vous dis pas ce que j'ai le
plus sur le cœur, qui est que, plus je vous connois, plus je vous admire
et vous honore et que, si vous voyiez -a quel point cela est, vous donne-
riez une place dans votre amitié à celui qui est, Monsieur, votre etc.

LXXI. — 9 AOUT 1634. 299

LXXI.
FERMAT A CARCAVI (').

DIMANCHE 9 AOUT ICSi.

{CEmres de Pascal. IV, p. 44^-4J5.)

Monsieur,

1. J'ai été ravi d'avoir eu des sentiments conformes à ceux de
M. Pascal, car j'estime infiniment son génie et je le crois très capable
de venir à hout de tout ce qu'il entreprendra. L'amitié qu'il m'offre
m'est si chère et si considérable que je crois ne devoir point faire dif-
ticiillé d'en faire quelque usage en l'impression de mes Traités.

Si cela ne vous choquoit point, vous pourriez tous deux procurer
celte impression, de laquelle je consens que vous soyez les maîtres;
vous pourriez éclaircir ou augmenter ce qui semble trop concis et me
décharger d'un soin que mes occupations m'empêchent de prendre. Je
désire même que cet Ouvrage paroisse sans mon nom, vous remettant,
à cela |)r('s, le choix de toutes les désignations qui pourront marquer
le nom de l'auteur que vous qualifierez votre ami.

2. Voici le biais que j'ai imaginé pour la seconde Partie qui con-
tiendra mes inventions pour les nombres. C'est un travail qui n'est
encore qu'une idée, et que je n'aurois pas le loisir de coucher au long
sur le papier; mais j'enverrai succinctement à M. Pascal tous mes
principes et mes premières démonstrations, de quoi je vous réponds à
l'avance (|u'il tirera des choses non seulement nouvelles et jusqu'ici
inconnues, mais encore surprenantes.

Si vous joignez votre travail avec le sien, tout pourra succéder et

Cj L'autographe do celle Icltre a fail parlie de la- Colleclion Benjamin Fillon ol a passé
en vcnle le i6 février 1877 (Invcjitnire dcx mitif^rciplies et des documents liistoriqttc.s
composant la collection de M. Benjamin Fillon, séries I et II. Paris, Etienne Ciiarava\ ,
^^11^ P- y-io)- On Ironve reproduit dans ce catalogue le § 1 de cette lettre, et de plus,
facsimilés, la signature, la date et les mots « Vostre très humble et très obéissant servi-
teur », ces derniers supprimés dans l'édition.

:U)0 Œ r V R E S n K !■ !•: H M \'r. - C 0 H U E s l'O N I) A N C E.

s'achever dans peu de temps, el eepeiidanl on poiicra meUre au jour
la première Partie que vous avez eu votre pouvoir.

Si M. Pascal goûte mon ouverture, qui est principalement fondée
sur la grande estime qne je fais de son génie, de son savoir et île son
es|irit, je commencerai d'abord à vous faire part de mes inventions
nn!néri(|ues. Adieu.

Ji> suis. .Monsieur, votre très humble et très obéissant serviteur,

Ferm.vt.

A Toulouse, t'o g aoùl i654.

LWIl.
PASCAL A FlilRMAT.

LUNDI 24 AOUT 165i.

(fa, p. l8'|-i88.)

Monsieur,

1. Je ne pus vous ouvrir ma pensée entière touchant les partis de
plusieurs joueurs par l'ordinaire passé, et même j'ai (|uelque répu-
gnance il le faire, de peur qu'en ceci cette admirable convenance, qui
étoit entre nous et qui m'étoit si chère, ne commence à se démentir,
car je crains que nous ne soyons de différents avis sur ce sujet. Je
vous veux ouvrir toutes mes raisons, et vous me ferez la grâce de me
redresser, si j'erre, ou de m'affermir, si j'ai bien rencontré. Je vous le
demande tout de bon el sincèrement, car je ne me tiendrai pour cer-
tain que ([uand vous serez de mon côté.

Quand il n'y a que t/eMj; joueurs, votre méthode, qui procède par
les combinaisons, est très sûre; mais, quand il y en a /rois, je crois
avoir démonsi ration qn'idle est mal juste, si ce n'est que vous y procé-
diez de ([iicique autre manière que je n'entends pas. Mais la méthode
que Je vous ai ouverte el dont je me sers partout est commune ii

LXXII. - 2i AOUT 1G54. 301

toutes les conditions imaginal)les de toutes sortes de partis, au lieu
que celle des combinaisons (dont je ne me sers qu'aux rencontres
particulières où elle est plus courte que la générale) n'est bonne qu'en
ces seules occasions et non pas aux autres.

Je suis sur que je me donnerai à entendre, mais il me faudra un
peu de discours et à vous un peu de patience.

2. Voici comment vous procédez quand il y a deux joixem's :
Si deux joueurs, jouant en plusieurs parties, se trouvent en cet étal
([u'ii manque deux parties au premier et trois au second, pour trouver
le parti, il faut, dites-vous, voir en combien de parties le jeu sera dé-
cidé absolument.

Il est aisé de supputer que ce sera en quatre parties, d'où vous con-
cluez qu'il faut voir combien quatre parties se combinent entre deux
joueurs et voir combien il y a de combinaisons pour faire gagner le
premier et combien pour le second et partager l'argent suivant cette
proportion. J'eusse eu peine ii entendre ce discours-là, si je ne l'eusse
su de moi-même auparavant; aussi vous l'aviez écrit dans cette pen-
sée. Donc, pour voir combien quatre parties se combinent entre deux
joueurs, il faut imaginer qu'ils jouent avec un dé à deux faces (puis-
qu'ils ne sont que deux joueurs), comme à croix et pile, et qu'ils
jettent quatre de ces dés (parce qu'ils jouent en quatre parties); et
maintenant il faut voir combien ces dés peuvent avoir d'assiettes dif-
férentes. Cela est aisé ii supputer : ils en peuvent iwo'w seize qui est
le second degré de quatre, c'est-à-dire le qnarré. Car figurons-nous
qu'une des faces est marquée a, favorable au premier joueur, et
l'autre b, favorable au second; donc ces quatre dés peuvent s'asseoir
sur une de ces seize assiettes :

a

a

a

a

a

a

a

a

b

b

b

/;

b

/;

b

b

(i

a

a

a

h

b

l>

b

a

a

a

a

b

h

b

b

a

a

b

b

a

a

b

b

a

a

b

b

a

n

b

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b-

I

I

I

■

1

I

'

>.

1

I

a

I

'i

■2

•X

M)l (Kl \ HKS DK rKKMAT. - COKHKSI'ONDANCE.

et, parce qu'il nianqiio doux parties au pi'cuiicr joueur, toutes les faces
(jui ont lieux a le font gagner : donc il en a i i pour lui; et parce qu'il
y manque trois parties au second, toutes les faces où il v a trois b le
]>euvent faire gagner : donc il y en a .j. Donc il faut qu'ils partagent la
somme comme 1 1 à 5.

Voilà votre méthode quand il y a dcii.r joueurs; sur (|uoi vous dites
tiuc. s'il y en a davantage, il ne sera pas dilficile de faire les partis
par la même méthode.

3. Sur cela, Monsieur, j'ai à vous dire que ce parti pour deux
joueurs, fondé sur les comhinaisons, est très juste et très bon; mais
que, s'il y a plus de deux joueurs, il ne sera pas toujours juste et je
vous dirai la raison de cette différence.

Je communiquai votre méthode ii nos Messieurs, sur quoi M. de Ro-
berval me Ht cette objection :

Que c'est à tort que l'on prend l'art de faire le parti sur la supposi-
tion qu'on joue en qualre parties, vu que, quand il manque deux par-
ties à l'un et trois à l'autre, il n'est pas de nécessité que l'on joue
quatre parties, pouvant arriver qu'on n'en jouera que deux ou trois, ou
à la vérité peut-être quatre;

Et ainsi qu'il ne voyoit pas pourquoi on prétendoit de faire le parti
juste sur une condition feinte qu'on jouera quatre parties, vu que la
condition naturelle du jeu est qu'on ne jouera plus dès que l'un des
joueurs aura gagné, et qu'au moins, si cela n'étoit faux, cela n'étoit
pas démontré, de sorte qu'il avoit quelque soupçon que nous avions
l'ait un paralogisme.

Je lui répondis que je ne me fondois pas tant sur cette méthode des
combinaisons, laquelle véritablement n'est pas en son lieu en celte
occasion, comme sur mon autre méthode universelle, à qui rien
n'échappe et qui porte sa démonstration avec soi, qui trouve le même
parti précisément que celle des combinaisons; et de plus je lui dé-
montrai la vérité du parti entre deux joueurs par les combinaisons en
cette sorte :

N'est-il pas vrai que, si deux joueurs, se trouvant en cet état de

LXXII. - 2i AOUT 1C54. 303

l'hypothèse qu'il manque deux parties à l'un et trois à l'autre, con-
viennent maintenant de gré à gré qu'on joue quatre parties complètes,
c'est-à-dire qu'on jette les quatre dés à deux faces tous à la fois, n'est-
il pas vrai, dis-je, que, s'ils ont délibéré de jouer les quatre parties,
le parti doit être, tel que nous avons dit, suivant la multitude des as-
siettes favorables à chacun?

Il en demeura d'accord et cela en effet est démonstratif; mais il
nioit que la même chose subsistât en ne s'astreignant pas à jouer les
quatre parties. Je lui dis donc ainsi :

N'est-il pas clair que les mêmes joueurs, n'étant pas astreints à
jouer ■< les >> quatre parties, mais voulant quitter le jeu dès que l'un
auroit atteint son nombre, peuvent sans dommage ni avantage s'as-
treindre à jouer les quatre parties entières et que cette convention ne
change en aucune manière leur condition? Car, si le premier gagne
les deux premières parties de quatre et qu'ainsi il ait gagné, refusera-
t-il de jouer encore deux parties, vu que, s'il les gagne, il n'a pas
mieux gagné, et s'il les perd, il n'a pas moins gagné? car ces deux que
l'autre a gagné ne lui suffisent pas, puisqu'il lui en faut trois, et ainsi
il n'y a pas assez de quatre parties pour faire qu'ils puissent tous deux
atteindre le nombre qui leur manque.

Certainement il est aisé de considérer qu'il est absolument égal et
indifférent à l'un et à l'autre déjouer en la condition naturelle à leur
jeu, qui est de finir dès qu'un aura son compte, ou déjouer les quatre
parties entières : donc, puisque ces deux conditions sont égales et in-
différentes, le parti doit être tout pareil en l'une et en l'autre. Or, il
est juste quand ils sont obligés de jouer quatre parties, comme je l'ai
montré : donc il est juste aussi en l'autre cas.

Voilà comment je le démontrai et, si vous y prenez garde, cette dé-
monstration est fondée sur l'égalité des deux conditions, vraie et
feinte, à l'égard de deux joueurs, et qu'en l'une et en l'autre un même
gagnera toujours et, si l'un gagne ou perd en l'une, il gagnera ou
perdra en l'autre et jamais deux n'auront leur compte.

4. Suivons la même pointe pour frow joueurs et posons qu'il manque

30V ŒUVKKS l)i: FEUMAT. - COHRESPONDANCE.

une partie au promier, qu'il (^n manque deux au second e( deux au
troisième. Pour faire le parti, suivant la même méthode des combinai-
sons, il faut chercher d'abord en combien do parties le jeu sera dé-
cidé, comme nous avons fait quand il y avoit deux joueurs : ce sera en
trois, car ils ne sauroient jouer Irios parties sans que la décision soit
arrivée nécessairement.

Il faul voir maintenant combien trois parties se combinent entre
trois joueurs et comI)icn il y en a de favorables à l'un, combien à
l'autre et combien au dernier et, suivant cette proportion, distribuer
l'argent do même qu'on a fait en l'hypothèse de deux joueurs.

Pour voir combien il y a de combinaisons en tout, cela est aisé :
c'est la troisième puissance de 3, c'est-à-dire son cube 27. Car, si on
jette trois dés à la fois (puisqu'il faut jouer trois parties), qui aient
chacun trois faces (puisqu'il y a trois joueurs), l'une marquée a favo-
rable au premier, l'autre b pour le second, l'autre c pour le troisième,
il est manifeste que ces trois dés jetés ensemble peuvent s'asseoir sur
i>7 assiettes différentes, savoir :

a
a
a

I

1

a
a
b

1

a
a
c

i

a
b
a

a
h
b

2

0

b
c

I

a
c
a

1

c
b

a
c
c

I
3

b
a
a

I

b
a
b

1
2

b
a
c

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3

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b

a

c

b

c
3

c
a

I
3

c
c
b

3

c
c
c

3

Or, il ne manque qu'une partie au premier : donc toutes les as-
siettes où il y a un a sont pour lui : donc il y en a h).

II manque deux parties au second : donc tontes les assiettes où il y
a deux b sont pour lui : donc il y en a 7.

Il manque deux parties au troisième; donc toutes les assiettes où il
y a deux c sont pour lui ; donc il y en a 7.

Si de là on concluoil (ju'il faudroit donner à chacun suivant la pro-
portion de i(), 7, 7, on se tromperoit trop grossièrement et je n'ai
garde de croire que vous le fassiez ainsi; car il y a quelques faces

LXXII. — 2'i. AOUT 1054. 305

favorables au premier et au second tout ensemble, comme ahb, car le
|)r('niier y trouve un a qu'il lui faut, et le second deux h qui lui man-
(jucut; et ainsi ace est pour le premier et le troisième.

Donc il ne faut pas compter ces faces qui sont communes à deux
comme valant la somme entière à chacun, mais seulement la moitié,
('ar, s'il arrivoit l'assieltc ace, le premier et le troisième auroieiit
même droit à la somme, ayant chacun leur compte, donc ils partage-
roient l'argent par la moitié; mais s'il arrive l'assiette aab, lo premier
iijagne seul. Il faut donc faire la supputation ainsi :

Il y a i3 assiettes qui donnent l'entier au premier et G qui lui don-
nent la moitié et 8 qui ne lui valent rien : donc, si la somme entière
est une pistole, il y a i3 faces qui lui valent chacune une pistole, il y a
() faces qui lui valent chacune ^ pistole et 8 qui ne valent rien.

Donc, en cas de parti, il faut multiplier

i3 par une pistole, (]ui font i3

6 par une demi, (|ui font 3

8 par zéro, qui font o

Somme... 27 Somme... 16

et diviser la somme des valeurs, 16, par la somme des assiettes, 27,
(jui fait la fraction i^, qui est ce qui appartient au premier en cas de
parti, savoir iG pistoles de 27.

Le parti du second et du troisième joueur se trouvera de même :

Il y a 4 assiettes qui lui valent i pistole : multipliez. . . 4
Il y a 3 assiettes qui lui valent | pistole : multipliez. . . i\
El 20 assiettes qui ne lui valent rien o

Somme... 27 Somme... .i}

Donc il appartient au second joueur 5 pistoles et ^ sur 27, et autant au
troisième, et ces trois sommes, 5 :!^, 5^ et iG, étant jointes, font les 27.

5. Voilà, ce irie semble, de quelle manière il faudroit faire les partis
par les combinaisons suivant votre méthode, si ce n'est que vous ayez
quelque autre chose sur ce sujet que je ne puis savoir. Mais, si je ne
me trompe, ce parti est mal juste.

La raison en est qu'on suppose une chose fausse, qui est qu'on joue

Klrmat. — II. Sg

301) Œl'VUES DE FERMAT.— COUUESPOM) ANCE.

en trois parties inl'aillil)leiiuMi(, au lieu que la eondilioii nalurelle de
ee jeu-là est qu'on ne joue que jusques à ce qu'un des joueurs ait
atteint le nombre de parties ([iii lui manque, auquel cas le jeu cesse.
(",e n'est pas qu'il ne puisse arriver qu'on joue trois parties, mais il
peut arriver aussi qu'on n'eu jouera qu'une ou deux, et rien de nécessité.
Mais d'où vient, dira-t-on, ([u'il n'est pas permis de faire en cette
rencontre la même supposition teinte que quand il y avoit deux
joueurs? Kn voici la raison :

Dans la condition véritable de ces trois joueurs, il n'y en a qu'un
qui peut gagner, car la condition est que, dès qu'un a gagné, le jeu
cesse. Mais, en la condition feinte, deux peuvent atteindre le nombre
de leurs parties : savoir, si le j)reinier en gagne une qui lui manque,
cl un des autres, deux (jui lui manquent; car ils n'auront joué que
trois parties, au lieu que, qiraïul il n'y avoit que deux joueurs, la con-
dition feinte et la véritable convenoicnt pour les avantages des joueurs
en tout; et c'est ce qui met l'exlrènie différence entre la condition
feinte et la véritable.

Que si les joueurs, se trouvant en l'état de l'hypothèse, c'est-à-dire
s'il manque une partie au premier et deux au second et deux au troi-
sième, veulent maintenant de gré à gré et conviennent de cette condi-
tion qu'on jouera trois parties complètes, et que ceux qui auront
atteint le nombre qui leur manque prendront la somme entière, s'ils
se trouvent seuls qui l'aient atteint, ou, s'il se trouve que deux l'aient
atteint, qu'ils la partageront également, en ce cas, le parti se doit faire
comme je viens de le donner, que le premier ait iG, le second 5^, le
troisième j;^, de 27 pistoles, et cela porte sa démonstration de soi-
même en supposant cette condition ainsi.

Mais s'ils jouent simplement à condition, non pas qu'on joue néces-
sairement trois parties, mais seulement jusques à ce que l'un d'entre
eux ait atteint ses parties, et qu'alors le jeu cesse sans donner moyen
à un autre d'y arriver, lors il appartient au premier 17 pistoles, au
second 5, au troisième 5, de 27.

Et cela se trouve par ma méthode générale qui détermine aussi

LXXIII. - 29 AOUT lCo4. 307

qu'en la condition précédente, il en faut iG au premier, 5^ au second,
et ^^ au troisième, sans se servir des combinaisons, car elle va par-
tout seule et sans obstacle.

6. Voilà, Monsieur, mes pensées sur ce sujet sur lequel je n'ai
d'autre avantage sur vous que celui d'y avoir beaucoup plus médité;
mais c'est peu de chose ii votre égard, puisque vos premières vues sont
plus pénétrantes que la longueur de mes efforts.

Je ne laisse pas de vous ouvrir mes raisons pour en attendre le juge-
ment de vous. Je crois vous avoir fait connoitrc par là que la méthode
des combinaisons est bonne entre deux joueurs par accident, comme
elle l'est aussi quelquefois entre trois joueurs, comme quand il
manque une partie à l'un, une à l'autre et deux à l'autre, parce (ju'en
ce cas le nombre des parties dans lesquelles le jeu sera achevé ne
suffit pas pour en faire gagner deux; mais elle n'est pas générale et
n'est bonne généralement qu'au cas seulement qu'on soit astreint ii
jouer un certain nombre de parties exactement.

De sorte que, comme vous n'aviez pas ma méthode quand vous
m'avez proposé le parti de plusieurs joueurs, mais seulement celle
des combinaisons, je crains que nous soyons de sentimens différens
sur ce sujet.

Je vous supplie de me mander de quelle sorte vous procédez en la
recherche de ce parti. Je recevrai votre réponse avec respect et avec
joie, quand même votre sentiment me seroit contraire. Je suis etc.

LXXIII.
FERMAT A PASCAL {').

SAMEDI 29 AOUT 1654.
{OEmres Je Pascal, IV, p. t^■i3-!|^~.)

Monsieur,
1. Nos coups fourrés continuent toujours et je suis aussi bien que

(' ) CeUe lettre a été écrite par Fermât avant qu'il eût reçu la précédente.

30S

( K U V lî E S 0 E F R 15 M \T. — C 0 11 l\ E S P 0 N 1) V X C E.

vous dans radiniration t\c quoi nos poiisi'os s'ajuslcul si oxaclcmonl
i|u'il somhlo qu'elles aient pris une même route et fait un même ehe-
uiin. Vos derniers Traités du Triangle arithmèliquc et de son application
en sont une preuve au(heii(i(iue : et si mon calcul ne me trompe, voire
onzième conséquence (' ) couroil la poste de Paris à Toulouse, pendant
(|ne ma proposition des nombres figurés, qui en ellel esl la même.

alliiil (le

Toulouse à Paris.

(') La onzième conséquence du Traite du triangle urilliiuctlque csl énoncée ainsi :
Chaque cellule de la dk'identc est double de celle qui la précède (taux xo/i rang paral-
lèle ou perpendiculaire.

Pascal appelle cellules de la dividcute celles que la bissectrice de rani;lç droil du
triangle traverse diagonalemenl : jiar exemple les cellules G, 0;, ("., P, p.

■'.

I

1

I

1

1

1

I

I

I

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3

4

5

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3

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1 !()

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36

'\

10

20

35

«'l

5

i5

53

7"^

6

O.l

ÔG

ijG

y

38

84

8
9

36

La proposition des nombres figurés de Fermât est celle de VOlixervatioii XLl 1 sur Dio-
phaiite et lie la lettre XH, 12 (voir plus haut, page 70, note 1). La onzième conséquence du
Traité du triangle aritlunctique de Pascal no correspond do fait qu'à la première parlic
de la proposition de F(!rmal, à savoir que in{m-v-i) est le double du triangle de côté m :
pour retrouver dans l'œuvre do Pascal le reste de cette proposition, il faut, à la onzièmi'
conséquence, ajouter la douzième, etc., en mettant d'ailleurs celle-ci sous la forme de la
proposition XI du Traite' des ordres numériques.

LXXIII. - -29 AOUT IC^oh. 30!)

Je n'ai garde de faillir tandis que je rencontrerai de cette sorte, el
je suis persuadé que le vrai moyen pour s'empêcher de faillir est celui
de concourir avec vous. Mais, si j'en disois davantage, la chose tien-
droit du compliment, et nous avons hanni cet ennemi des conversa-
tions douces et aisées.

Ce seroit maintenant à mon tour à vous débiter quelqu'une de mes
inventions numériques; mais la fin du parlement augmente mes occu-
pations, et j'ose espérer de votre bonté que vous m'accorderez un répil
juste et quasi nécessaire.

2. Cependant je répondrai à votre question des trois joueurs qui
jouent en deux parties. Lorsque le premier en a une, et que les au(res
n'en ont pas une, votre première solution est la vraie, et la division de
l'argent doit se faire en 17, 5 et 5 : de quoi la raison est manifeste et
se prend toujours du même principe, les combinaisons faisant voir
d'abord que le premier a pour lui 17 hasards égaux, lorsque chacun
des <<deux ;> autres n'en a que .:").

3. Au reste, il n'est rien à l'avenir que je ne vous communique
avec toute franchise. Songez cependant, si vous le trouvez à propos, à
cette proposition :

Les puissances quarrées de 2, augmentées de l'unité, sont toujours
des nombres premiers.

Le quarré de 2, augmenté de l'unité, fait 5 qui est nombre premier.

Le quarré du quarré fait i(i qui, augmenté de l'unité, fait 17,
nombre premier.

Le quarré de iG fait 2jG qui, augmente de l'unité, fait 2J7, nombre
premier.

Le quarré de 2jG fait G5 53G qui, augmenté de l'unité, fait Gj ^37,
nombre premier.

Et ainsi à l'infini.

C'est une propriété de la vérité de laquelle je vous réponds. La
démonstration en est Iri's malaisée et je vous avoue que je n'ai pu

:n 0 ( 1-: i \ u !•: s d i-: v !■: ii m at. - c o ii k i: s p ( > x i) a n ce.

encore lii Iroiiver pleinemont ; je ne vous la pr()|)nsprois pas pour la
chorclior. si j'en élois vciiii à Ixnil {' ).

Colle proposilioii sert ;i l'invention des nombres (jni soni ii leurs
parties alicpioles en l'aison donnée, sur (|uoi j'ai l'ait des découvertes
considérables. Nous en |)arlerons une autre l'ois.

Je suis. Monsieur, votre, etc.,
A TomIdusc, lo ■>() août i6JÎ.

Feumat.

n

LXXIV.

FERMAT A PASCAL (-).

VENDllEDI 2.5 SEPTEMBRE 1054.

(OEilrres de Pnscal , IV, p. 4'Î7-4'l'-)

IMONSIEll!,

1- .N'appréhendez pas que notre convenance se démente, vous l'avez
eonlirmée vous même en pensant la détruire, et il me semble <|u'(
répoinlant à .M. de Roberval pour vous, vous avez aussi répondu pour
moi.

.le prends l'exemple des trois joueurs, au premier desquels il manque
uiH' par'tie, et à chacun des deux autres deux, qui est le cas que vous
m'oj)posez.

.le n'y trouve que 17 combinaisons pour le premier et 5 pour chacun
des deux autres : car, quand vous dites que la combinaison arc est
honno pour le premier et pour le troisième, il semble que vous ne
vous souveniez plus que tout ce qui se fait après que l'un des joueurs
a içagné, ne sert plus de l'ien. Or, celte combinaison ayant l'ait gagner
le premier dès la premif're partie, qu'importe que le troisième en

( ') Foir Tome 1, p. i3i, et Tome II. p. uoC.
n; Réponse à la leUre LXXII.

LXXIV. — 25 SEPTEMBRE 1654. 311

gagne doux ensuite, puisque, quand il en gaguoroit (rente, toul (■eia
seroit superflu?

Ce qui vient de ce que, comme vous avez dès bien remarqué, celte
iiction d'étendre le jeu à un certain nombre de parties ne sert qu'à
faciliter la règle et (suivant mon sentiment) ;i rendre tous les hasards
égaux, ou bien, plus intelligiblement, à réduire loules les fractions à
une même dénomination.

Et afin que vous n'en doutiez plus, si au lieu de trois parties, vous
étendez, au cas proposé, la feinte jusqu'à quatre, il y aura non seu-
lement 27 combinaisons, mais 81, et il faudra voir combien de com-
binaisons feront gagner au premier une partie plus tôt que deux à
chacun des autres, et combien feront gagner à chacun des deux autres
deux parties plus tôt qu'une au premier. Vous trouverez que les com-
binaisons pour le gain du premier seront 5i et celles de chacun des
aulres deux i >, ce qui revient à la même raison.

Que si vous prenez cinq parties ou tel aulre nombre qu'il vous
plaira, vous trouverez toujours (rois nombres en proportion de 17,
5, 5.

Et ainsi j'ai droit de dire que la combinaison ace n'est que pour le
premier et non pour le troisième, et que cca n'est que pour le troi-
sième et non pour le premier, et que partant ma règle des combi-
naisons est la même en trois joueurs qu'en deux, et généralement en
tous nombres.

2. Vous aviez déjà pu voir par ma précédente (') que je n'hésitois
l)oint à la solution véritable de la question des trois joueurs dont je
vous avois envoyé les trois nombres décisifs, 17, 5, 5. Mais parce que
M. ■< de > Roberval sera peut-être bien aise de voir une solution sans
rien feindre, et qu'elle peut quelquefois produire des abrégés en
beaucoup de cas, la voici en l'exemple proposé :

Le premier peut gagner, ou en une seule partie, ou en deux, ou en
trois.

(1) Lettre LXXIO, 2.

Mî ŒITVIIES DE FERMAT.- COHlîESPOM) ANCE.

S'il gagne en une seule parlie, il l'aiil (ju'avuu' un dé qui a trois
tares, il rencontre la favorable du |)reniiei" coup. Un seul dé produit

trois hasards : ce joueur a donc pour lui ^ des hasards, lors([u'on ne
j(uie qu'une partie.

Si on en joue deux, il jieut gagner de deux laçons, ou lorsque le
second joueur gagne la première cl lui la seconde, ou lorsque le troi-
siènu' gagne la première et lui la seconde. Or, deux dés produisent
<) hasards : ce joueur a donc pour lui - des hasards, lorsqu'on joue
d(>ux parties.

Si on en joue trois, il ne peut gagner que de deux façons, ou
lorsque le second gagne la première, le troisième la seconde et lui
la troisième, ou lorsque le troisième gagne la première, le second la
seconde et lui la troisième; car, si le second ou le troisième joueur
gagnoit les deux premières, il gagneroit le jeu, cl non pas le premier

joueur. Or, trois dés ont 27 hasards : donc ce premier joueur a ^ des
hasards lorsqu'on joue trois parties.

La somme des hasards qui font gagner ce premier joueur est i)ar

conséquent o> - et — •> ce qui l'ait en tout — •
' ô 9 27 ' 27

Et la règle est bonne et générale en tous les cas, de sorte que, sans
recourir à la feinte, les combinaisons véritables en chaque nombre
des parties portent leur solution et font voir ce que j'ai dit au com-
mencement, que l'extension à un certain nombre de parties n'est
autre chose que la réduction de diverses fractions à une même déno-
mination. Voilà en peu de mots tout le mystère, qui nous remettra
sans doute en bonne intelligence, puisque nous ne cherchons l'un et
autre que la raison et la vérité.

3. .l'espère vous envoyer à la Saint-JMarlin un Abrégé de tout ce
que j'ai inventé de considérable aux nombres. Vous me permettrez
d'être concis et de me faire entendre seulement à un homme qui com-
|)iciid tout il demi-mot.

(^e que vous y trouverez de plus important regarde la proposition

LXXIV. — 20 SEPTEMBRE 1654. 311$

que tout nombre est composé d'un, de deux ou de trois triangles;
d'un, de deux, de trois ou de quatre quarrés; d'un, de deux, de trois,
de quatre ou de cinq pentagones; d'un, de deux, de trois, de quatre,
de cinq ou de six hexagones, et à l'intini (').

Pour y parvenir, il faut démontrer (jue tout nombre premier, qui
surpasse de l'unité un multiple de 4. t'^t composé de deux quarrés,
comme j, i3, 17, 29, 37, etc.

Etant donné un nombre premier de cette nature, comme 53, trouver,
par règle générale, les deux quarrés qui le composent.

Tout nombre premier, qui surpasse de l'unité un multiple de 3,
est composé d'un (juarré et du triple d'un autre quarré, comme 7, i3,
19, 3i, 37, etc.

Tout nombre premier, qui surpasse de i ou de 3 un multiple de 8,
est composé d'un quarré et du double d'un autre quarré, comme 1 1,
17, 19, ^i, 43, etc.

Il n'y a aucun triangle en noinbies duquel l'aire soit égale à un
nombre quarré (-).

Gela sera suivi de l'invention de beaucoup de propositions que Bacliel
avoue avoir ignorées, et qui manqu<'n( dans le Diophante.

.Te suis persuadé que dès que vous aurez connu ma façon de démon-
trer en cette nature de propositions, elle vous paroilra belle et vous
donnera lieu de faire beaucoup de nouvelles découvertes; car il faut,
comme vous savez, que multi pertranseant ut augeatiir scientia ( ').

S'il me reste du temps, nous parlerons ensuite des nombres ma-
giques, et je rappellerai mes vieilles espèces sur ce sujet.

Je suis de tout mon cœur. Monsieur, votre, etc.,

Feumat.

Ce 23 septeml>ro.

.Te souhaite la santé de M. de Carcavi comme la mienne et suis tout
il lui.

( ' ) J'oir Lettre XII, 3.

(2) T'oir Lettre XII, 2.

(3) J^oir plus haut p. 35, iioU' 2.

Iebmat. — II. [\o

:5IV (KIVIIKS I)K KKHM AT. — COHUKSPONDAiNCK.

Je vous écris de la cainpagiu', cl c'est ce qui retardera par avendire
mes réponses pendant ces vacations.

F.XXV.

PAS(i\L A fek:\iat (').

ji.viiui 27 ocToBitE lG3i.

{OKuiTcs de Piisca/, IV, |i. 44'>-)

Jfo.Nsnan,

Votre (leriiii-re leKre m'a parfaitement satisfait. J'admire votre mé-
(hode pour les partis, d'autant mieux que je l'entends fort bien; elle
est entièrement vôtre, et n'a rien de commun avec la mienne, et arrive
an même Itut facilement. Voilà notre intellistence rétablie.

.Mais, Monsieur, si j'ai concouru avec vous en cela, cherchez ailleurs
(|iii vous suive dans vos inventions numériques, dont vous m'av(!z fait
la grâce de m'envoycr les énonciations. Pour moi, je vous confesse
(|ne cela me passe de bien loin; je ne suis capable que de les admirer,
cl vous supplie très humblement d'occuper votre premier loisir à les
achever. Tous nos Messieurs les virent samedi dernier et les esti-
mi'rent de tout leur ciieur : on ne peut pas aisément supporter l'at-
lenle de idioses si belles et si souhaitables. Pensez-y donc, s'il vous

plail, et assurez-vous que je suis, etc.

Pascal.
Paris, 27 octobre i()34.

(') Réiwnso à la l.cUre précéileiUe. '

LXXVI. - 1C56. 315

ANNÉE 1656.

LXXVI.

FERMAT A CARCAVl (').
1636.

(Bibl. Nat. fr. sog-iJ, XVII, p. 7S-S4.)
< MOXSIKCR >,

1. J'ai reçu un très grand contentement de vos lettres du 19 du mois passé,
lesquelles m'ont été rendues il y a deux jours, et je me tiens fort obligé à la
civilité de M. Pascal, duquel, si l'estime que j'en ai pouvoit être plus grande,
elle seroil augmentée par laiil de démonstrations que j'en ai reçues. Je vous
prie donc (vous qui m'avez fait l'honneur de me faire connoître une personne
si savante) de lui témoigner le respect el l'estime que j'ai pour lui, et que, si
je ne puis pas correspondre avec les effets à tant de grâces qu'il lui a plu de
me faire, je ne manquerai pas au moins d'y satisfaire avec ma bonne volonté
f|ue j'ai voulu vous faire connoître présentement par la réponse que je \ous
envoie de ce qu'on m'a proposé. Le temps est court; mais, n'espérant pas de
pouvoir la semaine prochaine avoir la commodité de m'appliquer à de sem-
blables spéculations, je suis contraint de vous en dire mon sentiment sur le
champ.

2. Il est bien vrai (|u'il me déplaît que d'abord je ne suis pas du sentiuienl
de M. Pascal touchant VAnalyse specio.se, de laquelle je fais plus grand cas

(I) Cette lettre a clé publiée pour la première fois par M. Charles Henry (Recherches,
p. 197-200) d'après une copie sans date, sans adresse et sans signature. La date de i656
a été attribuée à celte lettre à cause des allusions aux jansénistes el molinistes, et au
séjour de Huygens à Paris que le savant hollandais quitta le 3o novembre i655 {OEuvres
compléter, I, p. 367). Le texte n'est qu'une traduction passablement incorrecte de l'ori-
ginal qui élait rédigé en latin, comme on peut le conclure d'après les nombreux mots de
cette langue que le traducteur, parfois embarrassé, a transcrits dans Finlerligne.

;Ul> (KIVHES DE FERMAT. - COUHESl'ONnVNr.E.

(|iio lui, ot J'ose (lire que les pi-euves (|iie j'en ai sont si grandes que non seii-
lonienl elles me persuadent, mais elles m'obligent d'en faire une estime hien
irrande. J'avoue (|ne le retour en est iiien souvent dilTicile; mais, pane ipie,
quand j'ai l'ait exaelemenl l'analvse, je suis aussi sûr de la solution du pro-
lilème comme si je l'eusse démontré par synthèse, je ne me soucie pas quel-
(piel'ois d'en chercher la construction lu i)lus aisée, mo ]iersuadant ce qu'en
une autre occasion M. Pascal (') dit : im/i cssc par lahori />ririiiiii/ii. Mais, en
cela comme en toutes autres choses, je; laisse volontiers (|ue chacun suive son
propre sentiinont.

3. ■\o viens au problème des < cercles > tangens dont on désire une plus
grande explication. Aussitôt que vous me l'envoyâtes, il me souvint que
j'avois songé à cette matière en cherchant le lieu que décriroit le centre
d'un cercle (jui Uuivlieroil deux autres cercles donnés, ou un cercle donnr et
une ligne donnée, etc., et que j'avois démontré que, quand deux cercles sont
égaux <et qu'>ils se doivent toucher avec un autre cercle qui les enferme ou
rpii les exclut tous deux, le lieu est la ligne droite qui les divise également et
ipi'elle est perpendiculaire à la ligne qui unit les centres des cercles donnés;
mais, quand ils sont inégaux et (|ii'il faut ({u'ils se touchent comme ici-dessus,
alors le lieu est hyperbole ou, pour mieux dire, il est les sections opposées,
les foyers desquelles sont les centres des cercles donnés et le côté transvers
égal à la différence des semidiamètres des dits cercles.

Or, dans le cas dans lequel il faudra inclure l'un et exclure l'autre en le
louchant, les sections opposées ont les foyers comme auparavant, mais le
côté Iransvers est l'aggrégé et non jtas la dilTérence des semidiamètres.

Je passe les autres problèmes (lue j'ai démontrés en celte matière, parce
(|u'ils ne sont pas à propos (lour nous; mais je dirai seulement en passant
que, (piand les donnés sont un cercle et une ligne droite qui le coupe, le lieu
est à deux paraboles qui ont toutes deux pour foyer le centre du cercle donné
et passent par les intersections du dit cercle et de la ligne donnée.

Ainsi, en recevant vos lettres, je m'aperçus qu'en laissant une détermina-
tion dans le problème de M. Pascal ('), il se feroit local, en la manière ici-
dessous :

Etant donné un cercle et une ligne, trouver un autre cercle qui, touchant

(') Dans les écrits connus de Pascal, on iic Irouve guère (lu'iinc expression analogue :
ml illa, qiue pluf a(fcrunt frucUis (jUdin luliorit, verf^enles, mots qui terminent le Do
numericii' ordinibus trfictatu.i.

(2) Comp. Lettre LXX, 9.

LXXVI.

IGoG.

317

le donné, soil coupé par la li^ne en sorte que le segment soit capable d'an
angle donné.

Soit le cercle ABG {fig. 82) donné, la ligne < EF, le > centre 1); soil lu
[jeipendicuhiiro DBH et qu'on fasse l'angle HDG égal à l'angle donné.
Menant GO perpendiculaii'e, que ci-après on coupe BH en P dans la raison
GD à DO, et qu'on prolonge la ligne DU en Q en sorte que la raison DO à IIO
soit la même que celle du quarré GO au quarré GD avec le rectangle HDO.

Qu'après, par le i)oinl O, on lire les angles HQK, HQS égaux à l'angle
donné, et que par le [toinl 1', aulour des asymptotes QS, QK, on décrive
riiyperbolc IPX.

Je dis qu'elle satisfera à la proposition, c'est-à-dire que le cercle quel-
conf|ue (pii, ayant son centre sur ladite hyperbole, loucliera le cercle donné,
sera aussi cou])é [lar la ligne donnée en sorte ([ue son segment soit capable
de l'angle GDO. Mais cela, on ne le doit entendre qu'en cas que l'angle
donné soit aigu, puisque, s'il est droit, le lieu est la ligne droite <donnée>,
comme il est clair, et que, s'il est obtus, le lieu est aussi une hyperbole, mais
il y a alors quelque peu de mutation dans la construction. — Mais il n'est [las
nécessaire de dire tous les détails.

Cela étant sujiposé, on peut facilement résoudre le problème par les lieux
solides en cas quelconque, c'est à dire en décrivant cette dernière hyperbole
et les autres sections opposées dont j'ai parlé ici-dessus, puisque leur inter-
section donnera toujours le centre du cercle qu'on cherche.

Mais, parce que le problème est plan et craignant le scrupule des géo-
mètres, je l'ai résolu alors par les lieux plans généralement; mais, parce que
je m'aperçus que la construction en éloil Ijeaucoup embrouillée, je choisis

31S ŒUVRES dp: FERMAT.— CORRESI'ONDANCE.

au plus facile les donnés et je les ai)pluiuai en nombres; et c'est tout ce ([ue
je vous envoyai alors et je ne vous enverrai autre chose, parce que le susdit
Monsieur ne \eul pas la soliuioii siinplenieiit analytique, mais qu'il veut aussi
une construction gentille et facile, lafpicUe je n'ai pas pour à celle heure le
loisir de la chercher,

4. Pour ce (pii est de l'autre < ]irohlème > de cinq lignes données ('), je
ne sais pas (|ui lui a dit que je l'estime facile. Je ne crois jias vous avoir écrit
une telle chose, puisque je m'aperçus alors (|u'on pouvoit venir difficilement
à l'écuialion cl (lu'après qu'on l'auroit trouvée, la construction en seroit
l)eaucoup emiirouillée. Vous me ferez la faveur de le dire à M. Pascal el je
songerai à cela (|uand j'aurai plus de loisir.

5. Je viens au problème de minimis avec lequel le dit Monsieur dit cpi'il a
résolu plusieurs autres problèmes. C'est ce que je crois facilement, parce
(|iR' ma inélhode s'étend aux mêmes et m'apprend que le plus souvent en
ces problèmes le point du minime est centre du cercle ou de la sphère qui
satisfait à ce qu'on propose. Je dis le plus som-ent, parce que je n'ai pas le
loisir de les examiner tous et je suis certain qu'en celui-ci, dont W. Pascal
ne parle point, bien qu'il soit local ad circithim, le [loinl flu minime n'est
pas le centre du cercle :

Elanl donné quelconque nombre de points en une ligne droite, comme A,
C, I), E, F, G, \\ {fig- 83), trou'.'cr un autre comme I, duquel menant les
lignes lA, IC, II), lE, IF, IG, IR, l'assemblage des quarrés des dites lignes ail
au triangle AIB la raison minime de toutes les possibles.

Fis. 83.

A. C D E FUS

C'est à quoi je voudrois prier M. Pascal de me faire la faveur d'appliquer
sa méthode.

6. Après, < pour > le lieu du problème duquel il dit que dépendent tous
les lieux phins proposés par lui, je n'ai pas voulu mancpier de le chercher et
aussitôt j'ai trouvé que c'était un cercle, en la manière ci-dessous :

Snil donnée la ligne droite AB {fig. 84) coupée utcumt|ue en C et </u'il
(') Peut-être un |)roblènic ayant rapport à \' hexagramme do l'ascal.

LXXVI. - 1656.

319

faille trou\-er le lieu sur lequel étant pris le point D, et étant tirées les
lignes DA, DB et les parallèles CE, CF, les rectangles ADE, BDF p/is
ensemble soient égaux au quatre de la ligne donnée Z.

Qu'on décrive sur la ligno AB le demi-cercle AGB et qu'après, élevanl la
perpendiculaire CG, on lire la ligne GH égale à la ligne Z et terminée à la
ligne AB allongée s'il le faut. Je dis que, si du centre C, avec la distance CH,
on décrit le cercle HD, il sera le lieu qu'on cherche.

Fig. 8',.

V ous pouvez proposer à M. Pascal, avec les mêmes données, de trouver le
point I), en sorte que les deux rectangles DAE, DBF soient égaux au quarré
de la < lignes Z donnée : c'est ce que j'ai trouvé en un même temps.

7. J'ai cherclié le lieu de cet autre : Etant donnés autant de cercles qu'on
voudra et une ligne droite, trouver un point duquel menant des tangentes
aux cercles donnés et une perpendiculaire à la ligne donnée, les quarrés des
tangentes aient à la perpendiculaire une raison donnée, et j'ai trouvé qu'il
peut être ellipse, parabole ou hyperbole selon la diversité des données. Mais
il seroit trop long d'écrire tout, car il faudroit faire un livic et non pas une
lettre; je mettrai ici seulement pour essai la détermination qui est que,
toutes les fois que la raison donnée sera la même c|ue la raison du nombre
des cercles donnés à l'unité, le lieu sera parabole; si elle est plus petite, il
sera ellipse, et si elle est plus grande, il sera hyperbole.

8. Le porisnie des anciens à la description des sections coniques me semble
très joli, mais je n'ai pas le loisir de les examiner pour à ceUe lieurc^; je
conserverai le tout pour un meilleur temps, comme aussi de vous parler
des quarrés que ces Messieurs appellent magiques, desquels M. Pascal fait
quelque mention dans sa lettre.

9. J'y ajoute seulement ([ue vous dites le vrai qnnnd vous dites qu'il vous
souvient (pie je vous ai parlé aulrel'ois des deux moyennes, [jarce qu'il y
a longtemps que j'ai trouvé la méthode de les trouver en une infinité de

:{iO (lUVRKS DE FERMAT. - COHUESPONDANCE.

l'acoiis (^j\'iiU'iuls jiar les lieux solulos); mais, ciilrc lotis, ceux là m'oiil plu
(lavantasjo (|iii résoheiil le piDliIrmc pcr circulnin cl cllipsi/// : c'est ce ((lie
Je vous prie de pio|ioser à M. Pascal pour savoir s'il lui es! peul-èli'i' arrivé
loiil (le même.

10. Je vous prie de me donner quelques nouvoUes des jansénistes et moli-
nistes, comme aussi (|uek|ne objection qu'on fait à M. Descartes; et je vou-
drois savoir en ipud estime M. Ilugenius, jïeutiliiomme hollandois, est auprès
de ces Messieurs. H a imprimé ])lnsieurs pelits livres do (iéoméirie (') et il a
demeuré ipichpie temps à Paris.

LXXVII.
FERMAT A C ARC AVI (-).

ji;iN IGoC.

(Conesi). Huvff., 11° 301.)

.... 1- Si A et B joiiont avec deux dés en sorte que, si A amène
() points en ses deux dés avant que R eu amène 7, le joueur A gagne
et, si B amène 7 avant que A ail amené <()>, le joueur B aura gagné,
et de plus le joueur A a la primauté, l'avantage de A à B est eoiuiue
'')o à 3 1 .

I ') Clirisliani Iliigenii, Consl. F., Tlicoremala de quadraliira liyperboles, cllipsis cl cii-
ciili, ex dalo porlionuin gravitatis cenlro, quibus subjtincta est 'EÇeTaoïç Cyclometriœ Cl.
viri Grcgorii a S. Vincentio edilœ anno C'OlOCXLVII, Lugd. Balavorum, i65i, 4°- — !><■
i-irculi magnitudine inventa : accodiint cjusdem Problematura quorundani illustriinn con-
structiones. Lugd. Balavorum, iGî^, 4"-

( ') Celte |)ii!Pe esl un extrait adressé par Carcavl à Iluygens. Dans la Icllre d'envoi, du
y.y. juin ifiJG, Carcavi écrivait (Correxp. Hujg., n" 300) :

« M. de Fermai m'a envoyé, il y a déjà quelques jours, la solution de ee que vous aviez
.) propose touchant le parti des jeux, et vous verrez par l'extrait que je vous fais de sa
» lettre qu'il a la démonstration générale de ces sortes de que.slions, et conclurez certai-
» nemont avec nous, non seulement pour la résolution do ce problème, mais aussi pour
i> quantité de plusieurs antres très belles spécidations que nous avons vu de lui, tant
1 en ce qui concerne les nombres (juc pour la géométrie, que c'est un des plus grands
" génies de notre siècle. Je lâche, il y a déjà longtemps, d'en tirer ce que je puis pour le

LXXVII. - JUIN 1656. 321

2. Si le joueur A a la première fois la primauté et ensuite le joueur H
ait aussi la primauté la seconde fois, et ainsi alternativement (auquel
cas A poussera le dé la première fois, et puis B deux fois de suite, et
puis A deux fois de suite, et ainsi jusques à la tin), en cette espèce
le parti du joueur A est à celui du joueur B comme io3.55 à 122-G.

3. Que si le joueur A joue premièrement deux fois et le joueur B
trois fois, puis le joueur A deux fois et ensuite le joueur B trois fois,
et- ainsi ii l'infini que le joueur A qui commence ne joue jamais que
deux coups et que le joueur B en joue trois (supposant toujours
que A cherche à ramener G et B 7), le parti de A à B est comme ■ji'iGo
à 87451.

4. Les questions diversifient et la méthode change au jeu de caries.
Par exemple, je propose :

Si trois joueurs A, B, C parient avec ja cartes (qui est le noml)re
d'un jeu complet) que celui qui aura plus tôt un cœur gagnera, en
supposant que A prend la i"^' carte, B la 2" et (] la 3", et que ce même
ordre est toujours gardé jusques à ce que l'un ait gagné;

5. Si deux joueurs jouent ii prime (') avec 4» cartes, l'un entre-
prend de ramener prime dans les quatre premières cartes qui lui

•> (loiinor i\u piililic fil j'i'ii avois fait la pro[iosition à M. de Schoolon pour y ciiiploycr los
» Elzcvirs, mais les choses ne so trouvèrenl pas disposées pour nous procurer coUo
u satisfaction. »

« En ce qui concerne Messieurs Pascal et Desargues, .... le premier avoit déjà trouve
la solution de votre proposition et me doit donner au |ireinier jour celle de toutes les
autres qui sont dans l'extrait de cette lettre de M. de l'erniat. »

La question posée par Iluygens est la dernière de son Traité J)e roilociniit in luclo
alcœ qu'il venait de terminer en brouillon et d'envoyer (le 6 mai iGJ6) à Sclioolen pour
que ce dernier en aciievàt la mise en latin. Elle est ainsi conçue :

I'ropositio XIV. — Si egn et alia.t duabiis tcsseri.i (ilterniitiin jaciwiius liac condilioiie
lit ego vi/icam simili alquo septciKiriuin jaciain, iile vcro r/uai/i priinum senariiim jacint.
ila vide'.icet ut ipsi prinmm jactuin conccdam, invenive ratwnem mece ad ipsius sorlein.
I Fr. a Schooten, Excrcilationuin mat hématie arum liber V, conlinens sectiones triginta
miscellaneas. Lugd. Balavorum, 1657, in-4°, p. 53'3.)

( ') J^oir ci-après, LX.\.VII bis, 6.

l'EUMAT. — M. 4 '

M-î ŒliVKKS l)K FEHMAT. - C()UH1:S1'()M)AN(;E.

soronl haillt'os (>l l'autre parie (|iie le premier ne réussira pas, (|uei
esl leur parti ?

6. Toutes ees questions ont des uiétliodes et des règles différentes.
Si (ui n'en peut venir à bout, je vous les expliquerai toutes avec leurs
démonstrations; la |)lus sultlile et la plus malaisée est celle du vrai
parti de celui (|ni lient le dé au jeu de la chance contre les autres ( ' ).

7. Soit encore, si vous voulez, deux joueurs qui jouent au piquet:
le premier entreprend d'avoir trois as en ses douze premières cartes;
(jucl est le parti de celui-ci contre l'autre ([ui jtarie (|u'il n'aura point
les trois as?

LXXVII bà.
HUYGEiNS A CARCAVI (-).

JEUDI G JUILLET tGoC.

(Corresp. de Hnygens, n" 308.)

.... 1. .l'ay veu par la solution (jue ^Monsieur de Fermât a l'aile de
mon Problème ('') (ju'il a la méthode universelle pour trouver totil ce
qui appartient ii celle matière, ce que je desirois seulement de sçavoir
en la proposant. La mesme raison de 3o ii 3i est dans le traité que j'ay
envové à Monsieur Schoten il y a 2 mois : dans le mesme il y a aussi
un Théorème duquel je me sers dans toutes ces questions des partis
(lu jeu; et je le mettray icy, parce qu'autrement je ne pourrois pas
vous faire voir que je suis venu ii bout des Problèmes que Monsieur de
Fermât a j)roposez, le calcul de quelques uns d'entre iceux estant si
long que je n'ay pas assez de patience pour en rccherchei' le dernier

(' ) Il s'agit probablLMuciiL lio la qucsllun exposée Lctire LXXVIll, 3.
(') Extrait communiqué à Format et à Pascal (voir ci-ai)rès LXXVIll, 1) et r('[i()iiihiiil
à la pièce préccdonto, LXXVII.
(') roi> Pièce LXXVII, 1.

LXWII ùis. — G JUILLET 1036. 323

[)roiliiit; c'est pourquoy dans ceux la, après vous avoir expliqué le di(
tlieoreme, je me contenteray de mettre la méthode par laquelle l'on y
peut parvenir.

2. Le Théorème est cettui-cy :

Si le nombre des liazards qu'on a pour avoir h soit p, et le nombre
des ha/ards qu'on a pour avoir c soit (/, cela vaut autant que si l'on
bp -+- cq

avait

Par exemple si j'avois 2 hazards pour avoir :t de ce qui est mis an
jeu et ") hazards pour en avoir -, je multiplie t^ J»ar 2 et - par 5. Puis
j'adjouste ensemble les produits qui sont t^ et -; la somme est -^1
laquelle je divise par j + 2, c'est 7 ; dont j'ay ^- Je dis qu'il m'appar-
liciil y- de ce qui est mis au jeu.

3. La |)remiere des (]neslions de Monsieur de Fermât (' ) est telle :
A et B jouent à 2 dez. A gaignera en amenant G points, lî gaignera en
amenant 7 points. A poussera le dé la première t'ois, et puis B deux lois
de suite et puis A deux fois de suite, et ainsi jusques à ce que l'un ou
l'autre ait gaigné.

. Pour l'aire les partis je nommeray d ce qui est mis au jeu, et je mct-
tray x pour la part (|ui en appartient au joueur A.

Or il est évident que, quand A aura l'ait le premier coup et B ses
deux coups de suite, cl encore A l'un de ses deux coups, sans que ny
l'un ny l'autre ait rencontré, que alors A aiira derechef la mesme
apparence pour gaigner qu'il avoit des le commencement, et que par
conséquent il Iny appartiendra dei'echef la mesme part de ce qui est
mis au jeu, c'est à dire x.

Partant, lorsque A vient à faire le premier de ses deux coups de suite,

il aura

5 liazards pour avoir cl,

et 3i liazards pour avoir x,
C) Pièce LXX Vit, 2.

32V Œl Vm:S l)K FKiniAT. - C.OIÎUKSPONDANCE.

car (lo 3() (liv(M's coups ([lie prodiiisciil 2 dcz, il y en a j de (3 points.

c'est il dire ([ui \n\ donnent d ou ce ({iii est mis au jeu, cl 'Ji qui luv

font manquer les G points, et ainsi Iny donnent x, le mettant en estât

d'avoir encore un couj) à faire devant (|ne le tour de 15 soit venu. Mais

j liazards pour avoir ^/ 1 1 , , , 1 ,1 ■ ,

. ., , , . valent autant par !<' Iheoreme nrecedeiil (ine

et .il liazards pour avoir ./■ l ' ' '

ô7^ — -• Cecy est donc la part de A lorsque A fait le premier de ses

deux coups de suite.

i.e coup d'auparavant c'est quand B fait le dernier de ses deux
coups, et parce qu'il gaigne en amenant 7 points lesquels se ren-
contrent en (") façons différentes et qu'alors A perd, donques à ce

coup A au l'a

() iiiizarils |iour avoir o ou rien,

cl 00 iiiizards pour a\on' ^7; >

r>b

car son tour sera venu de faire deux coups de suite; lesquels hazards

par le précédent théorème valent r • Cecy est donc la part

de A. lorsque B fait le dernier de ses 2 coups de suite.
Quand donc B fait le premier de ses 2 coups, A aura

G li;izartls jiniir avoir o,

i5o(7 -t- gSojr

3(j iiazards pour < avoir >

1296

, 45oof?-i- 27Q00X

ce (lui vaut ,g,.-„

' 46606

Quand donc A fait le premier coup de tous, A aura

j liazard.s pour a\()ir d,

„ , , . fi^^ood + i-jqoojc

.31 hazards pour avoir . ,„-„ ' >

46636

, 372780(^4- 864000 J"

et' (lui vaut ^ r: -r-r^

' ib7cj6i6

Cecy est donc égal à .r, et partant .r égal à ^^^ <C ^^>-

Le parti du joueur A est donc — '—- de ce (ini est mis an jeu, et le
' ■' 236J1 ' •'

LXXVll bis. - G JUILLET IG06. 333

, 12276 , , , I T> . 1' » - 1' < io355
reste — —- est le parlvde «, et 1 un est a I autre comme ^1 qui son!

220il ^ ^ 12276 ^

les mesmes nombres de Monsieur de Fermât.

4. Dans la seconde question (') où il suppose que le joueur A joue
premièrement deux fois, et puis le joueur B trois fois et ensuite le
joueur A <:^ deux fois et puis le joueur B > trois fois, la méthode est
tout à fait semblable, et j'y trouve aussi les mesmes nombres que
Monsieur de Fermât, mais qu'il les faut transposer : c'est-à-dire que
le party de A est à celui de B comme 874)1 à 72360, au lieu qu'il a
mis 72360 il 87^ "il .

5. La troisième est(-) quand trois joueurs A, B et C parient avec
toutes les 02 cartes que celuy qui aura plus tost un cnnir gaignera, e(
que l'on suppose que A prend la première carte, B la seconde, (\ la
troisième et ainsi consécutivement jusques à ce que l'un ait gaigné.

11 y a i3 cœurs parmy ces ji cartes, c'est pourquoy s'il arrivoit (jue
toutes les autres 39 fussent prises selon le dit ordre sans que personne
eust rencontré un cœur, alors ce seroit le tour du joueur A de prendre
et il auroit gaigné asseurement. Quand donc (] prend la trente-neu-
vième carte, au cas que jusques là personne n'ait rencontré, il est
certain que A aura i3 hazards pour avoir perdu et i hazard pour avoir
(oui ce qui est mis au jeu, que j'appelleray d comme devant. Or,

d'avoir

i3 hazards pour avoir o,

el I tmziU'd pour avoir d,

cela vaut ~j- par nostre théorème; d'icy je cognois que, quand B prend
la trente-huitième carte, A aura

i3 hazards pour avoir o,
et 2 hazards pour avoir — ; d

(•) Pièce LXXVll, 3.
(2) Pièce LXXVll, 4.

326 tl-.rVIîKS |)K FF.I5MAT. - COiniKSPOM) \NCE.

(^i-'t'sl (|uaii(l B iiiaiiquc de l'ciicMuilrcr un cdMir. car alors c'est à (' ilc
iirciuli'c la Irciilc-iic-uvicinc ); lesciiicls liazards valciil — r c/.

' ' lO.J

Oiiaiid A prend la (rciilc-scplicinc, A aura donc

i3 Iiazards pnui' iuoii' '/,

01 .■> lia/.aiMls pour avoir

' ~ 5

103

ce (ini vaul -^rr-"-

' I bSo

Ainsi (Ml roculant tousjours d'une car(e Ton seanra à la tin la part
de A. lorsqu'il prend la première de toutes, et de la niesnie manière
se trouvera le |)arlv de H, cl le resie sera cidiiy de (1.

6. La (|ualrienu' est (' ) (|nand deux joueurs jouent ii la prime avec
io cartes et que le joueur A entreprend de ramener prime, et J5 parie
(|ne A ne réussira pas dans les quatre premières cartes. L'on m'a dit
(|ne d'avoir prime c'est avoir f\ cartes dilïerentes, à sçavoir une de
clias(|in' soile. Je trouve donc que le party de A est à celui de B comme
Ktoo il (Si )(), de sorte (|ue l'on peut bien parier 8 contre r (|ne (|U(d-
(|u"un u'amesnera |tas prime.

7- La ein(|uiemi' et dernière question (-) est quand deux joueurs
jouent au piquet et que le premier entreprend d'avoir ) as dans ses
douze premières cartes et que l'autre parie qu'il ne les aura pas. Pour
résoudre eelle-cy, je supposcray qu'il prend ses \i caries une à une,
car il n'importe aucunement. S'il arrive donc que celuy ([ui l'entre-
prend ayant pris 1 1 cartes ait desja rencontré 2 as, il y aura parmi les
25 caries (|iii restent encore 9. as, et |)artanl il aura eu ce cas 2hazards
pour avoir gaigné, c'est pour avoir d, et 'ï\ lia/.ards |)(uir avoir o, c'est

a dire nour perdre : ce (jui vaul —a.

( ') Plw.f LXXVll, 5.

LWVII Ins. — G .ILILLKÏ IGoC. 327

Quand il a [)ris lo cartes, s'il a icnconti'é 2 as, il aura donc.

2 hnzards pour avoir d,

1
et a'i liazards pour avoir ~^d, c'est pour avoir seulement 2 as en 1 1 caries;

20

lesquels hazards valent -^^d.

^ 020

Mais quand il a pris 10 cartes, s'il n'a encore que i as, il y aura
parfny les 2G restantes 3 as; c'est pourquoy alors il aura

2
3 hazards pour avoir —rd, c'est iiour avoir 2 as eu 1 1 cartes.

20

et 23 hazards pour avoir o, c'est pour avoir i as en 1 1 cartes.

car avec cecy il ne sçauroit gagner; lesquels hazards valent -i-^d.
Quand il a pris 9 cartes, s'il a 2 as, il aura

2 hazards pour avoir d,

4q
et 20 hazards pour avoir T~-^d, c'est pour avoir seulemeiil 2 as en 10 caries,

020

lesquels hazards valent 7r-^d.
T 8770

3Iais ayant pris 9 cartes, s'il n'a encore qu'i as, il aura

3 hazards pour avoir ■— d, c'est 2 as en 10 cartes,

320

et 24 hazartls pour avoir ir^d, c'est r as en 10 cartes,

ce qui vaut T—rd.

S770

Et enfin si parmi ses 9 cartes il n'a encore aucun as. il aura

4 liazards |)our avoir ^— ^ d, c'est i as en 10 cartes,

et 23 iiazards pour avoir o, c'est pas i as en 10 cartes,

car alors il ne sçauroit {iaifiner,

lesquels hazards valent rr-^d.

Ainsi par celle méthode en reculant tousjours d'une carte je seau-

3-2S ( !•: L' \ H K S D K F \l II M \T. — C O U II E S P 0 1\ D A N C li.

niy à la lin la part du joueur A, lorsqu'il n'a encore pris aucune carie
el (|ue par conséquent il n'a pas encore i as : laquelle ayant ostée
(le if. le reste sera la part du joueur B. Ce qu'il lalloil trouver.

8. Si j'estois bien informé de Testât de la question au jeu de la chance
que Jlonsieur de Fermât dit estre la plus malaisée ('), j'essayerois
aussi de la résoudre. Pour celles que je viens de traiter, je vous prie.
.Monsieur, de me Hiire la faveur de les communiquer à IMonsieur Milon,
el (|ue je puisse sçavoir si ce que Messieurs de Fermât et Pascal en
auront trouvé sera conforme à ce que j'en explique. Je désire aussi
fort de seavoir s'ils ne se servent pas du mesme théorème que moy.

LXXVIIl.

CARCAVI A HUYGENS (-).

.lEUDI 28 SEPTEMBRE 1656.

( Currcxp. tluyg.^ n*" 33G.)

MONSU'.IR,

1. Il y a déjii longtemps que j'ai fait voir à .Messieurs de Fermai el
Pascal ce que vous aviez pris la peine d'envoyer à M. Mylon et ii moi
louchant les partis ( ■' j, mais je n'ai pu me donner l'honneur de vous
faire réponse, la chose n'ayant pas dépendu absolument de moi et la
commodité de ces Messieurs ne s'étanl pas toujours rencontrée avec le
désir que j'avois de vous satisfaire.

-M. Pascal so sert du même principe que vous et voici comme il
l'énonce :

S'il y a Ici nombre de hasards qu'on voudra, comme par exemple lo

( ' ) Pièce LXXVII, 6.

f ') Publiée pour la promièrc fois par .M. Charles lleiiry {Pierre de Cnrcavr, \\. i8).
C) Fuir la Lellrc pix'cédenlo.

LXXVIII. - 28 SEPTEMBRE 1656. 329

qui donnent chacun 3 pistoles et qu'il y en ait 2 qui donnent chacun
4 pistoles, et qu'il y en ait 3 qui ôtent chacun 3 pistoles, il faut ajou-
ter toutes les sommes ensemble et les hasards ensemble, et diviser l'un
par l'autre. Le quotient est le requis, ce qui revient à une même énon-
ciation que la vôtre.

2. Mais il ne voit pas comment cette règle peut s'appliquer à
l'exemple suivant :

Si on joue en six parties, par exemple du piquet, une certaine
somme et qu'un des joueurs ait deux, trois ou quatre parties et que
l'on veuille quitter le jeu, quel parti il faut faire quand un a une
partie à point, ou deux ou trois etc. à point, ou bien quand un a deux
parties et l'autre une, etc.?

Et le dit S'' Pascal n'a trouvé la règle que lorsqu'un des joueurs a
une partie à point ou quand il en a deux à point (lorsque l'on joue en
plusieurs parties), mais il n'a pas la règle générale. Voici son énoncia-
tion (') :

Il appartient à celui qui a la première partie de tant qu'on voudra,
par exemple de six, sur l'argent du perdant, le produit d'autant de
premiers nombres pairs que l'on joue de parties, excepté une, divisé
par le produit d'autant de premiers nombres impairs. Le premier pro-
duit sera la mise du perdant, le second produit sera la part qui en
appartient au gagnant.

Par exemple, si on joue en 4 parties, prenez les 3 premiers nom-
bres pairs : -2, ^, G; multipliez l'un par l'autre, c'est 4^; prenez les
3 premiers impairs : \, 3, j; le produit c'est i5 qui appartiendront au
gagnant sur l'argent du perdant, si on a mis chacun 48 pistoles.

Cette règle sert pour la première et la seconde partie, celui qui en a
deux ayant le double de celui qui n'en a qu'une. Il en a la démonstra-
tion, mais qu'il croit très difficile.

(') Coinp. Lettre LXX. 3. — L'énoncé de Carcavi est mal confu et en désaccord avec
l'exemple.

Fermât. — U. 42

330 ŒIVUF.S DK FERMAT.- (.011 HESPONDANCE.

3. Voii'i uiio autre proposilion qu'il ii laile à M. de Fermai, la(|U('ll('
il juge saus coniparaison plus tlillicile que (ouïes les autres :

Deux joueurs joueut à celte coiulition que la chauce du premier
soit 1 1 el celle du seeoud i /j ; uu troisième jette les trois dés pour eux
deux el, (|iiaiul il arrive i i, le premier mai'que nu poiut el, (|uaud il
ari'ive i '|, le see.oud de son eolé eu uiarque uu. Us jouent en 12 points,
mais à condition (jue, si celui (|ui jelle le dé ramène i 1 et qu'ainsi le
premier marque un point, s'il arrive (|ue le dé tasse i/| le coup d'après,
le second ne marque point, mais en ote uu au premier, et ainsi réci-
prO(|uement, eu sorte que, si le dé amène six fois 11 et le premier ail
mar(|ué six points, si eu après le dé amène trois fois de suite i/j, le
second ne marquera rien, mais otcra trois points du premier. S'il ar-
rive aussi en après que le dé fasse six fois de suite 14, il ne restera
rien au premier et le second aura trois points, et s'il amène encore
huit fois de suite i4 sans amener ii entre deux, le second aura
II points et le premier rien; et s'il amène quatre fois de suite 11, le
second n'aura que sept points et l'autre rien; et s'il amène cinq fois
de suite i4, il (') aura gagné.

La (juestion parut si dilïïcile à M. Pascal qu'il douta si M. de Fermât
en viendroit à bout, mais il m'envoya incontinent cette solution :

Celui qui a la chance de n , contre celui qui a la chance i!\, peut parier
1 1 56 contre i , mais non pas 1167 contre i ;

et qu'ainsi la véritable raison de ce parti étoit entre les deux; par où
M. Pascal ayant connu que M. Fermât avoit fort bien résolu ce qui lui
avoit été proposé, il me donna les véritables nombres pour les lui en-
voyer et pour lui témoigner que de son côté il ne lui avoit pas proposé
une chose qu'il n'eût résolue auparavant. Les voici :

i5o og\ 635 296 ggg 121'
129 746 337 890 620.

Mais ce que vous trouverez de plus considérable est que le dit S"^ de

( ' ) Lisez : le second.

LXXVIII. - 28 SEPTEMBRE 1656. 331

Kcriiial en a la démoiislralioii, comme aussi M. Pascal do son colé, bien
(ju'il y ait apparence qu'ils se soient servis d'une différente méthode.

4. J'ai envoyé votre livre (') à ^I. de Fermai, dont il rend liés

humbles grâces et vous remercie Iri's humblenienl de celui que vous
avez eu la bonté de me donner

(') Il s'agit ici d'exemplaires dos premiers opuscules de Huygens (voir ci-dessus,
page 320. noie i), adressés par lui à Claude Mylon pour Carcavi et Fermât (Corrctp.
Hiifo-., n" 297, 306, 308, 310) aux soius de François Henry, avocat au Parlement de
Paris.

Nous no reproduisons pas, dans la lettre de Carcavi, quehjues passages étrangers à ses
reinliuns avec Fermât et Pascal.

332 ŒUVRES DE FEKMAT. - COUHESPONDANCE.

ANINÉE 1657.

LXXIX.

PREMIER DÉFI AUX MATHÉMATICIENS (').

MEKCIIEDI 3 JANVIER 1657.

A

iComifi. ep., n° 33.)

Problemala duo mathemolica , tanquam indissoltibilia Gallis, Anglis. IJol-
landis, nec non cœleris Enropœ Mathcmalicix proposita a D"". de Fermai .
liegix Consiliario in l^olosano Parlamenlo,

Caslris Parisios ad D"'". Claudinin Martinuni Laïaenderiiint , Doctoreni
Medicuin. transmissa 3 nonas Janiiar. 1G57, accepta verd 12 Kal. Fehr.

Prot!I.kma Purs.

1. Invenire cubum qui, additus omnibus suis partibus aliquotis,
conticiat quadratum.

2. Ut numerus 343 est cubus a latcre 7. Oinnes ejus partes aliquota*
sunt : I, 7, 'i;), quse, adjunctse ipsi 343, conticiunt numerum l\oo, qui
est quadratus a latere 20. Quaeritur alius cubus ejusdcm naturae.

( ' ) Le titre qui précède la rédaction A du Défi semble avoir été composé par Willem
Boreel, Ambassadeur de Hollande en Franco do i65o ;i itiâS, le(iuel, le 2O janvier iG);.
adressa la pièce à Golius pour Scliouten à Leyde.

Le litre de la rédaction B est de la main de Thomas White, qui servait d'intermédiaire
entre Digby et Brouncker; celui-ci reçut le défi le 4 mars 1657, et le transmit le lende-
main à Wallis.

L'expression : Gallia Celtica, dans celte seconde rédaction, prouve que le défi avait été
également adressé à Frenicio, probablement par une lettre directe de Fermai à ce der-
nier.

LXXX. - FÉVRIER 1637. :«:{

Problema Postekius.

3. Qiiseriliir etiaiii luimeriis quadratus qui, addilus omnibus suis
partibus aliquolis, conticiat numerum cubiim.

B

( /"(7, p. 188; Cornm. ep., ii" 1.)

.'( challenge froin M. Fermât for D. Wallis. ivith Ihe liearty commendations
of ihe messager. Thomas Uhile.

Proponatur (si placef) Wallisio et reliquis Anglise IMalhemalicis
scquons quaeslio numerica :

Inveiiire etc. (ut supra 1).

Exempli gratia, numerus 343 est cubus a latere 7. Omiies ipsiiis
partes etc. (ut supra 2).

Quseritur etc. (ut supra 3).

Has solutiones exspectamus; quas, si x\iiglia aut Galliae Belgica et
Celtica non dederint, dabit Gallia Narbonensis, easque in pigniis iias-
centis amicitia' D. Dii^bv oITeret et dicabit.

LXXX.

FER.MAT A FRENICLE (').

< FÉVRIER IGo" >

{Comtn. ep., n° 33; Correspondance de Huygens^ \\° 37Î.)

Tout nombre non quarré est de telle nature qu'on peut trouver in-
finis quarrés par lesquels si vous multipliez le nombre donne cl si
vous ajoutez l'unité au produit, vienne un quarré.

(') Cette ])ièce est un extrait envoyé d'abord par Cl. Mylon à Ilnygens à la suilo d iini>
lettre datée du i mars lâS;; Iluygens le renvoya le g mars à Seliooten.

.■Î3'» (KINUKS DE FERMAT.— C.OIÎ KKS l'ON I) ANCE.

ExiMiiplo : 3 est un iiomhi'C non (|uarré, k'(|uel inulliplié |);ir i, qni
ost quarré, fait 3 cl, en prenant l'unilé, fait 4, qui est (jnanc.

Le même 3, multiplié par iG, qui est quarré, fait 48 et, en prenant
l'unité, fait '19. (|ni est quarré.

Il y (Ml a intinis qui, multipliant 3, en prenant l'unilé, font pareil-
lement un nonilire ([narré.

Je vous demande une règle générale ])Our, étant donné un nombre
non quarré, trouver des quarrés qui, multipliés par le dit nombre
donné, en ajoutant l'unité, fassent des nombres quariés.

Quel est, ])ar exemple, le plus petit quarré qui, multipliant Gi, en
prenant l'unité, fasse un quarré?

Item, quel est le plus petit quarré qui, multipliant 109 et prenant
l'unité, fasse un quarré?

Si vous ne m'envoyez pas la solution générale, envoyez-moi la par-
ticulière de ces deux nombres que j'ai choisis des plus petits, pour ne
vous donner pas trop de peine.

Aprèg que j'aurai reçu votre réponse, je vous proposerai quelque
autre chose. Il paroît, sans le dire, que ma proposition n'est que pour
trouver des nombres entiers, qui satisfassent à la question, car, en cas
de fractions, le moindre arithméticien en viendroit à bout.

LXXX[.
SECOND DÉFI DE FERMAT AUX MATHÉMATICIENS (<).

FÉVRIER 1657.

f/V/, p. 190; Comrn. ep., n" 8.)

Quïestiones pure arithmeticas vix est qui proponat, vix qui inlel-
ligat. Annon quia Arithmetica fuit hactenus tractatageometricèpotius

(') Colle pièce, qui pose le même problème que la Letlre prcc(5(lento LXXX à Frc-
ni(jle, fui reçue par Brounclvcr, de la pari de Digby et par liiitermédiaire de Thomas
Wbite. en mars 1657.

LXXXI. - FEVRIER 1657. 335

quàm arithmelicè? Id saiie imuuiiit pleraque et Veterum et Receii-
tiorum voluiuina; iniiiiit et ipse Diophantus ('). Qui licct à Geomelria
paiilo magis quàm cseteri tliscesserit, dum Analyticen numeris taiitiiin
rationalibus adstringit, eam tamen partem Geometrià non omnino
vacare probant satis superque Zeletica Vietsea, in qnii)iis Diopiianli
methodus ad quantitatem continuam, ideoque ad Gcoinetriam porri-
gitur.

Doctrinam itaque de numeris integris tanquam peculiare sibi ven-
dicat Aritbmetica patrimonium; eam, apud liuclidem Icviler duntaxat
in Elementis adumbratam, ab iis autem qui secuti sunt non satis
excultam (nisi forte in iis Diophanti libris, quos injuria temporis
abstulit, delitescat), aut promovere studeant 'AptO[i.Y]-:t/.cov -aîcs; aiil
renovare.

Quibus, ut prœviam lucem prœferamus, theorema seu problema
sequens aut demonstrandum aut construendum p'roponimus; hoc
autem si invenerint, fatebuntur hujusmodi quaestiones nec subtili-
tate, nec dilficultate, nec ratione demonstrandi, celebrioribus ex
Geometrià esse inferiores :

Dato quovis numéro non quadralo, danliir infini li (jiiadrati qui. in
datum numcrurn ducli, adscilâ unitate conficianl quadratum.

Exempiuni. — Datur 3, numéros non quadratus; ille, duclus in
(juadratum i, adscità unitate conficit 4. qi'i ost quadratus.

Item idem 3, ductus in quadratum i6, adscità unitate t'acit 49 qui
est quadratus.

Et, loco I et iG, possunt intiniti quadrati idem prsestantes inveniri;
sed canonem generalem, dalo quovis numéro non quadrato, inqui-
rimus.

Quseratur, verbi gratia, quadratus qui, ductus in 149, aut 109, aut
433, etc., adscità unitate conficiat quadratum.

(') T'oir le Traite des nonihrc!! polygones. — Fermai vise d'ailleurs le fait que Dio-
pliante admet, pour ses problèmes, les solutions en nombres fractionnaires.

330 ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

LXXXI bis.
BOULLIAU A FERMAT (').

MARS 1637.

(Bib. Nat. fr. i3oj(1, f° 5i.)

Illtislris.u'nio ac erudilissimo viro Domino de Fermai,
in xuprcma Ciiria Tliolo.iana consiliario, Ma//iematico

Ismael Biillialdtis S. P. D.

Hanc de Porismatibus scriptiunculam (^), Vir 111""', simui cum aliis
paucis, circa theoremata aliquot geometrica, mois lucubrationibus,
cum Mathematicis nostrse tetatis communicare et public! juris facere
statui; eani vcro rem cùm occasione eruditi simul ac subtilis opusculi
lui de Porismatibus, quod anno superiore (') ad amicos luos hue
transmisisti, aggressus sim. Te antesignanum sequor; quod mihi de-
cori ac gloriae vertit. Tibi enim, Vir eximie, quàni studiose te colam
aliquatenus significare, tam mihi gratum ac jucundum est, ut occa-
sionem, si nata opportune non fuisse!, mullis curis studioque vehe-
inenti redemissem. Omnes equidem, quibus virtutes tuse notse sunf,
ingenii judiciique acumen probatum, merito te suspiciunt ac célé-
brant : nec soli per Galliam qui vivant, verùm per universam Europam

( ' ) Lettre inédite, dont nous devons l'indication à M. Lucien Auvray, de la Bibliotlièque
nationale. Elle est publiée d'après la minute de BouUiau.

(■^) 11 s'agit do l'Ouvrage do Boulliau, dont le titre est donné Tome I, page 77, note 2.
Comparer avec la présente Lettre l'extrait inséré dans la Note précitée.

(') Dans V Exercitalio de Porismatibus {voir Tome I, p. 77, note, ligne 10 en remon-
tant), Boulliau dit ante biennium; mais cette expression, qui indique la fin de i654, semble
se rapporter à l'envoi à Paris par Fermai de propositions détachées comme les PorismaUi
duo (Tome 1, p. 7? à 76), retrouvés dans les papiers do Pascal. L'opuscule Porismatuin
liuclideorum etc. (Tome 1, p. 76 à 84), ici désigné expressément, n'aurait été commu-
niqué au contraire qu'en i656 {anno superiore). 11 y a donc lieu de corriger dans ce sens
ce que nous avons dit sur la date de celte communication Tome I, page 78, deuxième
alinéa de la note.

LXXXII. - 20 AVRIL 1657. 337

laudes tuas illi prîedicant, quibus nomen luum innotuit ; atque in Italia
dum cgi, Bonaventuram Cavallerium Bononise, et Evangelislam Torri-
cellum Florentiœ, summos hujus nostri sseculi Mathematieos, audivi
£ûp-r][ji.aTa tua sublimes mentis tuœ effectiones, quarum copia ipsis
facta erat, mirantes summisque laudibus extoUentes. Inter illos
itaque, qui Te toto animo colunt et venerantur, me recense; utquc
offîcium, tenue quamvis, acceptum gratumque Tibi sit, hoc mihi
pertice. Et quse cum paucis hactenus communicasti, pnestantissimos
animi tui partus, omnium utilitati et commodo ut serviant, in pu-
blicum emitto, illosque diutius comprimere noli. Vale Vir 111""=.

Scribebani Lutetise Parisior. dieMartii 1GJ7.

LXXXII.

FERMAT A DIGBY.

VENDREDI 20 AVKIL 1057.
( Krt, p. 1S9-190; Comm. ep.y n" '1.)

Monsieur,

1- Puisque vous voulez que les complimens cessent, soit t'ait; il me
suffît de vous assurer une fois pour toutes que vous vous êtes très-
justementacquis un pouvoir absolu sur moi et que je ne perdrai point
d'occasion à vous le témoigner.

J'ai lu Y Arithmelica injinitorum [' ) de Wallisius et j'en estime beau-
coup l'auteur; et, bien que la quadrature tant des paraboles que des
hyporboles infinies ait été faite par moi depuis fort longues années et

(') Johannis Wallisii SS. Th. D. Geometriae Professoris Saviliaai in celeberrimâ Aeade-
mia Oxoniensi Arilhmelica infinitonim sivo Nova melhodus inciiiircndi in Curvilineorum
(juadraluram aliaque difliciliora Malhcseos Prcfblemata: Oxonii Typis Léon. Liclifield .\ea-
demiœ Typographi, Impensis Tho. llobinson, Anno i6J0. -un [)ages in-4".

II. — Fermât. • 4^

:53S ŒUVUKS 1)K FEllM AT. - (.OURESPONDANCE.

que j'tMi aio autrefois ontrotiMui rillustroTorricelli ('), je ne laisse pas
d'estimer l'inventioa de Wallisius, qui sans doute n'a pas su que
j'eusse préoccupé son travail.

2. Voici une de mes propositions aux termes on je la conçus en
l'envoyant à ïorricelli :

Soient les deux droites SKR et KOF {//g. Sj) et soient décrites les
courbes EGHQ d'un coté et DABC de l'autre, en forme d'hyperboles

Fis-. Si.

dont les asymptotes soient les droites premièrement données. Soient
encore tirées AG, BH, parallèles à SKR, et les droites BN, AM, GL, Hl,
parallèles h KOF.

En l'hyperbole ordinaire, le rectangle NP est égal au rectangle MAO ;
mais supposons maintenant que le produit du quarré BN et de la
droite BP soit égal au produit du quarré MA et de la droite AO : en ce
cas, la courbe sera une nouvelle hyperbole dont la propriété sera que

('; Dans uno lellre perdue, probablement de la fin do 16 (G, cl qui semble avoir clé la
seule que Fermât ait adressée à Torricelli. Elle dut répondre à une communication à la-
quelle Torricelli fait allusion dans la partie inédite de sa lettre à Roberval du 7 juillet 1646,
dans celle à Mcrsenne du même jour {BuUcitino Boiicompagni, VIII, pages 400-404) et
dans celle à Carcavi du 8 juillet iGjG (Memorie dctla Jieale Accadenda dei Liiicci,
V3, 10 Juin 1880). Dans la (iremière de ces lettres (Bibl. Nat. lat., iiigii, f° 16 v°). on
lit :

« Ilyperbolarum Tlicoremata, qua; mitto ad 111™. De Fermât, ut jiidicium siibeant, num
» cum parabolis saltem aliqua ex parte conferri possinl, videre poteris. Si unius hyper-
a boIiE primaria; (|uadralura lamdiu (|u;csita est, nos pro una influitas daniiis. »

Ces théorèmes ont été de fait envoyés, avec la lettre du 8 juillet i()46, à Carcavi, cpii
avait conimuni(jué à Torricelli des propositions de Fermât sur les nombres. Le géomètre
italien connaissait d'ailleurs, au moins par les Cogltaia de .Mersenne (1O4I), les travaux
de Fermai sur les paraboles de divers degrés (voir Tome I, page ly >, note 1 j.

LXXXII. - 20 AVRIL 1637. 339

le parallélogramme BI sera égal à l'espace compris sous la base BH et
les deux courbes BADF, FEGH, qui vont à l'infini du côté de F.

Que si le produit du cube BN et de la droite BP est égal au produit
du cube AM et de la droite AO, en ce cas, ce sera une autre hyperbole
dont la propriété sera que le parallélogramme BI sera double de l'es-
pace compris dans la base BH et les deux courbes en montant, m
supra.

Et par règle générale, si le produit d'une puissance de BN par uni^
puissance de BP est égal au produit d'une pareille puissance de MA
par une pareille de AO (en supposant celles de BN et MA pareilles
entre elles, comme aussi celles de BP et de AO aussi pareilles), le
parallélogramme BI sera à la figure prolongée à l'infini /// supra,
comme la différence de l'exposant de la puissance de BN avec l'expo-
sant de la puissance de BP est à l'exposant de la puissance de BP.

De sorte qu'il suit de là qu'en l'hyperbole ordinaire l'espace de la
figure prolongée à l'infini n'est point égal à un espace donné, parce
que l'exposant des puissances, étant le même, ne donne aucune dif-
férence; et, pour faire que l'espace de la dite figure prolongée à l'in-
fini soit égal à un espace donné, il faut que l'exposant de BN soit plus
grand que celui de BP, comme il est aisé de remarquer.

3. Tout ceci, quoiqu'énoncé un peu diversement, se peut tirer du
livre de Wallisius; mais il n'a pas fait une spéculation sur ces figures,
de laquelle il sera sans doute bien aise d'être averti et qui peut passer
pour un des miracles de la Géométrie. Je l'ai autrefois donnée h Tor-
ricelli aussi bien que la précédente ; c'est :

Comme il arrive que quelquefois l'espace prolongé à l'Infini, comme
BADFEGH, est aussi infini, comme en l'hyperbole ordinaire, et quel-
quefois fini, comme en celles dont les exposants de BN surmontent
ceux de BP, on demande si, lorsque le dit espace prolongé à l'infini
est égal à un espace fini, il a un centre de gravité fixe et certain.

Or, il arrive une chose merveilleuse en cette recherche et laquelle
j'ai découverte et démontrée, c'est que quelquefois le dit espace.

3i0 ŒUVRES HE FEUM AT. - CORRESPONDANCE.

(liioiqiio tiiii. n'a point do contre tlo içravito tixc, ot quol(|uol()is il
on a.

(lar. par exemple, lorsque le produit du quarré BN ot de la droite
HP ost égal aux produits soniblahlemcnt tirés, la figure BADFEGH pro-
longée à l'intini, (|ui en co cas ost égale au parallélogramme BI, n'a
pourtant aucun centre de gravilé.

jMais, si le produit, par exemple, du cube BN et de la droite BP, est
égal aux produits semblables et semblablcmont tirés, en ce cas, non
seulement l'espace de la figure prolongé à l'infini est. égal à un espace
donné, qui est, comme nous avons dit, la moitié du parallélogramme
BI, mais encore cette figure prolongée à l'infini a un centre de gravité,
([ui va en ce cas en la ligne PF coupée en telle sorte au point 0 que la
ligne PO soit égale à la ligne KP; ot ce point 0 sera le dit centre de
gravité de cette figure prolongée à l'infini.

Si Monsieur Wallisius veut avoir la démonstration de cette proposi-
tion et de la règle générale pour trouver les dits centres de gravité, je
vous l'onvoierai pour lui en faire part.

4. Pour ce qui regarde la quadrature du cercle dans son dit Traité,
je n'en suis pas pleinement persuadé, car ce qui se déduit par com-
paraison en Géométrie n'est pas toujours véritable.

5. Je ne vous parle ni de votre Livre ('), ni de celui de Thomas
Anglus (-) : ne suior ultra crepidain. Vous êtes souverain en Physique et
je vous reconnois pour tel : j'espère pourtant au premier voyage vous
entretenir de la proportion que gardent les graves dans leur desconte

(') Il s'agit sans doute de : Two Treatisos in llio one of wliicli Tlie Nature of bodies,
in tlic oihcr tho Nature of man's soulo is looked into in way of discovery of ttie immor-
lality of reasonablc soûles. ^'u'/Zi! 9'-'"^ âÇ''(o; Xo'fou zaïavoî^aat ol'ci Suvktov Eivat âvau T:q; tciu

SXou çûdïw;; animae naluram, absque totius nalura, sufficicntor cognosci posse existimas?
Plato in Phaîd. At Paris, Printod by Gilles Blaizol. MDCXLIIII with Priviledge. C'est le
Chapitre X (p. 76-86) qui est consacré à la pesanteur.

{"■) Il s'agit de : Euclides ptiysicus sive de principiis natur.x' Stœchcidea E. Au-
Ihore Thoma Anglo Ex Albiis East-Saxonuin. Londini prostant apud Joliannem Crook.
MDC.L.VII.

LXXXIII. - 6 JUIN 1657. 341

naturelle, de quoi vous avez traité daiis votre Livre que Monsieur Bo-
rel ( ' ) m'a fait la faveur de me faire voir.
Je suis, Monsieur, votre très humble et très obéissant serviteur,

Fkkmat.
A Castres, le 20 avril ifiîj.

LXXXIII.

FERMAT A DIGBY.

MERCREUI 6 Jl IN 1637.

{ f^Ut p. 11(1 ; Coinm. f/}., ii" 11.)

Monsieur,

J'ai reçu votre dernière lettre la veille du départ de M. Borel, qui
ne me donne quasi pas le loisir de vous faire un mot de réponse.

Vos deux lettres anglaises (^) m'ont été traduites par un jeune An-
glais qvii est en cette ville et qui n'a point connoissance de ces matières,
de sorte que sa traduction s'est trouvée si peu intelligible que je n'y ai
pu découvrir aucun sens réglé, et ainsi je ne puis vous résoudre si ce
Mylord a satisfait à mes questions ou non. Il me semble pourtant, au
travers de l'obscurité de cette traduction bourrue, que l'auteur des
lettres a trouvé mes questions un peu trop aisées, ce qui me fait croire
qu'il ne les a pas résolues.

Et parce qu'il pourroit équivoquer sur le sens de mes propositions,
j'ai demandé un nombre cube en nombres entiers, lequel, ajouté à
toutes ses parties aliquotes, fasse un nombre quarré.

J'ai donné par exemple 343, qui est cube et aussi nombre entier,

(1) Probablement le médecin du Roi, Pierre Borel, né à Castres vers 1620 et fixé à
Paris depuis i653.

(2) Lettres do Brouucker écrites en mars 1657 et qui sont perdues. Elles répondaient
aux défis de Fermât (Pièces LXXIX et LXXXI): l'analyse s'en trouve dans la Lettre n° 9
du Commcrcium episloliciim.

:}V2 (KUVRES DE FERMAT. - COUlîESPONDANCE.

liM|ii('l. ajoiilo à Joutos SOS partios aliqiiotes, l'ait 'ioo, qui csl un
Monihro quarré; et, parce que cette question reçoit plusieurs antres
solutions, je demande un autre nombre cube en entiers, qui, joint ii
toutes ses parties aliquoles, fasse un nombre ([uarré.

Et si le Mylord Brouncker répond qu'on entiers il n'y a (|ui' le seul
nombre 3'|3 qui satisfasse à la question, je vous promets et à lui aussi
de le désabuser en hii en exhibant un autre.

Je domandois encore un quarré en entiers qui, joint à tontes ses
parties aliquotes, fasse un cube.

Pour la question proposée dans l'Écrit latin (' ) que je vous envoyai,
elle est aussi en nombres entiers, et, parlant, les résoUitions en frac-
tions, lesquelles peuvent être d'abord fournies a quolibet de trk'io
arithinetico, ne me satisferoicnt pas.

Je suis avec respect. Monsieur, votre très humble et très obéissant

serviteur.

Fermât.

A Casti'es, le (l juin 16J7.

Je vous parlerai de la descente naturelle des corps pesants dès que
j'aurai un peu plus de loisir (^).

LXXXIV.

FERMAT A DIGBY.

MERCREDI 15 AOliT 1657.

[Comiii. r/)., 11" V2'. Va., p. 191-19.3.)

Monsieur,
1- J'ai reçu avec joie et satisfaction votre dernier paquet et, quand
il ne conticndroit autre nouvelle que celle de votre convalescence et

(') La pièce LXXXI,

(2) Ce post-scriplum, cnipiuiiié au tomo II (ii; loilitioii des OKuvios do Waliis (Ox-
ford, 1693, in-f"), manque dans l'cililioa du Commercium de i658. — Cf. Lettre LXXXIL 5.

LXXXIV. - 15 AOUT 1657. 313

du retour de votre santé, c'est un bien si grand et si considérable pour
tous ceux qui aiment les belles-lettres, qu'ils ne peuvent en recevoir
un plaisir médiocre.

2. J'ai reçu la copie de la lettre de Monsieur Wallis ('), que j'es-
time comme je dois, et j'avoue que ses figures sont les mêmes que
les miennes et que ses conclusions pour leur quadrature sont aussi
les mêmes; mais sa façon de démontrer, qui est fondée sur induction
plutôt que sur un raisonnement à la mode d'Archimède, fera quelque
peine aux novices, qui veulent des syllogismes démonstratifs depuis
le commencement jusqu'à la tin. Ce n'est pas que je ne l'approuve ;
mais, toutes ses propositions pouvant être démontrées via ordinariâ,
légitima et Archirnedcâ en beaucoup moins de paroles que n'en con-
tient son livre, je ne sais pas pourquoi il a préféré cette manière par
notes algébriques à l'ancienne, qui est et plus convaincante et plus
élégante, ainsi que j'espère lui faire voir à mon premier loisir.

Je voudrois qu'ensuite il eût déterminé les centres de gravité de ces
hyperboles infinies, en distinguant celles qui en ont d'avec celles qui
n'en ont pas (-); car, tandis qu'il dira que la chose lui est connue et
qu'il n'en a pas voulu charger son livre, il ne me persuadera pas, et
d'autant ylus que la proposition générale sans démonstration me suf-
tÎKa de sa part. Et je vous réponds, à l'avance, qu'elle ne sauroit con-
tenir plus de huit ou dix lignes; dès qu'il me l'aura envoyée, je lui
ferai part de ma spéculation sur ce sujet et de ma façon de démon-
trer.

3. Pour les questions des nombres, j'ose vous dire, avec respect et
sans rien rabattre de la haute opinion que j'ai de votre nation, que les
deux lettres de Mylord Brouncker (■'), quoique obscures à mon égard
et mal traduites, n'en contiennent point aucune solution; ce n'est pas
que je prétende par là renouveler les joutes et les anciens coups de

( ' ) Cf. l'Épitro V du Cnmmarcium datée du 6 juiu iGJy ot répondant à la Lettre LXXXII.
(-) Cf. rÉ[)itrc XVI du Commercium, réponse de Wallis datée du 21 novembre 1657.
(') A'oi/' page 341, note -i.

au (EUVHES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE.

laiicos quo les Anglois ont autrefois faits contre les François : mais, sans
sortir (le la métaphore, j'ose vous soutenir, et à vous. Monsieur, plus
justement qu'à tout autre, qui excellez aux deux métiers, que le ha-
sard et le bonheur se mêlent quelquefois aux combats de science aussi
bien qu'aux autres, et qu'en tous cas nous pouvons dire ([ne non
omnis fert omnia tellus ( ' ) .

Je serai pourtant ravi d'être détrompé par cet ingénieux et savant
seigneur et, pour lui témoigner que notre combat ne sera point à ou-
trance, je me relâche dans la question suivante, que je m'en vais lui
proposer, de la rigueur de mes premières questions qui ne vouloient
que des nombres entiers : il me suffira qu'ils soient rationaux à la
mode de Diophante. (Le nom de cet auteur me donne l'occasion de
vous faire souvenir de la promesse qu'il vous a plu me faire, de recou-
vrer quelque manuscrit de cet auteur, qui contienne tous les treize
livres, et de m'en faire part, s'il vous peut tomber en main.)

4. Voici la nouvelle question, ou pour Mylord Brouncker ou pour
Monsieur ^¥allis, que j'écris en latin suivant votre ordre (') :

Datum numerum ex duobus numeris rubis compositum dividere in duos
alios numéros cubos.

Banc propositionem in cpiadralis tanlum exscquulus est Diophanlus, in
cubis ne tcnlavit quidern, in iis, sallem libris qui ad nos de majore ipsius
opère pervenerunt.

Exempli gratia, proponatur numerus 28 ex duobus cubis i et 27 com-
positus.

Oportet dictum numerum 28 in duos alios cubos rationales dividere et
propositionis solutionem generaliter prœstare.

Je consens que M. Frenicle l'entreprenne; je suis persuadé qu'il ne
la trouvera pas si aisée que les autres, que je savois être de sa juridic-
tion. Je l'estime extraordinairement aussi bien que vous, mais pour-

(') Allusion à Virgile, Eclog. IV, 3() : (iin//ix fcret ninnia tellus.
(^) Cf. Oi)servalion IX sur Diophante.

LXXXIV. — lo AOUT 1057. 3io

laiit ce que je vais ajouter l'étonnera. si vous prenez la peine de le lui
communiquer.

5. ,Te lui avois écrit qu'il n'y a qu'un seul nombre quarré en entiers
qui, joint au binaire, fasse un cube, et que ledit quarré est i5, auquel
si vous ajoutez 2, il se fait 27, qui est cube('). Il a peine à croire cette
proposition négative et la trouve trop hardie et trop générale.

Mais, pour augmenter son étonnement, je dis que, si on cherche un
quarré qui, ajouté à 4» fasse un cube, il n'en trouvera jamais que
deux en nombres entiers, savoir 4 et 121. Car 4 ajouté à 4 fait 8 qui
est cube, et 121 ajouté à 4 f^iit i-J <liii est aussi cube. ]\Iais, après
cela, toute l'infinité des nombres n'en sauroit fournir un troisième qui
ait la même propriété.

Je ne sais ce que diront vos Anglois de ces propositions négatives
et s'ils les trouveront trop hardies : j'attends leur résolution et celle de
M. Frenicle, qui n'a pas répondu à une longue lettre que M. Borel lui
rendit de ma part. De quoi je suis surpris, car je lui répondois exac-
tement à tous ses doutes et lui faisois quel({ue question de mon chef,
dont j'attends la solution.

Je suis avec grand respect, Monsieur, votre très humble et trî's

obéissant serviteur,

Fermât.

A Caslres, le ij août 1G57.

6. J'oubliois de vous dire que M. Borel a écrit à son père que
M. l'Ambassadeur de Hollande s'étonnoit de quoi je n'avois pas ré-
pondu à M. Sehooten qui prétend avoir résolu mes questions et m'cMi
avoir proposé d'autres; mais je vous assure que je n'ai rien vu de sa
part et que, si vous m'en envoyez copie, j'y répondrai (^).

7- J'ai mis la proposition un peu plus générale dans la page sui-

(') Cf. Observation XLIl sur Diophante,

(2) La réponse de Sehooten au premier Défi (Pièce LXXIX) fut adressée par lui le
17 février 16J7 à l'Ambassadeur de Hollande, Willem Boreel. Elle est insérée dans la
Lettre n° 33 du Commercium epistoticum et dans la Correspondance de Huygeiis, n°' 377
et 378.

Fermât. — U. 44

3'tG (EU VU ES OE F E RM AT. - COlîUESPONI) ANCE.

vanio où ollo ino semble êlre mieux ; on la peut concevoir pour M. Fre-
uicle, qui aime les nombres entiers, en ces termes :

Trouver deux nombres cubes dont la somme soit cube,
cl

Troui'er deux nombres cubes dunl la somme soit égale à deux autres
nombres cubes.

8. Proposuit Diophantus ( ' ) :

Dalum numerum quadratum in duos quadratos dividere;
item :

Datum numerum ex duohus quadratis composilum in duos alios qua-
dratos dividere.

Quœstionem autem ad cubos evehere nec ipse nec Vieta tenlavil : quidni
igitur famosam propositionem et recentioribus reservatam Analystis expe-
dire aut dtdntemus aul differemus ?

Proponatur itaque :

Dation numerum cubum in duos cubos rationales dividere;

item :

Datum numerum ex duobus cubis composilum in duos alios cubos ratio-
nales dividere,

et inquiralur quid eci de re Anglia, quid Hollandia censeat.
(') Cf. Observations II cl III sur Diopliaiite.

LXXXV. — 15 AOUT 1657. 347

LXXXV.
FERMAT A DIGBY (').

REMARQUES SUR L'ARITHMÉTIQUE DES INFINIS DU S. J. VVALLIS.

MERCREDI 15 AOUT 1657,
{Contm. ep.r \\° 13; fa., p. 193-196.)

I. En son Épître il déclare comment il s'est mis à la recherche de
la quadrature du cercle et dit que quelques vérités, qui ont été dé-
couvertes en Géométrie, lui ont donné l'espérance qu'elle se pourroil
trouver. Ces vérités sont :

Que la raison des cercles infinis du cône aux infinis du cylindre est
connue, savoir celle du cône au cylindre qui a même base et hauteur;
et pareillement la raison des diamètres desdits cercles, savoir celle du
triangle qui passe par l'axe du cône au parallélogramme qui passe par
l'axe du cylindre;

Comme aussi on a la raison du conoïde parabolique au cylindre cir-
conscrit, et celle de la parabole au parallélogramme qui passent par
leurs axes, qui sont comme l'assemblage des diamètres des cercles in-
finis qui composent lesdits solides;

De plus, qu'on a aussi trouvé la raison des ordonnées (^tant au
triangle qu'au conoïde parabolique ou parabole), qui sont les dia-
mètres desdits cercles.

D'où il conclut que, puisqu'on a trouvé aussi la raison de la sphère
au cylindre circonscrit, ou celle de l'infinité des cercles parallèles,
dont on peut concevoir que la sphère est composée, à pareille multi-
tude de ceux qui se peuvent feindre au cylindre, on pourra aussi
espérer de pouvoir découvrir la raison des ordonnées en la sphère
ou au cercle à celles du cylindre ou quarré, savoir la raison des dia-

(') Pièce apportée par White à Brouncker en même temps que la précédente (premiers
jours d'octobre 1657). Wallis répondit (à Digby) par la Lettre 16 du Conimercium.

:5V8 ŒUVRES DE FE1{MAT. - CORRESPONDANCE.

iiit'li'os lies l'iMvlo!^ intiiiis qui composent la sphère aux diamèlres des
ooroles du cylindre. Ce qui seroit avoir la quadrature du cercle.

^lais, de même qu'on ne pouiToil pas avoir la raison de tous les dia-
mètres pris ensemble des cercles qui composent le cône à ceux du
cylindre circonscrit, si on n'avoit la quadrature du triangle; non plus
(|ue la raison des diamètres des cercles qui composent le conoïde
|)arabolique ii ceux qui font le cylindre circonscrit, si on n'avoit
la quadrature de la parabole ; ainsi on ne pourra pas connoître la
raison des diamètres de tous les cercles qui composent la sphère à
ceux des cercles qui composent le cylindre circonscrit, si l'on n'a pas
la quadrature du cercle. Car, de demander la raison qu'il y a entre les
diamètres de tous les cercles parallèles qu'on peut concevoir en la
sphère (lesquels diamètres, pris tous ensemble, ne sont autre chose
([u'uii cercle) et ceux des cercles qu'on peut feindre au cylindre cir-
conscrit (lesquels font un quarré circonscrit audit cercle), cela n'est
autre chose que de demander la raison du cercle au quarré circon-
scrit.

II. En la même Epître ('), après avoir posé une suite de nombres,

savoir :

I, G, 3o, 1^0, G3o,

il demande le terme moyen (jui doit être mis entre i et G. Je réponds
que, si on a égard à la suite entière des dits nombres, on ne peut poser
aucun terme moyen entre les dits i et G, pource qu'en cette suite les

(') Si, dans la suite do Wallis, on considère l'uniLo comme élanl le terme de rang o. le

terme de rang n sera

_ :i. j...(a/; — i)(2/i + I) ^^

^"^ l.'i...{u-i)n ^ '

cl l'on peut aussi poser

7:

Tn= ^-"j"' .^2,1^1 I cos2".cf/.f, OU bien T„ =

d'où

T,.?.

£

•2

cos-""''' J' dx

LXXXV. - 13 AOUT 1037. 3i9

nombres ne font pas une proportion continue, mais, en autant de
façons que l'un est comparé à l'autre, autant font-ils de proportions
différentes; de sorte que ce sont plusieurs proportions ou progressions
disjointes et ainsi, quand on prendroit un terme moyen entre i et G,
il n'auroit rien de commun avec les autres nombres.

Toute la proportion ou suite, qu'on peut remarquer entre ces nom-
bres, consiste au rapport qu'ont entre eux les nombres dont ils pro-
viennent par multiplication, auxquels on voit une espèce de progres-
sion arithmétique. Néanmoins il ne sçauroit passer aux nombres
susdits, en telle sorte que, par icelui, on puisse donner un terme
moyen entre deux des nombres, qui ait correspondance à toute la
suite.

Au contraire, la propriété même de cette progression fait qu'il n'y
en peut avoir; voici comment :

Les nombres donnés

I, 6, 3o, 140, 63o

sont produits par les suivants en multipliant :

,1 ^2 ,2 ,2

I, q-) i|-) q,) 47,
1204

ou les équivalents

6 10 i4 18

1234

En ces nombres, qui servent à faire les donnés, il est facile de voir
où est le rapport. Il consiste, aux premiers, en la seule augmentation
du dénominateur de la fraction qui y est jointe, ce qui fait diminuer les
nombres d'autant plus qu'ils s'éloignent du premier terme, savoir

de i; et aux seconds

6 10
I, -) — ) etc.,

qui sont les mêmes en autres termes, les numérateurs des fractions
augmentent de 4 t't b^s dénominateurs de l'unité, ce qui fait pareille-
ment diminuer les nombres tant plus la progression avance : en sorte

330 ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE.

(]uv ct'liii qui est lo plus proche du premier terme i, savoir 4- ou ->
i|ni vaut G, est le plus grand de tous.

Il faut, aussi remarquer que le rapport des nombres de la dite pro-
gression n'arrive pas jusques au premier terme i, ou plutôt ne com-
mence pas dès le premier terme, mais au second seulement, qui est sa
horne. De sorte que, si on vouloit augmenter les termes de la dite

progression, en la changeant et mettant un nombre moyen entre le

a 6 .
premier et le second terme, savoir entre i et A- ou -> il ne faudroit
' II

pas avoir égard à i, mais aux autres nombres

4f> 4^ 4|> 4^.

ou il ces autres qui sont les mêmes :

6 lo i/i i8
12 3 4

car cette progression n'auroit pas de suite, si on la commençoit par i .
Puis donc : qu'il ne faut pas avoir égard au premier terme i, qui n'a
rien de commun avec les nombres de la dite progression, mais aux
autres seulement; et qu'ils augmentent à mesure qu'ils approchent du
premier terme i : il s'ensuit que le nombre, qu'on prendroit entre i

et 1 - ou -) seroit plus grand que le dit - ou G, et il faudroit multiplier

le premier terme i par ce nombre moyen qui seroit plus grand que 6,
pour avoir le moyen terme entre les deux premiers des nombres pre-
mièrement donnés, qui sont i et 6 (car les dits nombres donnés

I, G, 3o, i4o, 63o

n'ont point d'autre rapport ou liaison que celle qu'ils empruntent de
leurs multiplicateurs, autrement ils n'en ont aucune). Et ainsi on au-
ri)it un nombre plus grand que G pour le moyen terme d'entre i et G ;
ce qui est absurde.

De lii s'ensuit qu'on ne peut donner le moyen terme entre i et G, en

LXXXV. - 13 AOUT 1657. 351

lanl qu'ils sont compris en la suite ou progression des nombres : i , G,
3o, i4o, 63o.

Ou peut inférer de là que la ligne courbe VC (fig. 86) (') n'est point
égale en elle-même el qu'elle ne peut provenir d'aucun mouvement
continu qui soit égal ou réglé, mais de plusieurs, différens suivant
ses parties; et que c'est une ligne composée de portions de plusieurs
courbes comprises entre les parallèles à l'axe VX de la figure. (]ar, en

Fis. S'i.

icclle, il est bien nécessaire que la moyenne ligne tirée entre la pre-
mière et la seconde parallèle, savoir entre i et 6, soit moindre que 6.
Mais, outre que cette moyenne ligne seroit de différente longueur sui-
vant la nature et la propriété de cette portion de la courbe VC, qui n'a
rien de commun avec les autres portions, comme a été dit, elle n'au-
roit rapport qu'avec les deux termes i. G, et non pas avec les autres,
ni avec les moyennes qu'on auroit tirées entre deux, si on prenoit le
tout conjointement.

III. En la première proposition le dit sieur Wallis propose une
suite de quantités commençant par o (qui représente le point) et qui
se suivent en progression arithmétique, et cherche quelle raison il y
a entre la somme des dites quantités et la somme d'autant de termes
égaux à la plus grande des données.

Le moyen qu'il donne pour trouver cette raison est de prendre
les sommes de diverses quantités de nombres commençant par les
moindres, puis comparer les raisons les unes aux autres et inférer
de là une proposition universelle.

On se pourroit servir de cette méthode, si la démonstration de ce

(') La figure ne se trouvant pas dans le Coinmercium, nous la restituons d'après
V Arithmetira injinitoruni de Wallis {Opéra malhemaùca , Oxford, 1695, in-f, tome 1,
P- 477)-

352 ŒUVRES DK KERM.VT. - CORRESPONDANCE.

(jui os( proposé étoit bien cachée et, qu'auparavant de s'engager ii la
cliercher, on se voulut assurer à peu près de la vérité; mais il ne s'y
faut lier que de bonne sorte et on doit y apporter les précautions
nécessaires, t'ar on pourroit proposer telle chose et prendre telle
règle pour la trouver (|u'olle seroit bonne à plusieurs particuliers
et néanmoins seroit fausse en elTet et non universelle. De sorte qu'il
faut être fort circonspect pour s'en servir, <|uoi(|u'en y apportant la
diligence requise, elle puisse être fort utile, mais non pas pour
prendre, pour fondement de quelqile science, ce qu'on en aura
déduit, comme fait le sieur Wallis : car, pour cela, on ne se doit
contenter de rien moins que d'une démonstration, et principalement
au sujet (le la proposition dont il s'agit, dont la solution et démon-
stration est fort facile.

Voici comme on démontrera que les dites quantités proposées, étant
jointes ensemble, font la moitié d'autant de quantités égales à la plus
grande d'icelles :

Soient exposées des quantités ou nombres qui commencent par le
point ou par o, et qui se suivent en progression arithmétique; et
soient celles de la première ligne

1° Quanlilt's données o <? h c d

%" Quantilcs égales à la plus grande des données.. . . d d cl d d

3° Excès des plus grandes iiar dessus les données. . . de h a o

Puisque les quantités données sont en progression arithmétique, le
troisième terme h surpassera le second de pareille quantité que le
second (savoir a) surpasse le premier qui est o; mais l'excès de a
|)ar dessus o est a : et, partant, toutes ces quantités se surpasseront
l'une l'autre de proche en proche selon la quantité du second terme a.
Va si on prend les quantités de deux en deux, laissant une d'icelles
entre deux, comme sont a, c, ou b, d de la première ligne, leur diffé-
rence sera le troisième terme, comme il est évident. Et de même, si
on les prenoit de trois en trois, elles auroient le quatrième terme c
pour leur différence.

LXXXV. — 15 AOUT 16o7. 333

De là il s'ensuit que, si on prend autant de termes égaux au plus
grand terme c^des quantités données, comme en la seconde ligne, leur
excès par dessus les quantités données sera égal aux dites quantités
données, comme on [le] voit en la troisième ligne. Car l'excès de d
par dessus la plus grande des quantités données, savoir par dessus d,
est o, qui est le premier ferme des quantités données; l'excès du
même (/par dessus le terme précédent c est le second terme a, comme
il a été montré, savoir pource que les deux quantités c et cf sont pro-
chaines; et ensuite l'excès de d par dessus b sera b, et ainsi des
autres, jusques à ce qu'enfin, étant au premier terme o, l'excès de d
par dessus icelui sera le même d.

Va ainsi la ligne des excès, qui est la troisième, sera égale à la pre-
mière qui (?onlient les quantités données; mais la première et la troi-
sième ligne étant jointes ensemble (^savoir les quantités données étant
jointes aux excès des quantités de la seconde ligne par dessus celles
de la première, qui sont les données), font la dite seconde ligne, qui a
chacun de ses termes égal au plus grand de ceux de la première : par-
tant la seconde ligne, ou le plus grand terme des données pris autant
de fois qu'il y a de termes, sera double de la première ligne, c'est
à dire des quantités données. Ce qu'il falloit démontrer.

IV. En la seconde proposition, il requiert que le premier terme soi!
o et le second i . Autrement il dit ([ue moderatio est adhibenda.

A cela je dis que, si on commence par o, quelque nombre qu'on
mette pour le second terme, la somme d'autant de fois le plus grand
terme sera toujours double des quantités données. Car, si pour a, b,
c, d on prend quelques nombres qu'on voudra, qui soient en progres-
sion arithmétique depuis le premier terme o, cela succédera toujours
en la même sorte, ainsi qu'il a été ci-devant démontré.

l'EnMAT. — 11. 45

3oV ŒUVUES 1)K l'KUMVT. - COUIIESPOND ANCE.

LXXXVI.

FKllMAT A DK LA CllAMRRE.

Aoi;i' ICo7.
(1). 111, 5o).

A TouloHse. le mois d'août 16J7.
Mo.NSIEll!,

1. Jo n'avois garde do vous obéir lorsque vous m'ordonniez de rece-
voir votre Livre (') sans le lire. Le présent que vous m'en avez fait est
une marque trop précieuse de l'amitié dont vous m'honorez; mais sa
lecture m'a fait concevoir l'idée de cette amitié comme un bien qui mé-
rite d'être conservé avec soin, avec respect et avec estime. Et pour vous
le faire voir, je ne vous parlerai point de vos autres spéculations de
Phvsique, quoiqu'elles soient pleines d'un raisonnement très solide et
très subtil; il me suffira de vous entretenir un peu sur la matière de
la réflexion et de la réfraction, quand ce ne seroit que pour réparer
par cette lettre la perte d'un Discours que je vous avois adressé, il y a
déjà quelques années, sur ce même sujet et que j'ai su n'être point
venu en vos mains. Ce qui m'y confirme est que j'entre par là dans
quelque société d'opinion avec vous, et j'ose même vous assurer par
avance que, si vous souffrez que je joigne un peu de ma géométrie
h votre physique, nous ferons un travail à frais communs qui nous
mettra d'abord en défense contre M. Descartes et tous ses amis.

2. Je reconnois premièrement avec vous la vérité de ce principe,
(|uc la nature agit toujours par les voies les plus courtes. Vous en
déduisez très bien l'égalité des angles de réflexion et d'incidence, et
l'objection de ceux qui disent que les deux lignes qui conduisent la

(') I.a Luiiiiére à Monseigneur l'Iï^inincnlissiino ()ardin:il Ma/.arin par le siciii' De La
(Chambre, conseillci' du Roy en ses Conseds et son .Médecin ordinaire. A Paris, chez
P. Rocolet, Inip.et Lilj.ord. du Roy; au Palais, en la gallcrie des Prisonniers, aux Armes
du Roy el de la Ville. M DCLVII, avec Privilège du Roy (446 pages in-4°).

LXXXVI. - AOLÏ 1057. 555

vue ou la lumière dans le miroir concave, sont très souvent les plus
longues, n'est point considérable, si vous supposez seulement, comme
un autre principe indisputable, que tout ce qui appuie ou qui fait
ferme sur une ligne courbe, de quelque nature qu'elle soit, est censé
appuyer ou faire ferme sur une droite qui touche la courbe au point
où la rencontre se fait: ce qui peut être prouvé par une raison de phy-
sique aidée d'une autre de géométrie.

Le principe de Physique est que la nature fait ses mouvements par
les voies les plus simples. Or, la ligne droite étant plus simple que la
circulaire ni que pas une autre courbe, il faut croire que le mouve-
ment du rayon qui tombe sur la courbe se rapporte plutôt à la droite
([ui touche la courbe qu'à la courbe même.

Premièrement, parce que cette droite de l'attouchement est plus
simple que la courbe; secondement (et c'est ce qui s'emprunte de la
Géométrie), parce que aucune droite ne peut tomber entre la courbe
et la touchante, par un principe d'Euclide. De sorte que le mouve-
ment est justement le même sur la droite qui touclie que sur la
courbe qui est touchée.

Et, cela supposé, on ne peut jamais dire que les deux droites qui
conduisent la lumière ou le rayon soient quelquefois les plus longues
aux miroirs concaves, parce qu'en ce cas même elles se trouvent les
plus courtes de toutes celles qui peuvent se réfléchir sur la droite qui
touche la courbe. Et, par conséquent, il ne faut ni supposer que la
nature agisse par contrainte en ce cas, ni conclure qu'elle suive une
autre manière de mouvement que celle qu'elle pratique aux miroirs
plans et en toute autre espèce de miroirs. De sorte que voilà votre
principe pleinement établi pour la réflexion.

3. Mais, puisqu'il a servi à la réflexion, pourrons-nous en tirer
([uelqu'usage pour la réfraction? Il me semble que la chose est aisée
et qu'un peu de géométrie nous pourra tirer d'affaire.

Je ne m'étendrai point sur la réfutation de la démonstration de
M. Descartes. Je la lui ai autrefois contestée, à lui, dis-je, vivenli

35(i ŒlVllKS i)K rKUMAT. - CO 11 11 KS POND ANGE.

ahjitc senticnti. coiiimo disiiit Martial ('), mais il ne mo satisfit jamais.
I.'usago lie ces niouvciiioiits roinposés est une matière bien ilélicale
et qui ne doit être traitée et employée qu'avec une très-grande |)ré-
eaution. Je les eompare à quelques-uns de vos renii'des, qui servent
de poison s'ils ne sont l>ien el dûment préparés. Il me sulfit donc tie
dire en eel endi'oit (|ne \\. Descaries n'a rien prouvé, et que je suis d(!
votre sentimenl (mi ce (nu> vous rejetez le sien.

.Mais il l'aul pass(M' plus outre et trouver la raison de la réfraction
dans noire principe commun, qui est que la nature agit toujours par
les voies les plus courtes et les plus aisées. Il semble d'abord que la
chose ne peut point réussir et que vous vous êtes fait vous-même une
objection qui paroit invincible. Car (y?^-. 87) puisque, dans la page '^ifï

de votre Livre, les deux lignes CB, BA qui contiennent l'angle d'inci-
dence et celui de réfraction, sont plus longues que la droite ADC qui
leur sert de base dans le triangle ABC, le rayon de C en A, qui con-
tient un chemin plus court que celui des deux lignes CB, BA, devroit,
au sens de notre principe, être la seule et véritable route de la nature,
ce qui pourtant est contraire à l'expérience. 3fais on peut se défaire
aisément de cette dilTicullé en supposant, avec vous et avec tous ceux
qui ont traité de (;ette matière, que la résistance des milienx est diffé-
rente, et qu'il y a toujours une raison ou proportion certaine entre
ces deux résistances, lorsque les deux milieux sont d'une consistance
certaine et qu'ils sont uniformes entre eux.

.\e vous étonnez pas de ce que je parle de résistance, après ([ue vous

(') Mmitial, É/'igr., I, 11. s. — f'oir les Lettres XXII et XXIV.

LXXXVl. — AOUT 1037. 337

avez décidé que le mouvement de la lumière se fait en un instant el
que la réfraction n'est causée que par l'antipathie naturelle qui est
entre la lumière et la matière. Car, soit que vous m'accordiez (|ue le
mouvement de la lumière sans aucune succession peut être contesté cl
que votre preuve n'est pas entièrement démonstrative, soit qu'il faille
passer par votre décision, à savoir que la lumière fuit l'abondance de
la matière qui lui est ennemie, je trouve, même en ce dernier cas,
que, puisque la lumière fuit la matière et qu'on ne fuit que ce qui l'ail
peine et qui résiste, on peut, sans s'éloigner de votre sentiment, éta-
blir de la résistance où vous établissez de la fuite et de l'aversion.

Soit donc, par exemple, en votre figure le rayon CB qui change de
milieu au poinl B, où il se rompt pour se rendre au point A. Si ces
deux milieux étoient les mêmes, la résistance au passage du rayon
par la ligne CB seroit ii la résistance au passage du rayon par la
ligne BA comme la ligne CB à la ligne BA. Car, les milieux élant les
mêmes, la résistance au passage seroit la même en chacun d'eux et,
par conséquent, elle garderoit la raison des espaces parcourus. D'où
il suit que, les milieux étant différents et la résistance par conséquent
différente, on ne peut plus dire que la résistance au passage du rayon
par la ligne CB soit à la résistance au passage du rayon par la ligne BA
comme la ligne CB à la ligne BA; mais en ce cas la résistance par la
ligne CB sera à la résistance par la ligne BA comme CB :i une autre
ligne dont la raison à la ligne BA exprimera celle des deux résistances
différentes.

Comme : si la résistance par le milieu A est double de la résistance
par le milieu C. la résistance par CB sera ii la résistance par BA comme
la ligne CB au double de la ligne BA; et si la résistance par le milieu C
est double de la résistance par le milieu A, la résistance par CB sera
à la résistance par BA comme la ligne CB à la moitié de la ligne BA.
De sorte qu'en ces deux cas, les deux résistances par CB et par BA,
étant jointes, pourront être exprimées : ou par la ligne CB jointe à la
moitié de la ligne BA, ou par la ligne CB jointe au double de BA.

Vous voyez déjà sans doute la conclusion de ce raisonnement : car,

;$.SS ŒIVIIKS DK IKUMAI". - COKHKSl'ONDANCK.

soioiil lionnes, par cxoniplo, les deux points (] et A en (hnix milieux
(lilIVrents séparés par la ligno lU) o( (pii soiciil de Icllc iiahirc ([uc la
résistance ilc lun soit ilonhlc dr celle de Tanli'e; il l'aul cliereher le
point 15 an(]U(d le rayon, (jui va de (1 en A on d"A en (], soit coupé ou
rompu.

Si nous su|)|iosons (|iie la chose est déjii faite, et que la nature aifit
toujours par les voies les plus courtes e( les plus aisées, la résistance
par ('.15, jointe ii la résistance pai- UA, conliendi'a la somme des deux
résistances, et cette somme, pour satisfaire au principe, doit être la
moindre de toutes celles qui se peuvent rencontrer en quelqu'autre
point que ce soit de la ligne DB. Or ces deux résistances jointes sont
(Ml ce cas, comme nous avons prouvé, représentées : ou par la ligne CH
jointe il la moitié de BA, ou par la même ligne GB jointe au double
de BA.

La question se réduit donc à ce problème de Géométrie :

Etant donnés les deit.r /loi/i/s V. cl A c/ Ici droite DB, tromper un point
dans la droite DB auquel si vous conduisez les droites CB et BA, la somme
de CB et de la moitié de BA contienne la moindre de toutes les sommes
pareillement prises, ou bien que la somme de (\\i et du double de BA con-
tienne la moindre de toutes les sommes pareillement prises ;

et le point B qui sera trouvé par la construction de ce problème sera
le point où se fera la réfraction.

Vous voyez par lii qu'il faut que le rayon se coupe et se rompe
lorsque les milieux sont dillerents. Car, bien que la somme des deux
lignes CB et BA soit toujours plus grande que la somme des deux
lignes CD et DA ou que la toute CA, néanmoins la ligne CB, jointe à
la moitié ou au double de BA, peut être plus courte que la ligne CD
jointe à la moitié ou au double de DA.

Je vous avoue que ce problème n'est pas des plus aisés; mais,
puisque la nature le fait en toutes les réfractions pour ne se départir
pas de sa façon d'agir ordinaire, pourquoi ne pourrons-nous pas l'en-
treprendre?

LXXXVII. — o DECEMBRE 1G57. 3o9

Je vous garantis par avance que j'en ferai la solution quand il vous
plaira et que j'en tirerai même des conséquences qui établiront soli-
dement la vérité de notre opinion. J'en déduirai d'abord : que le
rayon perpendiculaire ne se rompt point; (jue la lumière se rompt
dès la première surface sans plus clianger le biais qu'elle a pris; ([ne
le rayon rompu s'approche quelquefois de la perpendiculaire, et qu'il
s'en éloigne quelque autre fois, à mesure qu'il passe d'un milieu rare
dans un plus dense ou au contraire; et en un mot, que cette opinion
s'accorde exactement avec toutes les apparences. De sorte que, si elle
n'est pas vraie, on peut dire ce que disoit Galilée en un sujet dilt'é-
rent, que la nature semble nous l'avoir ins\)\i'év per pig/iarsi gioro (/i
iioslri ghiribizzi ( ' ) • '

Mais j'ai tort de ne songer pas ({ue le sujet de cette lettre ne tlevoil
être qu'un remerciment. Je vous conjure. Monsieur, d'excuser sa lon-
gueur, quand ce ne seroit que par l'intérêt que vous y avez, et de la
recevoir en tout cas comme un témoignage de l'estime que j'ai pour
votre savoir et du respect avec lequel je suis. Monsieur,

Votre tri's humble et très affectionné serviteur,

Fekmat.

LXXXVII.
DIGBY A FERMAT.

MERCREDI D DftCEMBRE 1657.

(l'a., p. ly'i-197.)

MoNsu:nn,

Je me donnai l'honneur de vous écrire le iç) du mois passé. Depuis
ce temps-là, j'ai été en Normandie et à mon retour j'ai trouvé la Lettre

(') Nous n'avons pu retrouver le texte auquel ost empruntée cotte citation.

MW IKI VUKS l)i: rKHMVT. - CO RR ES POND ANC K .

(]ii(> vous m'avoz l'ail l'Iionnour de iirrcrirc du 17 du nu'-uie mois (').
dont jo vous ronds Irrs-liunihlos gi'àc(>s ol in'ostiiiH? tros-lieuroux de
vous servir daus le coiuniciTO (|ui os( culro vous et Monsieur de Frc-
nicle. à (]ui je nionlrai aussi voire l^ellre el, eouinie vous y parlez de
noire ('.haini'lirr l?acon, eela nie til souvenir d'un aulre beau mol
(|u"il dil en ma présence une l'ois à feu Monsieur le Duc de Buc-
kiui^lram.

(4'étoil au commencement de ses malheurs, quand l'assemblée des
Ktats, que nous appelons le Parlemenl. entreprit de le ruiner, ce
(|u'elle lit ensuite : ce jour là. il en eut la première alarme. J'étois avec
le Duc, ayant diné avec lui; le Chancelier survint et l'entretint de
l'accusation qu'un de ceux de la Chambre Basse avoit présentée contre
lui, et il supplia le Duc d'employer son crédit auprès du Roi pour le
mainlenir loujoui's dans son esprit. Le Duc lui répondit qu'il étoil si
bien avec le Roi leur maître, qu'il n'éfoit jias besoin de lui rendre de
bons olïicos auprès de Sa Majesté : ce qu'il disoit, non pas pour le
refuser, car il l'aimoit beaucoup, mais pour lui faire plus d'honneur.
Le Chancelier lui répondit de très-bonne grâce qu'en effet il croyoit
être parfaitement bien dans l'esprit de son Maître, mais aussi qu'il
avoit toujours remarqué que, pour si grand que soit un feu et pour si
fortement qu'il brùlc de lui-même, il ne laissera pourtant pas de brûler
mieux et d'être plus beau et plus clair, si on le souITle comme il faut.

De même j'ai dit à Monsieur Frenicle que, pour si grand feu d'esprit
(|u"il ait et quelque merve'illeux que soit son génie pour la science des
nombres, son feu seroit plus l)rillant, s'il le vouloit exciter ou aug-
Mieiilerpar l'élude, par la lecture des anciens et [lar la conversation.

Il vous honore infiniment et dit que jamais homme n'a approché de
votre fond de science; il m'a apporté ce matin un écrit pour vous l'en-
voyer. Je l'ai fait copier par mon secrétaire, car vous ne l'auriez pu
lire; il écrit d'ordinaire sur des lambeaux de papier et si vite qu'il n'y
a que lui même qui puisse lire son écriture.

( ' ) Cette lettre est perdue.

LXXXVIII. — 1-2 DÉCEMBRE 1637. 361

Vous aurez vu, par ma dernière lettre, que j'ai reçu celle (') que
vous me fîtes rhonneur de m'écrire lorsque vous étiez à la campagne.
Au lieu de vous laisser passer le titre de paresseux que- vous vous
donnez injustement, j'admire infiniment la facilité et la présence avec
laquelle, au milieu de vos grandes occupations, vous eîdprimez sur le
champ vos profondes et subtiles pensées. Je vous supplie de croire
que j'honore vos rares talens et que je voudrois que mes actions tous
pussent témoigner mieux que mes paroles h quel point je suis etc.

LXXXVIII.
DIGBY A FERMAT.

MERCREDI 12 DÉCEMBRE 163".

(fa, p. 197.)

Monsieur,

Depuis (jue je me suis donné l'honneur de vous écrire une leKrc
du ') de ce mois (-), je reçus celle que vous m'avez l'ait la faveur de
m'écrire du 25 du passé ('), dont je vous rends trcs-humhles grâces.
lîile me fut rendue comme j'étois à table avec Monsieur Frenicle à qui
je la montrai et, y ayant papier et encre sur le btilfet, je le priai de
vous écrire quelque petit mot sur ce que vous y disiez sur son sujet; je
vous envoie son écrit.

Il me faît souvenir fort souvent d'un aumônier, qu'avoit le feu roi
d'Angleterre, qui étoitun des plus éloquens prédicateurs de son temps
et très-subtil théologien; mais, depuis que la guerre fut commencée,
il n'y avoit plus moyen de le faire prêcher ou parler de sa science : il
n'avoit d'autres idées en son imagination que de machines de guerre

(') Ces lettres de Digby et de Fermât sont perdues.
(2) La lettre qui précède.
(') Lettre perdue.

Ferjiat. — H. 46

M-I ŒUVUKS l)K FEUMAT. - COKHESPONDANCK.

et dos siralagt'mrs pour prciidri' des villes, en ([iioi il ircnd'iidoit rien
dii tout.

Ainsi .Monsiciii' Krciiiclc ne inc veut cnlrclcnir d'autre eliose (|iie de
la llieologie mystique et de ses pensées sur le franc-arbitre on sur la
prédestination', quittant le rani^- (|ii'il pourroit posséiler d'un des pins
LCrands niatliéinatieiens du sii'ele ])onr un des moindres théologiens.
t"-ar c'est itieu lai'd de eommeneer la |)hysique et la llieologie après
l'âge de ein(Hianle ans : je dis la physique, parce qu'il (>st nialaisé
d'être un grand théologien si on n'est un solide physicien et si on n'a
une véritable eonnoissance de la nalure, dont le sommet sert de hase ii
la gràee.

.Mais je dois bien prendre garde de m'engager en ce que j'entends
aussi |)eii et encore moins que lui; je reviens à ce (jue je sais de science
certaine, dont je vous ferai démonstration évidente toutes les fois que
l'occasion s'en présentera, et c'est <|ue je suis etc.

LXXXIX. - 13 FÉVRIEU lCo8. 363

ANNEE 1658.

LXXXIX.

DIGBY A FERMAT.

MEIUMIKDI 13 Kf.VRlEIt 1038.

( /"«, p. irj7-igS.)

ilOXSlEUR,

.)(' suis sur le poiul d'cud'or on carrossi- poui- aller à Rouen, doiU je
ne crois pas revenir de quinze jours ou (rois semaines. C'est pourquoi,
(li's que j'eus reçu votre paquet du 27 du passé ( ' ). j'allai chez M. Cder-
selier et, n'ayant pas moyen de lui faire faire des copies de vos écrits
avant mon départ, je crus que vous trouveriez bon que je les lui con-
fiasse sur la parole qu'il me donna, de vous les rendre (idèlement dès
qu'il auroittiré copie de ce qu'il lui faut. C'est un foit honnête homme
et fort votre serviteur; il m'a dit qu'il se donneroil l'honneur de vous
écrire par cet ordinaire.

Au reste. Monsieur, quand bien je denieurerois ici, je ne serois pas
assez vain pour accepter la charge que vous voudriez m'imposer : elle
est trop pesante pour ma foiblesse. Je sais trop bien (-)

quid ferro reeuscnl,

QuiJ viik'aiil hiuiieri

pour pouvoir être arldlre entre deux grands personnages; il faut aller

( ' ) Lellre perdue, à laquelle élaient jointes des copies demandées par Clerselier pour l;i
pnl)liealion des Lettres de Descaries. P^oir Lettre XC ci-après.
I -) Horace, Jn pof^iiijiie, 39-40.

mv ŒrVHKS DE 1-EUMAT. - CJ^RRESPOND ANGE.

(lu pair avoc oiix. (a'assus s'acquitta bien mal de cette tbiictioii entre
César et Pompée, n'ayant pas les reins aussi forts qu'eux.

Il est vrai (lue ceux qui sont clans les vallées peuvent discerner la
hauteur des plus grandes montagnes pour en avoir de l'admiration;
mais, pour liieii juger de ce (|u'il y a au sommet de (juelqu'une d'elles,
il faut être monté aussi haut sur une autre. Vous me permettrez donc
de vous dire avec le grossier PaUvmon (') :

Kou noslnim iiUcr vos tantas componcro liles.

Et, pour ce qui est de la chaleur avec laquelle vous, Monsieur, et
>!. Descartes avez soutenu vos sentimens, je ne serois pas d'avis d'en
rien oter ou changer, pourvu ({u'il n'y ait rien qui soit offensant, ce
qu'on ne peut présumer de deux aussi grands hommes et à quoi
.M. Clerselier prendra garde. Car, de vouloir étouffer ce petit feu bril-
lant et étincelant, ce seroit ôter beaucoup de la grâce et de la force à
une contestation d'esprit et de science, et c'est une des raisons pour-
(|uoi les disputes aux Universités des Suisses sont si peu agréables,
leur manière d'argumenter étant bien éloignée de la vivacité des ba-
cheliers de la Sorbonne qui pressent avec véhémence et avec chaleur :
car cette chaleur provient d'un feu (|ui ne brûle pas, mais qui semble
donner la lumière et la vie comme celle du Soleil.

Je ne saurois m'empêcher de vous envoyer quelques vers que le
plus grand génie de notre ile pour les Muses (-) écrivit au Chancelier
Bacon, qui étoit son grand ami et que vous témoignez être fort le vôtre
en le citant souvent. Je vous dirai comment je les ai rappelés en ma mé-
moire : l'autre jour, m'entretenant avec une personne de grand mérite
de vos rares qualités, je lui récitai ces vers y mettant votre nom au
lieu de celui de Baco. Il en voulut avoir une copie : je la lui fis tran-
scrire |)ar mon secrétaire sur le brouillard que j'en fis à la hàlc; il

(') Virgile, Eclog., IIF, io8.

(') Nous n'avons pu retrouver ces vers ni dans Sliaifcspcare, ni dans aucun des grands
poètes contemporains. Au reste, il s'agit probablement d'une jiièco latine.

XC. - 3 MARS 1658. 365

vous en auroit fait aussi une copie s'il eût été chez moi, mais je viens
de l'envoyer chez M. l'Ambassadeur d'Angleterre (').
Je suis etc.

XC.

FERMAT A CLERSELIER (-).

DIMANCHE 3 MARS 1658.
(Bil). nat. fr. n. a. SaSo, f° 35; D. III. 43.)

Monsieur,

J'ai reçu votre lettre (") avec les deux copies des écrits de M. Ues-
cartes sur le sujet de notre ancien démêlé.

Je voudrois bien. Monsieur, vous satisfaire ponctuellement en ce
que vous semblez souhaiter que je refasse mes réponses d'alors qui
se sont égarées (''); mais, comme je hais naturellement tout ce qui
choque tant soit peu la vérité, et qu'il me seroit aussi malaisé de
rajuster co vieux ouvrage qu'à un peintre de refaire mon portrait

(') Nous Irouvons au vol. 09 (le la Corrcspondaiioe Angleterre conservée aux Archives
du Ministère des affaires étrangères la preuve (|uo l'ambassadeur d'alors s'appelait
Lokard.

(-) Le texte de celte lettre est établi principalement d'après une copie du temps colla-
tioiuico à Vienne par Dcspeyrous cl qui présente plusieurs passages inédits publiés par
Libri {Journal des Snwintx, iSjâ, pp. 6SG-G87 ). — Quoique daléc du 3 mars, elle ne fut
envoyée, d'après le post-scriplum, que le lo, avec la lettre suivante.

(3) Lettre annoncée dans la précédente de Digby, et qui est perdue. Les écrits de
Descaries sur la Dioplrique qui l'accompagnaient étaient : la lettre à Mersenne {ci-awni
XXIII) et la lettre à Alydorge {Desc, III, 4'^). Foir plus haut, page rij, note 1.

(*) Ce langage parait l'cfTel d'un malentendu; Clerselier possédait bien les deux lettres
de Format à Mersenne sur la Dioplrique (ci-avant XXII et XXIV), nuus il aura cru à des
répliques postérieures de Fermât; celui-ci aura compris que les lettres perdues dont on
hii parlait étaient celles auxquelles Descartes avait répondu et que nous venons de men-
tionner. 11 n'avait certainement pas rouvert la discussion; toutefois il nous manque des
lettres de lui à Mersenne en iC38, où il avait touché incidemment la question de la Diop-
lrique, comme dans les Pièces XXV bi.\-. 1 et XXVI.

:U>6 (ET VUES DE FEU M AT. — COUU K SI'OM) AXCE.

d'alors sur mon visage d'à prés(Mil. j'ai cru qu'il valoit mieux vous
écrire lou( de nouveau une lellre (|ui contiendra mes raisons d'op-
l^osition et vieilles et nouvelles, et c'est à quoi je travaillerai pour la
liuilaine (' ).

J'entre dans vos senlinienls pour ce qui concciiie l'impression; il y
faudra changer les termes les plus choquants et les plus aigres, mais
n'y l'aire jjoint autrenu-nl de grand changement, et de cela je m'en
remets à vous. jMonsieur de Garcavi vous fournira sans doute mou
traité de maximis et minimis ; il l'a de toutes façons, c'est-à-dire avec
démonstration et sans démonstration, et, puisqu'il est question d'in-
struire ou de désahuser le public, il sera bon de l'insérer dans votre
recueil avec une lettre de M. Milon ou de quelque autre de vos fameux
géomètres qui éclaircisse la chose et qui prépare les lecteurs à en-
tendre la dernière lettre de M. Descartes (-), par laquelle il m'écrivit
(coninie vous verrez) qu'il étoit satisfait de ma géométrie.

Pour la question de Dioptrique, je vous proteste, sans nulle fcintise,
<|ue je souhaite de m'ètre trompé; mais je ne saurois obtenirsur moi,
en façon quelconque, que le raisonnement de M. Descartes soit une
démonstration, et même qu'il en approche. .le vous envolerai dans
huit jours la lettre qui éclaircira mes doutes sur cette matière. Et je
suis de tout mon cœur. Monsieur, Votre très humble et très obéissant

serviteur.

Fermât.
A Toulouse, ce 3 mars i()J8.

J'ai rciciiii celte lellre, (jui éloit prèle à vous èlrc envoyée dès la
semaine passée, parce que j'ai cru (|uc .M. Digby, par la voie du(|uel
j'ai pris la liberté de vous écrire, ne seroit pas encore de rclour i'
Paris. Vous recevrez donc les deux conjointement et, si la second
est un peu trop longue, assurez-vous, .Monsieur, (|ue j'ai mis peine;
raccourcir, et que je pouvois dire beaucoup plus que je n'ai fail. Ji

( ' ) Foir la LcUre suivante XC Ins.
(«) foj>LeUre XXXII.

XC bis. - tO MARS 1G58. 307

l'ajoiUerai un jour, si les géomètres de Paris soulienncnf la ilemoii-
stration de M. Descartes.

Il ne sera pas malaisé par les répliques de M. Descartes de supposer
ce que j'aurois dit au contraire, et ma dernière << lettre >> le con-
tiendra à peu près.

Vous me renvoierez mes écrits (') quand vous voudrez; je n'en ai
iioint de hâte.

XC bh.
FERMAT A CLERSELIER.

DIMANCHE 10 MARS 1038.

(D., ni, 'il.)

Monsieur,

1- Les conclusions qui se peuvent tirer de la proposition qui sert
de fondement à la Dioptrique de M. Descartes sont si belles et doivent
naturellement produire de si beaux effets dans tous les ouvrages de
l'art qui regardent la réfraction, qu'il seroit ii souhaiter, non seule-
ment pour la gloire de notre défunt ami, mais bien plus pour l'aug-
mentation et embellissement des sciences, que cette proposition fût
véritable et qu'elle eût été légitimement démontrée, et d'autant plus
qu'elle est de celles dont on peut dire que inuha surit falsa probabi-
liora verts. Je veux même passer plus outre et la comparer à ce fameux
mensonge dont il est parlé dans le Tasse, et que ce poète assure être

plus beau que la vérité :

Quand 0 sarà il vero
Si bello, elle si possa a ti preporre? (-)

Je commence par là, Monsieur, afin de vous faire connoitre que je

(') Il s'agit probablement d'écrits malhémaliqiies conservés d'ailleurs; mais nous ne
pouvons préciser lesquels.

(2) Jcrusnlcin délivrée. Il, il :

Maçnaiiiiiia nicnzogna. or qourulo è il vero de.

;»)S ŒIVRKS ni: riMUlAT. - couukspondanck.

serois ravi quo lo ilillV'n'iul que j'ai ou aulrolois sur ce sujet avoc,
M. Dosearlos se terminât à son avantage. J'y (rouverois mon eom|)(p en
toutes t'a(;ons : la gloire d'un ami (jne j'ai inliniment estimé et qui a
passé avoc raison pour un des grands hommes de sou temps; rétablis-
sement d'une vérité physique dos plus importantes; et l'exécution
aisée des eiVels merveilleux (|ui s'en pourroiont infailliblement dé-
iluiro. Tout cela me vaudroil ineomparablemout mieux (|u'un gain de
cause, (|uand mémo je devrois compter pour rien le

Mcfum cerlasse ferelur ('),

dont les amis d(î 31. Descartes peuvent toujours raisonnablement con-
soler SOS adversaires. Je me mots donc, Monsieur, en la posture d'un
homme qui veut être vaincu; je le déclare hautement :

.Innijam efRcaci do manus scienliEC (-).

Mais, parce que les démonstrations sont des raisons forcées et, qu'à
moins d'être convaincu par elles, on n'en sauroit être persuadé,
voyons. Monsieur, si le consentement des lecteurs peut échapper ;i
noti'e auteur, et si nous pourrons nous défaire aisément des objections
qui semblent lui poi^voir être op])Osées. Il faut pour cela suivre sa dé-
monstration mot pour mot, et il suffira d'enfermer par des parenthèses
ee qui ne sera point à lui et que j'ajouterai du mien.

2. Voici donc comme il parle sur la fin de la page iG de sa Diop-
(rique f'raneoise ('') :

'( Et premièrement, supposons qu'une balle, poussée d'A vers B
» (Jig. 56), rencontre au point B, non plus la superficie de la terre,
» mais une toile (^BE qui soit si foible et si déliée que cotte balle ait la

(') Ovido, Metain., XIH, -xo.

(=) Horace, Epode.t, XVII, i.

(') Discours de la inélhodo poiii- bien conduire sa raison cl ciicrclier la vérité dans les
Sciences : plus la DioiJlriquc, les Méléores et la Géométrie, qui sont des essais do cette
Méthode. A Leyde, de l'imprimerie de lan Maire, CIO 10 C XXXVII : avec privilège, p. iG
( "?' pagination de l'Ouvrage).

XC bis.

10 MARS 1658.

369

)i force de la rompre et de passer tout au travers, en perdant seule-
» ment une partie de sa vitesse, à savoir, par exemple, la moitié. Or
» cela posé, afin de savoir quel chemin elle doit suivre, considérons
n de rechef que son mouvement diffère entièrement de sa détermina-
>> tion à se mouvoir plutôt vers un côté que vers un autre, d'où il suit
» que leur quantité doit être examinée séparément; et considérons

Fie. 56.

» aussi que, des deux parties dont on peut imaginer que cette déter-

» mination est composée, il n'y a que celle qui faisoit tendre la balle

» de haut en bas qui puisse être changée en quelque façon par la ron-

» contre de la toile, et que, pour celle qui la faisoit tendre vers la

» main droite, elle doit toujours demeurer la même qu'elle a été, à

)i cause que cette toile ne lui est aucunement opposée en ce sens là. "

3. (^Mais ce raisonnement n'esl-il pas un peu opposé au sens com-
mun? L'extension qu'il en fait de la réflexion à la réfraction n'est-elle
pas aussi un peu forcée? En la page i'5, il suppose que la balle va tou-
jours d'égale vitesse, lanl en descendant qu'en remontant, (|u'elle con-
tinue son mouvement dans un même milieu ('); il en déduit, en la
page ij, que la rencontre de la terre (-) peut bien empêcher la déter-
mination qui faisait descendre la balle d'A vers CE, à cause qu'elle

( ' ) n Mais afin do ne nons embarrasser point en des nouvelles difficullés, supposons
que la terre est parfaitement platte et dure, et que la balle va tousjours d'esgale vitesse,
tant en descendant qu'en remontant... »

(^) « Et en suite il est aysé à entendre que la rencontre de la terre ne peut emposclior
que l'une de ces deux déterminations et non point l'autre en aucune façon. »

Fermât. — II. 47

MO

ŒUVRES l)i: TERMAT. - CORllESPONDANCE.

occupe loul l'espace qui est au dessous de CE, mais qu'elle ne [)eul
point empêcher l'autre qui la taisoit avancer vers la main droite, vu
([u'cllc ne lui est aucunement opposée en ce sens-là; d'où il infère

l'égalité des angles de réflexion et d'incidence.

Fis. 53.

A

/ H \

F

^

\

/

^

^\

X

C D

\ E

/

\

\ G

X,^

y

y

u

K

.Mais quand bien ce raisonnement seroit véritable en la réflexion,
quelque sceptique scrupuleux ne manquera point d'alléguer qu'il y a
trois circonstances en la réfraction qui doivent changer la consé-
quence, ou du moins servir d'empêchement à la recevoir sans nou-
velle preuve :

Premièrement, en la ligure delà page 17 ou en celle de la page 18 ('),
la balle ne continue pas son mouvement d'une égale vitesse, puisque,
par la supposition, elle perd, par exemple, la moitié de sa vitesse dès
le point B.

Secondement, elle ne passe pas toujours par un même milieu,
comme il paroît en la figure de la page 18.

Et enfin la détermination qui la faisoit aller de haut en bas n'est pas
tout à fait empêchée par la rencontre de la toile ou de l'eau, mais
changée seulement ou diminuée.

Or, que la conséquence soit la même nonobstant la diversité de
ces trois circonstances, il sera malaisé qu'un médiocre logicien le
puisse accorder. Il alléguera pour excuse de sa logique scrupuleuse,
qu'il n'a pas cru se faire grande violence, lorsqu'en la figure de la
page 1 5 (//§■• >3) il a donné les mains que la détermination de la

O A CCS figures correspond celle que nous avons repi'oduilo plus liaul sous le ii" ."ili.
d'après l'édition des Lettres de Descartes, de Clerselier.

XC bis. — 10 MARS 1658. 371

gauche à la droite restoit la même, puisque la balle allant toujours
de même vitesse pouvoit conserver l'une de ses visées ou détermina-
tions lorsque l'autre seule étoit empêchée; que d'ailleurs le mouve-
ment se faisoit dans un même milieu; et qu'enlin, la détermination
dé haut en bas étant entièrement empêchée, il n'y avoit pas grand mal
de consentir que celle de la gauche à la droite restât tout entière :
comme, quand on perd un œil, on dit que la vertu visive se conserve
entière en celui qui reste.

Mais, en la réfraction, tout y est diliférent. Veut-on y obtenir le con-
sentement de notre sceptique sans preuve? La détermination de la
gauche à la droite demcurera-t-elle la même, lorsque toutes les rai-
sons qui le lui avoient persuadé en la réflexion se sont évanouies?
Mais ce n'est pas tout : il a sujet d'appréhender l'équivoque et, lors-
qu'il aura accordé que cette détermination de gauche à droite demeure
la même, il a occasion de soupçonner que l'auteur le chicanera sur
l'explication de ce terme. Car, quoiqu'il ait protesté que la détermina-
tion est diff'érente de la puissance qui meut, et que leur quantité doit
être examinée séparément, si notre sceptique lui accorde en cet en-
droit que cette détermination de gauche à droite demeure la même en
la réfraction, c'est-à-dire qu'elle conserve la même visée ou direction,
il y a apparence que l'auteur voudra l'obliger ensuite ii lui accorder
que la balle, dont la détermination vers la droite n'est point changée,
s'avance autant et aussi vite vers la droite qu'elle faisoit auparavant,
quoique sa vitesse et le milieu par oîi elle passe soient changés.

Mais parce qu'il ne paroît pas sitôt qu'on veuille lui faire une si
grande violence, il ne croit pas être encore temps de se départir du
respect qu'il doit au nom de M. Descartes, et il veut bien lui avouer,
sur sa seule parole, que cette détermination vers la droite demeurera
la même, pourvu qu'il ne se parle point du temps que la balle doit
employer à s'avancer de ce côté là : parce que M. Descartes même a
avoué que la force qui meut et la détermination sont deux quantités
qui n'ont rien de commun, et qu'elles doivent être séparément exa-
minées).

■^-■l ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

4. « Puis, avant ilécrK du contre B le cercle AFD cl tiré h ansrles
tlroils sur CBE les trois lignes droites AC, HB, FE, en telle sorte qu'il
y ait deux Ibis autant de distanc(> entre FE et HB qu'entre ÎIB et AC,
nous verrons que celte balle doit tendre vers le point I. Car, puis-
qu'elle perd la moitié de sa vitesse en traversant la toile CBE, elle
doit employer deux fois autant de t(>nips à passer au-dessous, depuis
B jusques à quelque point de la circonférence du cercle AFD, qu'elle

Fis, 56.

a fait au-dessus, à venir depuis A jusques h B. Et, puisqu'elle ne perd
rien du tout de la détermination qu'elle avoit à s'avancer vers le côté
droit, en deux fois autant de temps qu'elle en a mis à passer depuis
la ligne AC jusques à HB, elle doit faire deux fois autant de chemin
vers ce même côté ('). »

5. (C'est ici le guet-apens, et la trop grande crédulité de celui qui
avoit franchi tous ses scrupules sur le premier article, reçoit en cet
endroit une nouvelle attaque. L'auteur a sujet d'espérer que, puisque
notre sceptique lui a déjà accordé que la détermination vers la droite
restoit la môme, il ne doit pas le dédire non plus, que cette détermi-
nation ou cette visée et direction vers le côté droit ne soit également
vile et n'avance toujours autant qu'elle faisoit auparavant.

Mais le sceptique commence à n'entendre plus raillerie et, s'il a con-
senti de bonne foi que la détermination vers la droite ne changeoit

(' ) Discours de la méthode, etc. A Leydo, CDI3CXXXV1II, p. i8 (2° pagination).

XC bis. - 10 MARS 1638. 373

pas, il proleste qu'il n'est point engagé à consentir qu'en changeant de
milieu elle fasse toujours un égal progrès, puisque l'auteur a si sou-
vent et si solennellement assuré que la détermination et la force mou-
vante sont tout à fait différentes et distinctes; et pour se confirmer en
son doute, il ajoute que si, dans la figure de la page 17, la balle étoit
poussée depuis H jusques à B, et qu'elle continuât son mouvement vers
BG, le raisonnement de celui qui diroit :

« La détermination de la balle sur la route HBG n'est point changée
au point B, car elle est la même, et le mouvement perpendiculaire se
continue dans la même ligne HBG; donc cette balle avance autant et
aussi vite au dessous de B qu'elle faisoit auparavant. »

ce raisonnement, dis-je, seroit ridicule, parce que la détermination ou
direction du mouvement diffère de sa vitesse.

Pourquoi donc notre sceptique sera-t-il obligé d'accorder gratuite-
ment et sans preuve que le mouvement qui se fait vers la droite dans
la figure de la page 18 avance également vers le dit côté droit, après
qu'il a changé de milieu? Ce n'est pas que cette proposition ne puisse
être vraie, mais elle ne l'est qu'au cas que la conclusion que M. Des-
cartes en tire soit véritable, c'est-à-dire que la raison ou proportion
pour mesurer les réfractions ait été par lui légitimement et véritable-
ment assignée. 11 ne l'a donc pas prouvée par une proposition si dou-
teuse et si peu admissible.

En un mot, quand toutes les oppositions qu'on peut faire à son rai-
sonnement seroient fautives, peut-il faire passer pour véritable ce qui
n'est ni axiome, ni déduit par une conséquence légitime d'aucune pre-
mière vérité? Les démonstrations qui ne forcent pas de croire ne peu-
vent point porter ce nom.)

Et croiriez-vous. Monsieur, que si la proposition de M. Descartes
étoit démonstrativement prouvée, son évidence et sa clarté n'eussent
pas percé les ténèbres de mon entendement, pendant vingt années qui
se sont écoulées depuis notre ancien démêlé, puisque je vous ai pro-
testé, dès le commencement de ma lettre, que je travaille sincèrement

37i ŒUVRES DE FKUM AT. — CORRESPONDANCE.

à me lircM- d'orrour, ot que je ne cliercho {|a'iui homit'lc prôloxlc à me
ronilro? Je sorois même ravi d'établir riioiinour de M. Descaries aux
dépens du mien, et je voudrois, s'il ni'éloit possible, en reconiioissaiil
la vérité de sa preuve, ajouter avant que de finir :

Se clara videiHlaiu
Obliilil el piirrt pcr iinctem in lucc l'cl'iilsiL ( ' ).

Il en sera pourtant ee (|ue M. le cbevalier Digby et vous, 3Ionsieur,
trouverez bon. Je vous soumets à tous deux ma logique et ma mathé-
matique, et je consens à ce que vous en fassiez un sacrifice à la mé-
moire de cet illustre, qui n'est plus en état de se détendre; mais, jus-
ques à ce que vous ayez prononcé, je prétends que la véritable raison
ou proportion des réfractions est encore inconnue et que Osàiv h
YO'Jvxj'. y.v.-y.'. (-), en compagnie de tant d'autres vérités que l'avenir
découvrira peut-être mieux que n'a pu faire le passé.

Excusez ma longueur et faites moi l'honneur de me croire, .Mon-
sieur, Votre très humble et très affeclionné serviteur,

F"i:r,M.vr.

XCI.
FERMAT A DIGBY.

DlMANCIlli 7 AVIUL 1038.

{Conun. t'p., 07.)

Monsieur,

1- J'ai reçu les nouvelles solutions de la proposition (') de Mon-
sieur Wallisius, que Monsieur Freniclc a ajoutées aux premières. Je

(') Virgile, Éne'idc, II, 58y-J90.

(5) Homère, Iliade, XVII, 5 14.

(') « Trouver doux nombres entiers carres tels que les sommes formées par cliacun
d'eux et par ses parties aliquotes soient égales. »

Otlc question avait été proposée par W'allis dans sa Lettre à Digby (hi 21 novembre iliâ;
i Comm. iG). Los solutions de Frcnicle sont dans sa Lettre à Digby (Com/ii. Si) que
Bronnckcr reçut le j avril i658.

XCl. - 7 AVRIL 1G58. 375

suis ravi, aussi bien que vous, de l'abondance et fertilité de son esprit
et de la grande facilité qu'il s'est acquise en ces matières. Je m'étois
contenté de donner deux solutions en nombres premiers entre eux,
et avois seulement indiqué qu'on pouvoit, par ma méthode, étendre
la question à trois, quatre, cinq et plusieurs nombres de même nature.
Mais, puisque Monsieur Frenicle m'a si avantageusement préoccupé, je
n'ajoute plus rien à son travail, et je consens que ma petite et maigre
solution demeure en vos mains.

2. Après avoir reçu la lettre de Monsieur Wallisius ('), je suis tou-
jours surpris de quoi il méprise constamment tout ce qu'il ne sait pas.
Les questions en nombres entiers ne sont point de son goût. Il s'ima-
gine que je ne sais point les centres de gravité des hyperboles infi-
nies, et il semble promettre sur la fin la quadrature de l'hyperbobs
c'est-à-dire de celle d'Apollonius : car, pour toutes les autres, ni lui
ni moi ne l'ignorons pas.

Je lui réponds succinctement :

3. Premièrement à ce qu'il dit que je fais grand cas des proposi-
tions négatives, comme qu'il n'y a que le seul quarré 25 qui, ajouté
à 2, fasse un cube en nombres entiers; et encore qu'il n'y a que les
deux quarrés 4 et 121 qui, ajoutés à 4. fassent des cubes, aussi en
entiers ('-). H dit que ce sont des propositions ordinaires et nequc
majus qiiid atit grandius insinuant quam si dicerein cubicidmm nulhim
in integris esse t^el etiam quadratum qui, numéro G^juncUis, e/f/icial qua-
dratum, .... vel etiarn nulles in integris eubos esse qui ab invicem distenl
numéro vicenario nec, prœter 8 et 27, qui distenl numéro 19, etc. ; . . . ,
cujusmodi innumeras delerminationes negativas inpromptu esset comnd-
nisci.

Je réponds que je ne fais point cas de toute sorte de propositions
négatives; par exemple, celles qu'il rapporte et infinies de telle nature
ne sont que des amusements d'un arithméticien de trois jours, et leur

(') Lellre 16 du Coinmercium cputolicuin. {f'oir la noie qui précède.)
(2) fWr Lettre LXXXIV, 5.

376 ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE.

raison est d'alionl roiimic cliaiii lip/nx cl to/isoriln/s (' ). De sorte que
d'en inforer de là qu'il faut faire peu de compte de toutes sortes de
propositions négatives, voyez. Monsieur, quelle logique! Mais je ne
veux point d'autre preuve que celles (|ue je vous ai proposées sont du
haut étage et dignes d'être rcchercliécs, c'est que ni lui, (]ui s'estime
tant, ne les a pas encore démontrées, ni Monsieur Freniclc même, que
je mets au-dessus de lui, sans lui faire tort; et ce dernier, qui connoit
merveilleusement les mystères les plus cachés des nombres, ne les a
pas méprisées.

4. Mais, parce que les nombres entiers ne plaisent pas à Mon-
sieur Wallisius, en voici une autre, à laquelle il pourra s'occuper et
en laquelle je n'exclus point les fractions (-) :

// n'y a aucun triangle rectangle en //ombres dont l'aire soit qiiarrèe.

5. Kt, pour lui faire voir que le défaut de connoissance de celte
sorte de questions lui fera quelquefois concevoir plus grande opi-
nion de ses forces qu'il n'en doit raisonnablement avoir, il dit qu'il
ne doute point que le Mylord Brouncker ne résolve les deux ques-
tions (') :

Dalum numcrum cubum in duos cubos rationales dividere.

et

Dalum numerurn ex duobus cubis compositum in duos alios cubos ratio-
nales dividerc ;

ji> lui réponds qu'il pourra, par aventure, ne se mécompter pas
(Ml la seconde, quoiqu'elle soit assez difficile, mais que, pour la
première, c'est une de mes propositions négatives que ni lui ni le
Seigneur Brouncker ne démontreront peut-être pas si aisément. Car je
soutiens qu il n y a aucun cube en nombres qui puisse être dwisc en deux
cubes ralionaux.

(') Horace, Sol. I, vi, 3.

(') Problcnio impossible. — Observation XLV sur Diopluinlo.

(3) Voir Lettre LXXXIV, 4 et 8. — Observations II cl IX sur Diopiiante.

XCI. - 7 AVRIL 1638. 377

Pour la seconde question, elle n'est pas d'une extrême ditriculté et,
pour lui témoigner que je veux même la lui proposer en cas des plus
aisés en prenant un petit nombre, je me contente que lui ou Mylord
Brouncker divisent le nombre 9, qui est composé des deux cubes 8 et
I, en deux autres cubes rationaux. S'il rejette cette proposition, qui
n'est pas des plus difficiles, je n'oserai plus leur en proposer ni en
entiers ni en fractions.

6. Pour son canon ad inveniendos quadralos qui, ducti in datum
numerum non quadratum, adscita unilate, conficiant quadratum, je ne
sais pas pourquoi il doute que cette invention nous paroisse malaisée,
puisqu'il n'est point d'algébriste novice qui ne trouve sa règle d'a-
bord. Mais ma question en entiers est si fort au dessus de ces petites
règles de trivio, que M. Frenicle l'a jugée digne de l'occuper, et c'est
tout dire. Il a si exactement répondu à tout le reste qui regarde les
questions numériques que j'aurois tort d'ajouter quelque chose du
mien à ses réponses ( ' ).

7- Pour ce qui regarde les centres de gravité des hyperboles infi-
nies et la règle pour distinguer celles qui en ont de celles qui n'en ont
pas < je répondrai > que je l'avois résolu pleinement et envoyé tant
à Torricelli qu'aux géomètres de Paris dix ans avant l'impression du
livre Arilhmelica infinilorum (-). S'il ne m'en veut pas croire, les
Roberval et les Pascal, qui ont toutes mes propositions sur ce sujet
depuis plusieurs années, le pourront désabuser.

8. La promesse qu'il fait sur la quadrature de l'hyperbole s'exécu-
tera sans doute comme celle du cercle : la voie qu'il tient en se ser-
vant de certaines progressions, inter quorum terminas inlerpolationem
quœrit. est de ces méthodes qui aboutissent à trouver une chose aussi
difficile que celle qu'on a pour but de chercher. Obscurutn autem

(') Digby avait tout d'abord communiqué à Frenicle la lettre de VVallis du -n no-
vembre 1657 et Frenicle avait rédigé en réponse une épitre latine à Digby, datée du
3 février i658 (Comm. ep.. 22).

(-) t'oir Leilre LXXXII, 2.

I'liimat. — II. f\o

378

(Kl'VHES DE FERMAT.

CORRESPONDANCE.

explicare per obsciirius. matœotechnia est, commo a trôs bien dit noire
Vièto('V

.Mais piiiir lui faire voir «nie je ne niancfue pas de théorèmes efïec-
tifs et fri's Imnuix en la véritable hyperbole d'Apollonius, voici un pro-
blème dont je puis donner la construction.

Soit {pg. 88) l'hyperbole d'Apollonius ABC, ses asymptotes JVJNO;
soient tirées les deux parallèles à NO, les droites JMA, HB. Je propose
la tigure AMHB contenue sous l'hyperbole et sous les droites AM, IMH,
IIB. Il la faut diviser < par > une parallèle aux bases comme QR, en
sorte que le segment RQHB soit au restant AMQR en raison donnée.

FiR. 8S.

Ce problème sera construit par moi bien plus tôt que 31. Wallisius
ne donnera la quadrature de l'hyperbole d'Apollonius.

En voilà de reste j)our ce coup. Ce n'est pas pour faire un démêlé
formel avec M. Wallisius, mais c'est seulement pour me justifier à
vous, consentant que vous ne lui envoyiez que ce qu'il vous plaira du
contenu en cette lettre. Je ne réponds pas aux dernières réponses,
parce que ce n'est pas moi qui lui avois fait les objections auxquelles
il répond.

Je suis, Alonsieur, Votre très humble et très obéissant serviteur,

Fi:r,MAT.
A Toulouse, lo 7 avril i6')8.

(') VllJTK, Ad Adriani Roiitiini prolilcina rcsponxiini, (jap. \.
Leyde, iG.îl). p. 309. — Le rrml (mlein a été ajoiiU' par Fermai.

— Édition EIzovir:

XCII. - 15 MAI 1658. 379

XCII.
DIGBY A FERMAT.

MERCREDI 15 MAI 1658.

( l'a. p. igS-aoo.)

Ili.»'" Su;. Paduon col"'",

Avrei tcmuto d'infastidire troppo V. S. Illustrissima con nuova let-
tera, se la sua ultima delli 4 fit'' forrciite non m'avesse recata cagione
(quantunque in soggetto di poco rilicvo) di rcndcrle qualche picciola
servitù o più presto osscquio e conformità alli suoi commandi; avendo
imparato dal savio clie, corne c'è tempo di parlare, vi lo è anche del
siienzio; e dallo spiritoso Poëta Tosco ('), che

11 silciilio aiicor suole
Havor prioglii c |i;irolr.

Ma Ici avcndomi fatto ronoi-e d'ordinarmi di mandarle un de' miei
libri délia Physica in Inglese (-), non l'ho voluto lasciar andare senza
accompagnamento di queste poche righe, pcr ringraziarla délia sua
tanta compiaccnza in dire che ha intento di trascorrerlo, per avvez-
zarsi cosi alla nostra rozza favella; rozza in quant'al suono cd ingrata
air orecchia non avvezza ad essa, ma forse, quanto alla copia, pro-
prietà, ed energia dell' espressioni, ed ail' eleganza e politezza in ogni
altro génère, che non cède punto aile più eleganti e stimate, ne délie
volgari, ne delle dotte, che ahhino mai avulo prattica nel mondo, e
che nelle poésie che abhiamo, non solo va del pari, ma avvanza di
gran lunga li migliori o Toscaiii, o Latini, o Greci; eccettuando perô
neir Eroica Omero e Virgilio, i quali dui, senza contraste, son fiiori

(M .Nous n'avons pu retrouver l'auteur de ces beaux vers.

('-) Il s'agit sans doute du premier des Two treniises cités ci-dessus, page 340,
note I. Digby parle plus loin d'une traduction (latine'/) de ce Livre, faite à Paris, mais
elle ne parait pas avoir été imprimée. Élait-ello entre les mains de Fermât, ([ui ne savait
pas l'anglais?

380 ŒUVRES HE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

d'ogni ooniparazionc cou tutti do i sccoli dopo loro, v poro prudcnte-
iiKMito tVco quoi Grammatioo ardito Giulio Scaligero (che maggior epi-
toto non gli posso concodor io, qiiantunque i pcdanti modcrni gl'affîg-
ghino il titolo invidioso di divino Critico), cho in voce di far consura
dcll' nllimo e forsc il minore di cssi, gl' orosse un altaro. Ondo vora-
nionto allo v(dlo lamcnto la sorte che oi ha lalti

Pcniliis tolo divisos orbo Bi-itannos ( '),

poi cho abbiamo parecchie composizioni poetiche le quali moritareb-
hono la lucc cd il godimento universalc, e per le quali capirc, ho
conosciuto quattro persone di spiriti sublimi ed ingcgnosissimi (dui
Francesi, e dui Italiani), che per aver visto délie grossière interpre-
tazioni in prosa di certi carmi Inglesi, si sono applicati con forvore a
studiare nostra lingua, por bever alla schietta fonte dellc nostre acque,
le quali hanno poi confcssato avergli più sedato la loro sete in simile
matcria, che qualsivoglia abondante fiume di altra regio.ne in terra
ferma. Per conformarmi dunquc al voler di V. S. I., ho messo in
mano del mossaggiero di Tolosa lunedî passato un involto contenendo
il mio detlo libro, dcl qualc voramente non ne aveva più copia ap-
presso di me, avcndo per ciô scritto in Inghilterra, dove h stato ris-
tampato questo trattato tre o quattro volto in ambedue le Università
di Oxonio e Gantabrigia; e poi che loi si vuole penaro di dar un'
occhiata a questo mio componimento, mi rallegro molto che cio sia
nella lingua ne.lla quale io l'ho conceputo, per essor che quantunque
il traduttore sia stalo uomo dottissimo, e la sua Iraduzione essami-
nata per tutto il Collegio dei Dotlori Inglesi di questa Città, tutti
valenti Teologi i quali la fecero fiare per servir allo studio di tutti i
loro scminarii, nientedimeno egli è cosa certa, che ci è gran differonza
tra l'original ed il Iranscritto, in quanto al vigor dcU'espressione, o
credo che dopo aver vissuto sempre in nostra corte polita, e conver-
sato continuamente co'l liacone, il Seldeno e altri maggiori lumi dolla

( ' ) VinciMi Eclo)^. f, V. Ciy.

XCII. - 15 MAI 1038. 381

nostra Patria, non si stimarebbe vanità in me s'io mi attribuissi lo
scriver correttamente in Inglese. E ijuando io feci il primo discgno
di questo discorso, godevo di tranquillità assai per spiegar con mag-
gior chiarezza cio che voleva dire, essendo che Io fcci ncllo spazio di
quelli quasi dui anni ch'io fui continuamente su'l mare : durante il
quale è ben vero che quasi ogni giorno ebbi occasione di prepararmi
a combattere con la mia flotta (essendo nel mar Meditcrraneo circon-
data dalle forze Francesi e Spagnuole ('), con chi avevamo allora
guerra, e anche dalle Vineziane), nientedimeno mi avvanzava tanto
tempo, che se non fosse stato che per evitar il tedio (ancorchè il
comando del Re fu il mio primo motivo), mi accingevo ogni giorno
con premura a metter qualche cosa in carta, di modo che posso con
ragione dire corne quel più dotto e gentil cavagliero di tutta la nazion
Castigliana e prencipe de' loro Poeti, Garcilasso de la Vega (-) :

Entre las armas del sangrienlo Marte
Hiirtè del tiempo esta brève suma,
Tomando hora la spada, hora la pluma.

31a poi che lei si degna voler vcder de i meschini parti del mio sté-
rile ingegno, ho volsuto farle parte ancora d'un altro trattaticiuolo che
ho composte intorno alT infallibilità délia Religione Catolica, per dar
soddisfazione a un' de' maggiori genii cli' io abbia mai conosciuto, e
che tinalmente l'ha convinto ('). Perche lui non si contentava di con-
siderarlddio come un Legislatore, chevolesse dimostrareil suo potere
con dar premii o pêne seconde una volontà imperiosa, senza motivo
ragionevole fondato in natura, c perô bisogno penctrar nella Filosofia

( ') Les croisières de Digby dans la Méditerranée avec deux bâtiments armés en course
remontaient à 1628.

(-) Ces vers se trouvent dans l'Églogue III. Digby supprime entre le premier et le
second le vers suivant :

1)0 opciias liay quicii su furor cutitra^io

(Obrn.1 de Garcilaso de Ui rega iUustradas cou notât. En Madrid, MDCC LXXXVIII.
P- 97-98)-

(3) 11 A Discourse concerning Infallihilily in Religion, written by sirKenelme Digby
to Ihe Lord George Digby, eldest sonne of tlie Earle of Bristol ». l'aris, i652,
in- 12.

.?82 (KUVRES DE FERMAT. - COKHESPONDANCE.

(It'lla Uoligionc. o porchi' ossa sia nocossaria a gl" uoniini. lu iiiia
parola, hisognù oomhattore iii lui liiKc le maggioi'i l'orzc de" j)iii dotti
Sociniani {là piîi tcrribil' soda d'Krotici clic sia mai sta(a). iicl chc
l'arc ho (|iii iinpiogalo tutto'l vigorc dcl luii) dcbholc iiigcgno in ima
strada non calcata d'altri, c (utio le pin s(|uisilc csprcssioiii chc so
délia lingua nostra, c non no feci stamparc se non 3o copier pcr dar
ad amici contidcnli. Gli mando ancora un altro traUato Inglcsc, clic
ha fatto gran ronioro in Inghiltorra c cho inolti vogliono attribniic a
me, ancor che sia sotto il nome del Signor Bianchi (conosciuto sotto
titolo di Thomas Anglus), per osser che i scntinienti dcH'Aiilor c li
niiei siano precisamente gl'istessi ('). Dimando pcrdono dc'l min
lanto im|)ortnnarla, c la rivcrisco, cic.

XCIII.
CLERSELIER A FERMAT (-).

MERCIIEDI 15 MAI l(jo8.

I 11., lit, 'lô: lîiljl. Xat. fr. .'iaSo, n. ace)., I"' !^3-ôo:)

MOXSIF.UR,

1. .le ne veux pas m'arrèter beaucoup à vous faire des excuses
d'avoir tant tardé à faire réponse aux deux vôtres, l'une du S"" et
l'autre du lo'' mars dernier, pource que je me persuade que vous
croirez aisément qu'il m'a fallu des obstacles invincibles pour m'em-
pêcher de satisfaire à temps à des témoignages si obligeans de votre
suffisance et de vofre civilité. En effet, une maladie (|ui m"a détenu
dans le lit presque tout ce temps-là, et qui m'a otc le moyen de pou-

( ' ) Thomas \A'hite, en dehors de ses ouvraj^cs latins, piililiés sous le nom de Thoinas
Miifflus. A composé un grand nombre de Traites en anjjlals. Digby désignait peut-être
celui (|ui parut à Londres en i6i5. sous le litre : Tlir CroiiiitU nf Obédience niul Co-
vernmeiil .

(2) Réponse à la Leilre \(', his.

XCIII. - 15 MAI 1658. 383

voir occuper mon esprit à des considérations si relevées, est la véri-
table cause qui m'a empêché de vous témoigner plus tôt ma recon-
noissance.

Mais tout cela seroit peu, si je pouvois aujourd'hui répondre à tous
les doutes de votre sceptique, et satisfaire pleinement aux didicultés
(fue vous proposez dans votre dernière; car, comme elles ne dépen-
dent point du temps, la réponse n'en seroit de rien moins meilleure et
convaincante, pour n'être pas venue à temps. Néanmoins, pourvu que
c(î soit à vous. Monsieur, que j'aie alTaire, et non point à votre scep-
tique, dont l'humeur seroit trop difficile à contenter, je me promets
de pouvoir éclaircir la plupart do ses doutes, et de faire voir, si je ne
me trompe, si clairement en quoi il s'est mépris dans ses raisonne-
mens, que, vous prenant vous-même pour l'arbitre de nos différens
et pour le juge de nos conclusions, j'espère que vous reconnoitrez la
subtilité des siennes et la vérité des miennes, c'est-à-dire de celles de
.AI. Descartes.

2. Premièrement, je ne vois point que le raisonnement que fait
31. Descartes, à l'occasion de sa ligure (') de la page 17 de sa Diop-
trique, soit aucunement opposé an sens commun, ni que l'extension
qu'il en fait de la réflexion à la réfraction soit forcée. (]ar la même
raison qui lui a fait conclure en la page i > que la terre CBE (-) ne
pouvoit empêcher que la détermination de haut en bas, et non point
celle de gauche à droite, pource qu'elle est entièrement opposée à la
première et point du tout à la seconde, la même lui a dû faire con-
clure, dans la figure de la page 17 ou 18, que la détermination de haut
en bas pouvoit bien être changée en quelque façon par la rencontre de
la toile ou de l'eau, mais point du tout celle qui Tait tendre la balle
vers la main droite, à cause que l'eau ou la toile est en quelque façon
opposée à l'une et point à l'autre.

Je vous prie de remarquer ici la façon de parler de M. Descartes (car

( ' ) Foir fi^. JG, païï;c '569.
(-) yoir lig;. 33, page 370.

38V ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

c'est lie là {|Uo dcpoml on partie la solution de tous les doutes de votre
sceptique) : il ne dit pas simplement que la détermination de haut en
bas peut être changée |)ar la rencontre de la toile, mais seulement
(|u"elle peut être changée en quelque façon (').

Car en effet elle n'est pas tout-à-fait changée, puisque la balle con-
tinue de descendre, mais elle est changée en ((uelqiie façon, en tant
que c'est changer en quelque façon la détermination qu'un mobile
avoit à avancer vers un certain côté, que de faire que dans le même
temps il n'avance pas tant vers ce côté-lii qu'il faisoit auparavant : ce
qui change la quantité de sa détermination.

3. De plus, les trois circonstances que remarque votre sceptique,
pour l'empêcher d'admettre cette conséquence, ne la peuvent aucu-
nement infirmer. Car, que la vitesse soit diminuée, que le milieu soit
changé, et que la détermination de haut en bas ne soit pas tout-à-fait
empêchée, mais que la balle continue de descendre, tout cela ne doit
point apporter de changement à la détermination de gauche à droite,
à laquelle pas une de ces circonstances ne s'oppose et ne met obstacle,
puisque cette détermination peut demeurer la mênu^ quoique la vi-
tesse soit changée, une même détermination pouvant être jointe à dif-
férentes vitesses.

Le milieu ne peut aussi apporter aucun changement à cette déter-
mination, puisqu'il lui est également facile de s'ouvrir et faire pas-
sage d'un côté que d'un autre dans le milieu qu'elle parcourt. Et bien
que la balle continue de descendre et qu'elle ne remonte pas comme
en la réflexion, cette détermination vers la main droite se peut aussi
bien faire et maintenir en descendant qu'en remontant.

.lusques ici votre sceptique auroit, ce me semble, tort de ne vou-
loir pas accorder que la détermination de gauche à droite demeure la
même en la réfraction, après en être demeuré d'accord sans difficulté
en la réflexion. Et il ne doit point appréhender qu'on le chicane sur
l'explication de ce terme, et qu'on l'oljlige à rien avouer ([u'on ne

( ' ) Fnir le lo\le do Descartes, page 369.

\C111. - 15 MAI 1C58. 385

prouve et qui uc soit tiré, par uue conséqueuce légitime, de ce qu'on
a avancé auparavant, M. Dcscarfes ayant trop soigneusement fait
remarquer la différence qu'il y a entre la détermination et le mou-
vement, ou, comme vous dites, la puissance qui meut, pour s'en
oublier.

4. Mais voici le point qui effarouche votre sceptique, et qui lui
fait perdre ce peu de respect qu'il sembloit encore porter au nom
de M. Descartes. C'est à ce coup qu'il dit n'entendre plus raillerie, et
que, s'il a consenti de bonne foi que la détermination vers la droite ne
changeoit pas, il proteste qu'il n'est point engagé à consentir que la
balle, changeant de milieu, fasse toujours un égal progrès et, comme
il dit un peu auparavant, aille aussi vite vers la droite, après qu'il a été
supposé que la balle au [)oint B perd la moitié de sa vitesse, et que
M. Descartes a si solennellement assuré que la détermination et la
force mouvante sont tout-à-fait différentes et distinctes.

Mais ne voyez- vous pas que ce qui empêche votre sceptique de
donner les mains à cela est qu'il ne distingue pas assez lui-même
la détermination d'avec la force mouvante ou la vitesse, et qu'il les
confond ensemble, croyant que la division ou la perte que l'une
souffre, à savoir la vitesse, se doive ressentir par l'autre, à savoir
par la détermination vers la main droite, quoique rien ne se soit
opposé qui ait pu changer ou diminuer la quantité de la détermina-
tion que la balle avoit à avancer vers ce côté-là? (^ar, s'il avoit bien
pris garde à ce que dit M. Descartes, il n'auroit pas de peine à com-
prendre que, la vitesse étant diminuée de moitié [au point B], la
détermination de gauche à droite demeurant toujours la même [en ce
point-là] qu'elle a été [auparavant], il est nécessaire, pour accorder
cette vitesse à cette détermination, que la balle suive la ligne BI.

Et quoique, dans la route qu'elle prend, en des temps égaux, elle
fasse autant de chemin ou (ju'elle avance autant vers la droite qu'elle
faisoit auparavant, et qu'ainsi elle conserve toujours la même déter-
mination qu'elle avoit à avancer vers [ce côté] là, il ne s'ensuit pas

Fermât. — II. 49

:5S(; Œ V V R ES 1) i: !• E R M AT. - C () F» R E S l> () N I) A N C E.

(lu't'llc aillr aussi vite qirolli' l'aisoil au|)aravant {cv que vntrc scep-
liqiie soniblo avoir toujours approhoudé qu'on lui voulût faire ac-
conlor), puisque M. Descartes avoue lui-niènie (|u'il lui faut le double
(le temps pour l'aire autant de chemin qu'auparavant. Mais comme,
dans la route qu'elle est obligée de prendri', (die incline plus (|u'(dle
ne taisoit vers la droite, elle ne laisse pas d'avancer autant vers ce
côté-là, quoiqu'elle aille deux fois moins vite.

Et c'est à mon avis ce qui fait la beauté et la force tout ensemble du
raisonnement de M. Descartes, de faire voir quelle doit être dans cette
rencontre la route véritable que doit prendre la balle, qui ne peut
être autre que celle qu'il a expliquée en ce lieu-là, pour se rapporter à
la détermination vers la droite qu'elle doit garder, et à la perte de la
vitesse qu'elle a soufferte en B.

5. .Mais ce qui le plus a abusé votre sceptique est un raisonnement
très spécieux à la vérité, et très capable de surprendre les autres et de
faire qu'on y soit surpris soi-même, si l'on n'y prend garde, mais qui
pourtant est faux et contre l'intention de M. Descartes. Ce raisonne-
ment est que, comme M. Descartes sur la figure de la page 17 dit que,
la détermination vers le côté droit étant la même, quoique le mouve-
ment de la balle soit diminué de moitié au point B, en deux fois autant
de temps elle doit avancer deux fois autant vers la droite ('), donc
a pari, dit votre sceptique, posé que la balle soit poussée perpendicu-
lairement depuis H jusques à B et qu'elle continue son mouvement
vers BG, la détermination de la balle sur la route BG n'étant point
changée au point B et demeurant la même, puisque le mouvement
perpendiculaire se continue dans la même ligne HBG, en deux fois
autant de temps elle doit avancer deux fois autant, et aussi vite au
dessous de B qu'elle avoit fait auparavant au dessus : ce qui est absurde,
puisque l'on suppose que la balle au point B a perdu la moitié de sa
vitesse.

Véritablement, si la conséquence qu'il infère étoit bicm tirée de ce

(' ) Foir le texte de Dcseartes, page 372.

XCIII. - la MAI 1638. 387

qu'a avancé M. Descartes, je conclurois comme lui que M. Descartes
se seroit trompé dans son raisonnement, duquel il s'ensuivroit une
telle absurdité.

Mais aussi M. Descartes dit tout autre chose que ce que votre scep-
tique lui veut faire dire : car, quand il a dit que la détermination
qu'avoit la balle à avancer vers le côté droit demeuroil la même, et
qu(> par conséquent en deux fois autant de temps elle devoit faire
deux fois autant de chemin vers ce côté-là, il a conclu cela de ce
que, bien qu'on suppose que la balle au point B perde la moitié de
sa vitesse, néanmoins elle ne perd rien du tout de la quantité de la
détermination qu'elle avoit à s'avancer vers le côté droit, à laquelle
la toile n'est aucunement opposée en ce sens-là, et à laquelle se doit
et se peut accommoder la vitesse qui reste en la balle (car autrement
la balle rejailliroit au lieu de pénétrer la toile), pour faire en sorte
que sans déroger à la perte qu'elle a soufferte et qu'allant moins vite,
elle ne laisse pas d'avancer autant vers le côté droit qu'elle eût fait si
elle n'eût rien perdu de sa vitesse.

Mais peut-on dire la même chose de la détermination d'une balle
que l'on suppose tomber perpendiculairement sur la même toile, à sa-
voir que la superficie sur laquelle elle tombe ne lui est aucunement
opposée en ce sens-là, et qu'en perdant la moitié de sa vitesse, elle ne
perd rien du tout de la quantité de la détermination qu'elle avoit à
s'avancer vers le coté où elle visoit, et (|ue la vitesse qui lui reste se
doit et se peut accommoder avec cette détermination, pour la faire
avancer en un temps égal sur la même route autant qu'elle eût fait
si elle n'eût rien perdu de sa vitesse? Certainement personne ne dira
que ce cas soit semblable au premier, et par conséquent la conclusion
n'en peut être pareille.

6. Aussi tout le défaut [du raisonnement] de votre sceptique ne
vient que de ce qu'il n'a pas pris garde que la même superficie CBE,
en laquelle la balle au point B perd la moitié de sa vitesse, est aussi
en même temps opposée à la détermination de haut en bas, soit qu'elle

388 (KIN in:S 1)K FKK.MAT. -^ CO l{ I5ES PON I) A NCE.

soit piM'poiuliciilairo ou non. lin sorte (|ue, quoique la balle continue
«le descendre et même qu'elle descende dans la même ligne quand
elle a été poussée perpendiculairement, on ne sauroit pas dire que
eette détermination vei's le bas soit la même, mais elle est changée en
(|U('l(|ne (acon , ainsi que dit .M. Descartcs. Car la halle ne descend
plus avee la même (luantité de détermination, puis(|ue dans un temps
égal elle ne va pas si loin ([u'elle éloit déterminée d'aller avaut qu'elle
eut perdu la moitié de sa vitesse, ce qui est un changement en la
détermination qu'elle avoit ;» avancer vers ce coté-là.

Kt si vous y prenez garde, tous les changemens de détermination
que M. Descartes a dit s'ensuivre en la halle du changement de sa
vitesse ou de la force qui la pousse ou qui l'arrête en B (selon les dif-
férentes suppositions qu'il fait), ont tous été en la détermination de
haut en bas, et non point en celle de gauche à droite, à cause, comme
il dit en la page 17, ligne i3 ('), que des deux parties dont on peut
imaginer que la détermination de la halle sur la route AB est com-
posée, il n'y a que celle qui faisoit tendre la halle de haut en bas qui
puisse être changée en quelque façon par la rencontre de la toile.
Mais, à plus forte raison, cette toile peut-elle faire changer la déter-
mination perpendiculaire à laquelle clic est entièrement opposée, qui
est simple et qu'on ne peut pas dire être composée de deux, à l'une
desquelles elle ne soit point du tout opposée, ainsi (|u'elle ne l'est
point à celle de gauche à droite, quand la balle est poussée de biais
suivant la ligne AB.

Or, (|ucl changement peut-il arriver en cette détermination de haut
en bas, que celui qu'a expliqué M. Descartes? à savoir que cette balle,
en continuant de descendre, avance tantôt plus et tantôt moins vers le
bas qu'elle ne faisoit, selon le changement, c'est h dire l'augmentation
ou la diminution que sa vitesse a reçue en B, et selon le rapport que
cette vitesse a eu avec la détermination vers le côté droit, qui a dû
toujours demeurer la même, comme j'ai dit plusieurs fois, c'est ;i dire

^') Foir le texte de Dcsearte*. page :JCy.

XCIII. - 15 M\l 1638. 389

qui a dû faire qiio la balle ait toujours aulant avancé do ce côté-iii
qu'elle avoit fait auparavant.

Et partant, tant s'en faut que l'absurdité qu'avoit voulu inférer
votre sceptique suive bien de ce qu'a dit M. Descaries, qu'au con-
traire il se trouve que c'est lui-même qui, au lieu d'un bon argument,
s'est embarrassé dans un sophisme, eu supposant que la détermina-
tion de la balle dans une chute perpendiculaire étoit la même, au
même sens que celle de gauche à droite est dite être la mémo quand
la balle tombe obliquement.

1- Que^i, après cela, vous prenez la peine d'examiner la réponse
que M. Descartes a fait lui-même au reste des difficultés que votre
sceptique lui a autrefois proposées par l'enfremise du Révérend Père
Mersenne, et auxquelles il satisfit alors par une lettre qu'il adressa à
M. Mydorge ('), dont je vous ai naguère envoyé la copie, vous trou-
verez que ce qu'il dit est véritable, à savoir que votre sceptique s'est
trompé, pour avoir parlé de la composition du mouvement en deux
divers sens, et inféré de l'un ce qu'il avoil seulement prouvé de
l'autre.

.le ne répète point ici ce qu'il en a dit; car, outre qu'il seroit inu-
tile, comme j'en étois là, un de mes amis, appelé M. Rohaulf, savant
mathématicien et des mieux versés que je connoisse en la philosophie
de M. Descartes, m'est venu apporter une réponse qu'il a faite à votre
lettre au Père Mersenne (-), pensant que M. Descartes n'y avoit point
répondu (car je ne lui avois point montré cette lettre à M. Mydorge),
et que vous n'eussiez reçu de lui aucune réponse, voyant que dans la
lettre que vous m'avez fait l'honneur de m'écrire, laquelle je lui avois
fait voir, vous conlinuez vos premières difficultés, et que dans celle ii
M. de la Chambre vous dites avoir autrefois contesté à M. Descartes sa
démonstration touchant la réfraction, à lui, dites vous, vii>en/i a/c/iie
senlienti, mais qu'il ne vous satisfit jamais (' ).

(I) Foir la note de la page x-?.').

Ç') LelU'e XXIV. — CeUe réponse de Roliault est la Pièce XCIV ci-après.

(») foir ci-dessus page 3'i5-)56.

390 (lUVUES DE FERMAT. - CORUESPOND ANCE.

Kl poiircc qu'il onlond hcaucoiip iiiioux que moi loutcs ces ma-
litTos. (>t qu'il a roponihi artirlc par article à tous ceux do votre dito
ItMtrc. je m'abstioudrai de vous ennuyer davantage par mon discours,
atin de vous laisser plus de temps pour examiner la réponse qu'il a
faite il voire lettre. S'il me l'eût apportée plus tôt, il nous auroil Ions
deux soulagés : moi, d'écrire d'un sujet qui passe mes forces, et vous,
de lire une si mauvaise lettre. Mais, comme c'en étoit déjà fait, je n'ai
pas voulu perdre ma peine et j'ai pensé qu'il valoit mieux vous fati-
guer de celle lecture, et vous donner par même moyen des preuves
du soin où je m'étois mis de m'acquitler de ce que je vous devois,
que de vous laisser venir la pensée que je m'en serois peut-être
oublié, et que j'aurois été bien aise ([u'un autre m'en eut déchargé.

Au reste. Monsieur, je vous prie d'excuser ce qui peut m'étre
échappé de libre en répondant à votre sceptique. J'aurois agi avec
tout autre respect si mon discours se fût adressé à vous; mais, bien
loin de craindre que pour cela vous me refusiez justice, je prends
même l'assurance de vous demander quelque grâce. Il y a des ren-
contres où un peu de faveur n'offense point l'équité et, si dans
celle-ci vous vous mettez de mon parti, je puis vous assurer qu'en
toute autre je serai entièrement à vous, et que vous pourrez faire
état d'avoir toujours prêt en moi. Monsieur,

Un très humble et très obéissant serviteur,

Clerselieh.
Paris, ce i '> mai i<)').S.

XCIV. - 15 MAI 1638. 391

XCIV.

RÉFLEXIONS OU PROJET DE REPONSE A LA LETTRE
DE M. DE FERMAT

QUI CONTIENT SES ODJECTIOXS SUR L.V DIOPTRIQUE DE M. DESCARTES,

PAR M. ROHAULT.

13 MAI 1658.

(D., III, 4(5; BiU. iiat. fr. :V2S0, n. acq., r<" Si-ôfi.)

Je ne sais si le Père Merseiine, à qui cette lettre (') étoit adressée,
l'a communiquée à M. Descartes, ou si, l'ayant reçue, ses occupations
l'ont empêché d'y faire réponse. Toutefois il paroit n'y avoir point
répondu, parce que M. de Fermât, qui l'avoit écrite il y a environ
vingt ans, répète encore à peu près les mêmes difficultés dans une
lettre qu'il a écrite depuis peu à un de mes amis de cette ville (-). Je
m'en vais essayer de suppléer quelques réponses tirées de l'intention
de M. Descartes, et pour le faire plus commodément, je ne me propo-
serai aucun ordre que celui qui est dans les articles ou sections de la
lettre que j'examinerai séparément.

AuT. 1"'- — Le premier article ne contient qu'un compliment dont
l'humeur civile de M. de Fermât honoroit M. Descartes, et dont sa
mémoire lui est encore redevable.

Art. 2''. Je tranche, etc. — Quoique M. Descartes accommode son
médium à sa conclusion, et qu'il divise son mouvement en certaines
déterminations plutôt qu'en d'autres, on ne le doit non plus trouver
étrange que si un géomètre se sert d'une construction plutôt que
d'une autre pour l'exécution d'un problème; et l'on ne conteste
jamais la voie qu'il choisit, pourvu qu'il vienne à bout de ce qu'il
entreprend.

(') La Lettre XXIV ci-avant : les articles distingués par Rohaiilt sont identiques avec
ceux du numérotage de notre édition.
(-) La Lettre XC bis à Clerselier.

392 ŒUVHKS DE KEIIMAT. COH H ESPON 1) ANCE.

Au rosto, JM. Desoai'tos a dû diviser son luouvcinont en une dclcr-
niination purpondiculairc à la surface devers laquelle il éloit mu et
eu une détermination parallèle à la même surrae(>, parce que, celh'
dernière ne reneonlraiil aucune opposition, il étoit assuré qu'elle
dcvoit (lenu'urer la même; ce (jui lui éloit un moyen de conclure une
vérité plus aisément qu'il n'eût pu faire en suivant une autre méthode.

AuT. 3'. Je reconnais, etc. — AI. de ?\'rmat semble favoriser 31. Des-
eartes, en avouant qu'il est de sou sentiment touchant la dilTércncc
(]u'il établit entre le mouvement et la détermination, et tâchant même
de le prouver. (Cependant il semble aussi qu'il y ait de l'adresse,
pource qu'il impute à iM. Descartes une opinion (|u'il désavoueroit,
à dessein, comme on pourroit croire, de s'en servir dans la suite.

C'est dans le second exemple, où il assure ([u'unc balle, poussée du
point H au point B perpendiculairement sur la surface CBK, no |)erd
pas de sa détermination, à cause, dit-il, qu'en pénétrant l'eau ou la
(oilc. l'Ile continue à se mouvoir dans la même ligne droite.

.Aiais il doit considérer que la détermination d'un mobile doit être
réputée changer, non seulement quand il quitte la ligue dans laquelle
il s(^ mouvoit auparavant, ou quand il se meut à contre-sens dans la
même ligne, mais encore en se mouvant du même sens dans la même
liLjne droite, pourvu que ce soit [plus ou] moins loin qu'il n'étoit dé-
Icrminê d'aller en ce sens-là. Et c'est en cette troisième façon que la
quantité de la détermination de la balle est devenue moindre, autant
(|uc le mouvement : aussi la surface CBE étoit autant opposée à la
première que la liaison des parties l'étoit à l'autre : c'est pourquoi il
faut réputer comme nul cet exemple qui n'étoit que pour prouver une
vérité que les deux parties ne contestent point.

Je ne daignerois d'observer que M. de Fermai appelle force ou puis-
sauce mouvante ce que M. Descartes appelle le mouvement, parce qu'il
ne paroit pas dans la suite de la lettre que cette diflërence soit d'au-
cune conséquence.

\kï. 4'. Je rei'iens maintenant, etc. — Cet article ne contient que
quelques paroles de M. Descartes.

XCIV. - 15 MAI 1658. 393

Art. 5''. Je remarque d' abord, etc. — Le manque de mémoire qui est
ici imputé à M. Descartes, est fondé sur la croyance que M. de Fermât
a, que la détermination de haut en bas [de l'exemple] de la page 17 de
la Dioptrique n'est point changée, qui est une erreur semblable à celle
qui a été désavouée dans la remarque sur l'article 3^ Et il ne sert de
rien, pour prouver sa pensée, de dire que la détermination dans la
ligne BI est composée en partie de celle qui fait aller le mobile de
haut en bas, comme | étoitj celle qui le faisoit auparavant mouvoir
vers le même côté dans la ligne AB. Il y a [en cela] de l'équivoque,
et encore qu'on remarque toujours une détermination de haut en bas,
la seconde est autre que la première, de même que dix écus sont une
autre (juantité d'écus que quinze écus, encore que ce soit toujours des
écus.

AuT. B". Mais donnons que, etc. — Après que M. de Fermât accorde,
comme par forme de passe-droit, une chose qui est de devoir, il s'ef-
force de prouver que M. Descartes ne s'est pas aperçu que la détermi-
nation de gauche à droite étoit aussi changée; ce qui véritablement
infirmerait sa démonstration. La raison, dit-il, est qu'on ne sauroit
dire que la détermination de haut en bas soit changée, sinon parce
que, depuis que le mobile se meut dans la ligne BL sa quantité n'a
plus la même raison avec celle de gauche li droite, qu'elle avoit quand
il étoit porté dans la ligne AB.

Je ne sais si M. de Fermât parle ici tout de bon, d'autant (ju'il rai-
sonne comme une personne qui, après avoir porté quinze écus dans
l'une de ses pochettes et trente dans l'autre, et en ayant perdu, par
je ne sais quel accident, quelques-uns des quinze, reconnoîtroit cette
perte par cela seulement que ce qui lui reste des quinze n'est plus la
moitié de la somme qu'il a de l'autre côté, après quoi il vient à croire,
pour se consoler, que cette dernière est augmentée, parce qu'elle fait,
en récompense, plus du double de celle d'oîi il trouvoit d'abord à
redire.

M. Descartes raisonne d'une autre façon, sans pourtant le faire
autrement qu'un jeune homme qui n'auroit pas appris le cinquième

Feiimat. — W. 5o

39i ŒUVRES DE FERMAT. — CORRESPONDANCE.

Livre dos Eloinonts d'Euclitlo. Car, comme celui-ci jugeroit qu'il
auroit penUi quolquos-uns des quinze écus, en comparant ce qui lui
restcroit avec ce ([u'il avoil aui)aravant dans la même pochelle, et ne
se soucieroit pas de les comparer avec les trente de l'autre, de même
M. Descartes juge du changement arrivé en la détermination de haut
en has. parce que sa quantité n'est plus la même, depuis (|ue le mobile
est au dessous de la surface CBlî, qu'elle étoit quand il étoit au dessus.
Et il a raison d'assurer que la détermination de gauche h droite n'est
pas changée, parce que sa quantité est la même, le mobile étant dans
la ligne BI, qu'elle étoit quand il étoit porté en AB.

Art. t. Mais donnons encore, etc. — Outre que M. de Format
accorde encore ici gratuitement une chose qu'il auroit tort de con-
tester, comme il se voit dans la remarque précédente, cet article ne
contient que quelques paroles de M. Descartes.

Art. 8°. Voyez comme il retombe, etc. — M. Descartes est ici accusé
do retomber pour la seconde fois dans une même faute, manque de se
ressouvenir qu'il y a différence entre la détermination et le mouve-
ment. Mais cette accusation n'est fondée que sur ce que M. de Fermât
priMul un peu rigoureusement les paroles de M. Descartes : car, quand
il dit ces mots : elle doit /aire deux fois autant de chemin vers le même
côté, cela ne signifie pas que la balle se meuve dans une ligne deux
fois plus grande qu'auparavant, mais que, quelle que soit cette ligne,
elle doit tellement è(re incliuée vers la droite que la balle avance do
ce côté-là doux fois plus qu'elle n'avoit fait. C'est le sens qu'il falloit
donner aux paroles de M. Descartes, au lieu de l'autre, par lequel on
prétend qu'il confond deux choses diverses; et son intention étoit
assez évidente parce que pendant qu'il dit que la quantité de la dé-
termination devient double dans le même temps, il suppose que le
mouvement n'est que simple, c'est ii dire que le mobile parcourt une
ligne égale à celle qu'il avoit parcourue auparavant.

Ce qui suit de cet article, et l'absurdité que M. de Fermât y conclut,
n'est pas au désavantage de M. Descartes, qui nieroit que la do(ormi-
nation de haut en bas demeure la même, suivant ce qui a été dit dans

XCIV. - la MAI 1638. 393

la remarque sur le 3" article, et ainsi tout cet appareil de raisonnemenl
s'en va en fumée.

Anr. 9, 10, H, 12. — Je passe pour vrai tout ce que contiennent ces
articles; mais je crains qu'ils ne fassent point du tout au sujet.

Art. 13''. Cela ainsi supposé, etc. — M. de Fermât estime que, dans
la page 20 de la Dioptrique, la supposition de M. Descartes est que
l'accroissement d'un tiers de mouvement qui arrive à la balle soit sim-
plement de haut en bas ou selon la ligne BG, au lieu que c'est le
mesurer dans la ligne qu'elle a à décrire ou parcourir actuellement.
Et cela est assez aisé à entendre, parce que, si cela étoit, M. Descartes
n'auroit pas supposé, comme il a fait, la force du mouvement de la
balle être augmentée d'un tiers, mais il auroit supposé la détermina-
tion de haut en bas être augmentée d'un tiers, et n'auroit rien supposé
du mouvement. H ne faut donc pas dire qu'à son sens, la balle qui se
meut en BI s'y meuve d'un mouvement composé de celui qu'elle avoit
vers BD et d'un autre vers BG dont on veuille qu'il suppose la quan-
tité être du tiers plus de ce qui étoit en AB, mais bien que le mou-
vement actuel de la balle soit d'un tiers plus vite qu'auparavant,
laissant au raisonnement à définir quel changement doit suivre de là
en la détermination de haut en bas.

Anr. 14^ Imaginons ensuite, etc. — Ce que M. de Fermât conclu!
dans cet article est vrai dans sa supposition, laquelle, comme je viens
de remarquer, étant dilférente de celle de M. Descartes, il ne faut pas
s'étonner s'ils établissent tous deux des proportions différentes des-
tjuelles par conséquent l'une ne sauroit détruire l'autre.

Art. 15". D'ailleurs la principale raison, etc. — Il est vrai que
M. Descaries entend que le mouvement d'un mobile accroît toujours
d'une pareille quantité en pénétrant un même milieu, quoiqu'il tombe
sur la surface avec des inclinaisons différentes. Et cela est bien rai-
sonnable, puisque la facilité de se mouvoir dépend de la nature du
corps que l'on suppose tel qu'il se peut ouvrir pour faire passage
aussi facilement vers un côté que vers un autre, et (jue de l'inclinaison
du rayon d'incidence dépend seulement la détermination à la quantité

390 ŒUVRES DE FERMAT.- COUKESPONDANCE.

il(> la(|Ui'II(' les divcrsos cluitos poiin'diil ;ii)[»orl(M' do la variole selon l(^
rapport qu'auront (Milrc cllos la (l(''tormination>of la vitosso. Ce quo
.M. de Fermât ajoute ensuite el (|iril dil avoir démontré être Taux n'est
vrai (]ne dans la supposition qu'il croyoil être celle do M. Doscartos.
mais qui pourtant, comme j'ai montré, en est fort dilîoronte.

ArxT. 16". Ce n'est pas que, etc. — M. de Format avoue qu'il n'est
pas certain s'il faut suivre sa proportion plutôt quo celle qu'il tâche
de combattre. iMais je no fais pas dilliculté d'avouer qu'il faudroit
retenir la sienne, si l'accélération ou le ralentissement du mouvement
dépendoit de la seule surface commune aux deux corps dans lesquels
le mohile se meut : mais parce que cette surface ne sauroil quo dé-
liuirner le mouvement et quo c'est le second corps qui le facilite ou
(|ui rempèche, on doit retenir colle de M. Descartes.

Nous saurons, quand il plaira à M. de Format, les pensées qu'il a
touchant la réfraction; mais je puis déjà dire par avance que ce que
vous m'en avez fait voir d'ébauché dans sa lettre à M. de la (Chambre
m'a paru fort ingénieux et digne de lui ( ' ).

Si vous lui faites voir ceci, je vous prie de lui taire mon nom, ou, si
vous trouvez à propos do le lui déclarer, je vous prie aussi qu'il sache
quo ce n'est pas d'aujourd'hui quo le bruit do son nom est venu
jusquesàmoi; que j'honore beaucoup son mérite, et que je tiendrai
à honneur s'il me daigne faire la grâce de me mettre au rang do ses
très humbles serviteurs.

( ' ) LoUre I.XXXVI.

XCV. - 2 JUIN 1638. 397

XCV.
FERMAT A CLERSELIER (').

DIMANCHE 2 JUIX 1638.

(D., lU, '^■•,■, Bill. nat. fr. SsSo, n. acrj., f- 57-61.)

Monsieur,

1. Je suis si passionné, pour la gloire de M. Descartes que vous ne
pouvez m'obliger plus sensiblement qu'en combattant les opinions du
sceptique qui s'oppose à ses sentiments. Mais prenez garde, Monsieur,
(]u"il importe de conduire votre travail jusquesaubout, et de renverser
entièrement sur leurs auteurs tout ce que vous appelez ou paralo-
gismes ou sophismes. Il ne suffit pas de dire que le sens de M. Des-
cartes a été mal pris par ceux qui le reprennent; il faut prouver que
l'explication que vous lui donnez va tout droit et sans détour à sa
conclusion, et qu'enfin sa preuve est démonstrative.

2. Nous avions cru que la balle qui conserve sa direction et sa route
ne perd point sa détermination, et nous l'avions avec quelque raison
inféré de la dilTérence que M. Descartes établit entre le mouvement et
la détermination. Mais, sans nous empresser davantage à prouver la
conséquence que nous tirions de son raisonnement, nous nous tenons
pour suffisamment avertis de sa pensée et de la vôtre, qui veut « que la
détermination d'un mobile soit réputée changer, non seulement quand
il quitte la ligne dans laquelle il se mouvoit auparavant, ou quand il se
meut à contre-sens dans la même ligne, mais encore en se mouvant du
même sens dans la même ligne droite, pourvu que ce soit moins loin
(|u'il n'étoit déterminé d'aller en ce sens-là.

Et c'est en cette troisième façon », dites-vous (^), « que la quantité
de la détermination de la balle est devenue moindre autant que le

(') Réponse aux Lettres XCUI et XCIV.
(2) Lettre XCIV, 3.

:J98 (lUIVRES DE FERMAT.- COHUESPONDANCE.

iiioiivoiiHMil », lorsqu'elle so nuMil siii' la ligno HHG de la page 17 de
la Dioptrique ('). Mais prenez garde que ce ne soit tomber dans la
pélilidii du principe.

Viuis entendez doue, dans la page 17, (jue la loile n'élanl aiinine-
wf«/ opposée à la détermination de gaiiclie à droite, ces paroles venlenl
dir(> (|ne eette détermination avance aulant vers la droite qu'elle l'aisoil
auparavant. C'est ce que je nie et qu'il faut prouver : car, bien que la
toile n'empêche point que la balle n'avance toujours vers la droite,
elle ne laisse pas d'avancer vers la droite, soit que ce progrès soil
plus lent, soit qu'il soit plus vite qu'auparavant. Or, de cela seul que
la toile n'empêche pas le progrès vers la droite, vous en inférez que ce
progrès doit être justement le même, c'est à dire ni plus ni moins vite
qu'auparavant. C'est donc ai'TYj[j.a a.[Ti\\i.oi.':oc„ et il faut de deux choses
l'une : ou que le médium soil le même que la conclusion, ou que la
conclusion en soit mal tirée.

Peut-être direz-vous que le mot aucunement fait tout le mystère, et
qu'en disant que la toile ne lui est aucunement opposée en ce sens-là,
tout le reste s'en déduit aisément. IMais il en faut toujours revenir là :
si par le mot aucunement vous entendez que la toile n'empêche pas
que la balle ne continue sa marche vers la droite et que son progrès
ne se fasse également et en temps égal, je le nie et c'est ce qu'il faut
prouver; si vous entendez que la toile ne lui est aucunement opposée,
c'est à dire qu'elle n'empêche pas que la balle ne continue d'avancer
vers la droite, sans assurer encore si son progrès doit se faire en temps
égal, vous ne trouverez jamais votre compte dans la conclusion.

D'où il suit clairement que M. Descartes a voulu donner des paroles
pour des choses, et qu'en traitant deux propositions dilTérentes sur le
sujet de la réflexion et de la réfraction, il a voulu accommoder son
raisonnement à la première qu'il savoit et à la seconde qu'il a peut-
être trop légèrement crue.

3. Ce n'est pas, comme je vous ai déjà souvent prolesté, que sa pro-

C) foir fig. OO, page 118 ou 39<).

xcv.

2 JUIN 1658.

399

portion des réfractions ne puisse être vraie; mais j'ai du moins à vous
dire que je ne la tiens du tout point prouvée, et qu'en tout cas vous
avez trop de complaisance en faisant semblant d'approuver ma pensée
sur ce même sujet ('), puisque, si ce que j'ai écrit là dessus à M. de la
Chambre est véritable, ce que M. Descartes croit avoir démontré est
nécessairement faux, ces deux opinions étant tout à fait contradic-
toires et incompatibles.

Mais supposons, si faire se peut, que la proposition de M. Descartes
soit véritable. Il faut du moins pourvoir à ce que rien ne se démente
dans les suites, et c'est aux amis du défunt à prévoir tous les cas qui
pourroient faire peine à la vérité supposée de cette proposition. En
voici un, par exemple, qu'il vous faudra tâcher de résoudre.

Supposez, dans la page 17, que la balle rencontre, au lieu de la

Fi-. 50.

toile ou de l'eau, un corps dur et impénétrable, et que, lorsque la
Italie arrive au [)oint B, elle ne laisse pas de perdre la moitié de sa
vitesse. Car cette supposition est possible et, quoique le corps CBEne
contribue rien à la diminution de ladite vitesse (comme il fait en
l'exemple de M. Descartes, lorsque c'est de la toile ou de l'eau), néan-
moins nous pouvons imaginer et supposer que, lorsque la balle arrive
au point B, elle perd justement la moitié de sa vitesse, sans nous
mettre en peine d'où provient cette diminution, puisque le même
M. Descartes, en la page 20, suppose ou imagine au point B une

( > ) Lettre XCIV, 16.

400 ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE.

nouvelle puissaïu'o (Hii !uiii,nion(e le inouvement ou la vitesse do la
balle : de sorte que je ne erois pas que les amis do !\f. Descartes soient
assez injustes pour nier (|ue eotlo supposition puisse ê(ro non seule-
ment imaginée, mais réduite en acte.

Cela supposé, il no fiint que transporter le raisonnement de M. Des-
eartes au dessus du plan, et on pourra dire avec lui que, pour savoir
le chemin (|ue la balle doit prendre, il faut considérer que son mouve-
ment (litière entièrement de sa détermination à se mouvoir plutôt vers
un coté que vers un autre : d'où il suit que leur quantité doit être
examinée séparément.

Considérons aussi que, des doux parties dont on peut imaginer que
cette détermination est composée, il n'y a que celle qui faisoit tendre
la halle do haut en has qui puisse être changée par la rencontre du
plan CBE, et (|uo, pour celle qui la faisoit tendre vers la main droite,
elle doit toujours demeurer la môme qu'elle a été, à cause que ce plan
ne lui est aucunement opposé en ce sens-lii.

Puis, ayant décrit du centre B le cercle AFD et tiré à angles droits
sur CBE les trois lignes droites AC, HB, FE, en telle sorte qu'il y ait
deux fois autant de distance entre FE et HB qu'entre HB et AC, nous
verrons que cette halle doit tondre vers le point du cercle oii la
ligne FE coupe le cercle au dessus du plan; ce point peut être désigné
par la ieltro ().

Car, puisque la balle perd la moitié de sa vitesse en rencontrant le
plan au point B et <[u'ollo ne peut point le traverser par la supposition,
elle doit employer deux fois autant de temps à passer au dessus de-
puis B jusqucs à quelque point de la circonférence du cercle AFD,
qu'elle a fait à venir depuis A jusqucs à B. Et, puisqu'elle ne perd
rien du tout de la détermination qu'elle avoit ii s'avancer vers le côté
droit, en deux fois autant do temps qu'elle en a mis à passer do[)uis la
ligne AC jusques à HB, elle doit faire deux fois autant de chemin vers
ce même côté, et par conséquent arriver à quelque point de la ligne
droite FE au même instant qu'elle arrive aussi à quelque point de la
circonférence du cercle AFD. Ce (\u\ seroit impossible si elle n'alloit

XCV. - 2 JUIN I608.

401

vers 0, d'autant que c'est le seul point au dessus du plan CBE où le
cercle AFD et la ligne droite FE s'entrecoupent.

Si ce raisonnement, qui est justement le même que celui de M. Des-
cartes, en le transportant seulement, ne conclut pas, pourquoi, de
grâce, celui de M. Descartes conclura-t-il? Ce qui est démonstration
au dessous deviendra-t-il paralogisme au dessus? Je ne crois pas que
vous soyez de ce sentiment et que vous vouliez donner tout au seul
nom et à l'inspiration, s'il faut ainsi dire, de M. Descartes.

4. Cela étant, passons à la figure de la page 19, et supposons de même
que le plan CB est un corps dur et impénétrable, et que la balle, arri-
vant au point B, diminue de sa vitesse en telle sorte que la ligne FE,
étant tirée comme en l'exemple précédent, ne coupe point le cercle AD.

Cette balle, par la supposition, ne peut point pénétrer au dessous
du plan. Elle ne peut non plus se réfléchir à angles égaux, car sa dé-
termination vers la droite ne seroit point la même. Enfin, quelque
angle que vous preniez pour sa réflexion au dessus du plan, son pro-
grès vers la droite sera toujours moindre qu'auparavant. Voire même
quand vous la feriez rouler sur le diamètre CB en ligne droite, sa dé-
termination vers la droite cliangeroit encore, comme il se voit à l'œil
et comme il se déduit clairement de la supposition : car il faudroit
qu'au même temps que la balle arrive à quelque point de la circon-
férence, elle arrivât à quelque point de la droite FE, ce qui est impos-
sible.

Que deviendra donc cette balle? C'est à vous. Monsieur, et aux amis

Fermât. — U. 01

W-1 ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

ilo M. Doscarlcs, à lui l'ouriiir un passeport et à lui mar(|uersa l'oute
en la taisant sortir de ce point fatal. J'en dirois davantage si je n'ap-
préhendois de passer dans votre esprit pour un homme qui auroit

envie de

Barham vcllere morUin Iconi (').

J'attends, Monsieur, votre réplique ou celle de M. Roliault, que j'es-
liine comme je dois; et je vous assure à l'avance que je ne cherche
que la vérité sans chicane, et que je suis de tout mon cœur. Monsieur,
votre très humble et très alTectionné serviteur,

Fermât.

XCVI.
FERMAT A KENELM DIGBY (-).

(Comm. ep., 11° XLVII.)

1. lUustrissimos Viros Vicecomitem Brouncker et Johannem Walli-
sium quaestionum numericarum a me propositarum solutioncs tandem
dédisse légitimas libens agnosco, inio et gaudeo. Noluerunt Viri Cla-
rissimi vel unico momento impares sese aut -JÎTTovaç quœstionibus
propositis contiteri; mallem ipsos et quiestiones ipsas dignas labori-
bus Anglicis statim agnovisse et, postquam adepti ipsarum solutiones
fuissent, triumphum eo illustriorem egisse quo certamen magis arduum
apparuisset. Contrarium ipsis visum est; id sane glorise illustrissimœ
et ingeniosissimae nationis condonandum. Verùm, ut deinceps ingénue
utrimque agamus, fatcntur Galli propositis quaîstionibus satisfecisse
Anglos; sed fateantur vicissim Angli qusestiones ipsas dignas fuisse
quae ipsis proponerentur, nec dedignentur in posterum numerorum

(') Martial, livre X, cpigr. go.

(') Envoyée par Digby à Wallis, le 19 juin ifJJS.

XCVI. - JUIN 1638. 403

integrorum naturam accuratius examinaro et introspicerc, imo et doc-
trinam istam, quâ pollent ingenii vi et subtilitate, propagare.

2. Quod ut ab illis libentius impetremus, Diophantum ipsum ot
celeberrimum illius interpretem Bachetum ad auctoritatem rei pro-
ponimus.

Supponit Diophantus in plerisque Libri IV et V quîestionibus niime-
riim omnem integrum vel esse qtiadratitm i^el ex duobus aiit tribus aiit
quatuor quadratis composilum. Id sibi Bachetus, in commcntariis ad
qusestionem xxxi Libri IV, perfecta demonstratione assequi nondum
licuisse fatetur. Id Renatus ipse Descartes incognitum sibi ingénue
déclarât in epistola quadam, quani propediem edendam accepimus,
imo ot viam, quahucperveniatur, difTicillimam et abstrusissimam esse
non dilfitetur ('). Cur igitur de propositionis illius dignitate dubite-
mus, non video. Ejus tamen perf'ectam demonstrationem a me inven-
tani moneo Viros Clarissimos.

Possem et plerasque adjungere propositiones non solum celeberri-
mas, sed et firmissimis demonstrationibus probatas; exempli causa :

Omnis numerus primus qui nnitate superat quaternarii multipli-
cem, est compositus ex duobus quadratis. Hujusmodi sunt 5, l'i, 17,
29, 37, 4i, etc.

Omnis numerus primus qui unitate superat tcrnarii multiplicem, est
compositus ex quadrato et triplo alterius quadrafi. Taies sunt 7, i3,
19, 3i, 37, 43, etc.

Omnis numerus primus qui vel unitate vel ternario superat octo-
narii multiplicem, componitur ex quadrato et duplo alterius quadrati.
Taies sunt 3, 1 1, 17, 19, 4i, 43, etc.

Sed et praïcedentem Bacbeti propositionem generaliter olim Domino

( 1 ) Lettres de M'' Descartes, éd. Clerselier, III, 66, p. 365 : « Mais pour ce Thcoreme, qui
est sans doute l'un des plus beaux qu'on puisse trouver touchant les nombres, je n'en
sçay point la démonstration, et je la juge si difficile que je n'ose entreprendre de la cher-
clier. » (Lettre à Mersenne, du ■?- juillet i638.) Descartes parle du théorème général
énoncé dans la Lettre de Fermât pour Sainte-Croix (ci-dessus XIl, 3) et rappelé ci-
après.

iO'. (P.IVUES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

«le Saiiilc-r.roix proposuimus ('), cjusquc demonslralioiicm non igno-
ranuis.

Omnis niimorus intogcr : vcl csl (riantçulus vt'l ox tliiobus aiil (ribiis
(riangulis coiiipositus; ost quadradis vcl ex duobus, tribus aiil qua-
liior (luailratis compositus; est pentagonus vcl ex duobus, tribus, qua-
tuor aul (|uinque pentagonis compositus; csthexagonus velex duobus.
tribus, quatuor, quinquc vcl scx hcxagonis compositus; et sic uni-
lormi iii inliniluin cnuntiafioiie.

3. H?ec omuia cl alla iutiiiita qmv ad uumeros integros spectant,
qua^quc a iiobis et inventa et generaliter demonstrata sunt, possemus
et proponere Viris Clarissimis et, proponendo, ncgotium saltem ali-
(|uod ipsis facessere. Sed ingenuitatcm gallicam sapient magis propo-
sitiones aliquot quarum demonstrationem a nobis ignorari non difR-
Icmur, licet de carum veritate nobis constet.

Meminimus Arcbimedem non dedignatum propositionibus Cononis,
vcris quidem, sed tamen indcmonstratis, ultimam manum imponere,
earumque veritatem demonstrationibus illis subtilissimis contirmare.
Cur igitur simile auxilium a Viris (Clarissimis non exspectem, Conon
scilicet Gallicus ab Archimedibus Anglis?

1° Potestates omnes numeri 2, quarum cxponentes sunt tcrmini
progressionis geometricse ejusdem numeri 2, unitate auctas sunt nu-
meri prinii (- ).

Exponatnr progressio geometrica 2, cum suis exponentibus :

1.2.3. 4- 5. 6. 7. S.
2. 4. 8. iG. 32. 64. 128. 2.56.

Primus terminus 2, auctus unitate, f'acit 3, qui est numcrus pri-
mas.

Secundus terminus 4. auctus unitate, iacit 5, qui est paritcr numc-
rus primus.

( ') Foir Lellrc XII. 3.
(2; Foir Lcllru .\L11I, 3.

XCVI. - JUIN 1658. 105

Quartus terminus iG, auctus unitatc, facit 17, numcruni primuni.

Octavus terminus 206, auctus unitate, facit 257, numerum primuni.

Sume generaliter omnes potestates 2, quarum exponentcs sunt nu-
meri progressionis, idem accidet. Nam, si sumas deinde decimum sex-
tum terminum, qui est 65536, ille auctus faciet 65537, numerum
primum. Hoc pacto, potest dari et assignari nullo negotio numerus
primus dato quocumque numéro major.

Quœritur demonstratio illius propositionis, pulchr* sane, sed et
verissim;e, cujus ope, ut jam diximus, problema alias difficillimum
solvi statim potest : Dato quovis numéro, invenire numerum primum clalo
numéro majorem. Hujus clavis bénéficie reserabunt fortasse Viri Cla-
rissimi mysterium omne de numeris primis, hoc est : Dato numéro
(juoiis, invenire via brevissima et facillima an sit primus vel compositus.

2° Deinde : Duplum cujuslibet numeri primi unitate minoris quam
multiplex octonarii, componitur ex tribus quadratis.

Este quilibet numerus primus, unitate minor quam octonarii multi-
plex ut sunt 7, 23, 3i, 47, etc.; eorum duplex est i4, 46, 62, 94 : com-
ponitur ex tribus quadratis.

Propositionem illam veram asserimus, sed Cononis modo, nondum
ant asscrente aut dcmonstrante Archimedc.

3° Si duo numeri primi, desinentes aut in 3 aut in 7, et quaternarii
multiplicem ternario superantes, inter se ducantur, productum com-
ponitur ex quadrato et quintuplo alterius quadrati.

Talcs sunt numeri 3, 7, 23, 43, 4?» ^7> etc. Sume duos ex illis,
exempli gratia, 7 et 23; quod sub iis fit, 161, componetur ex quadrato
et quintuplo alterius quadrati. Nam 81, quadratus, et quintuplum 16
sequantur 161.

Id verum asserimus generaliter et demonstrationem tantum exspec-
tamus. Singuiorum autem ex ipsis quadrati componuntur ex quadrato
et quintuplo alterius quadrati : quod et demonstrandum proponitur.

4. Sed ne demonstrationibus nimium fortasse déesse videamur, se-
quentem propositionem et asserimus et possumusdemonstrare.

406

ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

Niilkis luiiiKTiis Iriaiii^uluï!, praHor unitateni, u'(|ualiir numéro (|iia-
draloquadrato.

Siiit triangiili, ut norint omnos.

I. 3. lo. i5. '.31. 28. 36. 45. etc.

Nullus omnino, facta in infinitum progressione, prseter solam uni-
(atom. crif quadratoquadratus.

5. Ne autcm ad numéros integros déficiente Geometria videamur con-
fugisse, en aliquot propositiones geometricas, qu* Angliam invisere
non erubcscent. Priores duas ex restituta a nohis Porismatuni Eiicli-
deorum Geometria excerpsimus.

Esto semicirculus ANB {fig. 90) super diametro AB. Bisecetur in N

semicircumferentia ANB et, junctis NA, NB, a punctis A et B exci-
tentur perpendiculares AD, BG, ipsis AN, NB a^quales. Sumpto quo-
libet in semicircumferentia puncto, ut E, junctis rectis DE, EC occnr-
rentibus diametro in punctis 0 et V, aio duo quadrata AV, BO simul
sumpta esse, in hoc casu, a3qualia quadrato diametri AB.

Generalius in Tractatu nostro hoc problema aut theorema propone-
bamus, sed in prssens spéciale hoc surticit (').

Esto parabole quaevis AMC {fig. 91), in qua sumantur duo qutç-
Iil)cl puncta A et B et diameter qusevis MN. Sumatur quodcumque
aiiiid |)iin<tum in parabole, ut C, a quo ad puncta A et B jungantur

( ') Voir Tome I, p. 81 : Pœismn r/(ii/iliiiii.

XCVI. - JUIN 1038. 407

rcctae diametrum sécantes. In cadcm semper ratione secahitiir dia-
meter. Nam, sumpto alio quovis puncto D, erit

MO ad OV ut MI ad IN,

et semper similes abscissse a diametro in eadem erunt ratione (').

Hœc a nobis et inventa sunt et demonstrata, quœ àpioiflaîa); pro
theoremate frusti conici offerimus (^).

6. Sed et qute nondum ex omni parte compléta sunt, tentanda
Anglis proponere non dubitamus.

Datis punctis, rectis aut circulis, invenire parabolen quse per data
puncta transeat et datas rectas aut circules contingat.

Dari autem quatuor ex istis sulïîcit. Exempli gratia : Datis duobus
punctis, recta et circule, invenire parabolen qua? per data puncta
transeat et rectam circulumque dates contingat. Llnde eniergunt
quindecim problemata.

In ellipsi aut hyperbole idem preponatur; sed oo casu dcbent dari
quinque aut puncta aut rectœ aut circuli aut quœdam ex istis numéro
quinque, et Inde emergunt 21 problemata.

Nos olim in Tractatu De centactibus sphaericis similia in spluera
expedivimus et tandem féliciter problema sequens construximus :
Datis quatuor spha;ris, invenire quartam quœ quatuor datas con-
tingat (^). Tractatum integrum pênes Deminum de Carcavi invenies.

(') T'oir Tome I, p. 79 : Porisma secundum.

{-) Cubatiire du tronc de cône oblique, dans la lettre XXIII du Commercium cpistnllcuni
(de Wallis à Digby, le 4 mars i658, v. s.).
(•') Foir Tome I, p. O9.

A,

W8 <1;LVUES \)\l Fl'RMAT. — CORRESPONDANCE.

.Monomus tanluni Viros (]larissiinos ut, seposilis (aiilis[)('r spccicljiis
Analyscos, problcniata geometrica via Euclidea o( Apolloiiiana ox-
scquanliir, no porcat paulatim olcganlia et consd'iicmli cl iloinon-
straiidi, cui pr;ocipiie oporain dédisse vctores innuunt salis cl Dala
Eudidis el aiii a Pappo eiuunorali Analyseos lihri; qiios omiii ex
parte jam olini siippleviimis diiin operibus Viet», Ghetaldi, Snellir
Tractatus nostros De locis planis, De locis solidis et liiiearibiis, De
bicis ad siiperficiem, et De porismatibus adjeeimus (') : quos omnes
habet dietus Dominus de Carcavi.

XCVII.
FERMAT A CLERSELIER.

DIMANCHE 16 JUIN 1658.

(D., III, ^8: BiW. nat. fr. 3280, nouv. acq., f" 63-65.)

^lONSIEUr»,

1. Nous Liissàmes dernièrement la balle de M. Descartes eu belle
peine (-). C'est dans la ligure de la page 19 de la Dioptrique, où elle
(aisoit tous ses efforts pour sortir du point R à l'honneur de M. Des-
eartes; mais elle y trouva toutes les issues fermées en suivant le rai-
sonnement de cet auteur, et même nous ne pouvons lui donner pré-
sentement de secours, si nous ne faisons changer de biais à sa logique.

Reprenons la figure de la page i j (Jig. 53) et supposons que la
balle qui va dans la droite AR diminue sa vitesse par moitié en arrivant
au point R.

Si elle continuoit dans le même milieu, et que le plan CHE ne lui lût
point opposé, elle iroit toujours en ligne droite vers D, avec cette dif-
férence pourtant qu'elle emploieroit depuis B jusques à D le double

( ' ) Foir Tome I, i)agcs 3 ; 91 ; 1 1 1 ; 76.
(') f'oir ci-dessus la fin do la lettre XCV.

\CV1I. - IG JUIN ICoS. W9

du temps qu'elle avoil mis depuis A jusques à B. 31ais si, en suppo-
sant la même diminution de vitesse au point B, nous supposons que
le plan CBE impénétrable à la balle se trouve maintenant entre deux
et empêche que la balle ne passe au dessous, je dis qu'elle se réflé-
chira aussi bien à angles égaux que si la vitesse et le mouvement
demeuroit le même.

Fis. -^3.

A

/- n \

F

/

y

\

e

V

V G

\ E

jX

_^

D

R

Car, puisque l'interposition du plan n'empêche que l'une des parties
dont la détermination est composée, et que celle de gauche à droite
reste la même, donc la balle avancera autant vers la droite qu'elle
eût fait au dessous, si le plan n'eût pas empêché sa route. Or, si le
plan CBE ne faisoit point d'obstacle, la balle, qui diminue sa vitesse
par moitié au point B, mettroit le double du temps depuis B jusques
à D qu'elle avoit mis depuis A jusques à B, et lorsqu'elle seroit au
point D, elle auroit avancé vers la droite jusques en E; elle mettroit
donc le double du temps à s'avancer depuis B jusques à E qu'elle avoit
lait à s'avancer depuis C jusques à B. Et il y a même raison de AB
à BC que de BD à BE, parce que les angles ABC, DBE, sur les deux
droites AD et CE, sont égaux, et par conséquent les triangles ABC,
DBE semblables.

Nous pouvons faire le même raisonnement au dessus, si du point E
nous élevons la perpendiculaire EF, et dire que, lorsque la balle sera
ii un des points de la circonférence, comme F, elle y aura mis le
double du temps qu'elle avoit mis depuis A jusques à B, puisque le
plan que nous supposons maintenant entre deux ne fait rien de nou-
veau qu'empêcher la détermination de haut en bas. Et partant, la
détermination de gauche à droite sera pour lors marquée par le même

l'IiRMlT. — II. 52

'.10 ŒUVIIES DE FEIIMAT. - (:()UUESI>ONDANCE.

point E. ot |iar consiMinoiil, coimni' VU ii VA), ainsi la droite AU
sera ii W.. D'oii il snil ipic los angles ABC, FBE sornnt loiijonrs égaux
ilo quelque manière et en quelque proportion (jue la vitesse ou le
nuuiveiuent changent.

2. Si M. Descartes eût pris garde qu'en (|uelque manière que la vitesse
change au point B, la réflexion ne laisse pas de se l'aire ii angles égaux,
il n'eût pas été en peine, ni ses amis non plus, de tirer la balle du
point B. où ils l'ont [vue| malheureusement engagée dans l'exemple
de ma dernii're lettre. Il n'eût pas soutenu que, la vitesse venant à
changer au point B, la halle ne reste pas d'avancer vers la droite
autant qu'tdie t'aisoit auparavant. Il n'eût pas déduit d'un fondement
non seulement incertain, mais encore faux, sa proportion des réfrac-
tions, et enfin il n'eût pas esquivé, dans la figure (') de la page 19,
de déterminer sous quel angle la halle étant au point B se réfléchit
vers le point L.

Car, quoiqu'il paraisse, par son discours et par l'inspection même
de la figure, qu'il a entendu que cette réflexion se fait à angles égaux,
il a laissé un petit scrupule dans l'esprit des lecteurs, qui peuvent
raisonnablement douter si, dans l'exemple de M. Descartes, la balle
diminue sa vitesse au point B ou non. Si elle la diminue, la réflexion
ne se pourroit pas faire à angles égaux, en suivant le raisonnement de
JVI. Descartes. Que si la balle ne diminue point sa vitesse au point B, y
a-t-il rien de plus contraire aux lois inviolables de la pure Géométrie,
qui ne veut point qu'on puisse aller d'une extrême à l'autre sans
passer par tous les degrés du milieu?

3. Or, M. Descartes et ses amis soutiennent que la halle, qui est
poussée sur l'eau ou sur la toile, diminue sa vitesse également en
toutes les inclinations, lorsqu'elle la traverse, et que cette diminution
se fait dès le point B. Comment donc peut-on concevoir que, dès le
premier angle où elle se réfléchit, sa vitesse ne diminue point du tout,

(1) roir fig. 8(), p. 4oi.

\CVII. - IC JUIN 1658. 411

et qu'il n'en puisse pourtant être pris aucun plus grand auquel elle ne
diminue d'une certaine quantité qui soit toujours la même? Ne seroit-il
pas plus géométrique et plus naturel de soutenir, dans le sentiment de
M. Descartes, que la diminution de la vitesse se fait inégalement, que
cette diminution est la plus grande de toutes en la chute perpendi-
culaire d'H vers B et qu'elle se rend toujours moindre à mesure que
les inclinations varient jusqu'à ce qu'elle devienne nulle? ce que
M. Descartes a peut-être cru arriver lorsqu'elle se réfléchit. Mais,
parce que nous venons de prouver que, soit que la vitesse augmente
ou qu'elle diminue au point B, la réflexion ne reste pas de se faire à
angles égaux, nous ne devons pas nous mettre en peine de rechercher
plus soigneusement la conduite secrète dont se sert la nature en affoi-
blissant la vitesse de la balle ou également ou inégalement à mesure
que les inclinations viennent à changer.

4. 3Iais que deviendra le raisonnement qui se doit faire au dessous
du plan CBE, en la page 17, par exemple? Il sera le même que leprécé-

Fis. 56.

dent : car, que la vitesse diminue au point B ou par la rencontre de la
toile, ou par quelque autre voie qui vienne d'ailleurs, c'est tout la
même chose. Et puisqu'en la figure de la page 17 la halle perce la toile
et qu'au point B la vitesse diminue par moitié, elle ne peut jamais avoir
la détermination vers la droite pareille à celle qu'elle auroit, s'il n'y
avoit point de toile et que pourtant la vitesse diminuât par moitié au
point B, qu'en continuant toujours sa roule vers la droite ABD.

Vl> ŒUVRES DK FEllM AT. - COURESPONDANCE.

Vous n'iilniuoroz : .Mais, à ce ('(mi|)l('-là, la (U'Icriniiialioa de liaiil
en l)as ne l'iiaugoroit pas non plus par la roiu'oulre do la toile. Je
l'avouo. cl pour olor et éclaircir pleinement cette diiriculté, il ne laul
(|U(' diro ([uc vous uo (ircrez jamais auli'c chose du raisoiiuemeuL des
inouveinculs et des déterminations composées de M. Descartes, sinon
(|ue la réilexion se fait toujours à angles égaux et que la pénétration
du second milieu se doit toujours faire en ligne droite. A quoi même
se rapporte ce que vous dites dans votre dernier écrit ('), que la balle a
toujours une même aisance à pénétrer le second milieu en foutes sortes
d'inclinations; d'où il doit suivre, dans l'application du raisonnement
de M. Descartes, qu'en toute sorte de cas la réflexion se fera à angles
égaux, et que la pénétration se fera de même en tous les cas en ligne
droite, le mouvement du dessous en ligne droite suivant les mêmes
lois et répondant justement au mouvement du dessus ;i angles égaux.

Mais il n'y aura donc point de réfraction? me direz-vous. Je réplique
que le mouvement de la balle et la réfraction ne se ressemblent que
par la comparaison imaginaire de M. Descartes, et qu'au pis aller, si
le détour de la balle en passant par le second milieu est véritable, il
eu faut chercher la raison ailleurs que dans la composition des mouve-
ments, qui ne produira jamais en ce rencontre qu'un cercle dialec-
tique.

De quelque biais que vous le preniez, il faudra examiner les prin-
cipes secrets dont se sert la nature en produisant la réfraction, et si
celui que j'ai touché dans ma lettre ii M. de la (Chambre (-) n(^ vous
plait pas, je souhaite qu'il vous en vienne de meilleurs dans l'esprit,
et que cette vieille dispute aboutisse enfin à la pleine et entière dé-
couverte de la vérité.

Je suis de tout mon cœur. Monsieur,

Votre très humble et très obéissant serviteur,

Fermât.

(') Pièce XCIV, 15.
(2) Lutlro LXXXVI.

XCVIII. - 21 JUILLET 1638. 4.13

XCVKL

LALOUVÈRE A FERMAT (').
21 jcii.LET 1638.

Ainplissiino Domino de Fermât in Siiprenia Caria Tolosana
Se lia to ri inlegerrimo.

Decem iiimc dies sunt (Senator integerrime) cùm priinîiin legi à Te

milii oblatam nobilissimi et doctissimi Anonymi typis editam Epis-

tolam, qute à prœstantissimis toto Orbe Geometris postulat solutionem

quarundain propositioniun circa cycloidern ejusque centra gravilatis.

Ego licet, mese tenuitatis mihi probe conscius, noriiii quàm longo

post magiios ilios viros intervallo in Geometrarum qualiumcumque

numéro locuin teneam; quia tamen quid de qusesitis illis in nientem

mihi veniret promere à Te tune jussus sum, malui temeritatis quàm

obsequii Tibi non prompti prœstituti nomine accusari. En igitur quas

circa problcmata ejusmodi meditatus sum viginti omnino proposi-

tiones. Tu quem omnes Europse Mathematici merilb suspiciunt, si

quid perperam scriptuni sit, aut si quid scriptis dcsit, emenda vel

supple, modo lamen judiciorum pnblicorum occupationes quibus

longe utilius distineris, id patiantur. Hàc emendatione vcl etiam sup-

plemcnto fidens noster liic libellus prodibit iu vulgus intrépide, qua-

propter Te hujus spei plenus adit, ab co nempe missus qui pluribus

nominibus jamdiu Tibi est

Addictus ex animo servus

Antoxius Lalouek\ Societatis Jesu.

Tolosaiio in Collegio XII Kal. Aiig. i658.

(') Dédicace de l'opuscule : De Cjcloide Galilœi et Torriccllii Propositiories viginti
AiUore Antonio Laluuera SocieUitis Jesu, imprime à Toulouse on i658 (rarissime, dont
un exemplaire est conservé Bibl. nal., Imprimés, Kcserve V, 835 A). — Reproduite en
tête du premier liv're de l'Ouvrage ; Fctcruin Geometria promola in septem de Cfcloidc
libros, ])ublié par Lalouvère en i66o.

414 ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

XCIX.
CLERSELIER A FER\IAT.

MEIlCllEDl '21 AOUT 16.Ï8.
(D. m, .'19. Bilil. X:U. fr. J280. uouv. acq., f»' flti-jn.)

Monsieur,

1. ,To me trouvo aujourd'hui plus empêché à répondre (juc je n'étois
la (h'rnière fois : aussi avez-vous change de condition et, déjuge que
vous étiez, vous êtes devenu partie. Quand je n'avois qu'à défendre
devant vous la cause de M. Descartes contre votre sceptique, je ne me
promettois pas un succès moins favorable que celui que j'ai eu : j'avois
une bonne cause à défendre, des subtilités à éclaircir, et un juge clair-
voyant pour ni'entendre et prononcer. Mais, quand je vous considère
descendu de votre siège pour vous porter vous-même partie contre
celui que je défends, le respect que je vous dois en quelque état que
vous paroissiez, la grande estime que j'ai toujours conçue de vous et
qui s'augmente en moi à mesure que vous vous faites davantage con-
noitre, et le peu d'usage que j'ai dans la matière que nous agitons à
comparaison de celui que vous vous y êtes acquis, tout cela m'étonne
et fait que je ne sais encore quelle issue me promettre de tout ce dé-
mêlé.

.Te vous dirai pourtant d'abord que, si je voulois agir avec moins de
franchise que ne m'oblige l'honnête procédé que vous gardez avec
moi, je pourrois user d'une exception qui paroitroit peut-être légi-
time et recevable, en vous accordant tout ce que vous dites et pré-
tendant que tout cela ne fait rien contre M. Descartes et ne combat en
aucune façon sa doctrine de la réflexion et des réfractions.

Car je veux que la balle de la figure de la page 19 de la Dioptrique,
selon la supposition que vous faites dans votre premii're lettre ('), se

(') f'dir LcllTH \C,\ . p. 401.

XCIX. - 21 AOUT 1G58. 415

trouve empêchée (comme vous dites sans doute agréablement) à trou-
ver quelque issue pour prendre sa route; et je veux même que le pas-
seport que vous lui avez donné par avance dans votre seconde, de peur
que nous n'eussions pas assez de crédit pour lui en fournir un, et même
que la route que vous avez eu la bonté de lui marquer en cet en-
droit { ' ), lui lut si aisée et si commode qu'elle ne fit point diiïiculté de
la suivre, que pourroit-on conclure de Hi contre M. Descartes? lequel
n'ayant apporté en ce lieu-là les exemples de la balle que pour expli-
quer certains effets particuliers de la lumière, ii savoir celui de la
réflexion qui se fait toujours à angles égaux, et celui de la réfraction
qui se fait toujours de même sorte dans un même milieu et qui
change selon la proportion qui est entre le milieu d'où elle sort et
celui où elle entre, ce qui fait que tantôt elle s'approche et tantôt elle
s'éloigne de la perpendiculaire : qui, dis-je, n'a eu aucune occasion
d'expliquer le cas que vous proposez, pource qu'il n'a aucun rapport à
son dessein.

2. Il n'y en avoit que trois qui y pussent servir, et il les a tous trois
expliqués et, ii mon avis, d'une manière si claire et si simple qu'il n'y
a que ceux qui veulent plus que lui qui y trouvent de la difficulté.

Le premier cas, qui explique la réflexion, est celui d'une halle qui,
étant poussée suivant la ligne AB, rencontre de biais dans son chemin
un corps dur, impénétrable et inébranlable. Qu'y a-t-il de plus simple
et de plus clair que cette balle, qui ne perd rien de sa vitesse, doit
rejaillir à angles égaux, c'est-à-dire remonter aussi vite qu'elle est
descendue et avancer autant qu'elle faisoit vers le côté où ce corps dur
n'est point du tout opposé?

Le second, qui se rapporte à la réfraction lorsqu'elle s'éloigne de la
perpendiculaire, est celui de la même balle qui, étant poussée comme
dessus, rencontre aussi de biais un autre milieu, dans lequel elle
pénètre et qui lui fait perdre une partie de sa vitesse. Quoi de plus
clair et de plus simple que de dire que cette balle, ne pouvant plus

(•j /o/> Lettre XCVIF, 1, 2.

iUi ŒUVRES DE FERMAT.— CORRESPONDANCE.

aller si vilo qu'oUi' f'aisoil, doit j)Our(aii( conserver la ihienninalioii
qu'elle avoit auparavant à avancer vers un certain côté, à laquelle ce
milieu n'est aucunement opposé, et à (|uoi la perle (]u'elle a souH'erle
en sa vitesse ne résiste point et se peut accommoder? Pour(|uoi vou-
loir (d)lip;er celte Italie à faire plus qu'elle ne doit, puisque la naUire
ne fait rien eu vain?

Eniin le troisième cas, qui se rapporte ii la réfraction lorsqu'elle
s'approche de la perpendiculaire, et le seul qui restoit à M. Descartes
à éclaircir, s'explique heureusement par la même halle qui, étant
poussée comme auparavant, rencontre aussi de biais dans son chemin
un autre milieu, dans lequel elle pénètre avec une égale facilité de
IfUis cotés et qui augmente sa vitesse d'une certaine quantité. Que
peut-on penser de plus simple et de plus naturel que de dire que cette
halle, devant aller plus vite qu'elle ne faisoit selon quelqu'une de ses
directions, n'avance pourtant pas davantage selon celle à laquelle ce
corps, par qui sa vitesse a été augmentée, n'est point du tout opposé?

3. Le cas que vous proposez outre cela dans votre première lettre est
superflu et ne peut servir ;i expliquer aucun de ces phénomènes de la
lumière. Et, par conséquent, il n'est ici d'aucune considération et,
quelque inconvénient qui en pût suivre, cela ne pourroit préjudicier à
ce que if. Descartes a auparavant prouvé, et par quoi il a expliqué si
intelligiblement ces effets merveilleux de la lumière qui ne laisse-
roient pas d'être vrais et tels qu'il les a démontrés, quand votre sup-
position seroit difficile à expliquer par ses principes, ce que je ne
désespère pourtant pas de faire, et quand elle se devroit expliquer
suivant les vôtres, ce que je n'estime pas.

.Mais, pource que c'est en ceci que consiste toute notre question, il
faut que j'éclaircisse une fois un point qui vous semble n'avoir pas
été prouvé par M. Descartes, à cause que sa preuve n'est ])as pure-
ment géométrique, mais qu'elle est en partie fondée sur quelques
principes de la nature si clairs qu'ils ne demandent aucune expli-
cation.

XCIX. - 21 AOUT 1658. W7

4. Ces principes sont : i" que chaque chose demeure en l'état
qu'elle est pendant que rien ne la change; 2° que, lorsque deux corps
se rencontrent qui ont en eux des modes incompatibles, il se doit véri-
tablement faire quelque changement en ces modes pour les rendre
compatibles, mais que ce changement est toujours le moindre qui
puisse être; 3° qu'un corps ne peut résister ou causer du changement
dans un autre qu'en tant qu'il lui est opposé.

Ainsi donc, si une balle se meut d'A vers B, dans la figure (') de la
page i5, avec une certaine vitesse, elle continuera toujours d'aller
avec la même vitesse vers ce côté-là si rien ne la change. Mais si vous
lui opposez le corps dur, impénétrable et inébranlable CBE, pource que
les modes de ces deux corps, l'un qui veut conduire la balle vers D et
l'autre qui s'oppose à cette route, mais qui ne s'oppose point k sa vi-
tesse, sont incompatibles, il faut qu'il arrive du changement en un
de ces modes, mais le moindre qui puisse être. C'est pourquoi la balle
changera de détermination et gardera sa vitesse, et d'autant que le
corps CBE n'est opposé qu'à l'une des deux déterminations dont il est
vrai que celle de la balle est composée eu égard au corps CBE sur
lequel elle tombe, à savoir à celle qui la faisoit descendre et non point
à celle de gauche à droite; ce corps ne peut apporter de changement
qu'à celle-là et non point à l'autre, à laquelle il n'est point opposé.
C'est pourquoi il oblige la balle à remonter et la laisse continuer à
s'avancer vers la droite comme elle faisoit auparavant : à quoi il ne
change rien, le mode de son corps n'ayant rien d'incompatible et d'op-
posé à celui-là.

Il ne faut plus ajouter à ce raisonnement que ce qui appartient à la
Géométrie, et la preuve sera achevée. Si vous n'appelez pas cela
preuve démonstrative, je ne sais plus de quelles raisons il se faudra
servir pour en composer une; mais, pour moi, je me contente de pa-
reilles démonstrations.

Or, le même raisonnement que je viens de faire se peut accommoder

(') Fig. 53, p. 409.

n. — Fermât. j3

U8 ŒUVRES l)i: FIÎUMAT. - CORRESPONDANCE.

à la tigui'iMlo la page 17 ol à celle de la page 19 el à tous les cas qui se
peuveut proposer, et je u'v vois rien de différent que les différentes
suppositions : à savoir que le corps CBK tantôt est dur et tantôt liquide,
tantôt pénétrahie et tantôt impénétrable; que la vitesse (anlol diminue,
tantôt augmente et tantôt demeure la même; e( que la balle tantôt
continue de descendre et tantôt est obligée de remonter, et même que
tantôt on peut opposer un corps au cours de la balle et tantôt non.

5. Exatniiions niainlenant ces cas l'un après l'autre suivant ces prin-
cipes, et voyons ce (jui en doit arriver; et je m'assure que l'on ne trou-
vera point que la chose doive aller comme vous dites, mais bien
comme dit 31. Descartes, et cela répondra en même temps à toutes vos
nouvelles difficultés.

Premièrement, vous dites fort bien, au commencement de votre
seconde lettre ('), que si l'on suppose que la balle qui va dans la ligne;
droite AB diminue sa vitesse par moitié en arrivant au point B, elle ira
toujours en ligne droite vers D, si elle continue d'aller dans le même
milieu et que le plan ('BK ne lui soit point opposé : avec cette diffé-
rence seulement, qu'elle emploiera depuis B jusques à D le double du
temps qu'elle avoit mis auparavant depuis A jusques à B, et cela à
cause qu'un corps doit toujours demeurer dans le même état où il est
ou auquel on suppose qu'il soit, si rien ne le change. Or, n'y ayant
rien qui change en la balle que la vitesse, ni rien par quoi la détermi-
nation doive être altérée plus d'un côté que d'un autre, tout cela fait
qu'elle doit continuer dans la même ligne, et aller seulement moins
vite selon cette détermination : de même que, lorsqu'un corps tombe
perpendiculairement de l'air dans l'eau, il continue d'aller suivant la
ligne perpendiculaire et va seulement d'autant moins vite que sa
vitesse est diminuée à la rencontre de l'eau.

Si pourtant j'eusse été d'humeur à vouloir chicaner (ce qui ne
m'arrivera jamais lorsque j'aui'ai affaire à une personne d'honneur et
de mérite comme vous ), j'aurois pu nier que le cas que vous proposez

(') Lettre XCVII.

XCIX. - 21 AOUT 1658. 419

fût concevable et admissible : à savoir qu'un mobile, sans changer de
milieu, puisse tout d'un coup passer d'une vitesse à une .autre sans
passer par les degrés d'entre deux. Ce que vous dites vous-même
être contraire aux lois inviolables de la pure Géométrie et qui
même est contraire à cette loi de la nature, qui est que chaque corps
continue toujours de demeurer dans le même état autant qu'il se
peut, et que jamais il ne le change que par la rencontre des autres. Le
moyen donc de concevoir qu'un corps puisse tout d'un coup, étant
arrivé au point B, perdre la moitié de sa vitesse, lorsqu'il ne se ren-
contre rien qui la lui puisse faire perdre! Mais je veux bien vous
accorder toutes vos suppositions et ne vous rien nier, que ce qui ne
se pourra absolument admettre à moins de renverser toutes les lois de
la nature et toutes les notions claires et simples qui sont on nous.

6. Passons à votre seconde supposition, qui est à mon gré une des
plus adroites que l'on pût faire en ce genre et dont sans doute j'aurois
eu peine d'apercevoir la subtilité, n'étoit qu'étant accoutumé à suivre
des voies fort simples dans mes raisonnements, je me détie de tout ce
que je vois qui s'en écarte.

Vous supposez après cela que, la balle perdant comme auparavant
la moitié de sa vitesse au point B, le plan CBE impénétrable se trouve
entre deux et empêche que la balle ne passe au-dessous; et vous dites
que la balle réfléchira aussi bien à angles égaux que si la vitesse ou le
mouvement demeuroit le même. Et certainement je confesse que vous
le prouvez d'une manière la plus ingénieuse qu'il est possible; mais
permettez-moi aussi de vous dire qu'elle est captieuse et souffrez que
je vous fasse voir en quoi je pense que vous vous êtes mépris.

Quand en l'exemple ci-dessus je suis demeuré d'accord que la balle,
perdant au point B la moitié de sa vitesse, ne laissoit pas de continuer
son chemin suivant la ligne BD, avec cette seule différence qu'elle
alloit de moitié moins vite, c'a été pource que, ne changeant point de
milieu et aucun plan ne lui étant opposé, on ne pouvoit pas dire que
la détermination de la balle suivant la ligne AB fût composée de deux

V20 ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE.

(létorniinations, non plus que lorsqu'une balle tombe perpendiculai-
rement sur un plan. 3Iais ici, où vous supposez que le plan CBE lui est
opposé, il est certain qu'à son égard la détermination de la balle sur
la route AB est composée de deux déterminations, l'une (|ui la fait
descendre vers lui, et l'autre qui la l'ait avancer vers la droite ou
horizontalemeni , et que le plan s'oppose à celle-là et non point à
celle-ci.

1- Maintenant, de deux choses l'une : ou vous supposez qu'après que
la balle est venue avec deux degrés de vitesse, par exemple, depuis A
jusques à B, étant au point B elle rencontre le plan CBE qui lui fait
perdre la moitié de sa vitesse; ou bien vous supposez que, sans que ce
plan y contribue, ayant perdu la moitié de sa vitesse au point B, elle
rencontre le plan CBE. Et"si j'ai bien compris le sens de votre seconde
lettre, c'est principalement à ce dernier cas qu'elle se rapporte; mais
remarquez encore ici en passant que je vous accorde plus que je ne
devrois : car le moyen de concevoir qu'une balle perde la moitié de
sa vitesse au point B, sans la rencontre d'aucun corps qui la lui puisse
faire perdre!

8. Au premier cas, il est aisé de voir qu'il ne faut, comme vous avez
fait dans votre première lettre ('), que transférer le raisonnement de
la figure de la page 17 au dessus du plan, et dire que, puisque la balle
ne perd rien du tout de la détermination qu'elle avoit à avancer vers
la droite, elle doit (toutes les autres conditions étant gardées) arriver
au point 0, ainsi que vous avez fort bien remarqué. C'est pourquoi je
n'aurois garde de dire, comme vous faites : « Pourquoi de grâce le
raisonnement de M. Descartes conclura-t-il au-dessous, s'il ne conclut
pas au-dessus? Ce qui est démonstration en un cas deviendra-t-il
paralogisme en l'autre? » Non sans doute : l'un et l'autre conclut
également bien.

9- Au second cas, la balle peut suivre la route que vous avez mar-
(<) Lettre XCV, p. 400.

XCIX. - "21 AOUT 1638. 421

quée dans votre seconde lettre ('), et réfléchir toujours à angles égaux,
de quelque manière et en quelque proportion que la vitesse ou le mou-
vement change au point B : mais non pas à la vérité par la raison (juc
vous dites. Car la même proportion ne doit pas être gardée par une
balle qui, rencontrant de biais un plan impénétrable, est obligée de
réfléchir, que celle qui est gardée par une autre balle que l'on sup-
pose n'en point rencontrer, et qui doit suivre les mêmes lois que
celle qui en rencontre perpendiculairement, à cause qu'une balle qui
ne rencontre aucun plan n'a qu'une seule détermination : elle ne va ni
à gauche ni à droite, au lieu qu'une balle qui tombe de biais sur un
plan y va toujours avec deux déterminations, à l'une desquelles ce
plan est opposé et à l'autre non : et cette circonstance en doit changer
reff"et, selon les principes ci-devant posés.

Fig. 53.

/ H \

F

\

?

C B
V G

V E

y

D

R

Mais voici comme la balle peut suivre la route que vous avez mar-
quée, et réfléchir à angles égaux : à savoir il faut supposer que la balle,
étant au point B et ayant perdu la moitié de sa vitesse (ou telle autre
quantité qu'il vous plaira), commence à ce point B à suivre la route
qu'elle suivroit, si elle avoit commencé à se mouvoir à ce point-là avec
la vitesse qui lui reste. Or il est constant que si, sans avoir égard à la
ligne AB qu'elle a parcourue avec deux degrés de vitesse, ellecom-
mençoit à se mouvoir en B, avec la vitesse qu'on suppose qui lui reste
et [suivant] la direction qu'elle a véritablement au point B, elle iroit
vers D avec un degré de vitesse [et y arriveroit] en deux fois autant de
temps qu'il lui en a fallu pour venir d'A en B, si rien ne s'opposoit à

(1) ro;> LeUre XCVII, 1.

i.-2-2 ŒUVRES I) K K E R M \T. - CORRESPONDANCE.

stiii nuiuvonuMil. VA si, au lirii do lui opposer le piau inipt'uétraljic cl
iiu'branlahlo CBK au point B, on le lui opposoit au point D, il est évi-
dent, par ce (|ue n(uis avons dit ci-dessus, que ce plan l'empêchant
seulenieni de passer outi'c et non point d'avancer vers la dfoile, et ne
diminuani ni n'aui;iiieiitan( la vitesse avec laquelle (dio seroit venue
vers lui depuis H, clic rcjailliroit vers g et feroit un angle de réflexion
ijDK égal il celui (rincidence BDG, lequel se trouveroit égal à celui
de la première incidence ABC. Or est-il qu'il doit arriver au point B le
même changement en la détermination de la balle que celui qui arrive-
roil au point D si le |)lan (^BE lui étoit opposé en ce point-là, puisque
dès le point B la halle a toute la même vitesse et la même détermina-
tion qu'(d!e auroit au point D après avoir [)arcouru la ligne BD.

10. Et parlant, la balle, selon votre supposition, doit, au point B,
rejaillir suivant un angle égal ii celui d'incidence : non point, comme
j'ai dit, par la raison que vous dites, car il n'est pas vrai que, l'inler-
positiou du plan CBE n'empêchant que l'une des parties dont la dé-
termination est composée, celle de gauche à droite reste la même
(|n'(dle étoit quand la balle n'avoit aucun plan qui lui fût opposé;
car, en ce dernier cas, la balle n'avoit qu'une détermination, et l'on ne
peut pas dii'c (|n'(dle avançoitvers la droite. C'est pourquoi la conclu-
sion que vous en lirez n'est pas non plus véritable.

Donc, dites-vous, la balle a dû avancer autant au-dessus vers la
droite qu'elle eût fait au-dessous si le plan n'eût pas empêché sa
route; et comme, lorsqu'elle seroit au point D au-dessous, elle auroit
avancé en deux moments vers la droite depuis Bjusques en E, de même
aussi, pour avancer en deux moments autant au-dessus vers la droite,
elle doit aller au point F qui est autant avancé vers la droite que le
point D, et qui coupe le cercle au-dessus en même proportion que D
le coupe au-dessous, et fait un angle de réflexion égal à celui d'inci-
dence. Car toute cette proportion de gauche à droite que vous dites
devoir être gardée au-dessus comme elle eût été au-dessous, si le plan
ŒE n'eût pas empêché sa route, n'est qu'une proportion imaginaire.

XCIX. - 21 AOUT 1658. 423

puisqu'au-dossous, quand il n'y a aucun plan inlorposé, la balle n'a
aucune direction vers la droite, cette direction ou détermination vers
la droite étant toujours relative au plan qu'on lui interpose. Et par
exemple, si le plan CBE lui eût été opposé d'un autre sens comme en
cette figure, oîi seroit tout votre raisonnement vers la droite? Mais cela
doit arriver dans votre supposition même et dans toute autre, par la

Fig 92.

raison que j'ai dite, qui est conforme aux lois de la nature et aux prin-
cipes ci-devant établis.

11. Pour éclaircir encore ceci davantage, supposons pour troisième
cas, comme a fait M. Descartes à la fin de la page 19 de la Diopfnqiie('),
(jue la balle, ayant été premièrement poussée d'A vers B, rencontre an
point B le plan CBE qui augmente la force de son mouvement ou sa
vitesse d'un tiers, en sorte qu'elle puisse fiiire par après autant de
chemin en deux moments qu'elle en (aisoit en trois auparavant. Et il

Fig. r|3.

suit manifestement qu'elle doit rejaillir en F, puisque la délerniination

(') Mais faisons encore ici une aulre supposilion et pensons que la balle ayant été
premièrement poussée d'A vers B est poussée de rechef étant au point B par la raquette
CBE, qui augmente la force de son mouvement, par exemple, d'un tiers, en sorte qu'elle
puisse faire par après autant de chemin en deux moments qu'elle en faisait en trois aupa-
ravant. (La Dinplriqiir, p. ig-9.0).

*2*

(EUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE.

vers la ilroitc no pont i-lro aiiginontéo par le plan CBE à la()iioll(> il n'est
aueuiiemenf opposé : et non pas on K, comme elle devroif faire, si
votre raisonnement étoit vérilahle, mais qui ne le pentêtre, piiis(|u'il
est eontraire aux lois de la natnre et même contre l'expérience, qui
nous montre que la réflexion d'une balle et celle des autres semblables
eori»s, qui ne sont pas parfaitement durs ou qui tombent sur d'antres
qui affoiblissent leur mouvement, ne se fait jamais à angles égaux.
Ainsi les balles les plus molles ne rebondissent j)as si haut ni ne font
pas des angles [de réflexion | si grands que celles qui sont plus dures.
Kt remarquez que, puisqu'il est naturellement aisé de concevoir
(|ue, pour faire que la réflexion se fasse à angles égaux, le mouvement
ne doit en aucune façon être augmenté ni diminué par la rencontre du
plan, il semble que la raison nous doive aussi naturellement porter à
croire que, lorsque ce plan l'augmente ou la diminue, l'angle de ré-
flexion doit être à proportion ou plus grand ou plus petit que celui
d'incidence, et non pas qu'il doive toujours être égal, comme il suit
de votre raisonnement qui pour cela vous doit être suspect, quoiqu'il
soit très ingénieux.

12. ]\!ais, me direz-vous, que deviendra donc la balle dans la suppo-
sition que j'ai faite à la fin de ma première lettre ('), à l'occasion de
la figure de la page 19? car c'est ici le point de la dilïîculté, et enfin il

la faut tirer de ce point fatal où elle paroît malheureusement engagée.
C'est aussi ce que je prétends faire maintenant, à l'honneur de

O) Lettre XCV, 4.

XCIX. - 21 AOUT 1G38. /^2o

M. Descartes et sans faire changer de biais à sa logique, en me servant,
dans le cas que vous proposez ici, du même raisonnement dont je me
suis déjà servi quand j'ai passé à votre seconde supposition.

Si donc la balle, étant arrivée au point B, rencontre de biais le plan
dur, impénétrable et inébranlable [CBE], et qu'elle perde à ce point B
une telle partie de sa vitesse que la ligne FE, étant tirée comme aux
exemples précédents, soit hors du cercle AD, je dis que : ou vous en-
tendez que le plan CBE contribue à la perte de sa vitesse, ou vous en-
tendez qu'il n'y conti'ibue rien.

S'il n'y contribue rien, on ne peut pas concevoir autre chose sinon
que la balle, après avoir perdu les deux tiers, par exemple, de sa
vitesse, et ayant dans cet état une direction déterminée à aller vers D
en un certain temps, à proportion de la force ou de la vitesse qui lui
reste, et par conséquent d'avancer aussi suivant cette force d'une cer-
taine quantité vers la droite à l'égard du plan CBE qu'on lui oppose,
lequel pourtant n'est point opposé à cette direction vers la droite, elle
doit rejaillir étant au point B comme elle feroit au point D, ainsi que
j'ai dit ci-dessus. Et voilà la route que je lui aurois marquée, qui se
trouve conforme à la vôtre, mais par une autre raison qui ne m'oblige
point à changer de logique.

Mais remarquez que cette supposition même est impossible, qu'une
balle perde les deux tiers de sa vitesse sans la rencontre d'aucun corps
qui la lui puisse faire perdre.

Que si maintenant le corps CBE contribue à la perte de la vitesse,
cela ne se peut faire en supposant le corps CBE parfaitement dur, im-
pénétrable et inébranlable. Car le mouvement de la balle ne peut être
diminué par la rencontre d'un corps, qu'en tant que la balle lui trans-
porte de son mouvement; et si elle lui en transporte, cela ne se peut
faire que du sens auquel le corps CBE lui est opposé et par conséquent
elle ne lui peut transporter de son mouvement que selon cette partie
de sa direction qui la fait tendre vers lui, et jamais la rencontre du
corps CBE (que l'on doit supposer parfaitement uni) ne peut diminuer
sa direction vers la droite ou parallèle. Or il est aisé de conclure que,'

Fermât. — II. 34

i-26 (E r \' Il K S 1) K F P. Il M \T. — C 0 U K !• S P 0 M) A N C E.

si la balle au point 15 a transporté an corps CBK tout le mouvomont qui
la l'aisoil ti'mlic en lias, elle d(Ht couliiuu'r son mouvomont parallMc
cl l'iMilci'sur lui en avançani autant vers la droite qu'elle faisoit aupa-
ravant.

13. Que si, nonobstant cela, vous voulez contre toute raison faire
cette supposition impossible, qu'elle perde une telle partie de sa vi-
tesse au point lî qu'elle ne puisse plus avancer autant vers la droite
(|u'olle faisoit auparavant, et par conséquent qu'elle ait aussi perdu
une |)artio du mouvomont qui la faisoit avancer vers la droite, alors
je vous dirai ([u'elle roulera sur le diamètre avec la vitesse qui lui
reste, tout de mémo que, lorsque vous supposez que sans rencontrer
aucun plan elle vient à perdre de sa vitesse, elle doit continuer son
chemin dans la même ligne droite qu'elle avoit commencé à parcourir.
Et ainsi il arrivera le mémo à cette balle que si, ayant été mue avec
une certaine vitesse le long du plan CBE, il arrivoit qu'étant au point B
(par une supposition impossible et sans aucune cause), elle vînt à
perdre une partie de sa vitesse : elle continueroit son chemin sur le
même plan avec la vitesse qui lui rostoroit.

Mais remarquez que, pour trouver quelque chose de défectueux aux
raisonnements de M. Descartes, il en faut venir ii des suppositions
impossibles, et partant ce ne soroit pas merveille quand d'une impos-
sibilité posée il s'ensuivroit une absurdité.

14. Par tout ce que dessus, il paroit que tout ce que vous dites dans
votre seconde lettfe (') tombe de soi-même et n'a pas besoin de ré-
ponse : à savoir que, « si M. Descartes eût pris garde qu'en quelque
manière ([ue la vitesse change », c'est-à-dire augmente ou diminue
« au point H, la réflexion ne laisse pas do se faire à angles égaux, il
n'eût pas été en peine, ni ses amis non |)lus, de tirer la balle du point B
où ils l'ont [vue] malheureusement engagée dans l'exemple de ma der-
nière lettre. Il n'eût pas soutenu que, la vitesse venant à changer au

( I; Foir Icllrc XCVli, 2.

XCIX. — 21 AOUT 1638. 4-27

point 13, la balle ne reste pas d'avancer vers la droite autant qu'elle
faisoit auparavant et n'eût pas déduit, d'un fondement non seulement
incertain, mais encore faux, sa proportion des réfractions ».

Tout cela, dis-je, n'étant plus appuyé d'aucunes raisons valables, se
détruit de soi-même, aussi bien que ce que vous ajoutez à la fin de la
même lettre (' ) : à savoir que, le second milieu se pouvant, comme j'ai
dit, ouvrir avec une égale facilité de tous côtés pour faire passage à la
balle, et que la balle ayant toujours une même aisance à pénétrer le
second milieu en toutes sortes d'inclinaisons, il doit suivre, dites-vous,
« dans l'application du raisonnement de M. Descartes, qu'en toute
sorte de cas la réflexion se fera à angles égaux et que la pénétration se
fera de même en tous les cas en ligne droite, le mouvement de dessous
en ligne droite suivant les mêmes lois et répondant justement au mou-
vement de dessus à angles égaux ».

15. ("ar, si je me suis assez bien fait entendre, vous devez maintenani
tirer d'autres conclusions que celles-là des principes de M. Descartes et
devez aussi, si je ne me trompe moi-même, avoir reconnu l'erreur du
raisonnement duquel vous les aviez tirées. Et partant ne dites plus que
le mouvement de la balle et la réfraction ne se ressemblent que par la
comparaison imaginaire de M. Descartes; car c'est peut-être la plus
juste et la plus claire que l'on puisse apporter pour l'expliquer. Mais,
pour cela, il faut considérer la balle sans pesanteur, sans grosseur, sans
figure et sans changement en sa vitesse dans toutes les lignes qu'elle
parcourt : toutes lesquelles choses peuvent causer une infinité de
variétés dans la réflexion et la réfraclion d'une balle, mais, pource
qu'elles n'ont poini de lieu en l'action de la lumière [à laquelle se
doit rapporter toul ce qu'il dit], M. Descartes ne les a point considérées
dans le mouvement de cette balle dont il parle.

Et principalement il n'a point considéré cette circonstance que je
vous prie de remarquer, qui est la plus commune et qui peut donner
le plus d'occasion de douter de ce qu'a dit M. Descartes : c'est à savoir

(') ;^o(> Lettre XCVII, 4.

V28 ŒrVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE.

iiuc. (l'aulanl i\no lo milieu (|iip iiarcdurl luio balle lui ùte ])(uir l'ordi-
naire il tous iiHimenls une partie de sa vitesse pai' le Irausport (|irelle
lui en tait, de lii arrive (|u'une balle peut avoir perdu au point de la
rétlexion la moitié {ou plus ou moins) de la vitesse qu'elle avoit au
eommeneenient, et qu'elle ne laissera pas de réfléebir ;i angles égaux,
à cause qu'an moment (|u'elle vient à toueluM' le plan, sa vitesse a déjà
été diminuée ])ar le milieu (ju'elle a [tarcouru, et que la direction
qu'ell(> a alors ne laisse pas de la déterminer d'aller suivant la même
ligne où sa première direction la portoit quand elle est sortie de la
main ou de dessus la raquette, pourvu que sa pesanteur ou sa grosseur
ou sa figure n'aient rien changé en cela.

16. Ce que je dis de la vitesse, quand le milieu la diminue, se doit
aussi entendre quand elle est augmentée à tous moments par sa pesan-
teur : comme, lorsqu'une balle tombe le long d'un plan incliné, elle
rejaillira aussi alors à angles égaux, encore que sa vitesse se trouve
augmentée au point de la réflexion : et cela par la même raison, à
savoir que cette augmentation ne lui vient pas du plan, mais qu'elle
l'avoit avant que de le rencontrer.

Et ainsi vous voyez combien les principes de M. Descartes sont fermes
et ses raisonnements bien suivis ; ce qui montre que la véritable raison
des réfractions se doit tirer du mouvement et des déterminations com-
posées, en les examinant comme M. Descartes a fait. Et sans mentir,
M. Descartes étoit un homme de trop bon sens et (|ui prenoit garde
de trop près aux choses, pour tomber dans des fautes ou visibles ou
grossières; et il me semble qu'il nous a donné sujet d'avoir assez bonne
opinion de lui pour croire plutôt que nous nous méprenons en ne
comprenant pas son sens et ses raisons que non pas de croire qu'il se
soit trompé, au moins quand l'erreur où nous croyons qu'il soit tombé
est apparente et grossière.

n. J'ajouterai seulement que, puisque les diverses expériences qu'a
faites ici M. Petit ('que vous connoissez) en toutes sortes de corps

XCIX. - -21 AOUT 1658. i->f)

transparents s'accordent toutes avec la proportion que M. Descartes a
trouvée, il est aussi à croire que les raisons qui la lui ont fait trouver sont
véritables : car le moyen d'arriver en tant de différents cas si justement
au vrai par un même raisonnement, si ce raisonnement étoit faux!

Que si, après tout cela, vous ne voulez pas admettre les conclusions
(juc j'ai tirées des principes que M. Descartes a établis, recevez au
moins pour vraies les conclusions de cette lettre et croyez que, si mes
raisonnements sont fautifs, les protestations de mon cœur sont sincères
([uand je vous assure que je veux être etc. ■

WO ŒliV UliS DE FERMAT. - CORRESPOiNDANCE.

ANNÉE 1659.

c.

FERMAT A CARCAVI (').

DIMANCHE IC FÉVRIER 1G59.

{OEiit'i-es tic Pascal, IV, ji. '|'|S. Bilil. na(., imprimés, Rdservc V, SSg.)

Monsieur mon ciii:r ftl.uTUE,

Je suis ombarassé en affaires non géométriques; je vous envoyé
|inurl;uit un petit escrit que le Père Lalouvere m'a fait porter ce
matin (-).

J'ai re(,'eu le Traitté de M. Pascal (^''') depuis deux jours, cl n'ai peu
encore m'appliquer sérieusement à le lii'e; j'en ai pourtant eonccu une
grande (ipini(Ui, aussi liien que tout ce qui |)arl de cet illuslre.

Je suis tout à vous,

Fermât.

A Tolose, le i() février iGii).

( ') L'autograplie do celle lellre est collé en IlHo d'un recneil des opnscides imprimés
de Pascal conservé à la Bibliulhèqiio nalionale.

(-) Il s'aj^il d'une réponse daléo du ij février el faite par Lalouvere au Post-scrljiluni
du 29 janvier à la Suite de t'hisioire de lu roulette. Cette réponse est insérée dans la
Veterum Geometria promota in septem de Crcloide lil/ro.t, publiée par Lalouvere en lOfio.

(') Lettres de A. Dettonville contenant quelques-unes de ses inventions en Géométrie.
— A Paris, chez Giiillaumo Dcsprez, rue S'-,!aeques, à l'Imago S'-Prospcr. MDCLIX.

CI. - AOUT 1659. 431

CI.
FERMAT A GARCAVI.

AOUT 1639.

( Corresp. Huyg., n" G51. )

lŒL.VTIÛN DES NOUVELLES DÉCOUVERTES EN LA SCIENCE DES NOMBRES ( ' ).

... 1. Et pour cp que les méthodes ordinaires, qui sont dans les
rJvres, étoicnt insuffisantes à démontrer des propositions si dilTiciies.
je trouvai enfin une route tout à fait singulière pour y parvenir.

J'appelai cette manière de démontrer la descenle infinie ou indé-
finie, etc.; je ne m'en servis au commencement que pour démontrer
les |)roposilions négatives, comme, par exemple :

Qu'il n'y a aucun nombre, moindre de l' unité qu un multiple de 3, (/ui
soit composé (Viin qiiarré et du triple d'un autre quarré;

Qu'il II y a aucun triangle rectangle en nombres dont l'aire soit un
/lombrt' quarré ('-).

La preuve se fait par 7.-oi.y(uyr^y dç àO'JvaTov en celte manière :
S'il y avoit aucun triangle rectangle en nombres entiers qui eût son
aire égale à un quarré, il y auroit un autre triangle moindre que
celui-là qui auroit la même propriété. S'il y en avoit un second,
nidiiidrc (]ue le premier, ([ui eût la même propriété, il y en auroit, par
un pareil raisonnement, un troisième, moindre que ce second, qui
auroit la même propriété, et enfin un quatrième, un cinquième, etc.
il l'infini en descendant. Or est-il qu'étant donné un nombre, il n'y
(Ml a point infinis en descendant moindres que celui-lii (j'entends

(i| Publiée pour la première fois par M. Charles Henry {Recherches, p. 2i3-2i6),
d'après une copie de la main do Iluygens. Cette pièce avait été envoyée « depuis peu »
par Fermât à Carcavi, lorsque celui-ci la communiqua à Huygens, le i4 août ilJjg.

(-) l'oir Observ. XLV sur Diophante.

i3i ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

parler toujours dos nombres entiers). D'où on eonclul qu'il est done
impossible qu'il y ait aucun trian!i;le rectangle dont l'aire soit quarrée.

On infère de lii ([u'il n'y en a non plus en fractions dont l'aire soit
quarrée; car, s'il y en avoil en fractions, il y en aiiroit en nombres en-
tiers, ce (|ui ne peut pas être, comme il se peut prouver par la descente.

Je n'ajoute |)as la raison d'où j'infère ([ue, s'il y avoit un triangle
rectangle de celle nature, il y en auroit un autre de même nature
moindre que le premier, parce que le discours en seroit trop long et
(|ue c'est là tout le mystère de ma méthode. Je serai bien aise que les
l'ascal et les Roberval et tant d'autres savans la cherchent sur mon
indication.

2. Je fus longtemps sans pouvoir appliquer ma méthode aux ques-
tions affîrmatives, parce que le tour et le biais pour y venir est beau-
coup plus malaisé que celui dont je me sers aux négatives. De sorte que,
lorsqu'il me fallut démontrer que tout nombre premier, qui surpasse de
r unité un multiple de l\, est composé de deux quarrés (' ), je me trouvai en
belle peine. Mais enfin une méditation diverses fois réitérée me donna
les lumières qui me manquoient, et les questions affîrmatives pas-
sèrent par ma méthode, à l'aide de quelques nouveaux principes qu'il
V fallut joindre par nécessité. Ce progrès de mon raisonnement en ces
questions affîrmatives est tel : si un nombre premier pris à discrétion,
qui surpasse de l'unité un multiple de 4» n'est point composé de deux
(juarrés, il y aura un nombre premier de même nature, moindre que le
donné, et ensuite un troisième encore moindre, etc. en descendant à
l'intini jusques à ce que vous arriviez au nombre 5, qui est le moindre
de tous ceux de cette nature, lequel il s'ensuivroit n'être pas composé
de deux quarrés, ce qu'il est pourtant. D'où on doit inférer, par la
déduction à l'impossible, que tous ceux de cette nature sont par con-
séquent composés de deux quarrés.

3. Il y a infinies questions de celte espèce, mais il y en a quelques

(') ^oi> Observ. VII sur l)i(i|il]anle.

CI. — AOUT 1639. ' i3:5

autres qui demandent des nouveaux principes pour y appliquer la des-
ceiuc, et la recherche en est quelquefois si malaisée qu'on n'y peut
venir qu'avec une peine extrême. Telle est la question suivante que
Bachet sur Diophante avoue n'avoir jamais pu démontrer, sur le sujet
de laquelle M. Descaries fait dans une de ses lettres la même déclara-
tion, jusques là qu'il confesse qu'il la juge si dillicile qu'il ne voil
|)oint de voie pour la résoudre (').

Tout nombre esl quarré ou composé de deux, de trois ou de quatre
(fuarrés.

Je l'ai entin rangée sous ma méthode et je démontre que, si un
nombre donné n'éloit point de cette nature, il y en auroit un moindre
qui ne le seroit pas non plus, puis un troisième moindre que le
second, etc. ii l'intini; d'où l'on infère que tous les nombres sont de
cette nature.

4- Celle que j'avois proposée à M. Frenicle et autres (^) est d'aussi
grande ou même plus grande difficulté : Tout nombre non quarré est de
telle nature qu'il y a infinis quarrés qui, multipliant ledit nombre, font
un quarré moins i. Je la démontre par la descente aj)j)liquée d'une ma-
nière toute particulière.

J'avoue que M. Frenicle a donné diverses solutions particulières et
M. Wallis aussi, mais la démonstration générale se trouvera par la
descente dûment et [)roprement applicjuée : ce que je leur indique, afin
qu'ils ajoutent la démonstration et construction générale du théorème
et du problème aux solutions singulières qu'ils ont données.

5. J'ai ensuite considéré certaines questions qui, bien que négatives,
ne restent pas de recevoir très grande difficulté, la méthode pour y
pratiquer la descente étant tout à fait diverse des précédentes, comme
il sera aisé d'éprouver. Telles sont les suivantes :

H n'y (i aucun cube divisible en deux cubes (^),

(') f (lir la note de la pai^o 4oj.

(2) Folr Pièces LXXX et LXXXI.

(3) roir Observ. Il sur Diophante.

I'lrmat. — 11. 55

Wi ŒUVRES DE FEUiMAT. — COUllESPONDANCE.

// n'y a qu'un seul quarrè en entiers qui, aus;mentc du binaire, fusse
un eube. Lo dit quarro est 2").

Il n'y a que deux quarrés en entiers, lesquels, uu^uienfes de ^^ fassent
un cube. Les dits quarrés sont 'i ot 121 (').

Toutes les puissances quarrées de 1, augmentées de l'unité, sont
nombres premiers (- ).

l^iOtto (icriiiôro question ost d'une tirs siil)Lile et très ingénieuse
reclicrche el, hien (iii'elie soit eonçue affirmativement, elle est néga-
live. puisque dire (ju'nn nombre est premier, c'est dire ([u'il ne pent
être divisé parauenn nomiire.

Je mets en eet endroit la qneslion suivante dont j'ai envoyé la dé-
monstration à M. Frenicle, après qu'il m'a avoué et qu'il a même
témoigné dans son Ecrit imprimé (^) qu'il n'a pu la trouver :

// n'y a que les deux nombres i et -j qui. étant moindres de l'unité
iju'un double quar ré, fassent un carré de même nature, c'est-à-dire (|ui
soit moindre de l'unité qu'un double quarré.

6. Après avoir couru toutes ces questions, la plupart de diverse na-
ture et de dill'érente façon de démontrer, j'ai passé à l'invention des
règles générales pour résoudre les équations simples et doubles du
Diophante.

On propose, par exemple,

2O + 7967 égaux à un quurré.

J'ai une règle générale pour résoudre cette équation, si elle est |»os-
sible, ou découvrir son impossibilité, et ainsi en tous les cas et en t(uis
nombres tant des quarrés que des unités.

(<) Foir LeUrc LXXXIV, 5. Cf. Observ. XLII sur Dioplianic.

(2) ro/rLeUrc XCVI, 3, 1".

(') Cet Écrit, aujourd'hui inlrouvablc, était intitule Solttlio diiorum prohlcnuiliiiii ne,
dédié à Keneiin Digby, et commençait comme suit : h'n tif/i, ï'ir Itluxtrissiine, l.uictia
prœliet.... Deux exnmplairos en arrivèrent on Hollande, pour Schooton et IIuyp:ons. le
■fA octobre 1657. En Angleterre, Brouncker eu reçut un seulement en décembre.

CI. - AOUT 1G59. 43.Î

()i) propose cptto équation double :

2N + 3 et 2N-1-5 égaux eliaciin à un quarré.

Bacliet se glorifie, en ses Commentaires sur Diophanle ('), d'avoir
trouvé une règle en deux cas particuliers; je la donne générale en
toute sorte de cas et détermine par règle si elle est possible ou non.

.J'ai ensuite rétabli la plupart des propositions défectueuses de Dio-
phanle et j'ai fait celles que Bachet avoue ne savoir pas et la plupart
de celles auxquelles il paroît que Diophanle même a hésité, dont je
donnerai des preuves et des exemples à mon premier loisir.

7. J'avoue que mon invention pour découvrir si un nombre donné
est premier ou non n'est pas parfaite, mais j'ai beaucoup dévoies et de
méthodes pour réduire le nombre des divisions et pour les diminuer
beaucoup en abrégeant le travail ordinaire. Si M. Frenicle baille ce
qu'il a médité là dessus, j'estime que ce sera un secours très consi-
dérable pour les savans.

8. La question qui m'a occupé sans que j'aie encore pu trouver
aucune solution est la suivante, qui est la dernière du Livre de Dio-
phanle De inuhangulis numeris.

ïkilo numéro, irncnire quoi modis mullangulus esse possit.

\jV texte de Diophanle étant corrompu, nous ne pouvons pas deviner
sa méthode; celle de Bacliet ne m'agrée pas et elle est trop difiicllf
aux grands nombres. J'en ai bien trouvé une meilleure, mais elle ne
me satisfait pas encore.

9. 11 faut chercher en suite de cette proposition la solution du pro-
bli'ine suivant :

Trouver un nombre qui soit polygone autant de fois et non plus qu'on
voudra, et trouver le plus petit de ceux qui satisfont à la question.

(') foir Observ. XLIV sur Dioplianio et YJppendLv à celle Observaliou.

WG (EL VU F, S DK l'KIlM AT. - COURES IM)M) ANCK.

10- Voih'i soiniuairciiiiMil le roiupto de mes ivvcrics sur le sujcl des
noinbivs. Je ne l'ai ('■cril (|ii(' parce ([uc j"a|»|)i'(''li(Mi(l(' ([iic h^ Idisir
(retondre et de mettre an Ion;;- toutes ces dt'iiioiistrations et ces nié-
lli()d(>s me man(|uera; en loni cas, eelte indication servira aux savans
|(onr Ironvei' d'eiiv-nu'iues ce(|ne je n't'tends [toini, principalement si
MM. de C.ari'avi el Ki'eniele leur l'uni i)ai't d(> (|uel(|ue,s démonstrations
/Hir la descente (]ue je leur ai envoyées sur le sujet de (|uelqucs propo-
sitions négatives. Kt peut-être la postérité me saura gré de lui avoir
fait connoîtrc tiuo les Anciens n'ont pas tout su, et cette relation pourra
passer dans l'esprit de ceux cjui viendront après moi pour Iradilio
liimpadis ad Jîlios, comme parle le grand Chancelier d'Angleterre (' ),
suivant le sentiment et la devise du({uel j'ajouterai (-) :

Mulli pertransibunt et aitgebitur scientia.

Cil.

FIÎKMAT A BILLY(').'

2G AOUT 1G59.

( Bililiolhè([ii(! n.itiiinale, lalin SGoo, fui. i.'i, .lutosi'aplie.)

Mon Révérend Peue,

Je suis bien aise que mes solutions vous ayent pieu et je vous
remercie des éloges que vous me donnés, bien que je recognoissc de
bonne foi que vous en usés avec un peu trop de profusion. Peust-
cstre scrés vous ()lus surpris de ce que vous allés lire sur le subject de
vostre nouvelle question ([ue vous énoncés en ces termes :

Treuver trois nombres dont le solide estant osté de chacun d'eux et de

( ') Bacon, De fli<^/iila!e et /iiiginr/ili.t sciriiliariim, \,. VI. oap. a.

(2) Foir page 35, nolo i.

(') Publiée pour la première fois par Liliri (Jourunl des Sm'nins, 1839, p. 5/18 j.

cil. — 26 AOUT IGoi). 437

chacune de leur différence, el du produict du second par le premier ou
par le dernier, ou du quarré du milieu, il se fasse tousjours un quarrè.

Ces trois nombres sont s» i. 5-

Vous adjoustés onsuitte, après avoir est(Mi(lu vostre nicthodo, que
vous ne croyés pas qu'il y aist au monde trois autres nombres qui satis-
fassent à la question, et vous désirés estre esclairci par moi si vous
vous trompés en cette créance.

Je vous respons, mon Père, que cette question reçoit infinies solu-
tions et que la double csgalité à laquelle vous la réduisez :

1 -VA — A + I eL 1 AA — 3 A -t- 1 ,

chacun desquels termes doit estre faict égal à un quarré, peut estre
résolue en infinies manières.

Je vous advouc que la méthode dont je me sers pour cela n'est pas
dans les livres, et que c'est une de mes inventions qui a quelquesfois
cstonné les plus grands maistres et particulièrement Monsieur Frenicle,
que j'estime très profond dans la cognoissance des nombres. Mais,
puisqu'il semble que Diophante, Viete, Baehet et touts les autres
authcurs dont les ouvrages sont venus jusques à moi, n'ont sçu qu'une
seule solution en cette nature de questions, je ne suis point surpris
que vous, mon Père, quoyque d'ailleurs très habille par l'adveu de
touts les sçavants, n'ayés point tenté d'estendre vostre cognoissance au
dessus de celle que donnent les livres.

Vous changerés sans doute d'advis par mon indication, et vous ne
croirés pas cette nouvelle descouverte indigne de vostre recherche,
principallement lors que je vous asseurerai, comme je fais à l'ad-
vance, que ma méthode est generalle et qu'elle sert à résoudre un
nombre infini de questions qui ont esté jusqu'ici entièrement aban-
données.

Voici trois nombres différents des vostres qui satisfont à vostre ques-
tion et qui peust-estre vous donneront l'accès aux solutions infinies.

V3S ŒUVRES IH-: FEUM AT. - CORRESPONDANCE.

Le proinior de ces trois nombres est !."oIk' ïp second osl i. le Iroi-

sinnc osl i^-
.)i8b3

.le suis de (oui mon cœur, .Mon ncvcM'cud Père, vostre 1res humble

rt Ires acijuis serviteur.

Fermât.
A Tolose, le iC A' lOJy.

(Adresse) : Au révérend perc , le père Billv. de la compagnie de Jésus,
à Dijon.

cm.

FERMAT A C ARC AVI (').
< AoiT 1659. >

{Correspondance Hurgens, n" G!)9.)
(Bibl. Nat. fr. i3o'|0, f l;î9.)

... Si la ligne spirale n'est pas égale à la parabolique, tdle sera ou
plus grande ou plus petite.

Soit premièrement plus grande, s'il est possible, et que l'excès de la
spirale sur la parabole soit égal à X, dont la moitié soit Z.

Soient inscrites et circonscrites à la parabole et ii la spirale des
ligures comme en la précédente (-), en sorte que la difl'érence entre les
inscrites soit moindre que Z, et que la différence entre les circonscrites
soil aussi moindre que Z; nous aurons cinq quantités qui vont toujours

(■') Publiée pour la pi'emiérc fois par M. Ciiarlcs Henry i Reclierclics, p. 17:1-17(1). — (^c
frat;ment, envové par (larcavi à Huygens dans une JeUre daléc du lî sppleuibre lOJg. e.sl
le dévclo(ipemcnl du dernier ihcorénic de VEi^aUU' cuire les lignes spirale ei parabolique
démontrée à la manière des anciens. la<|ucllc fait ])artic des Lettres de A. Dcttnnvillc
(Œuvres de Pascal, Y, pp. !\-?a à 4'>^)- La dcmonslration de Pascal, beaucoup plus brève.
est faile également par l'absurde, mais sans hypolhèse sur le sens de l'inégalilé iiure la
.spirale cl la parabole.

(^) Fig. 38 des Lettres de Dcttomùltc ; voir ci-aprcs fig. 93.

cm. — AOUT 1659. i39

en augmentant, savoir : l'inscrite en la parabole, la parabole, la circon-
scrite à la parabole, la spirale, et la circonscrite h la spirale.

Car il appert que la seconde, qui est la parabole, surpasse son
inscrite et que la circonscrite à la parabole surpasse la parabole.

Or il paroit ([uc la quatrième quantité, qui est la spirale, surpasse
aussi la circonscrite à la parabole : car, puisque (') l'inscrite en la para-
bole diffère de la circonscrite à la même parabole d'une ligne moindre
que Z (ainsi que M. Dettonville l'a démontré), a fortiori la parab(de
même diffère de la circonscrite de moins que Z. Or, par la supposition,
la parabole est moindre que la spirale et la différence est 2Z. Donc,
puisque la différence entre la parabole et sa circonscrite est moindre
que la différence entre la même parabole et la spirale, la circonscrite à
la parabole sera moindre que la spirale.

Laquelle spirale étant aussi moindre que sa circonscrite, il paroit
que ces cinq quantités, à commencer par l'inscrite en la parabole, vont
toujours en augmentant.

Mais puisque l'inscrite en la parabole diffère de la circonscrite d'une
ligne moindre que Z, et que, par la construction, la circonscrite sus-
dite à la parabole diffère aussi de la circonscrite îila spirale d'une ligne
moindre que Z, donc l'inscrite en la parabole diffère de la circonscrite
à la spirale d'une ligne moindre que 2Z.

Nous avons donc la première et la cinquième de ces cinq quantités,
qui sont la plus petite et la plus grande, qui diffèrent entre elles de
moins que de 2Z. Donc, a fortiori, la seconde et la quatrième, qui
sont la parabole et la spirale, diffèrent d'une ligne moindre que 2Z cl
par conséquent moindre que X; ce qui est contre la supposition.

Donc la spirale n'est pas plus grande que la parabole.

Qu'elle soit, s'il est possible, moindre que la parabole, et que l'excès
soit X ou 2Z. Il faut faire les inscriptions et circonscriptions comme en
la précédente partie de la démonstration. Nous trouverons ici cinq
quantités qui vont toujours en diminuant : la circonscrite à la para-

(!) D'après le corollaire qui, dans les Lettres de Dettonville, précède immédiatemeiil
le ihéorèmo repris par Fermât.

•liO ŒIIVKES 1)E FERMAT.- COHUESPONDANCE.

Iiolc, la parabole, l'iiisrrili,' vu la jiaraluilc, la spiralo, cl riiiscrile en la
spirale.

La ])rtMiiii'ro paioil (''vicli'iiiiiiciil plus graiHlc (|U(' la sccoiulr cl la
seconde (|ii(> la tniisièiiic.

Or on voil aussi (]ii(' la Iroisii'nu», (|ui es! rinscrilc en la |)araboie,
surpasse la spirale : car, puis(|ne, par la dcrnonsdation de Al. Dcllon-
ville, l'exeès de la circonscrite à la parabole sui' l'inscrite en la para-
bole est moindre que Z, a fortiori Vexce» de la jiaraludc sur son inscrite
est moindre que Z.

Or, la parabole étant plus grande que la spirale, cl son exci's sur
la dite spirale étant, par la supposition, 2Z, la parabole surpasse la spi-
rale d'une plus grande quantité (|ue celle dont elle surpasse l'inscrite
en la parabole, et, parlant, l'inscrite en la parabole est plus grande que
la spirale.

Nous avons donc cinq quantités qui vont toujours en diminuant,
savoir : la circonscrite à la parabole, la j)arabole, l'inscrite en la para-
bole, la spirale, et l'inserile en la spirale. Or la circonscrite à la para-
bole diirèrc de son inscrite de moins que Z, et l'inscrite en la dite pa-
rabole diirère aussi, par ^la construction, de l'inscrite en la spirale de
moins que Z. Donc la circonscrite à la parabole, qui est la première
des cinq quantités et la plus grande, dillcre de la dcrnii're des dites
quantités, qui est la plus petite, d'une ligne moindre que aZ. Donc, a
fortiori, la seconde quantité dillcre de la quatrième, c'est-ii-dirc la pa-
rabole de la spirale, de moins que de 2Z, c'est-à-dii'e de moins que
de X : ce qui est contre la supposition.

D'où il résulte que la spirale n'est pas j)lus petite que la parabole; et
partant, puisqu'elle n'est ni plus petite, ni plus grande, elle est
égale, ce qu'il etc.

CIV. - SEPTEMBRE 1659. Ul

CIV.
FERMAT A CARCAVI (').

< SEPTEMBRE 1639 >

{ Correspondance H nj'^ens, n" 700.)
(Bibl. liât. fr. i3o'|0, f» 139-liO.)

1. ,1'onvoyai rannéo passée à M. Frenicle la démoiislralion par la-
quelle je prouvois qu'il n'y a aucun nombre que le seul 7 qui, étant le
double d'un quarré — i, soit la racine d'un quarré de la même nature,
car 'iç) est le double d'un ([narré, 2"), — i.

2. Je veux même que M. de Zulichem voie que cette comparaison des
lignes spirales et paraboliques se peut rendre plus générale, et peul-
èlre sera-t-il surpris de lire la proposition suivante, dont je lui garantis
la vérité :

En la figure 38 de M. Dettonvillc (Jig- 9'i). on peut considérer les
spirales quarrées, cubiques, quarréquarrées, etc., tout de même que
les paraboles cubiques, quarréquarrées, etc.

Si la spirale ordinaire, en laquelle comme toule la circonférence à la
portion EiSB, ainsi la droite BA à la droite AC, se compare avec la pa-
rabole ordinaire en laquelle comme la droite RA à la droite 6A, ainsi
le quarré de la droite RP est au quarré de la droite GQ, et le rapport
est tel :

Si AR est faite égale à ^ de la circonférence totale, et l'appliquée RP
au rayon AB, la ligue parabolique PQ.\ sera égale à la spirale Bt^DA,
comme le démontre M. Dettonville.

Mais en prenant la spirale quarréc, qui est celle du second genre,
en laquelle comme toute la circonférence est à la portion E8B, ainsi

(') Publiée pour la première fois par M. Charles llonry (Rcc/ierrhes. p. 176-177). — Cet
extrait, envoyé par Carcavi à Hiiygens en même temps que le précédent, provient d'une
lettre postérieure de l'^crmat.

FiinjiAT. — H. 5o

Vi-2 Œl'VRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE.

le quarri' du rayon AB est au (luarrc du rayon A(^ on peut la coni-

Kig. o'i-

parer avec la parabole cubique, qui est la parabole du second genre.
Soit fait^ en la parabole cubique, l'axe AR égal aux | de la circonfé-

CIV. — SEPTEMBRE 1659. U3

ronce tolalc, et l'appliquée RP aussi égale au rayon AH ; la parabole AP
du second genre sera égale à la spirale du second genre BCDA.

Si la spirale est cubique, il la faudra comparer avec la parabole
quarréquarrée, et faire les f de la circonférence totale égaux à l'axe AR
de la parabole quarréquarrée, et l'appliquée RP toujours égale au
rayon AB.

La parabole quarréquarrée PQA, du troisième genre, sera égale à la
spirale cubique du troisième genre en laquelle comme toute la circon-
férence à la portion E8B, ainsi le cube du rayon AB au cube du
rayon AC; et à l'infini, en augmentant toujours chaque numérateur et
dénominateur de la fraction, de l'unité :

L'ave (le la parabole ordinaire étant ... |^ de la circonférence,

L'a\e de la parabole cubique f de la même circonférence,

L'axe de la parabole quarréquarrée ... |

L'axe de la parabole quarrécubique ... |

Puis |, etc.

D'oii il est aisé de conclure qu'il y a des spirales dans cette progres-
sion qui sont plus grandes que la circonférence du cercle qui les pro-
duit, mais qu'elles sont toujours moindres que la somme de ladite
circonférence et du rayon.

Voilà un paradoxe géométrique, sur lequel peut-être M. Dettonville
et M. de Zulichem n'ont pas encore rêvé. En tout cas, je les supplie de
croire que je ne l'ai point de personne, et que ma méthode dont vous
avez le chiffre longtemps avant que le Livre de M. Dettonville partit,
est la source de beaucoup d'autres belles découvertes sur le sujet des
lignes courbes comparées, ou avec des droites, ou avec d'autres lignes
courbes de diverse nature. Je vous en dirai peut-être un jour qui vous
surprendront.

3. M. de Zulichem désire encore savoir si ma méthode s'étend à tix)u-
ver la dimension des surfaces courbes des conoïdes et des sphéroïdes.
Vous pouvez l'assurer que oui, et qu'elle va encore bien plus loin. Il
m'entendra assez lorsque je lui assurerai :

1° Que je n'ai point vu aucune de ses propositions sur ce sujet;

VVi (EIVUKS DE FERMAT. - CORRESI'ONDANCK.

■j." Ouo la surt'iicc du coiioïdc [iiiiali(ili(]Ui' atilour de l'axe se li'oiive
par la lèi^lo ol It* compas iM csl un probli-mc plan;

Que les sui laces des cdiuudes liy|ieil)()li(|ues cl sphéroïdes suppdsciil
la (|ua(lratuic de l'iiv perliolc cl (]U(d(|ucs fois de l'cdlipse,

Va qu'(Mitiu le couoïdc parabolique autour de rappli(|ué(> f'ail une
surlace cour!)e i|ui suppose, pouréire (>xaclciueii( niesui'ée, la (|uadi'a-
lurc de l'iiyperholc.

Je puis nièiuc donuei' une ligne dioile égale ii loulc poilion de para-
bole doniioe, en supposant la quadrature de rii\[)erbole, c'est-à-dire do
l'ospace hypcM'bolique.

J'ajoulorois toutes les constructions do uies propositions, mais le
loisir me man(|ne.

CV. - FÉVRIER 1660. 445

ANNÉE 1660.

CV.
FERMAT A C ARC AVI (').

< FÉVRIER 1660 >

(Corresp. Huyg., 11° ITi .)

. . . On peut considérer les roulettes allongées ou raccourcies d'uni-
autre manière que n'a fait M. Dettonville :

Supposez qu'en la roulette ordinaire les seules appliquées soient
allongées ou raccourcies proportionnellement, c'est-à-dire que, l'axe
demeurant le même, chacune des appliquées est augmentée de la
moitié ou hien raccourcie de la moitié, auquel cas il se produit des
courbes nouvelles : celles des appliquées allongées sont au dehors de
la roulette et celles des appliquées raccourcies sont au dedans.

Je dis que toutes les roulettes allongées en ce sens sont égales à
la somme d'une ligne droite et d'une circulaire, et que toutes les
roulettes accourcies au même sens sont égales à des courbes para-
boliques.

Par exemple, soit une roulette allongée dont les appliquées soieni
aux appliquées de la roulette naturelle comme le diamètre d'un
quarré à son coté, je dis que cette roulette allongée, prise tout
entière, c'est-à-dire des deux côtés, et que par la construction vous
voyez être plus grande que la naturelle, est égale à la circonférence

(') Fragmenl envoyé par Carcavi à Huygens le 6 mars 1660. — • Publié pour la pre-
mière fois par M. Ch. Henry (Pierre de Carcavy, p. 3i).

U6 ŒUVRES DE FERMAT. - COHUESPONDANCE.

(lu ciM'cK' gonéralour do la l'oult'ltc iialiirellc et au double do son dia-

Illi'Il'C.

Jo pouiTois ajouter le théorème général pour tous ees cas, c'est-
à-dire pour l'iiiveiilion des paraboles égales aux roulettes accourcies
et pour l'invention de l'agrégé des droites et des circulaires égales
aux allongées. Mais ce sera pour une autre fois. Ma méthode générale
ne dépend que du chiffre que je vous envoyai l'année passée, avant
que j'eusse vu le Livre de M. Dettonville. . . .

CVI.

KKRMAT A CARCAVI (')•

<jLiN 1660 >

{Cvrresp. Hur^. ^ n°* 75ô. )

... 1- Data quadralurà hyperboles, datur circulus sequalis supertl-
ciei curvae paraboles circa applicalam rotatae.

Sit data parabole AD (fig- 95), cujus axis AE, applicata seu semi-

basis DK, rectum latus ABC. Quairilur circulus apqualis superficiei
curva' solidi quod ex rotatione figura? ADE circa applicatam DE tan-
quam immobilem circumductœ conficitur.

(^) Fragments envoyés par Carcavi à Huygens le 25 juin iGGo. — l'ublics pour la pre-
mière fois par M. Ch. Henry {Pierre de Carcavy, p. 33-34 )•

CVI.

JUIN 1G60.

ii7

Bisecetur latus rectum AC in B et axi AE ponatur in directuni
recta EF aequalis rectae AB seu dimidio recti lateris, et jungatur DF.

Exponatur separatim recta IQ {fig. 96) œqualis axi AE, cujus
dupla sit recta IR; fiât

ul FE sive AB ad PF, ita recta QI ad reclam QII,

et a puncto H ducatur HG perpendicularis ad HIR, et fiât HG seqiialis
rectae DE. Per punctum I tanquam verticem describatur hyperbole
cujus transversum latus sit recta IR, centrum Q, et transeat hyperbole
per punctum G et sit IG.

Describatur item alia hyperbole separatim {fig. 9G), cujus transver-
sum latus MN sit sequale quartae parti recti paraboles lateris, hoc est

Fig. 96.

quartae parti rectae AC; centrum vero sit V, rectum latus OVP
aequale transverso lateri. Sit autem hyperbole ita descripta MK,
cujus vertex M, axis ML qui continuetur donec recta ML sit aequalis
axi paraboles AE, et ducatur perpendicularis seu applicata LK. A rec-
tangulo sub QH in HG deducantur duo spatia hyperbolica IGH, MKL,
quorum quadraturae supponuntur, et quod supererit aequetur qua-
drato.

Vis Πr \ I J F. S 1) K K K II M AT. - C O H R E S P 0 N 0 A N C K.

Diagoiiia isliiis (iiiath'ali cril radius circuli suj)crticioi rurva', ciijiis
iliiiiciisioiu'iii quariinus, a'qiialis (^').

2. Ksto oyclois priinaria ANIF (X.^". 97), ciijiis axis AD. seiiii-
hasis nr. t'I ab eà formonlur aliœ curva.' vel extra ipsaiu vcl iiilra.
([uaniiii applirata' siiil soinpor iii càdoin ratiniio data ad applicalas
|iri maria' cycloidis.

F

g- «7-

■^

A

H^

/

'^ 1/

'^/

B

/o

C

/

/

6

F

E

D

Kxonipli gratia, in ciirva oxteriori AMMG diicanliir applicata- GFl),
HIC, 3FNB; ratio autom GD ad DF sit data et sit semper eadem qua* H(J
ad CI et ^IB ad BN. In curvà autem interiori AROE, ratio FD ad DR sit
data et sit semper eadem qiise IC ad CO et NB ad RB.

Dieo contingere ut curvœ exteriores, qualis est AMHG, sinl semper
a'quaies aggrcgato linese eircularis et linea» rectae; curv* autem inle-
l'iores, qualis est AROE, sint semper a^juales parabolis primariis sive
Arehimedeis.

ïheorematis generalis enunciationem , quando vcdueris, exliibebo,
inio et demonstrationem (- ).

iCortc^ipnndnncr //lOi^e/is, ir 7jG.)

-î. l'dur me sauvrr un jii'ii (b' i'ai-cusaliini (b' .M. (b^ Znlyclu'in, (jiii
dit que mes spirab's n'ont pas des jtropi'iélés qui soient autrement con-
si(b''rables(^), vous |)oni'r(>z, si vous voub'z, lui proposer eeUe qui suit :

(•) Cniiipfircr la Proposilion II ;i Lalouvrre, I. I, |). ioo.
(') Comparer la proposition IV à Lciloiivi-re, I. I, p. 202 Cl siiiv.

(') LoUre (le llinijons à Carcavi du -^G fcvriei' 1C60 (Corr. Hiiyg.. 11° liH) : « La rnn\-
paraiifnn des autres sortes de spirales avec les liijncs |)aral)oloïdes ipic dimne M. do

CVI. — JUIN 1660. U9

Soit \e ciTclc BCDM (fïg. 98), diiquol le centre A et le rayon AB, et
soit la spirale BOZA de laquelle la propriété soit telle :

HA esl à OA comme le (|uarré de toute la circonférence BCDMB
au f|iiarré de la |)ortion de la môme circonférence (jUMB.

Cette spirale, par mon théorème général, est égale à nne parabole en
laquelle les cubes des appliquées sont en même raison que les quarrés
des portions de l'axe, laquelle parabole est égale à une ligne droite.

Fig. 98.

J'espère que cette propriété suffira pour me réconcilier avec M. Zuly-
chem et, puisque je lui cède tous mes droits sur les surfaces courbes
des sphéroïdes et conoïdes, je souhaiterois qu'en revanche il m'indi-
quât s'il sait aucune surface courbe égale à un quarré par voie pure-
ment géométrique et pareille à celle dont je me suis servi en donnant
des droites égales à des courbes.

Fc'i'iiial est vorilahlc, mais nun pas lort difflcilo à troiiviT a|)i-ès que la |ii-i'iiucrL' est
connue, cl je m'étonne qu'il proiui plaisir à inventer des lignes nouvelles qui iiDiit pas
autrcmenl fies propriétés dignes de considération. » Cp. la Pièee CIV.

Flumat.

ioO ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE.

CVll.
FERMAT A PASCAL.

ItlM.WCIlE 23 JUILLET 1C60.

(Or.iivrvs ilr Pascal . IV, p. 445.)

Monsieur,

Dès quo j'ai su qiio nous sommes plus proches l'un do l'iuitro que
nous n'étions auparavant, je n'ai pu résister à un dessein d'amitié dont
j'ai prié .M. do Careavi d'être le médiateur : en un mot je prétends vous
embrasser et converser quelques jours avec vous; mais, parce que ma
santé n'est guère plus forte que la votre, j'ose espérer qu'en cette con-
sidération vous me ferez la grâce de la moitié du chemin, et que vous
iir(tl)ligerez de me marquer un lieu entre Clermont et Toulouse, où je
ne manquerai pas de me rendre vers la fin de septembre ou le com-
ineucemcnl d'octobre.

Si vous ne prenez pas ce parti, vous courrez hasard de me voir chez
vous et d'y avoir deux malades en même temps. J'attends de vos nou-
velles avec impatience et suis de tout mon cœur.

Tout à vous.

A Toulouse, lo 7 J juillet i66o.

Fermât.

CVIII.
PASCAL A FERMAT.

MARDI 10 AOUT 1C60.

injùn'res Je Pascal, IV, p. 4',0-4^S.)

('■fl, p. 2oO.)

Monsieur,

Vous êtes le plus galant homme du monde et je suis assurément un
de ceux qui sais le mieux reconnoître ces qualités-là et les admirer

CVIII. - 10 AOUT 1660. 431

infiniment, surtout quand elles sont jointes aux talents qui se trouvent
singulièrement en vous. Tout cela m'oblige à vous témoigner de ma
main ma reconnoissance pour l'ofTre que vous me faites, quelque
peine que j'aie encore d'écrire et de lire moi-même; mais l'honneur
que vous me faites m'est si cher que je ne puis trop me hâter d'y
répondre.

Je vous dirai donc, Monsieur, que si j'étois en santé, je serois volé à
Toulouse et que je n'aurois pas soufTert qu'un homme comme vous
eût fait un pas pour un homme comme moi. Je vous dirai aussi que,
quoique vous soyez celui de toute l'Europe que je tiens pour le plus
grand géomètre, ce ne seroit pas cette qualité-là qui m'auroit attiré,
mais que je me figure tant d'esprit et d'honnêteté en votre conversa-
tion que c'est pour cela que je vous rechercherois.

Car, pour vous parler franchement de la Géométrie, je la trouve le
plus haut exercice de l'esprit : mais en même temps je la connois pour
si inutile que je fais peu de différence entre un homme qui n'est que
géomètre et un habile artisan. Aussi je l'appelle le plus beau métier
du monde, mais enfin ce n'est qu'un métier, et j'ai dit souvent qu'elle
est bonne pour faire l'essai, mais non pas l'emploi de notre force.

De sorte que je ne ferois pas deux pas pour la Géométrie et je m'as-
sure que vous êtes fort de mon humeur. Mais il y a maintenant ceci de
plus en moi que je suis dans des études si éloignées de cet esjirit-là
qu'à peine me souviens-je qu'il y en ait. Je m'y étois mis, il y a un an
ou deux, par une raison tout à fait singulière, à laquelle ayant satis-
fait, je suis au hasard de ne jamais plus y penser.

Outre que ma santé n'est pas encore assez forte, car je suis si foible
que je ne puis marcher sans bâton ni me tenir à cheval, je ne puis
même faire que trois ou quatre lieues au plus en carrosse. C'est ainsi
que je suis venu de Paris ici en vingt-deux jours. Les médecins m'or-
donnent les eaux de Bourbon pour le mois de septembre, et je suis
engagé, autant que je puis l'être, depuis deux mois d'aller de là en
Poitou par eau jusqu'à Saumur, pour demeurer jusqu'à Noél avec
M. le duc de Roannès, gouverneur de Poitou, qui a pour moi des

V32 (F.l'VRES DE lEIUIXT. - CO l{ RKS l>()N I) A NCR.

sontiiiKMis (iiic j(> ni' vaux pas. Mais, comnio je |)ass(M'ai par Orléans
en allant à Sannuir par la rivière, si ma santé ne me |)erm(a pas de
passer outre, jiiai de là à Paris.

Voilà, Monsieur, (oui l'étal de ma vie présente, don! je suis (d)ligé
de vous rendre compte |)our vous assurer île l'impossibilité où je suis
de recevoir l'honneur que vous daignez m'oUVir et (|ue je souhaite de
tout mon ('(viir de pouvoir un jour re('(mn(u"lre, (Ui en vous, ou en
^[essieurs vos entants, auxquels je suis tout dévoué, ayant une véné-
ration partienlière pour eeux qui portent le nom du premier homme
du monde.

Je suis, ete. Pascal.

lie Bienassis, le lo août iCiGo.

CIX.
FERMAT A HUYGENS (' ).

DÉCEMBRE 1G()0.

{Corrrsiionitnncc ilf Hiiy^^ctiH, ii" 8'24. )

Monsieur,

J'ai appris avec joie, mais non sans quelque espèce de jalousie, que
mes amis de Paris ont l'honneur de vous posséder depuis quelque
temps. Je vous assure. Monsieur, que, si ma santé étoit assez forte
pour les voyages, j'irois avec grand plaisir prendre ma part de leur
bonheur. Ce n'est pas d'aujourd'hui, ni par la relation seule de M. de
Carcavi, que je suis persuadé de vos qualités tout extraordinaires. J'é-
tois à vous avant que vous fussiez en France et, lorsqu'on m'a demandé
mon sentiment de votre Saturne, j'ai répondu hardiment et sans même

( ■> Publiée pour la première fois par M. Charles Henry (Recliercliex, \i. 77-78). — Car-
cavi remit celte lettre à Iluygens, alors ù Paris, lo 27 dccombre i()6o. L'autographe est
conservé à la Bibliotiièquc de l'Université de Leydc, manuscrit Iluygens, 3o.

(JX. - DÉCEMBRE 1660. 453

l'avoir encore vu que, puisqu'il partoit de votre main, il ne pouvoit
manquer quoi que ce soit à sa perfection. Vos autres ouvrages que j'ai
vus et admirés m'ont obligé d'en parler de la sorte et j'ai eu plus de
raison d'en user ainsi que celui

Qui niinqiiam vis» flagrabat amure pucHœ ( ' )•

Votre grande et juste réputation est le seul et véritable garant de
tous vos livres. Il me tarde de les voir et de me confirmer par leur lec-
ture au jugement que j'en ai fait par avance et en la passion que vos
autres écri(s m'ont donnée, d'être toute ma vie avec grand respect.
Monsieur, votre très humble et très obéissant serviteur.

Fermât.

(M Jii vouai. Sat. IV, ii3.

!t6'*

ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

ANNÉE 1661.

c\.

FERMAT A CARCAM {' ).
1661.

(Com-v/,. Hiry!^.. n» 019.)

. . . Soil la courbe de Dioclo BCRG (//i,'-. 99) et BDF do l'autre cùlé du
cercle, qui a cette propriété connue qu'en prenant quelconque point

Fis- 99-

HiiG

au cercle, comme N ou Q, les quatre lignes AO, ON, OB, OM sont con-

(') Frajïmcnl envoyé par (larciivi ;'i Iliiygens, lo i"'' janvier rG62, en môme temps que
le morceau lalin De cix.ioidc imprimé ïomo I, p. ■28'J-'288. — Il a été publié pour la pre-
mière fois par M. (^li. Ilcnrv {Pierre de Caremy, p. aj).

CXI. - 13 DECEMBRE 1G61. W5

tiiiueinent proportionnelles et de même les quatre lignes AP, PQ,
PB. PR.

Or, cette courbe s'étend des deux côtés à l'infini, et la droite HAE,
qui touche le cercle en A, est son asymptote.

La proposition est que tout l'espace GRBDF, c(uiipris entre la courbe
et l'asymptote étendue à l'infini, est triple du cercle générateur ACBD.

j'ai aussi la mesure des solides, des centres de gravité des portions,
et de tout le reste

CXI.
FERMAT A SÉGUIER (').

MARDI 13 DÈfiEMIlRK IGCl.

(Bibl. Xat. ù: ,-^ti, [■• '^3:i.)

Monseigneur,

J'ai desia pris la liberté d'aller tout droit à vous sans me servir d'au-
cune recommandation estrangere pour vous demender grâce et iustice
pour mon fils (-). Il a depuis peu traitlé d'un office de con'''"en la Chambre
des requestes de ce parlement que i'ai cy devant excercé. Il vous sera,
Monseigneur, iustifié par actes qu'il a l'aage et le temps de la postula-
tion requis par les ordonnances. Et quoique son traitté soit antérieur
au règlement de Sa Maiesté que nous venons de recevoir, il ne restera
pas. Monseigneur, de vous produire toutes les preuves qu'il exige, et
d'y adiouster mesme la sousmission contenue dans ladite déclaration.
J(> n'ai, Monseigneur, a vous demender que la dispense de la présenta-
tion qu'il vous doit faire en personne de touts ses actes aux termes de
ce règlement. Je n'implore pour cela que vostre cognoissance et vostre

, (') Publiée pour la proinière fois par M. Charles Henry d'après l'aulographe ( He-
r/ierches. p. 70-7. >. ).

('-) Clément-Samuel, fils aine do Fermai. Son cadet, Jean, reçut les ordres et devint
archidiacre.

456 (1>:UVHES DE FEHM AT. - COHHESPON DANCE.

iiu'inoiro, l'I ic ne (l(iul»tt' pas (|ii(':M(iiisi('iir de La (liiaiiilifc ne vdiis f'ass(^
souvenir, Monseignotir. que inond. fils vous rciidisl ses respecis eu per-
sonne eu l'aiiiUM' luii six ceus (•iM(|iianli' sept, cl que Monseigneur le
Duc de Suili ue vous dise (|in'l(pH' pandle favorable pour uue t'auiille
qui vous est euliereuient devdiu'c et (jui V(Uis (>st aetjuisc avec Idulc
dépendance. J'attens cette seule grâce de vosire bonté et suis avec 1res
grand respect

Monseigneur

Votre très huinbb^ et très
obéissant serviteur

F"kumaï.

A Toluse. le ri (Ji'c. iGlii.

CXII. - 1 JANVIER 1662. 457

ANNÉE 1662.

CXII.
FERMAT A C. DE LA CHAMBRE.

DIMANCHE 1 JANVIER 1G62.

(D., III, 5t ; Cerrespoiulanoe Huygens, n° 990. )
Bibl. Nat. fr. n. a. 3-280.

Monsieur,

1. Il est juste de vous obéir et de terminer enfin par votre entremise
le vieux démêlé qui a été depuis si longtemps entre M. Descartes et moi
sur le sujet de la réfraction, et peut-être serai-je assez heureux pour
vous proposer une paix que vous trouverez avantageuse à tous les
deux partis.

Je vous ai dit autrefois, dans ma première lettre ('), que M. Descaries
n'a jamais démontré son principe; car, outre que les comparaisons ne
servent guère à fonder des démonstrations, il emploie la sienne ii
contre-sens et suppose même que le passage de la lumière est plus aisé
par les corps durs que par les rares, ce qui est apparemment faux. Je
ne vous redis rien du défaut de la démonstration en elle-même, quand
bien la comparaison dont il se sert seroit bonne et admissible en cette
matière, pource que j'ai traité tout cela bien au long dans mes lettres
à M. Descartes pendant sa vie, ou dans celles que j'ai écrites à M. Cler-
selier depuis sa mort (-).

( 1 ) Lettre LXXXVI.

(2) Les Lettres à Merscnne XXII et XXIV, à Clerselior XC, XC bis. XGV, XCVIl.

Fermât. — \\. 5o

io8 ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

2. J'ajoute soulomoot qu'ayant vu le même principe de M. Descartes
dans plusieurs auteurs (|ui onl écrit après lui, leurs démonstrations,
non plus, ne nu' paroissent point rcccvables el ne niérilenl point de
porter ce nom : Hérigone (' ) se sert, pour le démontrer, des équipondé-
rants et de la raison des poids sur les plans inclinés; le Père Maignan (■')
y veut parvenir d'une autre manière. Mais il est aisé de voir qu'ils ne
démontrent ni l'un ni l'autre, et qu'après avoir lu el examiné avec
soin leurs démonstrations, nous sommes aussi incertains de la vérité
des principes qu'après avoir lu M. Descartes.

Pour sortir de cet embarras et tâcher de trouver la véritable raison
de la réfraction, je vous indiquai dans ma lettre que, si nous voulions
emplover dans cette recherche ce principe si commun et si établi, que
la nature agit toujours par les mies les plus courtes, nous pourrions y
trouver facilement notre compte. Mais parce que vous doutâtes d'abord
que la nature, en conduisant la lumière parles deux côtés d'un triangle,
puisse jamais agir par une voie aussi courte que si elle la conduisoit
par la base ou par la soustendante, je m'en vais vous faire voir le con-
traire de votre sentiment ou plutôt de votre doute, par un exemple aisé.

3. Soit, en la figure à pari (Jig- loo), le cercle ACBG, duquel le dia-
mètre soit AOB, le centre 0 et un autre diamètre GOC. Des points G
et G soient tirées les perpendiculaires sur le premier diamètre, GH,
CD. Supposons que le premier diamètre AOB sépare deux milieux dif-
férents, dont l'un qui est celui de dessous, AGB, soit le plus dense et
celui de dessus, iVCB, soit le plus rare, en telle sorte, par exemple,
que le passage par le plus rare soit plus aisé que celui par le plus dense
en raison double.

(') Cursus raalhcmaticus tomus quintus, Paris, chez Sinieon Pigot, MDCXLIV, p. 19.9-
i3o. Axiome V : « Les puissances de pénétrer divers médiums diaphanes, qu'ont les
rayons optiques, s'augmentent ou diminuent proportionnellement par la mutation des
médiums ; et il y a mesme proportion entre les puissances des rayons d'incidence et de
réfraction (ju'cntre les [iressemens qu'ils recevroient des poids égaux s'ils en soustc-
noient. h

(2) Perspectiva horaria seu de horographia gnomonica tum theoretica tum practica
.libri quatuor. Koine, ili/iS; in-f'ol., pages 63i-647.

CXII. - 1 JANVIER 1662. 459

Il suit de cette supposition que le temps qu'emploie le mobile ou la
lumière de C en 0 est moindre que celui qui les conduit de 0 en G, et
que le temps du mouvement de C en 0, qui se fait dans le milieu le
plus rare, n'est que la moitié du temps du mouvement de 0 en G. Et
par conséquent la mesure du mouvement entier par les deux droites CO

Fi". 100.

et OG peut être représentée par la somme de la moitié de CO et de la
totale OG; de même, si vous prenez un autre point, comme F, le temps
du mouvement par les deux droites CF et FG peut être représenté par
la somme de la moitié de CF et de la totale FG.

Supposons maintenant que le rayon CO soit lo, et par conséquent le
diamètre total COG sera 20; que la droite HO soit 8, la droite OD soit
aussi 8; et qu'enfin la droite OF ne soit que i. Je dis qu'en ce cas le
mouvement qui se fait par la droite COG se fera en un temps plus
long que celui qui se fiùt par les deux côtés du triangle CF, FG.

Car si nous prouvons que la moitié de CO, jointe à la totale OG, con-
tient plus que la moitié de CF jointe à la totale FG, la conclusion
sera manifeste, puisque ces deux sommes sont justement la mesure
du temps de ces deux mouvements. Or la somme de la moitié de CO
et de la totale OG fait justement i5, et il est évident par la construc-
tion que la droite CF est égale à la racine quarrée de 117 et que la
droite FG est égale à la racine quarrée de 85. Mais la moitié de la pre-
mière racine, jointe à la seconde, fait moins que — ? et -^ sont encore
•> '44

moindres que i5. Donc la somme de la moitié de CF et de la totale FG

UO Œl VRES DE FERMAT.— CORUESPONDANCE.

est inoimli'c (|iio la somme tic la moitit' do (X) ot do la totale OG, ot par-
lant lo iiioiiveimMil par les deux droites (^F, FG se t'ait plus toi et en
moins de temps que par la hase ou soustendante COG.

4. Je suis venu jusquos-là sans beaucoup de peine, mais il a fallu por-
ter la recherche plus loin et, parce que, pour satisfaire à mon principe,
il ne suffit i)as d'avoir trouvé un point comme V, par où le mouvement
naturel se fait plus vite, plus aisément et en moins de temps que par la
droite COG, mais [qu]'il faut encore trouver le point qui fait la con-
duite en moins de temps que quelque autre que ce soit, pris des deux
cotés, il m'a été nécessaire d'avoir en cette occasion recours à ma
méthode de maximis et minimls , qui expédie cette sorte de questions
avec assez île succès.

Dès que j'ai voulu entreprendre cette analyse, j'ai eu deux obstacles
il surmonter : le premier, que, bien que je fusse assuré de la vérité de
mon principe, qui est qu'il n'y ait rien de si probable ni de si apparent
((uc cette supposition, que la nature agit toujours par les moyens les
plus aisés, c'est-ii-dire ou par les lignes les plus courtes, lorsqu'elles
n'emportent pas plus de temps, ou en tout cas par le temps le plus
court, afin d'accourcir son travail et de venir plus tôt à bout de son
opération (ce que le précédent calcul confirme, d'autant plus qu'il
paroit que la lumière a plus de diiïiculté à traverser les milieux denses
que les rares, puisque vous voyez que la réfraction vise vers la perpen-
diculaire dans mon exemple, ainsi que l'expérience le confirme, ce qui
pourtant est contraire à la supposition de M. Descartos), néanmoins
j'ai été averti de tous côtés, et principalement par M. Petit, que j'estime
infiniment, que les expériences s'accordent exactement avec la propor-
tion que M. Descartes a donnée aux réfractions, et que, bien que sa
démonstration soit fautive, il est ii craindi'c (|uc je tenterai inutilement
d'introduire une proportion différente de la sienne, et que les expé-
riences qui se feront après que j'aurai publié mon invention la pour-
ront détruire sur l'heure.

Le second obstacle qui s'est opposé à ma recherche a été la longueur

CXII. - 1 JANVIER 1G6-2. ^^61

et la difficulté du calcul, qui, dans la résolution du problème dont je
vous parlai dans ma lettre et que je vous témoignois n'être pas des plus
aisés, présente d'abord quatre lignes par leurs racines quarrées et
engage par conséquent en des asymmétries qui aboutissent à une très
grande longueur.

Je me suis défait du premier obstacle par la connoissance que j'ai
qu'il y a infinies proportions, dilTérentes de la véritable, qui approchent
d'elle si insensiblement qu'elles peuvent tromper les plus habiles et
les plus exacts observateurs. Ainsi n'y ayant que le second obstacle à
vaincre, je m'étois résolu très souvent d'em|tloyer la bien-aimée (')
Géométrie (c'est ainsi que Plutarque l'appelle) pour vous satisfaire et
pour me satisfaire moi-même. Mais l'appréhension de trouver, après une
longue et pénible opération, quelque proportion irrégulière et fan-
tasque, et la pente naturelle que j'ai vers la paresse, ont laissé la
chose en cet état, jnsqu'à la dernière semonce que M. le Président
[de J Miremont vient de me faire de votre part, que je prends pour une
loi plus forte que ni mon appréhension ni ma paresse : si bien «jue je
me suis résolu de vous obéir sans autre retardement.

5. J'ai donc procédé sans remise en vertu de l'obédience, comme
parlent les moines, à l'exécution de vos ordres, et j'ai fait l'entière
analyse en forme, dans laquelle le désir passionné que j'ai eu de vous
satisfaire m'a inspiré une route qui a abrégé la moitié de mon travail
et qui a réduit les quatre asymmétries que j'avois eu en vue la pre-
mière fois à deux tant seulement, ce qui m'a notablement soulagé.

Mais le prix de mon travail a été le plus extraordinaire, le plus
imprévu et le plus heureux qui fut jamais. Car, après avoir couru par
toutes les équations, multiplications, antithèses et autres opérations de
ma méthode, et avoir enfin conclu le problème que vous verrez dans
un feuillet séparé (-), j'ai trouvé que mon principe donnoit justement

(') Plutarque, Marcellus, xiv, 5 : Ttjv fàp ÔYoc-ojpisvriv TaÔTr,'/. . . .

En fait, il s'agit dans ce passage, relatif à Arcliimècie, de Mécanique, non de Géométrie.

(2) Voir VJiudy.iis ad refractiones, t. I, p. 170 et sniv.

VG2 ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

el préciséiiuMit la menu* propordon dos réfractions que M. Doscartcs a
établie.

J'ai été si surpris d'un événement si pou attendu, ((uo j'ai poiiio ii
revenir do mon étonnemonl. J'ai réitéré mes opérations algébraïquos
diverses fois et toujours le succès a été le même, quoique ma démon-
stration suppose que le passage de la lumière par les corps denses soit
plus malaisé que par les rares, ce que je crois très vrai et indispu-
tahle, et que néanmoins M. Descartos suppose le contraire.

Que devons-nous conclure de tout ceci? Ne sufiîroit-il pas. Monsieur,
aux amis de M. Descartes que je lui laisse la possession libre de son
théorème? N'aura-t-il pas assez de gloire d'avoir connu les démarches
de la nature dans la première vue et sans l'aide d'aucune démon-
stration? Je lui cède donc la victoire et le champ de bataille, et je me
contente que M. Clerselior me laisse entrer du moins dans la société
do la preuve de cette vérité si importante, et qui doit produire des con-
séquences si admirables.

6. J'ajoute même, en faveur de son ami, qu'il semble que cotte grande
vérité naturelle n'a pas osé tenir devant ce grand génie, et qu'elle s'est
rendue et découverte à lui sans s'y laisser forcer par la démonstration,
à l'exemple de ces places qui, quoique bonnes d'ailleurs et de difficile
prise, ne laissent pas, sur la seule i-éputation de celui qui les attaque,
de se rendre sans attendre le canon.

Je vous annonce donc. Monsieur, j'annonce à M. Clerselier et à tous
les amis de M. Descartes qu'il ne tiendra plus à l'incrédulité des
géomètres qu'on ne doive attendre les merveilles que M. Descartes a fait
espérer avec raison de ses lunettes elliptiques et hyperboliques,
pourvu qu'on puisse trouver des ouvriers assez habiles pour les faire
et pour les ajuster.

Il resteroit encore une petite difficulté que la comparaison de M. Des-
cartes semble produire. C'est qu'il no paroît pas encore pourquoi la
balle qui est poussée dans l'eau n'ap|»roche pas de la perpendiculaire,
ainsi que la lumii-ro; mais, outre (lu'on j)ourroit soujx'onnor que la

CXII. - 1 JANVIER 1662. iG3

réflexion se mêle dans cet exemple à la réfraction, et que la figure ou
la gravité peuvent contribuer à la difl'érence de ce mouvement, je n'ai
garde d'entrer dans une matière purement physique. Ce seroit entre-
prendre sur vous, Monsieur, qui en êtes le maître, et faire irruption
dans votre domaine.

Je finis donc après vous avoir déclaré que je consens, si vous le
trouvez à propos, que l'accommodement entre les Cartésiens et moi
soit publié dans les Académies, [et] après vous avoir conjuré de rece-
voir au moins l'effet de ma prompte obéissance pour une preuve cer-
taine et plus que démonstrative de la passion avec laquelle je suis,
Monsieur, votre très humble et très obéissant serviteur.

Fermât.
A Toulouse, le i de l'an 1662.

P. S. Si vous persistez toujours à n'accorder pas un mouvement
successif à la lumière, et à soutenir qu'il se fait en un instant, vous
n'avez qu'à comparer ou la facilité ou la fuite et résistance plus ou
moins grande, à mesure que les milieux changent. Car cette facilité ou
cette résistance étant plus ou moins grande en différents milieux, et ce
en une proportion diverse à mesure que les milieux diffèrent davan-
tage, elles pourront être considérées en une raison certaine et par con-
séquent tomber dans le calcul aussi bien que le temps du mouvement,
et ma démonstration y servira toujours d'une même manière.

Je n'ai pas étendu mon opération tout entière : et il n'a pas été
nécessaire, puisque ma méthode est imprimée tout au long dans le
sixième tome du Cours malhématique d'Hérigone et que j'en ai assez
dit pour être entendu. Si vous m'ordonnez de parcourir tous les
détours de l'analyse en forme, je le ferai et je n'aurai pas même beau-
coup de peine à faire la démonstration par la composition, c'est-à-dire
en parlant le langage d'Euclide.

i()V ŒUVRES Di: FERMAT.- CORRESPONDANCE.

CXIII.
CLERSELIEU A FERMAT.

SAMEDI G MAI 1G62.

(D.,-iir, 52.)

Monsieur,

No croyez pas (|iie ce soit à dessein de troubler la paix que vous pré-
sentez à fous les Descartistes, que je prends aujourd'hui la plume ;i la
niaiii. Les conditions sous lesquelles vous la leur offrez leur sont trop
avantageuses, et à moi en particulier trop honorables, pour ne la pas
accepter; e( si tous ceux qui ont jamais eu des démêlés avec leur
maître étoieiit aussi sincères que vous, vous la verriez bientôt établie
partout au contentement de tous les partis.

11 y avoit encore deux sortes d'esprits à satisfaire au sujet de la
réfraction :

Les uns, peu versés dans les Mathématiques, qui ne pouvoient com-
prendre une raison prise de la nature des mouvemens composés, et
vous leur avez fait entendre raison, en leur proposant un autre prin-
cipe plus plausible en apparence et plus proportionné à leur portée, à
savoir (|ue la nature agit toujours par les voies les plus courtes et les
plus simples;

Les autres qui y étoient trop adonnés et qui ne pouvoient se rendre
aux raisons pures et simples de la métaphysique, qu'il faut pourtant
nécessairement joindre avec celles-là pour leur donner la force de la
conviction, et vous leur avez ôté cet obstacle en conduisant votre prin-
cipe par un raisonnement purement géométrique.

Kl comme ces deux sortes de personnes étoient sans doute beaucoup
|)lns (Ml nombre que les autres, vous méritez aussi sans difficulté une
|diis Lcrandc part dans la gloire (jtii est due à une si belle et si impor-
tante découverte.

Je ne vous l'envie |)oiiit. Monsieur, et vous promets de le publier

CXIII. - 6 MAI 1662. 465

partout et de conFesscr hautement que je n'ai rien vu de plus ingé-
nieux ni de mieux trouvé que la démonstration que vous avez appor-
tée. Permettez-moi seulement de vous dire ici les raisons qu'un Des-
cartiste un peu zélé pourroit alléguer pour maintenir l'honneur et le
droit de son maître, et pour ne pas relâcher si tôt à un autre la posses-
sion où il est, ni lui céder le premier pas.

1- Le principe que vous prenez pour fondement de votre démon-
stration, il savoir que la nature agit toujours par les voies les plus
courtes et les plus simples, n'est qu'un principe moral et non point
physique, qui n'est point et qui ne peut être la cause d'aucun effet de
la nature.

Il ne l'est point, car ce n'est point ce principe qui la fait agir, mais
bien la force secrète et la vertu qui est dans chaque chose, qui n'est
jamais déterminée à un t(d ou tel effet par ce principe, mais par la
force qui est dans toutes les causes qui concourent ensemble à une
même action, et par la disposition qui se trouve actuellement dans tous
les corps sur lesquels cette force agit.

Et il ne le peut être, autrement nous supposerions de la connois-
sance dans la nature : et ici, par la nature, nous entendons seulement
cet ordre et cette loi établie dans le monde tel qu'il est, laquelle agit
sans prévoyance, sans choix, et par une détermination nécessaire.

2. Ce même principe doit mettre la nature en irrésolution, ii ne
savoir ;i quoi se déterminer, quand elle a à faire passer un rayon de
lumière d'un corps rare dans un plus dense. Car je vous demande
s'il est vrai que la nature doive toujours agir par les voies les plus
courtes et les plus simples, puisque la ligne droite est sans doute et
plus courte et plus simple que pas une autre, quand un rayon de lu-
mière a à partir d'un point d'un corps rare pour se terminer dans un
point d'un corps dense, n'y a-t-il pas lieu de faire hésiter la nature, si
vous voulez qu'elle agisse par ce principe à suivre la ligne droite aus-
sitôt que la rompue, puisque si celle-ci se trouve plus courte en temps,

Fkiim\t. — II. 09

VtUi (Kl VHKS DE FERMAT. - CORRESPONDANCE.

l'autre so trouve plus courte et plus simple en mesure? (Jui décidera
donc et qui prononcera là-dessus?

3. Comme le temps n'est point ce ([ui meut, il ne peut être non plus
ce qui détermine le mouvement, et quand une fois un corps est mû et
déterminé ;i aller quelque part, il n'y a nulle apparence de croire que
le temps plus ou moins bref puisse obliger ce corps à cbanger de déter-
mination, lui qui n'agit point et qui n'a nul pouvoir sur lui. Mais
comme toute la vitesse et toute la détermination du mouvement de ce
corps dépend de sa force et de la disposition de sa force, il est bien
plus naturel et c'est, à mon avis, parler plus en physicien de dire,
comme fait M. Descartes, que la vitesse et la détermination de ce corps
changent par le changement qui arrive en la force et en la disposition
de cette force, (|ui sont les véritables causes de son mouvement, que
non pas de dire, comme vous faites, qu'elles changent par un dessein
que la nature a d'aller toujours par le chemin qu'elle peut parcourir
plus promptement, dessein qu'elle ne peut avoir, puisqu'elle agit sans
connoissance, et qui n'a nul elTet sur ce corj)s.

4. Comme il n'y a que la ligne droite qui soit déterminée, il n'y a
aussi que cette ligne-là seule où la nature tende dans tous ses mouve-
mens et, bien que parfois un corps par son mouvement décrive actuel-
lement une autre ligne, néanmoins, à considérer l'un après l'autre
tous les points qu'il a parcourus, ils sont plutôt les points d'autant de
lignes droites qu'il quitte successivement que ceux d'une ligne courbe
qu'il tende à décrire, et il les a plutôt parcourus comme tels qu'autre-
ment, puisque, sitôt que ce corps est laissé et abandonné à la force qui
le meut en chaque point, il se porte à suivre la ligne droite à laquelle ce
point appartient, et pointdutoutla ligne courbe qu'il a décrite (y?^. ici).

Cela étant, s'il est question de porter un rayon de lumière du point M
au point H, il est certain «[ue la nature l'envoiera tout droit par la
ligne MH, si cela se peut, et de fait, quand le milieu est semblable et
égal, elle n'y manque jamais. Mais quand le milieu par où la lumière

CXIII. - 6 MAI 1662. i67

passe change de nature et oppose plus ou moins de résistance à son
passage et à son cours, qui fera changer sa direction à la rencontre de
ce milieu? Que peut-on soupçonner qui en soit la cause?

Fig. loi.

La brièveté du temps? Nullement. Car, quand le rayon MN es! par-
venu au point N, il lui doit être indifférent, suivant ce principe, d'aller
à tous les points de la circonférence BHA, puisqu'il lui faut autant de
temps à parvenir aux uns qu'aux autres, et, cette raison de la brièveté
du temps ne le pouvant emporter alors vers un endroit plutôt que vers
un autre, il y auroit raison qu'il dût plutôt suivre la ligne droite, ('ar,
pour choisir le point H plutôt que tout autre, il faudroit supposer que
ce rayon MN, que la nature n'a pu envoyer vers là sans une tendance
indéfinie en ligne droite, se souvint qu'il est parti du point .M avec
ordre d'aller chercher, à la rencontre de cet autre milieu, le chemin
qu'il put parcourir en moins de temps pour de là arriver en H : ce
qui, à vrai dire, est imaginaire et nullement fondé en Physique.

Qui fera donc changer la direction du rayon MN (quand il est par-
venu au point N) à la rencontre d'un autre milieu? sinon celle (ju'al-
lègue M. Descartes, qui est que la même force qui agit et qui meut
le rayon MN, trouvant une autre disposition à recevoir son action dans
ce milieu que dans l'autre, ce qui change la sienne à son égard, con-
forme la direction de ce rayon à la disposition qu'elle a pour lors? Et,
pource qu'au point de rencontre de cet autre milieu, c'est la seule
force qui porte le rayon en bas, qui se ressent de la diversité à recevoir
son action, qui est entre le milieu d'où il sort et celui où il entre (celle
qui le porte à droite ne s'en ressentant point, à cause que ce milieu ne

tCS ŒUVRRS DE FERMAT.- (.OHUESPONDANCE.

lui («si aiu'iiiuMiKMil opposé en rc stMis-là), le changomont (jiii arrive à
la façon dont l'action de la force qui le porte en bas est reçue dans ce
point de rencontre, change aussi la direction du rayon et le fait dé-
tourner du côté où il est attiré, selon la proportion qui se trouve alors
entre l'action de cette force et celle de l'autre. Et cela me semble si
clair qu'il ne doit plus rester aucune diiricullé.

5. S'il semble apparemment plus raisonnable de croire que la lu-
mière trouve plus aisément passage dans les corps rares que dans les
denses, ainsi que vous le supposez, fondé sur l'expérience de tous les
corps sensibles qui l'ont sans doute plus libre dans ces sortes de mi-
lieux, il est aussi, ce me semble, plus raisonnable de croire que les
corps qui entrent dans des milieux qui font plus de résistance à leur
passage que ceux d'où ils sortent, comme vous supposez que les corps
denses font à la lumière, s'efforcent de s'en éloigner et ne s'y enfon-
cent que le moins qu'ils peuvent.

Ce que l'expérience confirme : ainsi, quand une balle est poussée de
biais de l'air dans l'eau, bien loin de continuer son mouvement en
ligne droite, et beaucoup plus de s'enfoncer davantage en approchant
de la perpendiculaire, elle s'en éloigne autant qu'elle peut en s'appro-
chant de la superficie. Et vous avez fort bien reconnu la force de cette
objection, que vous appelez pourtant légère, mais que vous ne sauriez
résoudre que par le principe de M. Descartes, qui ruine entièrement
le vôtre.

Car si, par votre principe même, la balle doit s'éloigner de la per-
pendiculaire, pourquoi la lumière s'en approche-t-elle? Et si la balle
ne suit pas votre principe, comme en effet elle ne le suit pas, pourquoi
la lumière le suivra-t-elle? (^ela ne fait-il pas plutôt voir que, dans l'un
et dans l'autre exemple, la nature n'agit pas par votre principe?

6. Cette voie que vous estimez la plus courte parce qu'elle est la
plus prompte, n'est qu'une voie d'erreur et d'égarement que la nature
ne suit point, et ne peut avoir intention de suivre;. (]ar, comme elle est

CXIII. - 6 MAI 166-2. 469

déterminée en tout ce qu'elle fait, elle no tend jamais qu'à conduire
ses mouvemens en ligne droite.

Et ainsi, si vous voulez que d'abord elle tende d'M vers H, elle ne
peut s'aviser de dresser un rayon vers N, pource que ce rayon de soi
n'y tend nullement; mais elle dressera son rayon vers R et, ce rayon
étant là une fois parvenu, qui est le plus droit, le plus court et le plus
bref de tous ceux qui peuvent tendre à ce point, pour aller mainte-
nant d'R en H. le plus droit encore, le plus court et le plus bref est
d'aller tout droit vers H. Et ainsi, si la nature agissoit par votre prin-
cipe même, elle devroit aller directement d'M vers H; car d'un côté
elle est nécessitée à diriger d'abord son rayon vers R, et de là votre
principe même la porte vers H.

7- Et, bien que vous ayez très clairement démontré, suivant votre
supposition, que le temps des deux rayons MN, NH, pris ensemble, est
plus bref que celui de deux autres, quels qu'ils soient, pris aussi en-
semble, ce n'est pourtant pas la raison de la brièveté du temps qui
porte ces deux rayons par ces deux lignes.

Car seroit-il bien possible qu'un rayon qui est déjà dans l'air, qui a
déjà sa direction toute droite et qui ne tend nullement ailleurs, sitôt
qu'on lui oppose de l'eau ou du verre, s'avisât de se détourner ainsi
qu'il fait, pour le seul dessein d'aller justement chercher un point où
son mouvement composé soit le plus bref de tous ceux qui y peuvent
aller du lieu de son départ? Cette raison seroit bien métaphysique
pour un sujet purement matériel.

Ne doit-on pas plutôt croire, ainsi que j'ai déjà dit, que comme c'jest
la force du mouvement et sa détermination qui ont conduit ce rayon
dans la première ligne qu'il a décrite, sans que le temps y ait rien con-
tribué, c'est le changement qui arrive dans cette force et dans cette
détermination qui lui fait prendre la route de l'autre qu'il a à décrire,
sans que le temps y contribue, puisque le temps ne produit rien?

8. Enfin la différence que je trouve entre M. Descartes et vous est

V70 ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

que vous iio prouvoz point, mais que vous supposez pour principe, que
la luiiiii're passe plus aisément dans les (îorps rares que dans les
denses; au lieu ipie M. Descartes prouve, et ne suppose pas simple-
ment, ainsi que vous dites, (|ue la lumière passe plus aisément dans
les corps denses que dans les rares.

Car, posé votre principe et posé encore que la nature agisse tou-
jours par les voies les plus courtes ou les plus promptes, vous con-
cluez fort bien que la lumière doit suivre le chemin qu'elle tient dans
la réfraction; là où M. Descartes, sans rien supposer, se sert seule-
ment de l'expérience même pour conclure que la lumière passe plus
aisément dans les corps denses que dans les rares, et donne en même
temps le moyen de mesurer la propoi'tion avec laquelle cela se fait.
Hl , pource qu'il jugeoit bien que l'expérience journalière que nous
avons du contraire pourroit nous donner lieu de nous en étonner, il
en rend la raison physique dans la vingt-troisième page de sa Diop-
trique, à laquelle on peut avoir recours.

.Mais, s'il est vrai que la lumière passe plus difficilement dans les
corps rares que dans les denses, comme la raison alléguée en ce lieu-là
par M. Descartes semble le prouver, et s'il est vrai aussi que la nature
n'agisse pas toujours par les voies les plus promptes, comme l'exemple
de la balle qui passe de l'air dans l'eau le justifie, adieu toute votre
démonstration.

Et même, comme vous dites avoir autrefois proposé vos difficultés à
M. Descartes, à lui, dites-vous, iwenti alque sentienti ('), sans que ni
lui ni ses amis vous aient jamais satisfait, ne pourroit-on pas aussi dire
qu'il vous a fait réponse de son vivant, et ses amis depuis sa mort?
tibi, i/Kjiiam, vivenii, et nisidiceie nefas essel, adderem : cl non intelli-
genti, puisqu'il y en a qui se persuadent de la bien entendre.

Kt entin, comme vous dites que la nature semble avoir eu cette défé-
rence et cette complaisance pour M. Descartes de s'être rendue à
lui et lui avoir découvert ses vérités sans s'y laisser forcer par la

(') f'oir ci-dessus, pages 35j-3.')C.

CXIII. - 13 MAI 1662. 471

démonstration, ne peut-on pas dire que vous avez forcé la Géométrie,
toute sévère qu'elle est, à vous en fournir une par le moyen de cette
double fausse position?

Après quoi je laisse aux plus sévères et plus clairvoyans natura-
listes à juger qui de vous deux a le mieux rencontré dans la cause
qu'il a assignée à la réfraction. Cela n'empêche pas qu'à considérer
les choses d'une autre façon, je ne sois d'accord avec vous que la
nature agit toujours par les voies les plus courtes et les plus promptes.
Car, comme elle n'agit que par la force qui l'emporte nécessairement
et qu'elle est toujours déterminée dans son action, elle fait toujours
tout ce qu'elle peut faire; et ainsi, quelque route qu'elle prenne, c'est
toujours la plus courte et la plus prompte qui se pouvoit, eu égard à
toutes les causes qui l'ont fait agir et qui l'ont déterminée.

Après vous avoir ainsi proposé ce qui me fait persister dans mes
premiers sentimens, je ne laisse pas de me sentir obligé de me rendre
et d'acquiescer en quelque façon aux vôtres; et, bien loin de vous dis-
puter la gloire d'entrer dans la société de la preuve d'une vérité si
importante, je pense avoir trouvé un moyen qui vous doit mettre tous
deux d'accord, en laissant à chacun la part qui lui appartient.

Il semble que, comme la lumière est la plus noble production de
la nature, elle la laisse aussi agir d'une manière la plus régulière
et la plus universelle, et qu'elle a fait que dans son action tout ce
qu'elle emploie de principes dans toutes les autres causes se rencon-
trent tous ensemble dans celle-ci.

Ainsi, pource que les mouvemens des autres corps dépendent de
la force qui les meut et de la détermination de cette force, la lumière,
suivant ces lois, tantôt se continue en ligne droite et tantôt s'en écarte,
en s'approchant ou s'éloignant de la perpendiculaire. Mais pource que
nous voyons aussi que la nature agit toujours par les voies les plus
courtes, il falloit que la lumière s'accommodât à cette loi.

M. Descartes a fait voir que la lumière suit dans la réfraction les lois
ordinaires du mouvement de tous les corps, et vous. Monsieur, avez
fait voir que, quoique la lumière semble' dans la réfraction prendre un

i7-2 ŒUVRES J)E FERMAT. CORRESPONDANCE.

détour cl s'oubliiM' qu'olle doit ai;ir jiar les voies les plus eourles, elle
observe néanmoins cette loi avec une exactitude si grande qu'on n'y
sauroit rien désirer.

Kt ainsi l'on peut dire que vous avez travaillé conjointement avec
M. Descartes à justifier en cela la nature et à rendre raison de son
procédé : lui. par des raisons naturelles et communes à tous les corps;
et vous. Monsieur, par des raisons mathématiques tirées de la plus
pure et plus fine Géométrie.

Kt même, comme cette preuve géométrique étoit la plus dillicile à
trouver et à démêler, je veux bien que vous l'emportiez par dessus
lui, et dès à présent je signe et souscris ;> une éternelle paix avec
vous, et ne veux plus désormais contester sur rinefïicacité de votre
principe et sur la différence qui est entre le votre et le sien, puisqu'il
conclut une même chose et nous enseigne une même vérité.

.le suis, etc.

C\IV.
CLERSELIKK A FERMAT.

SAMEDI 13 MAI 1662.

(D., III, 5.3.)

MoNsiF.rr.,

1. (l'est par l'ordre de l'Assemblée qui se tient toutes les semaines
chez M. de Montmort, que je vous écris aujourd'hui ])our vous faire
une amende honorable d'un méchant mot latin que j'ai mis dans la
lettre que je me donnai l'honneur de vous écrire il y a huit jours, dont
je lui fis la lecture mardi dernier. Ce tut la seule chose qu'elle y trouva
il redire, et je l'avois bien senti moi-même en l'écrivant : aussi avois-je
lâché de l'adoucir par le correctif qui le précède. (Cependant, nonob-
stant cela, j'en ixm^us une réprimande publi([ue, et aussitôt je me pro-
posai de vous en l'aire mes excuses au jjremier ordinaire, ce (]iie je fais

(,\II1. — G MAI lG(i-2. iï:i

aujourd'hui d'autant plus volontiers qu'outre que par cette soumission
je vous ferai connoitre l'ingénuité de mon procédé, cela me donnera
aussi occasion de vous dire quelque chose que je fus obligé de répli-
quer à quelques objections qui me furent faites par quelques-uns de
l'Assemblée, afin de rendre la |)ensée de M. Descartes, touchant la
réfraction, plus claire [lar un exemple familier et qui est tout-ii-fait
propre au sujet.

Si je n'avois |)oinl été si impatient que de vous envoyer une chose
((ui éloit prête il y avoit plus de quinze jours et que l'engagement
((ue j'avois m'avoit obligé de faire voir dès-lors à 31. de la Chambre,
j'aurois évité le reproche de la (^onijiagnie et ne serois pas tombé dans
cette faute. Mais j'eus peur qu'il me fallût encore différer plus long-
temps d'en parler ii l'Assemblée, qui avoit déjà remis par deux fois la
lecture que je lui en voulois faire, pourcc (|n'elle vouloit aussi avoir
en même temps les sentimens de M. Petit, qui lui avoit fait con-
noitre, dès la |)remière l'ois que votre lettre j)arut devant elle, (pi'il
avoit plusi(nirs choses à dire et contre ce que vous écrivez à 31. de
la (Ihambre et contre ce que 31. Descartes a écrit.

Pour moi, ((ni ne m'étois pas trouvé à l'Assemblée quand voire
lettre y fut lue la première fois, et (|ui me dispensois alors souvent
de m'y trouver, ;i cause de quebjues affaires plus importantes que la
délenlion de 3F. de la Haye, mon gendre, me donnoitpour poursuivre
il la cour sa liberté, je ne l'eus pas plus tôt vue ({ue je crus être
obligé d'y faire réponse, comme étant une suite des petits démêlés
(|iie nous avions déjii eus autrefois ensemble sur la même matiiM'c, et
[)arce aussi que vous me faites l'honneur de me nommer par ti'ois fois
dans votre lettre et de sembler m'y convier.

.l'avois donc préparé ma réponse le plus tôt (|ue j'avois pu, et pen-
sois la faire voir ii la Compagnie, mais elle ne le jugea pas ii profios,
pour ne point prévenir 31. Petit dans la re[)artie qu'il avoit promis de
vous faire. 31ais, craignant que cela n'allât trop en longueur, je nu-
résolus de moi-même samedi dernier de vous l'envoyer avant (|uc de
l'avoir fait voir ;i la Compagnie, de qui j'ai reçu les avis trop tard p(Mir

l'F.niHT. - II. 6o

h.n ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE.

m'iMiipècluT ck' (onihcr dans ccUo l'auto, mais non ])as pour vous on
taire nios excuses et vous on demander le j)ardon.

Et pour le mériter en quoique façon, soudVoz (|uo je m'explique un
pou [dus au long (|uo je no lis la dornière t'ois, pour vous faire eom-
proiidro eo que je j)ense do la pensée qu'a eue M. Descartes touchant
la léfraction.

2. Il est certain qu'il considérer tout seul le rayon AB, en tant qu'il
est dans l'air, il no va ni à gaucho ni ii droite, ni en haut ni en bas,
mais toute sa tendance est d'aller vers D et n'a qu'une seule direction.
.Mais sitôt qu'on lui oppose un autre milieu, par exemple (]BE, dans
lo(Hii'l il soit oltligé de passer, on peut dire et il est vrai qu'à l'égard
de ce milieu il a diverses tendances. Car si on le lui oppose directe-
mont, sa chute est perpendiculaire et n'a qu'une direction à son égard;
mais si on le lui (qt|>oso do biais, comme il est dans la page 17 de la
l)ioptri(juo ( //ff. 102), alors ce rayon à son égard a une double direction :

Fia:. >03.

l'une qui le fait tendre vers lui, qui est de haut on bas; et l'autre qui le
|)orte de gauche à droite, à laquelle ce milieu n'est point du tout opposé.
Kt si on le lui opposoit d'une autre façon, la même direction, qui
maintenant est de gauche à droite, pourroit être celle qui le porteroit
vers lui, et l'autre, celh^ ii laquelle ce milieu ne seroit point op|)osé.
Et selon que ce milieu est plus ou moins incliné à ce rayon, les doux
tendances ou directions qu'il a à son égard sont diverses et peuvent
avnij- rnno à l'égard do l'autre diverses propoi'tions.

CXIV. - 13 MAI 16G2. i7o

3. Mais quand jp parle de tendance, de direction ou de détermination,
ne vous allez pas imaginer que j'entends parler d'une direction sans
force et sans mouvement, ce qui seroit chimérique et impossible, ne
pouvant y avoir de direction sans mouvement ou sans effort ; mais j'en-
tends par ce mot de direction ou de détermination vers quelque en-
droit toute la partie du mouvement qui est déterminée à aller vers cet
endroit-là.

Donc, selon que le milieu est plus ou moins incliné au rayon, la
force qui à son égard le porte vers un certain endroit peut être plus
ou moins grande que celle qui le porte vers l'autre. Par exemple, si
l'angle ABC est égal à l'angle ABH, les deux parties du mouvement,
dont l'une le porte en bas et l'autre ii droite, sont égales; s'il est
moindre, sa force est moindre; et s'il est plus grand, elle est plus
srande.

fi

4. Mais, quelle que soit l'inclination du rayon sur le milieu, il y a tou-
jours une partie de la force de son mouvement à laquelle ce milieu est
opposé et une autre à laquelle il ne l'est point. Or, tandis que le rayon
est dans l'air, la proportion, quelle qu'elle soit, qui est entre ces deux
parties du mouvement que nous supposons uniforme, le porte dans la
ligne AB et, tandis que rien ne la change ou tandis qu'elles changent
en gardant toujours entre elles une même proportion, le rayon va tou-
jours en ligne droite.

Mais lorsque le rayon AB de la page 17 étant parvenu au point B ren-
contre un autre milieu, si ce milieu ne présente pas au rayon la même
focilité il se laisser pénétrer qu'avoit l'air, il doit arriver du change-
ment au cours du rayon, à cause que ce milieu n'est opposé qu'à la dé-
termination ou à la partie du mouvement qui le porte vers lui, et non
point à l'autre, et s'il présente moins de facilité au passage du rayon
que ne fait l'air, la résistance qu'il apporte à la partie du mouvement
qui tend vers lui, et non point à l'autre, laquelle en ce point de ren-
contre demeure précisément la même, fait que, n'y ayant plus la même
proportion entre ces deux parties du mouvement qui toutes deux en-

V:G (EL'VKES 1)K FKKM VT. - cohukspondance.

S('iiil)l(' j)(>rloit'iit aii[)arav;inl le rayon dans la ligne Ali, elles doiveni
lui taire changer do détermination et le |iorler vers le point où tend la
direelion (|ni s'ajuste avec la |»ro|)ortion qui se trouve alors entre elles,
et ainsi le faire éloigner de la |)erpeiitliculair(>.

One si. au contraii'c, le milieu (jn'on oppose an rayon AU présente
plus (le facilité à son passage (|ne ne laisoit l'air, celle nouvelle facilité
ipi'il a|)porte et (|ni n'est ressentie (|ne par la par'tie du mouvement
(ini tend vers lui, et n((n point par l'auti-e, comme j'ai déjà dit, doit
changer sa direcli(ui, à cause que cela change la proportion qui est
entre les deux parties dont le mouvement entier de la balle est com-
posé, et le détourner par conséquent vers la perpendiculaire, ce <|ui
arrive (juaiid un rayon de Inmii'i'e passe de l'air dans de l'eau ou dans
lin \crre.

5. Kt pour faciliter la compréhension de tout ceci par un exemple aisé,
représejitcz-vous un corps sphérique bien dur et bien poli, mis sur
une ])lanche très dure aussi et très polie dont le bout s'appuie sur l'ex-
trémité d'une table, en sorte que la planche soit inclinée sur la table
et fasse un angle aigu avec elle. Il est certain que ce mobile roulera sur
celle planche, et ce d'autant plus ou moins vite que la planche sera
moins (Hi plus inclinée sur cette table. Mais, quel que soit le mouve-
ment dn mobile surcette planche, il est certain qu'à l'égard de la table
il a deux déterminations : l'une (|ui le j)orte vers elle, par laquelle il
descend ; el l'antre qui le poi'te vei's l'une îles murailles de la chambre,
par la(|uellc il avance de ce côté-là.

I']t il est si vrai qu'il a ces deux impressions, qu'il les garde encore
tontes deux lorsqu'il est en l'air hors de la planche; et s'il ne lui en
restoit qu'une quand il est hors de dessus la planche, il ne suivroil que
cidie-là seule; par exemple, il tomberoil perpendiculairement à terre
sitôt qu'il a quitlé la j)lanche, s'il ne lui restoit que celle de sa chute.

Mais considérez ce qui arrive au mobile quand il est au point on il
quitte la planche, el vous verrez qu'il arrive la même chose à la lii-
mii're quand idie passe de l'air dans l'eau. Kt parce qu'alors la partie

CXIV. - 13 Mil 1G6-2. iT-

ilii iiKiuvomoiit qui porto le mobile en ijas trouve plus de lacilité ou
moins de résistauce à son action, quand il est hors de dessus la planche
et dans l'air, qu'elle u'avoit quand il éloit sur la planche; et que celle
(|ui le porte vers la muraille deuKHire la même (bien que ce soit encore
la même force totale ([ni pousse en ce point-là le m(diil(\ et que la t'orci'
des deux parties de son mouvement prises séparément soit la même ),
néanmoins, pource que la proportion qui étoit auparavant entre la
lacilité ou la résistance que présentoit le milieu à ces deux forces est
changée, et que dans ce point de sortie il trouve plus de facilité pour
descendre qu'auparavant, sans qu'il en trouve ni plus ni moins pour
alh'r vers la muraille, [xuir cela il arrive qu'il ne suit plus la direrlion
de la ligne qu'il avoil parcourue sur la planche, mais qu'il en pi'cnd
une autre, laquelle est proportionnée au plus de lacilité qui se trouve
alors en l'une de ses forces plus qu'en l'autre. Ce qui fait que le mo-
bile, en (juittant la planche, s'approche de la perpendiculaire, c(uniiie
fait aussi la lumière en entrant dans l'eau, pour la même raison.

lit c'est il mon sens une des choses des plus aisées ii concevoir qu'il
est possible, et c'est aussi à mon avis tout ce qu'a voulu dire ^1. Des-
cartes au sujet de la réfraction. Je ne prétends pas néanmoins [xuir
cela vous avoir persuadé : il sudit que je me sois donné à entendi-e,
afin ([uc vous ne croyiez pas que je suive aveuglément .M. Descaries ou
i|ue je vous contredise de gaieté de cirur. .le vcuis ressemble en ci'
[loint (jue je n'aime et ne cherche que la vérité, et cette conformité que
j'ai avec vous me fait espérer que vous ne me désavouerez pas, (|uan(l
je m'avouerai part(Uit, etc.

P. S. Pour éclaircir davantage cette matière, j'apporterai encore ici
un (>xem|)le qui résout à mon avis la plupart des difTicultés que l'on
peut faire sur ce qu'a dit M. Descartes touchant la réfraction dans sa
Dioptrique.

11 est constant par l'expérience que, de quelque façon que la boule A
soit piuissée au point B par les boules C, D, E, F, G, et quelles que

V7S ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

soii'iil les (liUcrciilos (lottMiuiiialioiis doiil on peut supposer (iiic (('lie
(le leur nui((> soit coinposéo, elles la pousseront toujours vers 11
{fg. .o3).

Preuiioreiiieiit, pour la Iionle M, il est vliiii' (|ii'elle la doit pousser
vers H, puis(iue la itoule A s'op[)ose totalement ii sa détermination;
mais ce qui est clair [)our la houle E doit pareillement être entendu
des autres, qui, bien qu'elles viennent de biais vers la houle A, ne la

touchent au point H et ne la poussent qu'en tant qu'elles descendent
vers H, et non point en tant qu'elles vont vers 1 (ou vers K). C'est
pourquoi elles ne sauroient imprimer d'autre mouvement à celte
boule, sinon de la faire aller vers H. Or, quoique les déterminations
des boules D et F soient opposées, en tant que l'une va à droite et
l'autre à £;aucbe, elles ne le sont point en tant qu'elles descendent
et ainsi elles doivent produire sur la boule A un «lême effet, qui est
de la pousser vers H.

Mais, si nous supposons que la boule A soit dure et immobile, toutes

CXIV. - 13 MAI 1662. 479

ces boules, après l'avoir rencontrée, seront contraintes de changer la
détermination qu'elles avoient d'aller vers H en celle d'aller ou de
réfléchir vers L, et de garder les autres si elles en avoient, auxquelles
elle ne peut apporter de changement, à cause qu'elle ne leur est point
opposée en ce sens-là : et ceci explique la réflexion à angles égaux.

Que si nous supposons que ces boules aient communiqué de leur
mouvement à la boule A, ce ne peut être qu'au sens qu'elle leur est
opposée, et partant ce ne peut être que le mouvement vers H qui
puisse recevoir de l'altération, et non point celui vers I (ou vers K),
lequel par conséquent doit demeurer le même et en son entier. Si bien
que ces boules perdant au point B de la force qui les détermine à aller
vers H et ne perdant rien de celle qui les détermine à aller vers I, elles
sont contraintes de se détourner et de prendre en ce moment une autre
direction, laquelle elles gardent toujours, quelque résistance que le
milieu apporte après cela, qui peut bien les faire aller moins vite, mais
non pas changer leur direction, à cause qu'il peut bien être opposé à
leur vitesse, mais non point à la direction qu'elles ont prise, puisque
nous supposons qu'il est également facile ou difficile à s'ouvrir ou
pénétrer de tous côtés. Et cela explique la réfraction qui s'éloigne de
la perpendiculaire.

Que si au contraire nous supposons^ que, ces boules étant au point B,
la boule A leur cède plus aisément et les entraîne, pour ainsi dire, vers
H, cela fait que ces boules descendent plus vite, mais cela ne change
rien à leur mouvement vers la drof(e (ou vers la gauche) auquel elle
n'est point opposée. Et ainsi ces boules, au moment qu'elles sont au
point B, étant plus disposées à aller vers H qu'elles n'étoient aupa-
ravant, et n'étant ni plus ni moins disposées qu'elles étofent à aller
vers I, elles doivent changer de direction et la giirder après l'avoir
prise. Et cela explique la réfraction vers la perpendiculaire.

Et pour faire voir que la résistance plus ou moins grande du corps
ilu milieu n'y fait rien et ne change point la détermination que la boule
prend au point B, considérons ce qui peut arriver à la boule A selon les
dilférens cas qu'on peut s'imaginer. Par exemple, si la boule E tombe

•iSO (i;i \ l!i:S l)K l'KIÎM AT. - C.ORUESPONDANCE.

|n'r|)('ii(liiiilaiii'iui'iil sur A et (jii't'llc lui ('niuiuuiii(|U(' l;i uuiilic de sdii
niiiuvt'iiioiU. où ira-t-cllo? Sans doule <|u'cll(' ira vers II, cl la lorcc
(|u'('ll(' reçoit cii ci' moniciil ne la |)('ul dclcruiiucr ;i aller (|uc vers là :
luais esl-ce à dire (|u'eu allaul vei's 11 (die décrira eu deux monieus
uue ligne aussi longue (|u'a l'ail E eu un nioiueiil? Oui sans (l(tul<'. si
vous supposez que le milieu (pi"(dle parcouri lui donne passage aussi
tacilemeni (|u'avoil fail l'aulre; mais si ce milieu lui résisie davanlage,
(die en dt'crira une plus courle, comme aussi elle eu peut décrire une
égale on même une plus hnigue, si ce milieu résisie aniant ou moins ii
la force t|u'elle a reçue.

Oue si nous siip[)osous (|ue c'esl l'une des aulres boules (], D, F, (i,
(|iii renconire A au point H, il s'eusnivra la même chose, à savoir
(|u'(dle sera conirainle, par la force (|u'elle recevra, de prendi'c sa
dclerminalion vers H comme auparavant au moment même (ju'idie
en esl loiicliée. Kl la qualité du milieu ne ( liangera point celle déler-
niination, sinon (|u'ayaiit reçu moins de force, parce t|ue n'élant lon-
cliée (]ne de hiais idle n'esl pas |)oussée pai' loule la lorce de la houle
(|ui la touche, elle ira moins vite.

(Jiie si nous supposons que la houle A éloil (h'jii en mouvemeni cl
se moiivoit vers I, la (diute de l'une de ces houles sur (die n'apporle
aucun (diangemenl à la détermination qn'(dle avoit à aller vers lii.
c'esl-ii-dire à loule la force de son nniuvemenl (jui la délerminoil ii
aller vers I. el parlant (die doit conlinuer d'y aller comme (die faisoil
auparavant. Mais idie doit aussi aller en même temps vers le c(')té où la
détermine l'impicssion (]u'(dle a nouv(dlemenL reçue |)ar la (diule de
l'une de ces houles, si hien (|ue d(''s ce moment (die doit prendre sa
direction.

.Mais si nous sup|)osons que le milieu où elle se lr(uive après cela lui
résiste davaulage que ne faisoit l'autre, cela ne change point la déter-
mination (|u'(dle a jH'ise, mais fail seulement qu'elle le |)arconrt moins
vile (ju'idle n'auroit fail. (lar enfin la proportion (|ui éhtit en ce moinenl
eiilre ses deux l'(n'ces l'a déterminée il allci' (|U(d(|ue part, el qii(d(|ue
fai-ilité on dilliculté (|u'apporle ensuite le corps du milieu (|n'(dle doit

CXIV. - 13 MAI 16C2.

181

parcourir, comme elle est égale en tout sens, cela ne peut rien changer
à la détermination qu'elle a prise en sa superficie, et ne la doit ni plus
ni moins détourner.

Et la même proportion est ici gardée qu'entre de forts ou de foibles
mouvemens également proportionnés. Par exemple, que la boule A
soit poussée par deux forces égales vers B et vers C en même temps,
que doit-il arriver si elle est dans l'air? Il arrivera que ces deux forces,
ayant un grand effet sur elle, la pousseront en un moment jusques
en D. Mais si elle étoit dans l'eau, alors ces deux forces, n'ayant pas
un si grand effet sur elle, ne la pousseront que jusques en E, mais
elle ne changera point pour cela de direction.

Fig. lo'i.

\

E

Et ce que je dis de la boule A, qui est poussée par des forces égales
dans deux milieux différens, se doit entendre tout de même de toute
autre sorte de proportion qui soit entre ces deux forces : savoir est que
la diversité du milieu ne change point la direction à laquelle les forces
(|u'eile a la déterminent au premier moment, mais peut seulement
changer sa vitesse.

Par exemple, que la boule A soit poussée en même temps par deux
forces dont l'une la pousse du double plus fort vers C que l'autre ne
fait vers B, que doit- il arriver si elle est dans l'air? Il arrivera que
ces forces, ayant un grand effet sur elle, la pousseront en un moment
jusques en D. Mais si elle étoit dans l'eau, alors ces deux forces n'ayant
pas un si grand efïet sur elle, mais ne laissant pas de l'avoir de tous
côtés proportionné à leur force, parce que l'eau s'ouvre également de
tous côtés, ne la pousseront que jusques en E; mais elle ne chan-

1m;u.mat. — II. 61

i82 (i: f y W E s 1) V. F E R M AT. - C 0 1{ R E S P 0 N I) A N C E.

iïora point pour cola tlo dirootion, laquollo ollo prend dès lo premier
inoinent.

Kt ainsi, ayant égard aux premières suppositions que lait M. Des-
earles, lorsqu'il se sert de l'exemple d'une balle pour expliquer la
rétlexion e( la rétVaetion dans le chapitre second de sa Dioptrique,
c'est-à-dire supposant que ni la pesanteur ou la légèreté de la balle,
ni sa grosseur, ni sa ligure, ni aucune telle cause étrangère ne change
son cours, ce qu'il dit ensuite est véritable : c'est à savoir qu'il ne faut
considérer que la détermination que prend la balle au moment qu'elle
est au point B, sans se mettre en peine do ce qui peut arriver de chan-
gement en sa vitesse dans le milieu qu'elle parcourt par après, pource
que c'est seulement au point B qu'elle est contrainte de changer de
direction, à cause du changement qui arrive en ce point dans la pro-
portion qui est entre les deux forces qui composent tout son mouve-
ment; et la direction qu'elle a une fois prise au point B, elle la garde
|)ar après et la suit plus ou moins vite selon le plus ou moins de résis-
tance du milieu.

CXV.
FERMAT A CLERSELIER.

DIMANCHE 21 MAI 166-2 (').

(D. 111,54.)

Monsieur,

Vos deux lettres des sixième et treizième de mai (^) m'ont été ren-
dues en même temps. Elles me font plus d'honneur que je n'en devois
raisonnablement attendre, et, bien loin que vos mots latins m'aient
choqué, je suis persuadé que, dans la supposition de votre sentiment

C) L'édition Clerselicr (Idihio lu d;ile du 11 luiii iirobiibluincnl fautive par suite d'une
interversion à l'impression.
(2) Lettres CXIII et CXIV.

CXV. - 21 MAI 1662. i83

sur le sujet de la démonstralion de M. Descartes, il n'y en a point de
plus véritables en aucun endroit de vos lettres.

(]ar si cette démonstration est dans les règles des démonstrations
certaines et infaillibles, il n'est rien de plus vrai sinon que ceux qui
n'en sont pas convaincus ne l'entendent point. La qualité essentielle
d'une démonstration est de forcer à croire, de sorte que ceux qui ne
sentent pas cette force, ne sentent pas la démonstration même, c'est
à dire qu'ils ne l'entendent pas.

Je n'attribue donc, Monsieur, qu'à un excès de courtoisie et de civi-
lité cet adoucissement que Messieurs de votre Assemblée vous ont in-
spiré, et je vous eu rends très humbles grâces.

Pour la question principale, il me semble que j'ai dit souvent et ii
M. de la Chambre et à vous que je ne prétends ni n'ai jamais prétendu
être de la confidence secrète de la Nature. Elle a des voies obscures et
cachées que je n'ai jamais entrepris de pénétrer; je lui avois seule-
ment offert un petit secours de géométrie au sujet de la réfraction, si
elle en eût eu besoin. Mais puisque vous m'assurez. Monsieur, qu'elle
peut faire ses affaires sans cela et qu'elle se contente de la marche
que M. Descartes lui a prescrite, je vous abandonne de bon cœur ma
prétendue conquête de physique, et il me suffit que vous me laissiez
en possession de mon problème de géométrie tout pur et in abslraclu,
par le moyen duquel on peut trouver la route d'un mobile qui passe
[tar deux milieux différents et (jui cherche d'achever son mouvement
le plus tôt qu'il pourra.

Et je ne sais pas même si la merveille ne sera point plus grande,
en supposant que j'ai mal deviné le raisonnement de la Nature; car
peut-on s'imaginer rien de plus surprenant que ce qui m'est arrivé?
J'écrivis, il y a plus de dix ans('), iiM. de la Chambre que jecroyoisque
la réfraction se devoit réduire à ce problème de géométrie, et j'étois
pour lors tout-à-fait persuadé que l'analyse de ce problème me donne-
roil une proportion différente de celle de M. Descartes. Et néanmoins,

(M FaïU-il lire « six ans »? La lettre LXXXVI n'est pas antérieure à 1657.

\S\ (EUVRES l)i: IKRMAT. - CORRESPONnANCE.

(-11 liMitaiit le [irolili'ino, (jui os( assoz diilicilc, dix ans après, j'ai (roiivc
jiisItMiuMit la même proportion quo M. Doscartes.

Si j'ai dil un inonsongo, n'ai-jo pas([n('l(|n(' raison de prétcnilre (\uc
c't'sl nn do cos inonsongos fainonx dos(|nrls il es! dil dans le Tasse,
coninio je vous ai déjà éerit (') :

(jiuuuld sai'i'i ii vei'o
Si hcllo. cho si possa a ti prrporre?

l'Ai voilà de rcsle, je croise les armes. Penueltez-nioi seuienienl, s'il
vous plait, d'assurer ici M. Chanut et M. l'abbé d'Issoire, son tils, de
mon obéissance très humble : je n'ai pas l'Iionneur d'être connu du
[)i're, mais pourquoi serois-je le seul de toute l'Kurope (|ui n'anrois
pas une entière vénération pour lui?

Je suis, 3Ionsieur,

Votre (ri^s humble e( très obéissant serviteur,

Fermât.

(' I f'oir ci-dessus, page 367.

CX.V1. - lG6'i.. 483

ANNÉE 1664.

CWl.

FERMAT A M. DE ****.

1664.

( (a, p. i5G.)

Monsieur,

Puisque M. de parle et que vous l'ordonnez, vous, Monsieur, de

qui la réputation est si grande et si biQn établie, je laisse éveiller ma
Géométrie, qui dormoit depuis longtemps dans un profond repos et,
pour entrer d'abord en matière, je veux bien vous conter l'intrigue île
notre Dioptrique et de nos réfractions, eu forme d'histoire, afin de
vous laisser le jugement libre etque vous puissiez prononcer sans pré-
occupation.

Dès que j'eus vu le Livre de feu M. Descartes et que j'eus examiné
avec quelque attention la proposition qui sert de fondement à sa Diop-
trique et qui établit la proportion des réfractions, je soupçonnai sa
preuve; sa démonstration me sembla un véritable paralogisme :

Premièrement, parce qu'il la fonde sur une comparaison et que
vous savez que la Géométrie ne se pique guère de ces figures, les com-
paraisons y étant encore plus odieuses^ que dans le commerce du
monde;

Secondement, parce qu'il suppose que le mouvement de la lumière,
qui se fait dans l'air et dans les corps rares, est plus malaisé ou, si vous
l'aimez mieux ainsi, plus lent que celui qui se fait dans l'eau et les
autres corps denses; ce qui semble choquer le sens commun ;

i86 ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE.

lit eiiliii, parco qu'il prclciul (jik' riiiic dos dircrlions ou des drlci-
ininations du mouvomout d'une halle subsiste (oui eulit're après la
rencontre du second milieu.

.l'ajoulois même (jucdques autres raisons, qu'il sei'oit ou supei'llu on
ennuyeux de vous déduii'e. Il vil mes écrits, il y répondit et, a|)rès
plusieurs réponses et répliques de part et d'autre, nous nous sépa-
râmes comme le prévenu et le témoin, l'un dans l'allirmative, l'autre
dans la négative, (juoique j'eus eutiii des lettres de sa part pleines de
civilité.

Depuis sa mort, M. de la (Chambre, ayant publié sou Traité de la lu-
mière et m'ayant fait l'honneur de me l'envoyer, je pris occasion de lui
écrire la lettre que vous avez vue ( ' ), dans laquelle je lui témoignai que,
pour nous garantir des paralogismes en une matière si obscure, je ne
voyois point de moyen plus assuré que de chercher les réfractions dans
cet unique principe, que la nature agit toujours par les voies les plus
courtes, sur le fondement duquel je lui indiquai qu'on pouvoit cher-
cher par géométrie le point de réfraction, en le réduisant au problème
ou théorème que vous savez. Mais, parce que j'en jugeai l'invention
très diflicile et très embarrassée, puisque ces questions de maximis et
minimis conduisent d'ordinaire à des opérations de longue haleine et
qui se brouillent aisément |)ar une infinité d'asymmétries qu'on trouve
sur son chemin, je laissai là ma pensée pendant plusieurs années, en
attendant que quelque géomètre moins paresseux que moi en fit ou la
découverte ou la démonstration.

Personne ne voulut entreprendre ce travail; cependant je recevois
des lettres de M. de la Chambre de temps en temps, par lesquelles il
me pressoit d'ajouter la géométrie à mon principe et de faire la démon-
stration en forme du véritable fondement des réfractions. Ce qui me
rebutoit à l'avance étoit l'assurance que M. Petit et autres m'avoient
donnée, que leurs expériences, qu'ils avoient souvent réitérées pour
mesurer les réfractions et dans l'eau et dans le cristal et dans le verre

('; La leltre LXXXVI.

CXVI. - lC6i. 487

et dans beaucoup d'autres liqueurs différentes, s'accordoient très pré-
cisément avec la proportion de M. Descartes; de sorte qu'il me sem-
bloit inutile d'en aller chercher quelque autre par mon principe,
puisque la nature elle-même s'expliquoit si clairement en sa faveur.

L'objection que vous me faites dans votre Ecrit ne me faisoit nulle
peine et j'y avois déjà répondu dans ma lettre à M. de la Chambre par
cette raison, que tout ce qui appuie ou fait ferme sur quelque point
d'une ligne courbe est censé faire ferme ou appuyer sur la ligne droite
qui touche la courbe audit point; et ainsi, quoique la somme des
deux lignes de réflexion soit quelquefois la plus grande dans les mi-
roirs concaves, sphériques ou autres, elle est toujours la plus petite
de toutes celles qui peuvent tomber sur la ligne ou sur le plan qui
touchent les miroirs au point de la réflexion, et cela n'a pas besoin de
plus grande preuve, M. Descartes le supposant ainsi aussi bien que
moi.

Toute la difficulté se réduisoit donc à ce qu'il me paroissoit que
j'avois il combattre, non seulement les hommes, mais encore la na-
ture. Néanmoins les dernières instances de M. de la Chambre furent
si pressantes que je résolus, il y peut avoir environ deux ou trois ans,
de tenter le secours de mon analyse, m'imaginant qu'il y a une infi-
nité de proportions différentes entre elles dont les sens ne sauroient
vérifier la diversité, et qu'ainsi j'en trouverois peut-être quelqu'une
qui approcheroit de celle de M. Descartes et qui pourtant ne seroit pas
la même.

Je fis mon analyse en forme par une méthode qui m'est particulière
et qu'Hérigone a fait autrefois imprimer dans son Cours malhématique.
Je surmontai toutes les asymmétries avec peine, et voilà que tout à
coup, à la fin de mon opération, tout se débrouille et il me vient une
équation très simple qui me donne justement la même proportion de
M. Descartes.

Je crus sur l'heure avoir équivoque, car je ne pouvois me figurer
qu'on aboutît à une même conclusion par des routes tout-à-fait oppo-
sées, M. D.escartes supposant, pour un des moyens de sa démonstra-

.V88 (!■ U V 11 E S I) E F E W M VT. - C 0 11 II E S P 0 N D A N C E.

lion, que \o mouvomciil do la luiuièro troiivr plus de rôsislancc dans
l'air que dans l'eau. e( moi supposant (oui le contraire, comme vous
verrez dans la copie de ma démonstration, que j'ai tâché de refaire de
mémoire pour vous satisfaire pleinement, mon original avant été en-
voyé à M. (le la Chambre, suivant ma paresse ordinaire.

Je refis donc pour lors la question ii diverses reprises, en changeant
les positions, et je trouvai toujours la même conclusion, ce qui me
confirma deux choses : l'une, que l'opinion de M. Descartes sur la pro-
portion des réfractions est très véritable; et l'autre, que sa démonstra-
tion est très fautive et pleine de paralogismes.

3Iessieurs les Cartésiens virent ensuite ma démonstration, qui leur
fut communiquée par M. de la Chambre; ils s'opiniàtrèrent d'abord à
la rejeter et, quoique je leur représentasse tout doucement : qu'il leur
devoit suffire que le champ de bataille demeurât à M. Descartes, puis-
que son opinion se trouvoit véritable et confirmée, quoique par des
raisons difTérentes des siennes; que les plus fameux conquérants ne
s'estimoient guère moins heureux, lorsque la victoire leur étoit pro-
curée parles troupes auxiliaires, que si c'étoit par les leurs; ils ne
voulurent point, dans les premiers mouvements, entendre raillerie : ils
vouloient que ma démonstration fût fautive, puisqu'elle ne pouvoit
pas subsister, sans détruire celle de M. Descartes, qu'ils entendoient
mettre toujours hors du pair. Mais, comme les plus habiles géomètres
qui virent la mienne sembloient y donner leur approbation, ils me
firent enfin compliment par une lettre de M. Clerselier, qui est celui
qui a procuré l'impression des lettres de M. Descartes. Ils crièrent au
miracle de quoi une même vérité s'étoit rencontrée au bout de deux
chemins entièrement opposés et prononcèrent qu'ils vouloient bien
laisser la chose indécise et avouer qu'ils ne savoient à qui donner la
préférence, de M. Descartes ou de moi, sur ce sujet et que la postérité
en jugerolt.

C'est à vous, Monsieur, qui êtes sans doute destiné par votre mérite
extraordinaire à avoir grand commerce avec elle, à l'informer, si vous
le jugez à propos, de ce célèbre démêlé ou, si vous aimez mieux placer

CXVII. - 16GV.

489

ce petit Ecrit parmi vos papiers inutiles, j'y consens et tout m'est in-
difTérent.

Mais il n'en est pas de même de la très humble prière que je vous
tais de me croire, etc.

CWII.

Démonstration dont il est parlé dans la lettre précédente.

Soit la droite AFM {fig. io5), qui représente la séparation de deux
différents milieux; que l'air soit du côté de B et l'eau du coté de H. Le

Fig. in5.

rayon de lumière, qui doit aller du point B, qui est en l'air, vers le
point F, où commence le milieu de l'eau, se rompt et va vers H, s'ap-
prochant de la perpendiculaire, suivant les expériences connues et
vulgaires.

M. Descartes détermine ce point H en telle sorte, qu'en tirant une
perpendiculaire du point B sur la ligne AFM, qui soit BA, il fait que la
lisne AF est à la lia;ne FM comme la résistance d'un des milieux à celle
de l'autre, bien qu'il entende, contre mon sens, que la résistance est
plus grande dans l'air qu'elle ne l'est dans l'eau.

Soit donc la plus grande résistance représentée par la ligne AF et la
moindre par celle de FM, et par conséquent la ligne AF plus grande
que FM. Soit élevée, du point M, la perpendiculaire MH qui soit cou-

FtRSIAT. — II. 62

190 ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE.

péo en H par lo cercle dont le centre est F et le rayon Fli, si bien que
les droites BF et FH seront égales : Je dis que le rayon BF, venant à se
rom|)n> par la rencontre de l'eau, ira vers H.

C.ar, puisque, par mon principe, la nature agit toujours par les voies
les plus courtes, si je prouve qu'en passant par les deux droites BF
et FH, elle y emploie moins de temps qu'en passant par aucun autre
point de la droite AM, j'aurai prouvé la vérité de la proposition.

Or, puisque je présuppose que le mouvement dans l'air est plus
aisé et par conséquent plus vite, le mouvement de B en F se fera en
moins de temps que celui de F à H et, pour régler la véritable propor-
tion, il faut faire

roninio VF à FM ((|ui sont les mesures des résistances), ainsi I5F à FI),

et les deux droites DF et FH seront les mesures du temps qui sera em-
ployé de B à F et de F à H : savoir, la droite DF sera la mesure du mou-
vement par BF, qui est plus vite, et la droite FH sera la mesure du
mouvement par FH, qui est plus lent, et ce, suivant la proportion de
BF à FD, ou de HF, qui est égale h BF, à la même FD.

Si je prouve donc que, quelque point que vous preniez des deux
côtés de DF, la somme des deux droites DF, FH est toujours plus petite
que deux droites prises au même sens, j'aurai ce que je chercliois.

Soit donc premièrement du côté vers M le point 0. En joignant les
droites BO et OH, et faisant

comme RF à DF, ainsi RO à CO,

je dois prouver que la somme des deux droites CO et OH est plus
grande que celle de DF et FH; et en prenant de même quelqu'autre
point, comme V, de l'autre côté vers A, je dois aussi prouver qu'en
joignant les deux droites BV et VH, et faisant

comme RF à DF, ainsi RV à YV,

la somme des deux droites YV et VH est plus grande que celle des
deux droites DF et FH.

CXVII. — 1G64. 491

Pour y parvenir, je fais

comme BF à AF, ainsi FO à FH,
et

comme la même BF à FM, ainsi FO à FI.

Puisque BF est plus grande que AF, donc FO est plus grande que FR
et, puisque AF est plus grande que FM, FR est aussi plus grande
que FI, et il parait même que

FR est à FI comme AF à FM;

car, puisque, parla construction,

comme AF est à FB, ainsi FR à FU,
et

comme FB à FM, ainsi FO à FI,

donc, ex œquo,

comme AF à FM, ainsi FR est à FI.

Je dis donc que les deux droites CO cl OH sont plus grandes que les
deux droites DF et FH. Car, par Euclide, au triangle amblygone FHO,
la somme des deux quarrés HF et FO est égale à la somme du quarré
HO et du rectangle MFO pris deux fois; or, puisque nous avons fait

comme BF ou FH à FM, ainsi FO à FI,

donc le rectangle sous les extrêmes HFI est égal au rectangle sous les
moyennes MFO, et le rectangle HFI pris deux fois est égal au rec-
tangle MFO pris deux fois : nous avons donc la somme des deux
quarrés HF et FO égale à la somme du quarré HO et du rectangle HFI
pris deux fois. Mais le rectangle HFI pris deux fois est égal au rec-
tangle HIF pris deux fois et au double quarré de IF; et le quarré HF,
par le même Euclide, est égal au rectangle HIF pris deux fois et aux
deux quarrés HI et IF : nous avons donc, d'un côté, le quarré HI, le
quarré IF, le rectangle HIF deux fois pris et le quarré FO égaux au
quarré HO, au rectangle HIF deux fois pris et au quarré FI pris deux
fois. Otez de part et d'autre le rectangle HIF deux fois et le quarré FI :
reste, d'un côté, le quarré HI avec le quarré FO égaux aux deux quar-

Vl)2 ŒUVRES 1) F. F I-: H M A 1' . - t , 0 IU5 E S P 0 N 1) A N C E .

l'és 110 ri 11". .Mais le (|iiarri' KO est plus graïul (iiio le (Hiarri- I"i,
puisqiu". par la coiislriu-lion , KO ost pins grande quo Kl : donc le
(|nairo HO est plus grand (|iif le (jnarrr 111, el pailanl la droite 110 esl
pins grande (|ne la droite HI.

Si je prouve ensuite (pie la droite ('.0 est plus grande que les deux
droites DK et Kl, il restera prouvé que les deux CO et OH sont plus
grandes que les trois DF, Kl et IH, ou (jue les deux DK el KH : je
prouve donc le requis.

Dans le triangle amblygonc BKO, par Enclide, le quarré BO est égal
il la somme des quarrés BK et KO et au double rectangle AKO; mais,
puisque nous avons fait, par la construction,

comme 1>F à FA, ainsi KO à Fit,

donc le rectangle sous BK et KR est égal au rectangle AKO, et par con-
séquent le quarré BO est égal aux quarrés BK et KO et au rectangle
sous BK, KR deux fois pris. Mais le quarré KO est plus grand que celui
de FR, puisque la ligne KO a été prouvée plus grande que la ligne FR :
donc, si vous substituez le quarré de "KR au lieu de celui de KO, le
quarré BO sera plus grand que les deux quarrés BK, KR et le rec-
tangle BFR deux fois pris. Mais ces dernières sommes sont égales,
par Enclide, au quarré des deux droites BF et FR prises comme une
seule : donc la droite BO est plus grande que la somme des deux
droites BF et FR. Mais nous avons prouvé que

HF esl à IF comme Al*" à FM, c'est à dire comme BF à FI),

(jui est la mesure de la diversité des mouvements : donc,

comme la somme des deux antécédents BF el FR
esl à la somme des deux conséquenls DF el FI,
ainsi BF à VU.

Or
donc

BO esl à OC comme BF à FI) :

comme HO esl à OC,
ainsi la somme des deux droites BF el FR
esl à la somme des deux droiles DF el FI.

CXVII. - 1664. 493

Mais nous avons prouvé que la droite BO est plus grande que la somme
des deux droites BF et FR : il est donc vrai que la droite CO est plus
grande que la somme des deux droites DF et FI, ce qu'il falloit prouver
en second liau.

Il n'y a donc aucun point du coté de M par où le rayon puisse passer
sans y employer plus de temps que par le point F. Il reste à prouver la
même chose au point V.

Si l'on fait, comme ci-dessus,

comme BF à FA, ainsi FV à FN,
et

comme la même BF à FM, ainsi FV à FX,
NF sera à XF comme AF à FM, c'est à dire comme BF à FI),

par la preuve précédente, et chacune de ces deux droites NF et XF
sera plus petite que VF, par ce qui a précédé.

Il faut prouver que la somme des deux droites YV et VH est plus
grande que la somme des deux droites DF et FH.

Je considère premièrement que, par Euclide, dans le triangle ambly-

gone VFH, la somme des quarrés HF et FY et du rectangle IMFY pris

deux fois est égale au quarré YH; mais, puisque, par la construction,

il a été fait

comme HF à FM, ainsi FV à FX,

donc le rectangle BFX ou le rectangle HFX (puisque BF et FH sont
égales) est égal au rectangle MFY : nous avons donc, d'un côté, la
somme des quarrés HF et FV et du rectangle HFX pris deux fois égale
au quarré HY. Mais le quarré FX est moindre que le quarré FY : donc
la somme des quarrés HF, FX et du rectangle HFX pris deux fois est
moindre que le quarré HY. Or cette somme est égale au quarré fait
des deux droites HF et FX comme d'une seule, par Euclide : donc la
somme des deux droites HF et FX est moindre que HY, et HY est plus
grande que ces deux droites HF et FX.

Si je prouve donc que la droite YY est plus grande que la droite DX,
il restera prouvé que la somme des deux YY et HY est plus grande
que la somme des trois DX, XF, FH, c'est à dire que des deuxDF, FH.

Vfli ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

l'uiir l'airo oolto dcriiièro preuve, je considère le Iriaiii^ie ainbly-
gone BVF auquel, par Euclide, les deux quarrés BF et FV sont égaux
au quarré BV et au rectangle AFV pris deux (ois; or, puisque, par la
eonslruelion, nous avons fait

comme RF à FA, iiiiisi VF à FN,

donc le rectangle BFN est égal au rectangle AFV, et partant la somme
des deux quarrés BF et FV est égale à la somme du quarré BV et du
rectangle BFN pris deux fois. Or le rectangle BFN pris deux fois est
égal au rectangle BNF pris deux fois et à deux fois le (juarré FN :
donc la somme des deux quarrés BF et FV est égale à la somme du
(| narré BV, du rectangle BNF pris deux fois et du quarré de FN pris
deux fois. Or le quarré BF est, par Euclide, égal au quarré BN, au
(|uarré NF et au rectangle BNF pris deux fois : nous avons donc la
somme des quarrés BN, NF, FV et du rectangle BNF pris deux fois
égale à la somme du quarré BV, du rectangle BNF pris deux fois et du
quarré de FN pris deux fois. Otez de chaque côté le rectangle BNF pris
deux fois et le quarré NF : il restera donc que le quarré de BN et le
quarré FV seront égaux aux quarrés BV et FN. Or le quarré FT est plus
grand que le quarré de FN, par la construction : donc le quarré BVest
plus grand que celui de BN, et partant la droite BY est plus grande que
la droite BN.

Mais nous avons prouvé que

comme la droite RF est à FD, ainsi NF est à FX :

donc

comme la ilroite RF est à FN, ainsi sera DF à FX,

«

et, par la conversion des raisons,

comme BF à BN, ainsi sera DF à DX,

et

comme BF à DF, ainsi BN à DX.

.Mais nous avons fait

comme BF à DF, ainsi RV à YV :

donc

comme RV à YV, ainsi sera BN à DX.

CXVII. - 1664. 495

Mais nous avons prouvé que BV est plus grande que BN : donc YV le
sera plus que DX.

Or il a été déjà prouvé que VH est plus grande que les deux
droites HF et FX : donc il est pleinement prouvé que les deux
droites YV et VH sont plus grandes que les trois DX, XF et FH, ou
que les deux DF et FH, et ainsi la démonstration est complète.

Il suit de là qu'en posant mon principe, que la nature agit toujours
par les voies les plus courtes, la supposition de M. Descartes est
fausse, lorsqu'il dit que le mouvement de la lumière se fait plus aisé-
ment dans l'eau et les autres corps denses que dans l'air et les autres
corps rares.

Car, si cette supposition de M. Descartes étoit vraie et que vous
imaginiez qu'en ma figure l'air est du côté de H et l'eau du côté de B,
il s'ensuivroit, en transposant la démonstration, que le rayon qui par-
tiroit du point H et rencontreroit l'eau au point F, se romproit vers B,
parce que, le mouvement par l'air étant plus lent selon la supposition
de M. Descartes, il seroit mesuré par la droite HF, et celui qui se fait
dans l'eau seroit mesuré par la droite FD, comme étant plus vite, de
sorte que, les deux droites HF, FD étant les plus petites, la réfraction
se feroit vers B, c'est-à-dire que le rayon s'écarteroit de la perpendi-
culaire, ce qui est absurde et contre l'expérience.

Si la situation des deux points B et H change dans les deux lignes BF
et FH prolongées de part et d'autre autant que vous voudrez, la démon-
stration aura lieu et vous le verrez de vous-même.

Je n'ajoute point l'analyse, car, outre qu'elle est longue et embar-
rassée, il vous doit suffire que le retour que vous venez de lire est
court et purement géométrique.

Il suit de tout cela que, lorsque les deux points B et F sont donnés,
ou bien H et F, on peut trouver aisément le problème par les plans;
mais, lorsqu'on donne deux points, comme B et H, et qu'on veut cher-
cher par eux le point de réfraction dans la ligne ou plan qui sépare les
deux milieux, en ce cas le problème est solide, et ne se peut construire
qu'eu y employant des paraboles, des hyperboles ou des ellipses. Mais,

W6 ŒUVRES ni: FERMAT. — COnUESFONDANCE.

l'omino t'olli' iiiv('nli(ni n'es! mii'i'o malaisée à un géomi'Irc nirilioi ro,
(Ml (lomeiirant d'accoril du roiuliMnoiU et de la pr()[)ortion sur laquelle
il (Idil Iravaillrr el (|U(' je vous ai déjà expliquée, j(> u'ai garde de
douter (|ue vous la trouviez d'ahord, vous, Monsiinir, ([ui êtes si lorl
au-dessus du coinuuni.

Outre que, ne s'agissant proprement, dans la question que vous me
faites, que d'apprendre quelles sont les voies de la nature, j'y ai déjà
satisfait, et que eette grande ouvrière n'a pas besoin de nos instru-
niens et de nos machines pour faire ses opérations.

CWIII.
SAPORTA A FKR:\1AT (').

A MONSIEVR 1 FERMAT | CONSEILLEIt DV | ROY AV PARLEMENT |
DE TOLOSE. I

MoNsucvr,,

le vous rends ce qui est vostre : cette traduction que ie vous pré-
sente du Traicté de Torricelli du mouvement des eaux est à vous, parce
que vous m'avés fait l'honneur de m'exhorter à y travailler, et que vous
m'avez fait cognoistre, qu'elle ne pouvoit mieux paroistre en public,
qu'en suite du Traicté de la mesure des eaux courantes de Castelli,
(ju'il recognoist pour son Maislre, et sur les démonstrations duquel
il appuyé presque toutes ses propositions. Mais elle vous appar-
tient, MoNSiEVR, à un plus iuste tiltre, puisque cet ouvrage, qui

( ') Doiiicacc do l'ouvrapc inliliilc :

Traicli! ilii 1 mouvement des | eaux d'Evangclislc | Torricelli Malliema | ticicn du Grand
Duc I de Toscane. | Tiré du Traiclc du mesme Aulhcur, | du mouvomcnl des corps
pcsans qui descendent | nalurcllenicnt, et qui sont jetiez. A Castres, | Par Bernard Bar-
couda, Imprimeur | du Roy, de la Cliambre de l'Edict, de la dite j Ville et Diocèse. 1664.

Ce Traité est joint à celui de Benodetto Casielli dans le volume publié par Sapnrla
iToir Tome I, p. 367.); la dédicace adressée à Fermai occupe les pages 59 à Ci du dit
volume.

CXVin. - 1664.. 497

a esté composé par vn des plus sçavans Mathématiciens d'Italie,
sur vue matière trcs-curieuse, et toute nouvelle, ne pouvoit mieux
pstrc exposé aux yeux du public, que soubs la faveur de celuy que
tous les plus grands Mathématiciens, ie ne dis pas de la France seule-
ment, mais aussi de toute l'Europe admirent, et révèrent d'vne façon
toute particulière. Lors qu'ils ont des difficultez dans ces sciences
abstruses, dont les inventions admirables font voir et l'excellence, et
la divinité de nostre ame, ils recourent à vous, Moxsievu, comme à
l'Oracle qui dissipe en un moment les ténèbres qui les envelopoient
auparavant. S'ils ont quelque dispute entre eux sur quelque point,
dont ils ne puissent pas s'accorder, ils vous choisissent pour l'Arbitre
" de leurs differens, et ils se soumettent avec respect à la décision que
vous en faites. Tous les sçavans en toute sorte de Literature vous con-
sultent sur les passages difficiles qu'ils rencontrent dans les livres,
le pourrois rapporter un grand nombre d'excellentes remarques que
vous avez faites sur Synesius, sur Frontin, sur Athénée et sur plu-
sieurs autres Auteurs et les esclaircissemens que vous avez donnez a
des lieux obscurs qui n'avoient pas esté entendus par les Scaligers, les
(«isaubons, les Petaus, et les Saumaises. Enfin il semble, Mo>sif,vi!, '
que vous estez né pour gouverner l'Empire des Lettres, et pour estrc
le Souverain Législateur de tous les Sçavans. Si i'avois dessein de faire
votre Panégyrique, j'estalerois icy toutes les cognoissances que vous
avez, qui sont capables de rendre les hommes, et plus doctes, et plus
gens de bien. le parlerois de vostre iugement dans les affaires du
Palais, ou vous avez passé la plus grande partie de vostre vie, et
ou vous avez fait paroistre tant d'intégrité, et tant de suffisance en
l'administration de la Justice, qu'il y a de quoy s'estonner, qu'ayant
acquis toutes les qualitez d'un grand luge, vous ayez peu acquérir vue
parfaite intelligence de tant d'autres choses, qui sont si différentes de
cette sorte d'estude. le pourrois dire avec vérité que la force, et l'es-
tendué de vostre génie, a surmonté toutes les diflicultez qui décou-
ragent, ou qui arrestent les autres : que vous comprenez comme en
vous louant, ce qui occupe l'attention des plus subtils, et que vous

l'EBMAT. — II. OD

WS (KlNIiKS 1)K KKIÎM VI'. - COlinKSI'OMt ANCK.

pciKircs dans peu de ioiii's. l'I avcr peu de peine, les iiialiei'es les plus
tlillicili's, (|iii Iraxailleiit les espi'ils les plus vils, e( les plus sdlides.
des années (Milieres. .Mais l'en tlis Irop, Monsii'.vi',, puni' vosire modestie,
(|U(iv t|ue ie n'eu die pas asspz pour vosir'e inerile, n'y pour la passion
(|ne i'av, de vous lesuioi^iUM', e(unl)ieu ie suis.

.Mo.NSIKVIi,

Voslre (res-liiimble et

Iros-olteissanl serviteur.

SaI'OUTA.

VARIANTES ET NOTES CUITIQl ES.

LISTK DliS SOURCES.

A = Maïuisci-it Ai'lui};ast-Boncoinpafjiii {voir Tmnc I, Avcrtisscmout, p. XXIl).

A' = Brouillons il'Arbog:ist, ihins le JIS. UiM. iimI. tV. ii, a. 8280 ( f" gt à 98, 120 à 19J).

H = Manuscrit Vicii-d'Azyr-Boncorapagni ( l'uiV Tomo I, Avertissement, p. xxvil).

C = Copie des manuscrits de Clorselior, prise à Vienne par Despeyrous, dans le MS. Bibl. nat. tr.

n. a. otSo (f"" 25 à 90).
1) = Édition des Lettres île M- Dc.u-ar/cs par Clersclier, Tome III, Paris, 1667.
E t= Commercitim epistolictim de Wallis, Oxford, i658.

V = MS. Bibl. nat. fr. n. a. 62»!,.

(t = Gassendi Opéra omnia, édition de Lyon, i638.

II = Correspondance de Huygens, publiée par la Société liollandaise îles Sciences (La Haye

1888 etc.).
1 = MS. Bibl. nat. latin S600.
K = MS. Bibl. nat. latin u 196.

L = Lalouvùre, yetcrum Geometria proniota in septem de Cycloide libris, Touliiuse. ilitio.
M =MS. Bibl. nat. fr. 17388.
X = MS. Bibl. nat. fr. 17390.
0 =MS. Bibl. nat. IV. 17 398.

V = OEuvres de Pascal, édition de 1779.

P' = Recueil d'opuscules de Pascal, Bibl. nat. inip. Réserve V, 869.

Q =MS. Bibl. nat. fr. 20945.

K = MS. Bibl. nat. latin 722(5.

S = Traité de la mesure des eaux courantes de Castcl/i, traduction Saporta, Castres, i(i().'|.

T =MS. Bibl. nat. fr. i3o26.

ra= Édition des yaria Opéra de Fermât, 1679.

X = MS. Bibl. nat. fr. n a. 5i6o.

VARIANTES ET NOTES CRITIQUES

(')

LiSTTRE I. 3. ligne 1 par ces B, pour ces A i feront B, feroienl A 10 jusqu'à A 6, ^
seraJA ajoute pour 7, 2 une om. A 9, 1 envoieray B, enverrai A 10. 8 de oi». A
II, 3 sceu B, pu A i ce om. A.

\\.{P^(i, p. i43). Les paragraphes 1 et 2 forment la fin des Xova in Mathcmaticis
t/ieoremala (Pièce V). P. 9, 20 (f'tt, i44) 20 D]AD 28 Qiiod erat demonstranduni |
GED.

III (l'a, i.n). L 10 ita|.\B (J'n, vri).

W (ra, 12-2). P. 18, 18 lajle 2o (/«, laS) 26 proportion] proposition P. 20,
5 la] que la

\ (n,, lii). 3, 2 ipsa CB]ipsa AB. P. 24, 0 B](;. P. 25, 6 etjin (;«, i43) 7C]D
* D]G 7, 3 constitutura]. Le fragment continue, dans les Varia, par les paragraphes 1
et 2 de notre Pièce II.

VI {Fa, i43). 2]1. 2, 5 la première]lo premier 4, 9 ravouer]^Vz ajoute le
suis etc.

La suite se trouve intitulée dans A : Fragment d'une lettre à Mersenne (le commence-
ment manque); dans B : Fragment d'une lettre de M. Fermât du l'i juillet i63G. 5, 2
baille A, envoyé B 6, 2 proportionnelles om. A 7, 11 pouves B, pourrez A P. 30, .1
trois ou de] 2 ou B. 8, 1 Et B, Je A. B omet la date.

VII (l'a, i33). P. 32, I.~i lelles P. 33, 9 NB]CB 11 gravia|œqualia {Fa, i3',).
P. 34, 10 ecce]cum li FI1N]FII, in *• NJM {de même 17). 10 FHN]FIIM (rfememelS)
17 HF]MG 18HN]HA.

VIII {T^a, 124)- Su.scripiion : A Paris, le i6 aoust i636. 2, 1 que]lequel 4/3 des-
quelles conditions, au principe dont il s'agit, la principale manque, sçavoir G d'où vient]
quelle est 7 cette]leur * Ainsi... les corps 3,5] ce qui n'étant point en nôtre connois-
sance (comme il faut librement avouer, et en cecy, et quasi en toutes les autres choses
physiques) il est évident qu'il nous est impossible de déterminer, ce qui arriveroit au
centre où les choses pesantes aspirent, ny aux autres lieux hors la surface de la terre,
sur laquelle, parce que nous y habitons, nous avons quelques expériences assez con-
stantes, desquelles nous tirons ces principes en vertu desquels nous raisonnons en la Me-
chanique.

(') Les fliilTres égyptiens (gras) désignent les paragraphes des lettres, à moins qu'ils ne soient
précédés d'un P., auipiel cas ils indiquent la page; les lignes sont comptées à partir de la première
du paragraphe, si elle est dans la même page; autrement à partir de la première de la page.

û02 \AH1ANTES ET NOTES CHITIQUES.

La diversité des opinions louchanl l'oi'ij;ine do la pcsantour des corps, aiu'iine des-
quelles n'a esié jiisqnos icy ny deiimnlréo ni convainciio do fausseté par démonstration est
un ample témoi^na^e de l'ijjnorance lunnaine en ce point.

{f'o, 19.5). La commune opinion est. (pie la pesanteur est une qualité cpii 'réside dans
le corps même qui tombe.

D'autres sont d'avis que la descente des corps proeeilo de l'attraction d'un autre qui
attire ccluy qui descend, conuno [le globe aj. P) de la terre [paroit attirer une pierre qui
tombe itj. P]. Il y a une troisième opinion qui n'est pas hors de vraysemblance; que c'est
une attraction niuluelle entre les corfis, causée par un désir naturel ipie ces corps...

3, a clairjévidenl 6/7 le fer ne l'étanl pas. Tira trouver 12 seront... quelque lieu 4, 3]
sont fort dilTérentes, iiarliculièrement de la première et des autres, comme nous fairons
voir en les examinant.

Car si la première est vraye. le sens ooniniun nous dicte qu'en ipielipie lieu...

4. i poids] corps pesant * pèse] pèsera iO avoir égard] considérer 11 centre com-
mun]. IcLUiioii : Si cette première opinion est véritable, nous ne voyons point que le
principe que vous demandez pour la Geostatique puisse subsister. 12 Car soient deux
poids 15 A et B 19 Nous... équilibre 21]. Suivant cette première opinion, nous accor-
dons que si le point C est uny au centre des choses pesantes, le composé des poids AB
demeurera immobile véritablement. 22 au]avecle * centre commun des choses pesantes,
combien que l'un des poids en soit plus proche que l'autre, ils contrepeseront (24).
2^i comme par le point C omis. 26 paroles mêmes] propres termes 27 pour] de 28 par
dessus] sur P. 38. Le premier a'inéa est omis. 8 car il n'a pas esté démontré que le
point C soit le centre de pesanteur du composé AB, sinon lorsque la descente des corps se
fait naturellement par des lignes parallèles; ce qui est contre vos suppositions et les
nôtres, et contre la vérité, et même nous ne voyons pas qu'aucun corps, horsmis la
Sphère, ait un centre de pesanteur, posée la définition de ce centre selon Pappus et les
autres Autheurs : et quand il y en auroit un en chaque corps, il ne paroit pas (et n'a
jamais esté démontré) que ce seroil (12). 13 commun]des choses pesantes 15 figures]
nddiiioii : comme en la seconde des deux figures suivantes. 16 commun] de pesanteur.

5. I du]d'un 3 même]l' *• nous]vous i semblable] pareille * AB |(/fl, 126)
( puisque vous le voulez appeler ainsi) d'autant que ces poids ne pressent (S/6) 7 C, D
DU E oniis 9 le porter]se porter. P. 39, 2 près]proche 3 C omis. 6 jugement] lajin
de l'alinéa est omise.

6, 1 en ce cas des] suivant celte première opinion, de 3 pour... sentiment omis.
l Soient donc deux * A et B 0 dans laquelle le point C soit le centre de pesanteur du
composé des corps AB, selon les anciens; ce point C ne sera pas (6) 7 pose]met
9 qu'iljque ce composé 13 contrepèsent avec] soit de même pesanteur que

7. Paragraphe omis.

8, I. Si la seconde opinion touchant la cause de la descente des poids est véritable,
voicy les conséquences qu'on en peut tirer, selon notre jugomenl. Soit (i) 6 les parties
du même corps, en sorte que chacune selon sa puissance, tire à soy le corps attiré, ainsi
que supposent les Auteurs de cette opinion.

Sur celle position, le sens commun nous dicte que les distances et autres conditions
estant pareilles, les parties égales du corps attirant attireront également, el les inégales.
inégalement.

VARIANTES ET NOTES CRITIQUES. 303

Soit donc le corps alliré L(()) 8 nienéejniéme. P. 41, 2 marqucs]pris G puis-
sanceJverLu entière 7 là où]ou étant dO venujparvcnu 11 toujours est placé après
sera 12 etjmais 13 retire ]contrctire M force] vertu 17 mais cette diminution ne
sera pas en la raison des ligues HA, HK, HI, ce que vous connoitrez en le considérant
sans autre explication.

Si la troisième opinion de la descente des corps est véritable, les conclusions que l'on
{P^a, 127) en peut tirer sont les mêmes, ou fort approchantes de celles que nous avons
tirées de la seconde opinion. Suit le paragraphe 9.

9, 3 d'icelles]d'elles 3 conclusions] conséquences 7 desquels l'expérience assistée
d'un bon jugement, nous a rendus certains.

Pour ces considérations, dans nos conférences de Mechanique nous appelions des poids
égaux ou inégaux ceux qui ont égale (10) 11 un même corps est dit] nous entendons un
même corps P. 42, 3 arrive ou non -i ce] chose S contente] satisfasse 6 et nous rai-
sonnons] raisonnans 7 en omis.

10. 1 PourjQuant à 3 et l'autrejmais l'autre est 9 et soit considérée la circonférence
CNB 10 ménejremue 12 conl repèseront l'un à l'autre et omis. 15 seront jseroint *
points jextremitez 16 éloignées. P. 43, 2 pour les avoir démontrées par des principes
qui nous sont plus clairs et plus connus (-4) 5 distinction à faire, laquelle est de grande
considération. Sçavoir que quand ((Ji 9 mais quand ■*• d'unjun 13 enOn] finalement
15 vers NJvers P.

il, 1 Si cte.jCette distinction estant vraye comme elle est, vostre second principe ne
peut subsister, ce qui paroîtra assez par l'examen d'iceluy.

Vostre second principe est tel. Soit A (4). 5 est Bjest D 6 force] puissance
8D.|(^«, 128) P. 44, 1 posé] mis 6 s'éloigner] éloigner le levier 8 en général] généra-
lement H quoique contraires à votre supposition omis. 12/13 et nous vous en expli-
querons les principaux cas que vous connoistrez véritables sans aucune démonstration.
Suit le paragrap/ie i2.

12, 2 et omis. 4 demeurons P. 45, 1 force] puissance.

13, 6 boutsjextrémités 10/12 et quand cet appuy sera osté, le tout demeurera de mémo
qu'avec l'appuy, ce qui est assez clair. 15 alors est ajouté avant celles. 19/20 que lors-
qu'elles sont ramassées en B.

14, 1/2 chacun plus grand P. 46, 1 DCjCD 4 ramassez (de même 9;) 8 Bjvers P
ajouté, -k ce qui seroit arrivé] comme il arriveroit

15, 2 lesjdes 6 qu'on|que l'on 9 aux pointsjsur les parties 13 {Fa, 129) >«• Ainsi,
cotisidérant] Parlant * sont] seront * ils omis 14 chargent] chargeront. P. 47, 1 sur
l'arc GBH 5 aura] a * ramassez 9 même omis. 10 Addiliou : Cette dernière consi-
dération pourroit bien estre cause qu'un même corps peseroit moins, plus proche que
plus éloigné du centre commun des choses pesantes : mais la proportion de ces pesan-
teurs ne seroit nullement pareille à celle des distances, et seroit peut-estre très difficile
à examiner.

16, 3 éloignés de A centre commun 6 GI est à 9 assez omis * des] de vos 10 les]
ces 10/11 restoroit aucune difficulté 11 à peu près omis 11/12 ainsi. Soit faite la pré-
paration suivant la melliodo d'Archimede 13 E]Q (de même dans la suite du para-
graphe). P. 48, 2/3 duquel etc.jlequel arc sera quelquefois moindre que la circonfé-
rence entière, quelquefois égale à icelle, et quelquefois plus grand. Et d'autant que les

.ÏOV VAHIANTES ET NOTES CHITIQUES.

porlions lit, IQ sont c'^'iilos, ;! BGIRO '•■ |i:h' le promioi- pi-inBi|ie sur r;i|i|ni\ I. 7 |icsc|
posé S Car lous ces | Parlant, puisque ces doux 9 pèseront] pèsent * puis donc | et
10 faisoieni ] font * môme o/«(,\'. i;{ feroil] reçoit lipas|point l(î pouvons 17/l!Hn-
stances dont la première est telle. Au levier GIR, soit l'angle GIR droit

18. 1 Soit A le ce;Uro :2 A omis-. 3 GI | soit (f'fi, no) 0 l'on] on 0/7 faisant... R|
niellant en C le moine poid.s ipii estoit on R 9/10 faisant... C|faisant ID cstre le bras
liu levier et mettant en H le mémo poids (pii esloil en C 12 à lG|en G 13/11 raison-
nant à l'ordinaire] par le raisonnement ordinaire 16 seroitjsert 18 fait]fasse P. 50,

1 (co qui est facile à domonlrer) 2 delliors 2/3 on conclura quelque chose do clio-
(luanl do votre position.

19. 1 parce que * toul omix. 2 faire [iir des lionimos, des poids à l'égard do leur
contre naturel 3 la faire alentour d'un centre artificiel, supposant îijG agiroienl] tcndeni
7 conforme à ce raisonnement 8/10 .Ili/icn omis.

20. 1 agréable de conlinuor nos communications sur ce sujet ou sur eoluy de la Géo-
métrie 2/1 ceux de ce tem|)S. nous tâcherons à vous donner contentement : et ce que
nous vous proposerons .S car nous vous en envoyerons

l.X. (/'«, i3o) 3(/rt. iSi). P. 53, 18 AC.DjadCI) 2i r.[)| . Igitur (r^, iSî). P. 54.

2 liorizontis 6, 1 terre] leltre 7. 3 parabola i/'i conois parabolicus archimedaeus
(> Movus conois 9, 9 composé] compris.

.\(/rt, r>'i) 2. l."i quatre. I en (/'Vï, 12.1)- 3. îi de Pascal

XI(r«,i34). 1, 12 prin|cipes(/^7/. i35) 3, 1 f BCAJBC.CA 4, 0 la o/«m. 7 | parce
que(Ki7, i36) 5, 3 menez] niez

XII (B n eonimr liirc : Epistola Dmi de Fermât ad R. P. Merscnnum.) 1, 1 Havum]
damnuni A P. 64, 1 te] se A 2, 2 ita]sic A 7 problemaiis B, problomatibus A (de
même 3. 1) 9 quadratoquadrata A 3. 3 ipsis /■('/>c?é B i pulcherrimi A P. 66, 2 ad-
mitti om. B. i diminutum B (de même plus loin) 7 ex his propositionibus B (peut-être
mieux ). 4, 1 abs te A Hr construimus A 7 contingerit A 7, 7 ?o25]i925 B (A « cor-
rb'é en marse). 8, 10 exordium ciirriu:é de originem B. >«• B donne en marge le calcul
des nombres i8o et 1890. plus loin de 101 70 (avec une erreur) et de jgfij. P. 68, 10 abs]
rorriiié en à par A. 9. (i/7 De mullangulis numeris A 9 niajori AB li 1° om. B
P. 69, 7 omnibus] numeris B. 9 prœcepta] quassita AB. 10. 1 uolumus B 2 Arithme-
ticae A 3 venamur ] co/r^'c' de invenimus A 11, 3 auclo]aucii AB 8 exemplum]B
ajoute : 1.2.3.4. 10 auctum]aucti AB 11 et fit B 13 et superest B P. 70, 2 pnece-
dentis A * B donne les calculs en marge. 12. 2 \\\ccm]corrigc de ansam B 9 eâ]sic A
13. B ajoute la souscription : Au Révérend père Morsenne nn'nime.

XIII (l'a. i36} 3. i i"] Premièrement 7 in | conclioide {J'n, 137) 4, 3 des]de
5. 3 r] premier P. 74. 9 in]et

XIV. (Texte d'après R; leçons de Va, i38). 1, 2 promis 2, 2 en] vers 7 la partie
inférieure 8 chose mémo 12 quoi]qui 15 bout]point P. 76, 10 de direction omis.
i:; doublé] double 19 cette] la 20 bras AB, AC 23 deux o;n«. P. 77. 1 double i et
imiU 10 forces * Ainsi].\ussi 12 être | entendues (/>', 139) 14 supposons] posons
21 AC. AG P. 78. 20 domonstrons P. 79, 1 demonstrons S menées omis. 19 enten-
dues] imaginées * et omis. P. 80. 2 sorte sur le bras .\C omis 3 E]sur|lo bras AC

VARIANTES ET NOTES CRITIQUES. 503

ajouté {Va, i4o) * axiome] principe 13 entendues | imaginées Ifi axiome] priiieipi'
25 Fin du texte de K. 9 (T'a, \^i) .^

XV {Fa, 146). 3, 3 vous sy\^\ms.6i]commeiicement dans B d'un Extraict d'une lellre
(lu lui"" no""" i636 à M. Robei'val pour la quadrature de la parabole. * vrayc Va. om.
B. * possible pas B, pas peut estro Va. P. 84, 2 grande oin. Fa. '5 plus om. Va.
19 qui est tout ce qu'on peut B, qui comprend entièrement tout ce qui se peut Va.
P. 85, 7 la quadrature B {qui s'arrête à ce mot), les quadratures J"a. 5, 4 et | que (^".
147) 8/9 de son diamètre et en sovle paraissent des additions suspectes. 7, S conoideni
{demi:r/ie&) 10/1 1 EUipsioidem P. 87, 8 lD]Hr) * DV]DI

X\l {Va, i/ii). P. 88, IG Intelligilur 17 (_iI](iC P. 89, o ACDE]ACDC 7BD]Er)
\0{Va, 142).

Xyil{Va, 147). P. 90, IJ CA|naturaliter (/>, i.iS) P. 91, 8 desqucls]duquel

XVIII ( /^V/, 1 48). 1, 11 vous] verrez (/■«, 1^9) 3, 2 i^ how Sainte-Croix ra/ re/n/^/wce
par des points. P. 95, li conoïdum 23(r«, r3o) P. 97, 20 (^rt, i ji) P. 98, I4HC|HA
21 eadem 22 AC]IC * secantes]stantes.

XIX {Va, i3i). P. 101, 3 punctol A {Va, iH) 11 M omis. P. 102, 11 BJ.\.

XX {Va. i52). P. 103, H {Va, i53)

XXI {Va, i53). 3, 1 de omis après M. {de même 2) .j avec | franchise {Va, i54)

XXII (D). P. 108, 2 et 3 qu'on]qu'il

XXIV (Variantes de D; texte de C). 1, S me sera garand. 2, 10 de venir sans mar-
chander 3. 7 qui continue]de 4, 1 Je viens 5, 7 sa détermination 6, 7/9 or. .. aupa-
ravantjMais 10 qu'elle ne faisoil auparavant; Et si 13 lc]ce 7, 3 à Desc., daC 7 ce
Desc. ,l<iC 8, 3 entendre] comprendre 6 changera P. 120, 1 pourrions D. iiouvions C
9, 1 la] sa 7 la] celte 19 c'est-à-dire] ou P. 121, ti parce que 10, 13 le portera
17 tout omis. 11. .'i de m(^mo nom 12, 3 FA est à AB c'est à dire comme FG à BN
^ CB est à BN P. 123, 4/3 conclusion pareille 7 CB]BC est 9 Mdh\lei\ai\l ajouté ai-a/it
Du 10 égaux] entr'eux ajouté. 12 conséquent 17 première] précédente 19 DAF]est
ajouté. 14, 1 figurejforce P. 124, C cette]la 12 qu'elle] que celle-cy 15, .3 pleine-
ment omis.

XXV (Variantes de D; texte de X). 1, 2 ponrce que... soit] parce que je n'en si;au-
rois parler autant que je voudrois 4 celuy-là mesme * tâclié] entrepris. 2, 3 contin-
gentes] tangentes * trouve] prouve Fig. 60. La ligne 01 n'est pas tracée dans X; les
lettres atgéhriqiies qid suivent y sont en minuscule. 1,3 iterumque. . . BE om. X . 18 B, et
le coslé P. 128, 6 maxime 16 X ajoute en note : Il dit qu'il faut mettre viis aprioribus
divçrsis OU pcr diversum médium ou quelque chose de semblable pour rendre la règle
bonne. 3, 1 bien encore Jt- même omis. 2 tangente 7 autre omis. 9 ergo proba-
vimus CE P. 129, 1 se om. X. 4, 7 est omis. 10 encore que] quand 12 eût eu
13 même D, premier X, 6, 3 tangentes P, 130, 6 sont] font * font D, est aussy X.
H tangentes 7, 3 autres] Autheurs P. 131, 6 de] du 9 tangentes 10 n'en peut D,
n'eut peu X. 8, 2 tangentes 8 que j'ay fait 13 cube du cube 16 quarré du cube

XXV bis (.\, B). 1, 4 MM. Pascal A 3 parce que A 6 des doutes A 9 construc-
tion] démonstration A 2, 12 plût de me A 3, 3 propositions do A 4, 1/2 je veux en-
core lui faire part A 3 Icsjlo A P. 134, \f quelqu'un A 2 M. Roberval A 5. 2 de

Feumat. — H. 64

506 VARIANTES KT NOTES C III TIQUES.

Pin. [) 6. '2 Kl par iwomplc 1), Comiiu- par oxcmplo li t pnrabolo] par cxomplo nj. IS
*, tel] quelque D 10/11 C'est... sophistiques om. I) 10 ces B, mes A 13 que l'on A.
qu'on BO * dcmandora] voudra D P. 135, I lels nombres l).

.WVl. 6. 7 le A, ce A' i:; 1 égaillé A, égaillé A' P. 138. 3 déduire par le menu A,
décrire pour le moment .V.

WVIII ^ Dj. P. 146, 9 Icsjla

XXI.X {Ttj. p. II.)). 2, 2 de uilniini.s et nilniniis ('«//■(' /)(7;v7/M<.-A'ra. 3, 7 iui-mé | luc
(n,. i55) p. 149, 1, 2, 0, 7 B bisJB^. P. 150. .'i pouvez] prouvez 6, 8 dato]dati\

XXX (A. B). 2. 9 son A. un B 3. (î fraiiehir A. traverser B 10 comme B, ce que A
21 punetuni] /Vr/«'cr mol de B.

XXXI (A. A'). P. 155, 9 satisfait Ira/T/o(î'(/ç s'étend A' 13 en suite A, de suite A'

2, ! par e\enq)le A, simple A' P. 156, 4 avec] aux A\' 3, 2 pareille] ro/vv'ifc ifr

egalle A' 3 courbe] co/rye rfe convexe .\' 10 soil A, est A' * pareille A, egalle A'

1. . . ./ lo-i 1- ,• . adeealler , . . ., „ ,„„

Il avec A, en conservant A 12 par adecniation A, pour , (sic) A. P. 157.

' adœquarc

9 Olant \' llî/lilcs deux cubes o/n. A IC Divisant A' * ôlant .\' 17 avec] aux A'

19 nous aurons A, on aura A' P. 158, .'! sera A, soit A' (de mcine i) 3 fera A, fasse A'

6 aisément A. ainsi A' 10 car autrement A, aux autres .4' 4, 7 de om. A' 5, 1 de\

des A' P. 159. (! ligne («e. OA) A, droite A'. P. 160, 3 en sorte A, de sorte A' 14 fera

A', sera A * OI]OE {de même 16) AA' P. 161. ligne dernière, le dénomitiateiir A est

omis.

XXXIII (A. B). 1. 2 prenez] avez prise A. P. 165. 7 j'ai baillé] je laisse 3. 2 con-
noilre]ro/-/-;^'e de trouver B. 5, .l/i croyez-moi om. A S humble serviteur] etc. A.
7, () parties B. portions A. P. 167, 8 de om. A.

XX.XV (A, B ). 1, 1 \'ous OUI. B 2, 8 ceUi^ longueur B, ces longueurs A 10 par B.
de .K 12 que (après point) om. B. P. 170, 12 que {après et) om. B P. 171, 12 On
fera avec la môme facilité A. 3, 2 je veux vous A. 4, 1 en {après exemple) B, de A

2 en] de A 5. 3 mômes A 5 trouver B, mener A P. 173. 1 focus B, foyer A 6. 2 de]
d'en A 3 encore om. B 6 marquée B, imaginée A 7 sommet om. B * MB] MA P. 174.
1 semble être] est A * l'estrivière B, l'affinité A 2 punclls]elc. aj. A 7 superficie] /.i'irt
a corri^'d en périphérie. 10 (|ue quel point que AB ■>*- preniez] prendrez A 9, 1 trou-
ver]mener .\ P. 175, ligne avanl-dernière : S'il y a niampie en B, SI j'ai manqué ici A.
P. 176, -i/.'i trouvères B, trouvez A 9 Votre, etc. A qui o/uri le reste de In lettre.

.XXXVI (AB). 1. 2 les longueurs A, 3 rebutent A P. 177, 5 leur] le A 6 les exj)é-
riences A * faites A. 2, 1 eommejeto. A 3 particulièrement] en particulier A 4 aux]
ou B * de]desdites A 7 le dernier exemple] la dernière B * sur quoi]quoique A
7/8 m'avez] m'ayez A 8 de me faire savoir A 3, 4 appelle A 6 et suit'. lat.]latusB
P. 178. 2 ou]en A 4, 1 proposerai A, reserve B 2 j'étends encorejje cède à donner A

3 renchérit .A * et]je A 9 dérivejdédult A 10 trouver] savoir A 11 valent] vallût A.

XXXVII(B). 4, 7 /âSsJv/îSS

XXXVIII bis i la, 173). 6, 2 sorte I de {Fa, 174) * tel] le B 3 encore om. B * etc.
o/n. B. P. 190, 2 à quoi. . . possible (3/6) om. B 6/7 reigle que Je n'ay trouvée que
lorsque B 9/10, de ce cas... nouveau om. B 7, 1/3 reigle, c'est que je puis B

VARIANTES ET NOTES CRITIQUES. 507

4/6 comme... rangé om. B. 8. 1 bien om. B * ot B, en T'a. * sont Fa, font B
6 ce qui est, ce me semble, uoe Fa. 8 cube de soixante-quatre B 8/9 à côté du quarré
de i4 om. B H le deuxièmejlc a"" B, et le second Fa. P. 191, 4 et il y aura Fa.
ijo chacune desquelles B, desquelles chacune Fa. * B omet /es paragraphes 9 et 10.
P. 192. 2 en B, om. Fa. 3 et délectables] etc. B * les om. B. 4 Voicy B, Voyés Fa.
-k l'endroit où il Fa. G de haut en bas qu'à coté Fa. 9 avoir seulement fait T'a. 11 je
dis om. B * qu' om. B 1.3 mais Fa, et B * la [ question {T^a, 175) 13 1° om. T'a.
21 elle devoit être différente T^a. 23 lo 25 T^a, le quarré de 5B -k voicy B, voyez Fa.
I'. 193, 13 un autre B Fa. 13/16 si le temps... demi-douzaine om. B. 26 néan-
moins] pourtant T'a. P. 194 {Fa, 176).

XXXIX (B). 3. 4 q'jarréquarrés]quarrez * quarréquarrée]quarrée.

XL (T'a, 176, B). P. 196. 3 .le vous prie etc.]B eommence ici comme suit : Asseurez
M' Freuicle qu'il y a plus de dix ans que j'ay une méthode générale pour ranger tous les
quarrés pairs à l'infiny, mais je n'avois pas songé (2, 1). 2, S/6 beaucoup de] plusieurs B
7/8 après ma 1™ méditation sur ce subjet B 3, 2 quarré 22 B Fa. 10 Parce que T'a.
* je diffère à vousjje ne vous puis B 11 entier om. B H/J4 jusques. . . possible om. B
13 (Fa, 177). P. 197, 9 3oo]oo3 Fa 10 322] 27.3 T'a 4, 3 de quarré T'a 4/5 de
choseom.B 3 qu'une. .. restejplus de méditation B g;»' ome« /«///; rfe /'«/«/ert 6, 1 cet
abbregé T'a. P. 198, 7 radicaux des om. Fa. k parce que T'a. 9 T'a omet les
nombres ^.'^. 10 leurs om.B 21/22 ou que le double de l'exposant 07?i. B 28/29 Voilà. . .
appeler] .le puis appeler ces 3 propositions que j'ay demonstrées B 29 de l'invention om.
B, 7, 13 et n'abbrege T'a. 13 je | me {Fa, 178).

XLI (7"V7, i6-5). 2. 2 l'appliquerez 7, 8 mé | me (/"«, 166)

XLII {T'a, iGi. B), 3, 1 B commence ici : Voici ce que et omet depuis. 5 que je vous
donne] que vous voyez T'a. 8 là pour lors Fa. 8/9 ait beaucoup dejaye des B 10 ne
sont quarrés B P. 204. 4 bien om. B 13 proposition ]B omet le reste de l'alinéa.
S 3/i je dis qu' om. B 7 ([uarré | {T'a, 162) 6 Paragraphe omis dans B.

XLIII (AA'). 1, 1/2 avec ses expositours au-dessus rejeté après les nombres de la pro-

ro
gressioti AA . C fassiez A, faites A' k touslque tous k' 7 (sic) A, trouvent

trouvent

A' 2, 3 la progr. que j'y ai fait .\' P. 206, 5 de ceux] des termes A' 3, 3 le dernier!

est remplacé par 21.4'.

XLIV {T'a, 1G2, B en partie). P. 207, il deuxième] 3 /a. 2 Commencement dans }à
d'un Extraict d'autre lettre du 18 octobre 1640 à 11' Fr. 4/3 de quoi je m'étoisjra'étanl B
3 vous en donner B 0 suiv. : demonstré, n'ayant encor la demonstraon de l'autre, duquel
néantmoins je suis asscuré. Après cela je vous diray le fondement sur lequel j'appuie les
progressions (P. 209, 2) B P. 208, 10 vous | m'obligerez {T'a, iG3) P. 209, 2 progres-
sions] propositions r^r. 8 tout o/H. ^'rt. 12ses]lcursB 13 nombre de 1 3 /^'rt. 16 ex-
posant 3 T'a. 17 puissance de 729 T'a. 20 trop om. B 6, 3 quels des B, que les deux
T'a. 7 et en telle /^(?. 10 d'étendre B, deffcndre /^«. 12 -i-i] — iB * le quantième] la
quantité B 7, 1 mienne proposition B, de mes propositions Va. 1/2 B omet la paren-
thèse et 3 l'incidente que sans doute... de vous. 3 que] sans {Fa, 164) 10 la 23"] la
3o'-' B 12 ut supra] comme dessus B 13 premiers et moindres Va. P. 211, 1 du qua-
ternaire] de 4 ^"- 3 est om. B. 4 qu'un multiple du quaternaire] etc. T'a. 3 ou
1024 ]om. T'a. 8, 2 aucun] un B 4 T'a donne les nombres 100000 et 99998 5 dit oin. B

508 VARIANTES ET NOTES CRITIQUES.

t> fa et B donnent te nombre 1(17, B en nniri^e 171. 9 seulcmoiU oin. li 9, Ij'i lii-
Huellc... Iieureux om. B. i divisé |mosiir6 B (divisé en marge) S sccondcja'"" B
7 mesuré I divisé B 10 lejco B 11 reste 66 qui]Io reste 66 fa. P. 212, S et ont. H
(> diviseurs] divisions fa 10 B omet le dernier alinéa.

XLV (AB). 1, 3 voici A, voyons B i iiiic j'y ;ii l'iiitos A, que j'en ai fait B P. 213, I
tel nombre A 7 AB intercalent 7 entre i et \-. 2. 3 : B omet i". P. 214, 3 des qua-

10 125 ir,C -66-,

ternaires A 16/17 Rédaction de B : Soit par exemple un noml)re donné .'.S 016 3-2 ij'>.
Les nombres premiers plus grands de l'unité qu'un multiple du quaternaire qui le mesurent
sont 5. i3. 17, 29, en premier par 5, par le quarré de i3, par lo cube de 17 et par le cube
de 29. {En note. Nota cpie, de ces deux nombres, le premier, savoir 10 iv>.5 o56 766Ï serl
pour l'exemple où il dit qu'il faut diviser par 5, par le quarré de i3, par le cube de 17 et
par lo cube do 29: et l'autre, savoir 23oi6 3'2i25 est le plus petit nombre servant au
même effet, mais il le faut diviser par 29, le quarré de 17, le cube de i3 et de 5). 2i qui
est om. A 28 par exemple»/». B 30 j'ajoute] adjouxlant B 32 et par soi om. B P. 215,
7 en om. B. avant 3, B intercale ce qui suit :

3

3

•>.

I

5

i3

'7

^9

12.5

•'197

289

><}

2.3 016 32 125 est le nombre produit de la multiplication de ces 4 puissances l'une par
l'autre, qui est le moindre de tous ceux qui peuvent servir d'iiypothcuuse à 367 triangles
rectangles. 3, 2 qu'en ce cas B. 5, 13 B a en marge : Le plus petit est 45. \i en] de A
P. 217. .ï de om. A, /jni avant le dérider alinéa a la souscription sous cette forme : à
Tolose, ce 25 de. 1640 Mon Révérend Perc, Votre etc. Fermât

XLVI (AB). 1, 1 tête A, fôto B 2 à A, avec B 2, 2 ma B, une A P. 219, 1 .son A.
mon B 3, 16 facilement A, aisément B 20 humble etc. A. 22 mars A, may 3

XLVII(AB). 1, 9 pourrez lui A 19 les B, des A 21 toutes sortes A. 2, 4/3 Votre ctr.
Fermât A.

>a.VIH (B). p. 222, 11 sera] seront P. 223, 20 ci 22 B donne le nombre looooooo.

P. 225, 8 parla précédente est placé après requises (7) 8, 4 Formes de l'un ."i du 1 et

2 quarré P. 226, i a et b\ A B « et 6 {sic).
5 3

XLIX ( Va, 166;. P. 227, 20 Le signe \/~ est omis. P. 228 {l'a. 167) .'i les quarrés]
le quarré i, 8 EDA omis. 12 ID]IO P. 230, 14 d'autres | aussi ( fa, 168).

L(Frt, 169). P. 233, 8 des quarrés] du quarré lOdesoraù-. 3, 3/ i le quarré P. 235.
i {fa, 170) U. 7 Carjque 16 racine moindre du quarré de 3 5, 2 l'un àll'autre {fa.
171) P. 239. i en rem. le|double {Fa, 172) 8, 16 des triangles]du triangle 2 en rem.
pas I si {fa, i-Z)

LI (AB). 1, 2 chercher] saisir A 2, 7 parce que A 8 en écrivant A 9 ai 0/?/. A 3,2
de ne pas vous rebuter A 4, 1 eu de réponse A 6, 4., Votre etc. Fermât A qui omet la
dernière ligne.

LIV'(AB). 2, 1 vous avez maintenant rc(,'u A 5 serez] soient A 1'. 250, 6 la dite B.
la A 4, 9 ail A, aye B 5, 1 prie de m'envoyer A i/.-i par la première commodité rejeté
après Saint-Martin A 7 prie de me croire A 8/9 Votre etc. Fermât A.

VARIANTES ET NOTES CRITIQUES. 509

LV (AB). 2, G par autres voies A 3, 9 et plus petit B 4, 2 des B, les A 3 qu'il a
om. A. 5, 1 do oin. A P. 253, 6 M. Carcavi A 8/9 Votre etc. Fermât A.

LVI (AB). 1, 4 jointe à celle-ci B, comte de Cellery A P. 254, 6 le]ies A 7 aucun
autreAB Senom.A 10 II pourrait encore y avoir A IS pourtant | toutefois A 2. 1 qucl-
qu'unes A

LVII (AA'). P. 257, 13 quasi tout A', presque utile A P. 258, 3 premièrement] pré-
cédemment

LIX (AB). 1, l B commence coiniiic suit : Je vous dis que toutes les questions que j'ay
proposées a Mess" de St-Martin et Frenicle sont possibles (g) 2 et de Freniclc A 11 du]
de B 14 livres] lieux corrigé de livres B. P. 261, 6 Trouver om. B, entre crocliets A *
duquel A, auquel B 9 B « en marge : \Jii(t 5o 17 || 5 627 i38 Sai -fSi \\ /aSjaiSg 3, iO je
om. B 1.3/ li Alinéa omis B.

LX (AB). 1, I B commence comme suit : Non seulement les questions que j'ai propo-
sées a M"' de St-Martin et Freniclc sont toutes faisables (4) a à om. B P. 263, 1/4 de
cette seconde question a celle que je vous envoyai dernièrement qu'ils ont B 3, 6 invite
A, irrite B 10 B omet cet alinéa et le suivant et rejette la date : De Tholose, 1.S.1G43,
après le paragraphe 4 4, 1 en A, sur B P. 264, 1 plus om. A * bien B, tirer A.

LXI {fa, 178). 1. 2 lc|sujot {ra, 179) 11 F« donne le nombre 1617. 2, i Biil-
liaud.

LXll(/a, 201). P. 268, 13 hicjhcic (G) P. 270, 3 ad | tempos (/«, 202) 6 AF]NF
( A'rt) 7 NF après ul]AF {fa). P. 271, 10 et 13 tonipus per] motus per (G), ad teui-
pusjad motum (G) 17 NFjMF {fa) 20 XCjXE {l'a) 21 AF] AR {fa) P. 272, !)
et M respondenles] respondentis (G) 29 ut lempus | motus (?fl, ao'i) P. 273, 13 velo-
citates uniformes] velocitatis uniformis (G) 5, 2 verita | tem {fa, 204) 6, 1 brevi-
terjsucoincte (G) 2 faccssatjfacoscat (G).

LXUI(B). P. 277, 14 R-h4S]R + S.

LX\11 (D). P. 282, 3 en rcra. 'dcprcliendeljdepraihcndnt.

LXX {fa, 1-9). P. 291, -4 perle I môme {fa, 180) 3, IS de] des 22 le] les

4, 7 avec I (Ta, 181) 5, 13 1c omis * et la] et de la P. 296, 13 (r«, 182). 8, 4
continue] continuée P. 297, 2 œquarijœq. 9, 13 leslignesjla ligne * Les deux tables
insérées à la fin du n" 6 sont composées page i83 des fa sous le titre suivant : Table
dont il est fait mention dans la Ijettre précédente.

LXXI (P). 1, 4 ne devoir point] ne point devoir

LXXn {fa, i84)- 2, à la fin de la page. Le tableau est placé en manchette et disposé
verticalement; la 1°" et la 16° des combinaisons sont reportées au milieu de la ligne ainsi :

"f!*" P. 302, 6 quand I il {fa, i85) P. 304, 4 avons 1 fait {fa. 186) P. 304, le
bbhb

tableau est composé verticalement dans le texte. P. 305, 22 de même : | [fa, 1871

5, 2 quejqui 6, 8 trois | joueurs {fa. 188).

LXXtV(P). P. 312, 13 des]de.

LXXVI (Q). 3, 6 avecjdans il et 14 foyersjfeux P. 317, 8 qu'après parjaprès
dans 13 et IG s'il estjétant 16 le lieujil 19 les lieuxjle lieu P. 318, i au plus

510 VARIANTES ET NOTES CRITIQUES.

facile les donnés]lo plus facile doniu) \\ 319, ."1 lormiiico ;i|ltMmiiiéo dans 7, 1 .lai
cliereho pour lo lieu 9 si elle est plus petilojs'il est plus pclit 10 si elle est plus
grande] s'il est plus grand P. 320. 1 les lieux solides] le lieu solide.

L\.\Vll(,in- 4, 1 Lesjle.

LXXVIII(I1>. 2, ."i uujoii 3, 9 au]du 28 121] 122 erreur npograpJiique, corrigée
lituis les .\dditions.

l.XXIX. 2, 3 cubus]cubus numenis (/ «).

LXXX (.11, E). r. 334, 9 nonibics oiiiix (II); 13 des plus pcliis (E), du plus
petit (H).

lAXXll (E, /■ rt, 189). 2, 1 oùl(iuc (E, /^rt) 3, 1 (luoiqu'énoneé] quoique non si (E )
P. 840, o 1 égale au {l'a, i<)o)5, 1 parle ni ] parle pas ni (E) 3 voyage vous] voyage de
vous (rn) P. 341, 1-2 Borel] Bourel (E).

LXXXIII (E, fa, 191). fa donne la date du 20 juin 16J7. - Le post-scriplum de
celle lettre est la seule difierenec qu'il y ait entre l'édition originale et la réimpression
du Commerciiim dans lo tome II des Œuvres complètes de Wallis.

LXXXIV (E, l'a, 191)- 2, 8 mais | {Fa, 192) 3"; 4 point (E) omis l'a 6, 1 (fa. ig'i)
3 qui] qu'il (Art) P. 346, Ler dernière ligne nmixe dans l'a.

LXXXV {E, fa, 19'i). P 348, Gcomi)olscnl(/V(, i9.i)P.349, 6 entre] en (E, / «) 9 il
omis (E, ra) 21 de]ii(E, l'a). P. 351, 1 sont | compris (T'a, 195 ) 1 en rem. pourroit]
pouvoit (E, fa) P. 352, 20-22. Oaus lo tableau do E et des f'a, les lettres algé-
briques suivent les numéros d'ordre cl précèdent le tcxle qui explique leur signiûcation.
P. 353. 10 (l'a. 19O).

LXXXVU {l'a, p. 19G). P. 360, 30 si vile [ qu'il (l'a, p. 197).

LXXXIX(;^'«, p. 197). P. 363, Ki-li liomme | et (l'a, p. 19b).

XC (G, D). P. 366, 8 depuis « Monsieur de Carcavi » jusqu'à la « géométrie » inclu-
sivement omis dans D. G ponctue ainsi l.N-lfi : « ... de ma géométrie pour la question
de dioplriquc. Je ... » 20 je omis dans G. P. 367, '^-'! alinéas omis dans D.

XCW.v(G, D). 3, 0 eu]dans(U) 7.\].\F.

XCl (E). P. 375, 3 iircmicrs] premières P. 378, 14 formeljformé.

XCII (fa, 198). . P. 379, 22 mai ha | vuto (r«, 199). P. 380, 24 traduttorejtradotloro
26 teologi ijthcologii P. 381, i attribuissijatlribuissè 12 di modo ehe possojdemodo
che posto 17 .>,i)ada, liorajspada lioro P. 382, 3 nel clie | (fa, 200).

XGIII (Texte de G, variantes de D). 1, .'5 pourco que] parce quo P. 383, I occui)cr
mon esprit à des considérations] altaclier mon esprit à des spéculalions 7 meilleure] rc-
cevable 11 je] il (G) 12 mépris] luy-mcsmo «y. 3, 13 dans le milieu qu'elle parcourt om/.v. l.'i
niainom/.vP. 385, 4 dites, la puissance] dites, entre la détermination et la puissance 4, I!
raillerie] de raillerie 11/12 de donner les mains à cela] d'y con.sentir et d'y donner les mains
(D) 12 ses mains (G). 14 la division ou la perle] la perte 17 changer ou diminuer] rien
diminuer ( G ) 20/23 Les mois entre eroe/iets sont des additions de D. ■* pour accorder. . .
détermination omis. * .Iprès lil (ligne 23) D eonlinuc : pour faire que la délerminalion
qu'elle doit prendre se rapporte à l;i vilesse ou Ji la force (jui luy resie et qui la corn-

VARIANTES ET NOTES CRITIQUES. 511

menée en B. 2i/2o elle lasse autant de chemin ou qu' omis 26 elle conserve toujours
et même omis 27 là] ne soit point changée «/. 5, 1 ce qui le plus a]ce qui a le plus
P. 387, A dil]a-t-il dit 11 à laquelle détermination 12/13 à laquelle se doit... la
vitesse] laquelle se doit. . . à la. vitesse 1.3/1'i (car autrement... toile) omis 14 pour
faire manque dans C. 23/21 s'avancer vers le côté. . . détermination] s'avancer vers G
et que cette détermination se doit et se peut accommoder avec la vitesse qui lui reste
6, 2 il n'a]il semble n'avoir * la même] cette 3/4 aussi en même temps] toujours 4
qu'elle] que la chute P. 388, 1 non] qu'elle ne le soit pas 4 mais elle est] ayant été 6
la même quantité dejune pareille 11 dejqui arrive en 12 de]en * la pousse ou qui
l'arrête] l'avance ou qui la retarde 21 de deux autres 28 c'est à dire selon ajouté 29/30
sa vitesse a reçue en B et selon le rapport que celte vitesse a eu avec] cette vitesse a
eue avec (C) 30 a eujs'est trouvée avoir P. 389. 4 suive bienjsoit une suite S d'un
bon]de faire un bon 7, 12 mieuxjplus P. 390, 2 à tous ceux de voire dite leltre] à
votre dite lettre (D), à tous ceux de votre dernière leltre (C) 4/3 qu'il a faite à votre
lettrejqu'il y a faite 12 qu'un autre m'en eût déchargéjde m'en décharger sur un autre
IS si mon discours se fut adressé à vous] si j'eusse eu affaire à vous. 18 dans] en 19
vous vous mêliez de mon] vous prenez mon 20 toute autre occasion. 21 prêl ]tout prêt.

XCIV (Texte de C, variantes de D). Réflexions. . . Roh\ult] Réponse de JI. Piohali.t

A l\ LETTRE DE M. DE FeRMAT PAGE 1 78 QUI CONTIENT SES ANCIENNES OBJECTIONS SIR LA

DiopTRiQUE DE MONSIEUR Descartes. P. 391, 9 OU... reçue]et... vue 10 Toute-
foisjMais 13 de celte ville omis 14/17 vais essayer... séparément] vas donc essayer
d'y répondre, puisque vous le désirez. Et pour le faire plus commodément, je suivrai de
point en point tous les articles de sa leltre que j'examinerai les uns après les autres.
18 Art. i°']Art. i". J'ai vu, etc. 19 l'humeur civile de omis * honoroilja voulu
honorer 20 est encore] sera toujours 21 QuoiquejQuand * accommode] auroit accom-
modé 22 divise] auroit divisé * son mouvement en certaines déterminations plutôt
qu'en d'autres] la détermination du mouvement d'une certaine manière plutôt que d'une
autre 23 doiljdevroit 21 se sert] s'otoil servi 26 choisit] a choisie * viennojsoil
venu 27 entreprend] avoit entrepris. P. 392, 1 son mouvement] la détermination de
la balle qui se meut dans la ligne AB 1/2 déterminationjqui fût 2/3 surface... sur-
face] superficie CBE et en une autre qui lui fût parallèle 3/4 cette dernière] celle-ci
S ce que lui... unejet cela lui a été un moyen de trouver la 6 plus aisément] qu'il
cherchoit, ce * n'eûtjauroit * en suivantjs'il eut suivi 11 pourcejparce *• désa-
voueroitjn'a pas 12 comme on pourrait croire] ce semble * s'en servir] contre lui
ajouté 13 pas] rien du tout * sa déterminalionjla détermination qu'elle avoit à avancer
vers BG 16 à]de 21 [plus ou] addition de D comme les autres mots entre crochets
dans la suite du texte 2i aussi... conséquence (ligne 31) anus 33 quelques pa-
roles] le texte. P. 393, 2/3 que... a] qu'a Monsieur de Fermât .'5 désavouée dans
la remarque] remarquée 11 accorde] semble avoir accordé 13 qui est de devoir] qu'il
auroit eu tort de contester 17 aussi changée] aussi bien changée que celle de haut en
bas 18 infirmeroiljrendroit nulle -k raison] qu'il en apporte c'esl parce ryo;(<e ■*- est o/n.M'
21 comme] feroil <r/'o«<e a porté]mis 28 après quoi il vient à croirejet qui après cela
29 que cette dernière] de sa perte, viendroit à croire que la somme qu'il avoit de l'autre
côté 30/31 celle d'oii... redirejde l'autre 32 sans pourtant... d'Euclide (P. 394, l)]el
à peu près comme pourroit faire un jeune homme qui sans avoir jamais appris ce ([ue
c'est que proportion, sauroit 'simplLMiiont compter. P. 394, 2 quelques uns des] une
partie de ses 3/4 et ne se soucieroit pasjsans se soucier 10 en]dans la ligne.
11/12 outre que... ici]M. de Fermât semble encore accorder ici 12 auroit tortjauroit

:>l-2 VARIANTES ET NOTES CRITIQUES.

aussi lorl li! clans | par * l'.ot art iolo. .. paroles |co qu'il y a do plus dans cot article
n'est que le propre texte l(î/17 manque do so ressouvenir qu'il y a | pour no s'ôtro jias
sou\enu do la 19 prendjici ajouté 20 dit ces mots : ellejdit que la balle 21 so
meuvej doive se mouvoir 22 plus] aussi * soit cette ligne] soit la longueur de cette
ligne 23 elle doit tellement ftro inclinée vers la droite] la détermination vers la droite
doit tellement s'accommoder avec la vitesse qui lui reste 2i plus qu'elle n'avoit] autant
qu'elle avoit * C'est le sonsjt'.'est là le sens 2.') au lieu de l'autrejct non pas celui
26/28 et son intention. .. temps]cela éloit assez évident puisque là même 29 n'est ipio
simple] total de la balle est diminué de moitié. Le reste de l'alinéa manque. 32 n'est
pas au désavantage de] ne fait rien contre * nieroit]tout franc ajouté 33 a été dit dans
la remarque] a été remari]ué P. 395, I le 3" article] l'article troisième 3 que contieu-
nent]qui est contenu dans 4 je crains ipi'ils ne... sujet]cela ne fait rien du tout au
sujet et n'a servi qu'à tronq)er M. de Fermât iiui y parle du mouvement conq)osé en
un autre sens que n'a fait M. Descartos 8 le] à le 12 il omis 12/13 la détermination. . .
êtrejque la. . . est 13 rien supposé] pas parlé 14 mouvement] total ajouté * à son
sens] au sens do M. Descartes 16 autre] nouveau 16/17 dont on veuille... du |qui augmente
d'un 17 plus de co qui étoit en AB]la force qu'elle avoit déjà en ce sens là 18 soit] est
2i/25 desquelles... l'une] l'une desquelles par conséiiuent 30 puisque la] puisque l'augmen-
tation de vitesse ou la * de]à * mouvoirjque le mobile acquiert au point de rencontre
qui sépare les deux milieux ajoute' jt nature du. . . ajoute (P. 396, 3)] nature du second
milieu laquelle ne change point mais est toujours la même dans toutes les inclinaisons.
Et la principale faute que commet ici Monsieur de Fermât est fondée sur ce qu'il croit
que le mouvement composé en BI n'est pas toujours également viste, connne s'il dépen-
doit de la direction ou détermination des doux forces mouvantes, au lieu que c'est à elle
à s'accommoder à la force du mouvement, lequel est composé, et non pas la détermina-
tion, et c'est ce qui a trompé M. de Fermai et qui lui a fait faire tous ses faux raisonne-
ments : et c'est peut être encore ce qui l'empêche à présent de recevoir la démonstration
de M. Descartes. Aussi ce qu'il ajoute. . . P. 396, 7 certain s'il faut] assuré (pi'il faille
10 de la seule surface. . . retenir (i3)J ici de l'angle compris sous les lignes de direction
des deux forces mouvantes : mais parce qu'il dépend de la nature du second milieu que le
corps a à parcourir, de faciliter ou de retarder son mouvement, il est évident, ce me
semble, que l'on doit retenir 16 vous m'en... d'ébauchéjj'en ai vu 21 honorejestimo
22 me daigne] daigne me

XCV (Texte de C, variantes de D). 2, 10 moinsjplus ou moins P. 399. 11 peinejdo
la peine 13 balle] AB rtyow/e (C) P. 400, .^ transporter] transférer 21/22 co point... O]
c'est-à-dire au |)oint 0 31 même côté] même côté là P. 401, i transportant] transférant

* seulementjau-dessus du plan ajouté S démonstration] une démonstration 6 paralo-
gisme] un paralogisme 4, 10 CBjCF (C); les mots en ligne droite omis 14 arrivât]
aussi ajouté. P. 402, 7 à l'avance] par avance

XCVI(E). P. 404, 1 Sainte-Croix] Sainte-Croisc

XCVII (Texte de C, variantes de D). 1, 1 belle] grande 8 par] de P. 409, 7 inter-
position] interprétation 2, 6reste]laisse 4, 6, 8par]de 9vers]dans P. 412, 13, lidujde

XCIX (Texte de C, variantes de D). 1, 21 de la réflexion] touchant la rellexion

* et des réfrac lions jet la réfraction P. 415, i fournir] obtenir 2, 3 veulent plus que
iuijveulent trop subtiliser D, voient plus que lui C * trouvent] puissent trouver S de]
du C P. 416. 2 un certain côtcjle côté 14/1*; selon quelqu'une de ses directions] aupa-
ravant 15 celle] cette détermination 3, 12 une fois] pour toutes ajouté 4, 10 vers

VARIANTES ET NOTES CRITIQUES. 313

ce côié là]dans la même ligne 12 veut conduire la balle vers D]lend de B vers I)
* vers D] vers BD (C) 22 à remonter] de remonter 28 preuve] une preuve 5, 2 en
omis 8 par] de 20 perpendiculaire] de sa chute P. 4i9, 3 d'entre] qui sont entre
6. 3 d'apercevoir] à apercevoir P. 420, 4 déterminations] autres 7, 2 par exemple omis
10/11 puisse faire] fasse 8, 9 une démonslralion 10 un paralogisme P. 421, 7/8 et...
perpendiculairement OTOii- 1-i voici] voyez (C) 17 à ce point B]là P. 422, 1/2 impéné-
trable et inébranlal)le omis P. 424, 9 [de réflexion] addition de D; de iiiàne pour les
mots mis par la suite entre crochets 10 toujours être] être toujours P. 425, 11 par
exemple oraà lo égard ] égal (C) 23 puisse faire]fasse 27/28 transporte] transfère
(deux fois) 30 transporter] transférer. P. 426, 1 transporté] transféré P. 428, 4 ou plus
ou moins] par exemple 6 sa]la 16, 13 visibles] légères (C) P. 429, 2 aussi omit.

CI (H). P. 432, 5 commejcar 2, 10 estjéloit 4. 8 je omis P. 434, -4 un omis
6, 6 2Q]2 quarruz 8 ou découvrir] ou de découvrir P. 435, 8. 0 elle omis.

Cil (1, fol 34). P. 437, 8 Père|que (f° 34 verso). 30 vous | donnoronl (f° 35)

cm (H), p. 439, 5 quejqui est, 8 l'aja 9 de la]de sa P. 440, 10 et omis 21 do
la dernière] des dernières.

CIV (H), l, 2 &o\\.]z^\. corrigé ennote. 2, UCQjSQ \o \a omis P. 443, i para-
bole] parabolique 9/10 du rayon] de la droite Vi (piarrécubique] cubique.

CVI (II). 1, 3 parabole] parabola.

ex (H). P. 455, 1 PQjPO corrigé en note.

CXII (Texte de C, variantes de D). 1, 7 carjqu' 10 dursjdenses {peut-être mieiLv)
2, 3 non plus] que la sienne rt/oH^t' 9 des principes] du principe 10 trouverjdécouvrir
P. 459, 2 cr 4 de 0]d'0 18 du temps omis C. 4, S [qu'] mq. C. 8 cette sortejces
sortes 12 qui est] et 17 précédent] présent 18 paroît] par là «yo«<e P. 461, 10 [de]
mq.C 5, 6 laalomis P. 462, 1 desjaux 9 suffiroit] suffira 6, 6 rendrejà lui ajouté
0 géomètres] hommes (C) * les] ces

CXIII (D). 3, .T point omis P. 468, a celle de l'autre] au lieu de ces mots l'annota-
teur anonyme de l'exemplaire de l'Institut a écrit ceux-ci : o le plus ou moins de facilité
à recevoir son action qui est entre les deux milieux ».

CXIV (D). P. 480, 32 a] ont.

CXV (D). P. 484, 6 saràjilsarà

CXVI {P'a, i5G). P. 486, 28 desjde P. 487. 3 aller | chercher (/«, lôj)

CXVII {l'a, i58). P. 491, 23 et | aux {Fa, lig) P. 494, 9 égal | au {la, i6o)
Il BNFjBNX {% V'\']V^ (la première fois) 19FN]FV P. 495, 30 comme B] C.O.B.

Fermât. — II. 65

51 i ERRATA.

ERRATA.

Tome I.

D'après les lectures définitives des éditeurs do la Correspondance de Huygens, n° 947.
il faut :

Page 189, ligne 7 : Au lieu de su/wcuire cepit, lire mhvereri cepi.

a 191, ligne i5 : Au lieu do /loc, lire «ov.

» 193, ligne 3 : Au lieu de aitalyticœ, lire analyùco.

» 194, ligne 2 : Au lieu de primogcintam, lire primigciiiani.

» 3-25, ligne 3 : Au lieu do — i, lire -t- i.

Tome II.

Page 8. ligne dernière de la note : Au lieu de note 6, lire 6, note; c'est-à-dire page 2().
note 1.
» 59, titre courant : Lire 16 septembre i63fi.
» 83, ligne 5 : Au lieu de avoir, lire d'avoir.
1) 99, titre courant : Au lieu de février, lire iG décembre.
u ii5, ligne i : Lire DE, EF et FD.

1) 161, titre courant : Au lieu de De maximis et miitimis, lire Juin i638.
» 282, note I : Après M***, ajouter : (probablement Auzout).
n 35-2, ligne 3 : Au lieu de on doit y, lire onj doit.
» 355, Corrigez le numéro do la page, marquée 555.
« 368, ligne 8 : Au lieu doyf devrois, lireye ne devrais.
« 388, ligne ij : Au lieu do il dit, lire il a dit.
» .pâi ligne '2 : Au lieu de 5tN-4-5, lire 3N-1-5 {Remarquer qu'avec ces cnefficienis

l'équation double est impossible ).
» 436, en, ligne 3 : Au lieu de fol. i3, lire lettre i3.
B 438, note 2 : Au lieu de fg. 93, lire /%. 94.
» 4J2, ligne 8 en rem. : Au lieu de non, lisez non pas.
» 47', litre courant : Au lion do i3 mai 1662, lire 6 mai 1662.
>' 473, titre courant : Au lieu de CXIII. 6 mai 1662, lire GXIV, i3 mai 1662.

FIN DU TOME DEUXIÈME.

i66.'|2 Paris. — Imprimerie Gauthier- Villars et fils, quai des Grands-Augustins, 55.

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